Resumen Prueba 3 - Clases 21-30

📚 Resumen Prueba 3 - Clases 21 a 30

Información de la Prueba

Este resumen cubre las Clases 21-30 de MAT1610 Cálculo I

• Contenido: Aplicaciones de la Derivada + Introducción a Integrales
• Estructura: Organizado por temas principales con conceptos clave y ejemplos

---

🎯 Índice de Contenidos

1. Valores Extremos (Clase 21)
2. Teorema del Valor Medio (Clase 22)
3. Análisis de Funciones con Derivadas (Clase 23)
4. Regla de L’Hôpital - Parte 1 (Clase 24)
5. Regla de L’Hôpital - Parte 2 (Clase 25)
6. Trazado de Curvas (Clase 26)
7. Optimización (Clase 27)
8. Antiderivadas (Clase 28)
9. Integral Definida (Clase 29)
10. Teorema Fundamental del Cálculo (Clase 30)

---

1️⃣ Valores Extremos (Clase 21)

📌 Conceptos Fundamentales

Definiciones Clave

Máximo Absoluto: $f(c)\ge f(x)$ para toda $x$ en el dominio

Mínimo Absoluto: $f(c)\le f(x)$ para toda $x$ en el dominio

Máximo/Mínimo Local: Condición se cumple solo en una vecindad de $c$

Diferencia Clave

• Extremos locales: Solo ocurren en puntos interiores del dominio
• Extremos absolutos: Pueden ocurrir en cualquier punto del dominio (incluyendo extremos)

📐 Teoremas Importantes

Teorema del Valor Extremo

Si $f$ es continua en $[a,b]$, entonces $f$ alcanza un máximo absoluto y un mínimo absoluto en $[a,b]$.

Hipótesis necesarias:

1. Función continua
2. Intervalo cerrado $[a,b]$

Teorema de Fermat

Si $f$ tiene un extremo local en $c$ y $f^{\prime }(c)$ existe, entonces: $f^{\prime }(c)=0$

⚠️ IMPORTANTE: El recíproco NO es cierto. Si $f^{\prime }(c)=0$, NO garantiza extremo en $c$.

🔑 Números Críticos

Definición

Un número crítico de $f$ es un número $c$ en el dominio tal que: $f^{\prime }(c)=0\text{o}{f}^{\prime }(c)\text{ no existe}$

Método del Intervalo Cerrado

Para encontrar extremos absolutos de $f$ continua en $[a,b]$:

1. Evaluar $f$ en los números críticos dentro de $(a,b)$
2. Evaluar $f$ en los extremos $a$ y $b$
3. El mayor valor es el máximo absoluto
4. El menor valor es el mínimo absoluto

✅ Ejemplo Tipo

Ejemplo Resuelto

Encuentre los extremos absolutos de $f(x)=x^3-3x^2+1$ en $[-1/2,4]$

Solución:

1. $f^{\prime }(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$
2. Números críticos: $x=0$ y $x=2$
3. Evaluaciones:
   • $f(-1/2)=1/8$
   • $f(0)=1$ ← Máximo absoluto
   • $f(2)=-3$ ← Mínimo absoluto
   • $f(4)=17$

---

2️⃣ Teorema del Valor Medio (Clase 22)

📌 Teorema de Rolle

Teorema de Rolle

Si $f$ satisface:

1. $f$ continua en $[a,b]$
2. $f$ derivable en $(a,b)$
3. $f(a)=f(b)$

Entonces existe $c\in (a,b)$ tal que $f^{\prime }(c)=0$

Interpretación: Si una función comienza y termina en el mismo valor, en algún punto intermedio la tangente es horizontal.

📐 Teorema del Valor Medio (TVM)

Teorema del Valor Medio

Si $f$ es:

1. Continua en $[a,b]$
2. Derivable en $(a,b)$

Entonces existe $c\in (a,b)$ tal que: $\boxed{f^{\prime }(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}}$

Equivalentemente: $f(b)-f(a)=f^{\prime }(c)(b-a)$

🎨 Interpretaciones

Interpretación Geométrica

Existe un punto $c$ donde la tangente es paralela a la secante que une $(a,f(a))$ con $(b,f(b))$.

Interpretación Física

En algún momento $t=c$, la velocidad instantánea es igual a la velocidad promedio.

📊 Consecuencias del TVM

Corolario Importante

Si $f^{\prime }(x)=0$ para toda $x$ en un intervalo $(a,b)$, entonces $f$ es constante en $(a,b)$.

✅ Ejemplo Tipo

Aplicación del TVM

Si $f(0)=-3$ y $f^{\prime }(x)\le 5$ para toda $x$, ¿qué tan grande puede ser $f(2)$?

Solución: Por el TVM en $[0,2]$: $f(2)-f(0)=f^{\prime }(c)\cdot 2$ $f(2)=-3+2f^{\prime }(c)$

Como $f^{\prime }(c)\le 5$: $f(2)\le -3+10=7$

---

3️⃣ Análisis de Funciones con Derivadas (Clase 23)

📈 Primera Derivada: Crecimiento y Extremos

Prueba Creciente/Decreciente

• Si $f^{\prime }(x)>0$ en un intervalo → $f$ es creciente
• Si $f^{\prime }(x)<0$ en un intervalo → $f$ es decreciente

Prueba de la Primera Derivada

Sea $c$ un número crítico de $f$ continua:

• Si $f^{\prime }$ cambia de + a - en $c$ → Máximo local en $c$
• Si $f^{\prime }$ cambia de - a + en $c$ → Mínimo local en $c$
• Si $f^{\prime }$ no cambia de signo → No hay extremo en $c$

📊 Segunda Derivada: Concavidad

Definición de Concavidad

• Cóncava hacia arriba: La gráfica queda arriba de todas sus tangentes
• Cóncava hacia abajo: La gráfica queda debajo de todas sus tangentes

Prueba de Concavidad

• Si $f^{\prime \prime }(x)>0$ → Cóncava hacia arriba
• Si $f^{\prime \prime }(x)<0$ → Cóncava hacia abajo

🔄 Puntos de Inflexión

Definición

Un punto de inflexión es donde la curva cambia de cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo, o viceversa.

Criterio: Ocurre donde $f^{\prime \prime }$ cambia de signo.

📐 Prueba de la Segunda Derivada

Prueba de la Segunda Derivada

Suponga que $f^{\prime \prime }$ es continua cerca de $c$ y $f^{\prime }(c)=0$:

• Si $f^{\prime \prime }(c)>0$ → Mínimo local en $c$
• Si $f^{\prime \prime }(c)<0$ → Máximo local en $c$
• Si $f^{\prime \prime }(c)=0$ → Prueba inconclusa (usar primera derivada)

✅ Tabla de Signos - Método

Análisis Completo

Para $f(x)=x^3-3x^2$:

Primera derivada: $f^{\prime }(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$

Intervalo	$f^{\prime }$	$f$
$x<0$	$+$	Creciente
$0<x<2$	$-$	Decreciente
$x>2$	$+$	Creciente

Segunda derivada: $f^{\prime \prime }(x)=6x-6=6(x-1)$

Intervalo	$f^{\prime \prime }$	Concavidad
$x<1$	$-$	Hacia abajo
$x>1$	$+$	Hacia arriba

---

4️⃣ Regla de L’Hôpital - Parte 1 (Clase 24)

🔍 Formas Indeterminadas Básicas

Formas Indeterminadas Principales

1. $\frac{0}{0}$ - Ambos tienden a cero
2. $\frac{\infty }{\infty }$ - Ambos tienden a infinito

📐 Regla de L’Hôpital

Teorema - Regla de L'Hôpital

Si ${\lim }_{x\to a}f(x)=0$ y ${\lim }_{x\to a}g(x)=0$ (o ambos $\pm \infty$), entonces:

$\boxed{\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to a}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}}$

si existe el límite del lado derecho.

Condiciones para Aplicar

1. Verificar que es forma $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty }{\infty }$
2. $f$ y $g$ son derivables
3. $g^{\prime }(x)\ne 0$ cerca de $a$
4. Derivar numerador y denominador POR SEPARADO (no usar regla del cociente)

✅ Ejemplos Tipo

Ejemplo 1: Forma \frac{0}{0}

${\lim }_{x\to 1}\frac{\ln x}{x-1}$

Solución:

• Forma: $\frac{0}{0}$ ✓
• Aplicamos L’Hôpital: $={\lim }_{x\to 1}\frac{1/x}{1}={\lim }_{x\to 1}\frac{1}{x}=1$

Ejemplo 2: Forma \frac{\infty}{\infty}

${\lim }_{x\to \infty }\frac{e^x}{x^2}$

Solución:

• Primera aplicación: $={\lim }_{x\to \infty }\frac{e^x}{2x}\text{[Auˊn }\frac{\infty }{\infty }\text{]}$

• Segunda aplicación: $={\lim }_{x\to \infty }\frac{e^x}{2}=\infty$

---

5️⃣ Regla de L’Hôpital - Parte 2 (Clase 25)

🔄 Otras Formas Indeterminadas

Formas que Requieren Transformación

• $0\cdot \infty$ → Convertir a $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty }{\infty }$
• $\infty -\infty$ → Común denominador o racionalización
• $0^0$, ${\infty }^0$, $1^{\infty }$ → Usar logaritmos

🔢 Producto Indeterminado: $0\cdot \infty$

Estrategia

Reescribir como cociente: $f(x)\cdot g(x)=\frac{f(x)}{1/g(x)}\text{o}\frac{g(x)}{1/f(x)}$

Ejemplo: \lim_{x \to 0^+} x \ln x

Solución: $={\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{\ln x}{1/x}\text{[Forma }\frac{-\infty }{\infty }\text{]}$ $={\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{1/x}{-1/x^2}={\lim }_{x\to 0^{+}}(-x)=0$

➖ Diferencia Indeterminada: $\infty -\infty$

Estrategias

1. Común denominador: Combinar fracciones
2. Racionalización: Multiplicar por conjugado
3. Factorización: Extraer término común

Ejemplo: \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + x} - x)

Solución (racionalización): $={\lim }_{x\to \infty }\frac{(\sqrt{x^2+x}-x)(\sqrt{x^2+x}+x)}{\sqrt{x^2+x}+x}$ $={\lim }_{x\to \infty }\frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}=\frac{1}{2}$

🎯 Potencias Indeterminadas: $0^0$, ${\infty }^0$, $1^{\infty }$

Método General

Para evaluar $\lim [f(x){]}^{g(x)}$:

1. Sea $y=[f(x){]}^{g(x)}$
2. Tomar logaritmo: $\ln y=g(x)\ln f(x)$
3. Evaluar $L=\lim \ln y$ (ahora es producto $0\cdot \infty$)
4. Resultado: $\lim y=e^L$

Ejemplo: \lim_{x \to 0^+} x^x (forma 0^0)

Solución:

• Sea $y=x^x$, entonces $\ln y=x\ln x$
• ${\lim }_{x\to 0^{+}}\ln y={\lim }_{x\to 0^{+}}x\ln x=0$ (Clase 24)
• Por tanto: ${\lim }_{x\to 0^{+}}{x}^x=e^0=1$

---

6️⃣ Trazado de Curvas (Clase 26)

📋 Guía para Trazar Curvas (8 Pasos)

Metodología Completa

A. Dominio: Determinar conjunto de valores donde $f$ está definida

B. Intersecciones:

• Eje $y$: $f(0)$
• Eje $x$: Resolver $f(x)=0$

C. Simetría:

• Par: $f(-x)=f(x)$ → simétrica respecto al eje $y$
• Impar: $f(-x)=-f(x)$ → simétrica respecto al origen
• Periódica: $f(x+p)=f(x)$ → se repite cada período $p$

D. Asíntotas:

• Horizontales: ${\lim }_{x\to \pm \infty }f(x)=L$ → $y=L$
• Verticales: ${\lim }_{x\to a}f(x)=\pm \infty$ → $x=a$
• Oblicuas: Ver siguiente sección

E. Crecimiento/Decrecimiento: Usar $f^{\prime }(x)$

F. Extremos locales: Prueba de la primera o segunda derivada

G. Concavidad y puntos de inflexión: Usar $f^{\prime \prime }(x)$

H. Dibujar la curva: Unir toda la información

📐 Asíntotas Oblicuas (Inclinadas)

Definición

La recta $y=mx+b$ es una asíntota oblicua si: ${\lim }_{x\to \infty }[f(x)-(mx+b)]=0$

Método de División Larga

Para funciones racionales donde grado(numerador) = grado(denominador) + 1:

1. Hacer división larga: $f(x)=mx+b+\frac{R(x)}{Q(x)}$
2. La asíntota es $y=mx+b$

Nota Importante

• Una función puede tener 0, 1 o 2 asíntotas oblicuas
• NO puede tener asíntota horizontal y oblicua en la misma dirección

✅ Ejemplo Completo

Trazar y = \frac{2x^2}{x^2-1}

A. Dominio: $\mathbb{R}\setminus \{-1,1\}$

B. Intersecciones: Origen $(0,0)$

C. Simetría: Par ($f(-x)=f(x)$)

D. Asíntotas:

• Verticales: $x=1$ y $x=-1$
• Horizontal: $y=2$ (límite al infinito)

E. $f^{\prime }(x)=\frac{-4x}{(x^2-1{)}^2}$:

• Creciente en $(-\infty ,-1)\cup (-1,0)$
• Decreciente en $(0,1)\cup (1,\infty )$

F. Extremos: Máximo local en $x=0$, $f(0)=0$

G. Concavidad: Usar $f^{\prime \prime }(x)$ para determinar puntos de inflexión

---

7️⃣ Optimización (Clase 27)

📋 Metodología de 6 Pasos

Estrategia para Problemas de Optimización

Paso 1: Comprender el problema (leer detenidamente)

Paso 2: Dibujar un diagrama

Paso 3: Introducir notación (variables y constantes)

Paso 4: Expresar la función objetivo $Q$ en términos de variables

Paso 5: Eliminar variables usando restricciones → $Q=f(x)$

Paso 6: Optimizar usando métodos de cálculo

✅ Ejemplo Tipo: Maximizar Área

Campo Rectangular junto a un Río

Un agricultor tiene 2400 pies de cerca y quiere cercar un campo rectangular que bordea un río (no necesita cerca en ese lado). ¿Dimensiones para maximizar el área?

Solución:

Variables:

• $x$ = ancho del campo
• $y$ = largo del campo
• $A$ = área (a maximizar)

Función objetivo: $A=xy$

Restricción: $2x+y=2400$ (cerca disponible)

Eliminar $y$: $y=2400-2x$ $A(x)=x(2400-2x)=2400x-2x^2$

Dominio: $0\le x\le 1200$

Optimizar:

• $A^{\prime }(x)=2400-4x=0$
• $x=600$ pies
• $y=1200$ pies

Verificar: $A^{\prime \prime }(x)=-4<0$ → máximo

✅ Ejemplo Tipo: Minimizar Superficie

Lata Cilíndrica

Diseñar una lata cilíndrica de 1 L que minimice el costo del metal.

Solución:

Función objetivo: $A=2\pi r^2+2\pi rh$ (área superficial)

Restricción: $\pi r^{2}h=1000$ cm³

Eliminar $h$: $h=\frac{1000}{\pi r^2}$

$A(r)=2\pi r^2+\frac{2000}{r}$

Optimizar:

• $A^{\prime }(r)=4\pi r-\frac{2000}{r^2}=0$
• $r^3=\frac{500}{\pi }$
• $r=\sqrt[3]{500/\pi }\approx 5.42$ cm
• $h=2r$ (altura es el doble del radio)

---

8️⃣ Antiderivadas (Clase 28)

📌 Definición Fundamental

Definición

$F$ es una antiderivada de $f$ si: $F^{\prime }(x)=f(x)$

Teorema de la Antiderivada General

Si $F$ es una antiderivada de $f$, entonces la antiderivada más general es: $F(x)+C$ donde $C$ es una constante arbitraria.

📊 Tabla de Antiderivadas Básicas

Fórmulas Esenciales

Función	Antiderivada
$x^n$ $(n\ne -1)$	$\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$
$\frac{1}{x}$	$\ln \Vert x\Vert +C$
$e^x$	$e^x+C$
$\sin x$	$-\cos x+C$
$\cos x$	$\sin x+C$
${\sec }^{2}x$	$\tan x+C$
$\frac{1}{1+x^2}$	$\arctan x+C$
$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$\arcsin x+C$

🔧 Propiedades

Propiedades de Antiderivación

1. Constante múltiple: $\int cf(x)dx=c\int f(x)dx$
2. Suma: $\int [f(x)+g(x)]dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx$

📝 Ecuaciones Diferenciales Simples

Problema de Valor Inicial

Encuentre $f$ si $f^{\prime }(x)=e^x+\frac{20}{1+x^2}$ y $f(0)=-2$

Solución:

• Antiderivada general: $f(x)=e^x+20\arctan x+C$
• Usar condición: $f(0)=e^0+0+C=-2$
• $C=-3$
• Respuesta: $f(x)=e^x+20\arctan x-3$

🚀 Movimiento Rectilíneo

Relaciones

$a(t)\stackrel{\text{antiderivada}}{\to }v(t)\stackrel{\text{antiderivada}}{\to }s(t)$

• Aceleración → Velocidad → Posición

Pelota Lanzada Verticalmente

Una pelota se lanza hacia arriba con $v_0=48$ pies/s desde altura de 432 pies.

Datos: $a(t)=-32$ pies/s²

Solución:

• $v(t)=-32t+48$
• $s(t)=-16t^2+48t+432$
• Altura máxima cuando $v(t)=0$ → $t=1.5$ s
• Choca al suelo cuando $s(t)=0$ → $t\approx 6.9$ s

---

9️⃣ Integral Definida (Clase 29)

📐 Sumas de Riemann

Construcción

Para aproximar el área bajo $f$ en $[a,b]$:

1. Dividir $[a,b]$ en $n$ subintervalos: $\Delta x=\frac{b-a}{n}$
2. Elegir puntos muestra $x_i^{\ast }$ en cada subintervalo
3. Suma de Riemann: $R_n={\sum }_{i=1}^{n}f(x_i^{\ast })\Delta x$

Tipos de Sumas de Riemann

• Extremos derechos: $x_i^{\ast }=x_i$
• Extremos izquierdos: $x_i^{\ast }=x_{i-1}$
• Puntos medios: $x_i^{\ast }=\frac{x_{i-1}+x_i}{2}$ (más precisa)

📏 Integral Definida

Definición

La integral definida de $f$ desde $a$ hasta $b$ es: $\boxed{{\int }_a^{b}f(x)dx=\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{i=1}^{n}f(x_i^{\ast })\Delta x}$

si este límite existe.

🎨 Interpretación Geométrica

Cuando f(x) \geq 0

${\int }_a^{b}f(x)dx=\text{Aˊrea bajo la curva}$

Cuando f cambia de signo

${\int }_a^{b}f(x)dx=A_1-A_2$ donde $A_1$ es área arriba del eje y $A_2$ área debajo del eje.

📊 Propiedades de la Integral

Propiedades Fundamentales

1. Linealidad: ${\int }_a^b[cf(x)+g(x)]dx=c{\int }_a^{b}f(x)dx+{\int }_a^{b}g(x)dx$

2. Aditividad: ${\int }_a^{c}f(x)dx={\int }_a^{b}f(x)dx+{\int }_b^{c}f(x)dx$

3. Inversión: ${\int }_a^{b}f(x)dx=-{\int }_b^{a}f(x)dx$

4. Comparación: Si $f(x)\ge g(x)$ entonces ${\int }_a^{b}f(x)dx\ge {\int }_a^{b}g(x)dx$

5. Acotación: Si $m\le f(x)\le M$ entonces: $m(b-a)\le {\int }_a^{b}f(x)dx\le M(b-a)$

🧮 Fórmulas Útiles para Sumas

Fórmulas de Sumas

${\sum }_{i=1}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2}$

${\sum }_{i=1}^n{i}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

${\sum }_{i=1}^n{i}^3={\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]}^2$

---

🔟 Teorema Fundamental del Cálculo (Clase 30)

🌟 TFC Parte 1

Teorema Fundamental del Cálculo - Parte 1

Si $f$ es continua en $[a,b]$ y $g(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$, entonces: $\boxed{g^{\prime }(x)=f(x)}$

En palabras: La derivada de una integral es el integrando evaluado en el límite superior.

Con Regla de la Cadena

$\frac{d}{dx}{\int }_a^{u(x)}f(t)dt=f(u(x))\cdot u^{\prime }(x)$

✅ Ejemplos TFC1

Ejemplo 1

$\frac{d}{dx}{\int }_0^x\sqrt{1+t^2}dt=\sqrt{1+x^2}$

Ejemplo 2 (con regla de la cadena)

$\frac{d}{dx}{\int }_1^{x^3}\sec tdt=\sec (x^3)\cdot 3x^2$

🌟 TFC Parte 2

Teorema Fundamental del Cálculo - Parte 2

Si $f$ es continua en $[a,b]$ y $F$ es una antiderivada de $f$, entonces: $\boxed{{\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)}$

Notación: $F(x){|}_a^b=[F(x){]}_a^b=F(b)-F(a)$

Ventaja del TFC2

¡Ya no necesitamos calcular límites de sumas de Riemann! Solo encontrar una antiderivada y evaluar.

✅ Ejemplos TFC2

Ejemplo 1: Polinomio

${\int }_2^5(x^2-6x)dx={\left[\frac{x^3}{3}-3x^2\right]}_2^5$ $=\left(\frac{125}{3}-75\right)-\left(\frac{8}{3}-12\right)=-24$

Ejemplo 2: Exponencial

${\int }_1^3{e}^{x}dx=[e^x{]}_1^3=e^3-e$

Ejemplo 3: Trigonométrica

${\int }_0^{\pi /2}\cos \theta d\theta =[\sin \theta {]}_0^{\pi /2}=1-0=1$

⚠️ Cuidado con Discontinuidades

Error Común

El TFC NO se aplica si $f$ tiene discontinuidad en $[a,b]$.

Ejemplo INCORRECTO: ${\int }_{-1}^3\frac{1}{x^2}dx\ne {\left[-\frac{1}{x}\right]}_{-1}^3$

Esta integral no existe porque $f(x)=1/x^2$ tiene discontinuidad infinita en $x=0$.

---

📝 Consejos para la Prueba

Estrategias de Estudio

Para Optimización:

• Dibuja SIEMPRE un diagrama
• Identifica claramente qué optimizar y qué son las restricciones
• No olvides el dominio físicamente razonable

Para L’Hôpital:

• Verifica PRIMERO que es forma indeterminada
• Deriva numerador y denominador por separado
• Para potencias, usa logaritmos

Para Integrales:

• Memoriza las antiderivadas básicas
• Verifica continuidad antes de aplicar TFC
• Recuerda: NO usar $+C$ en integrales definidas
• Siempre calcula $F(b)-F(a)$, no $F(b)+F(a)$

Checklist Final

• ¿Sé encontrar números críticos y clasificar extremos?
• ¿Puedo usar TVM para demostrar desigualdades?
• ¿Domino las tablas de signos para $f^{\prime }$ y $f^{\prime \prime }$?
• ¿Identifico correctamente formas indeterminadas?
• ¿Conozco las estrategias para cada forma indeterminada?
• ¿Puedo trazar curvas completas usando los 8 pasos?
• ¿Sigo la metodología de 6 pasos en optimización?
• ¿Memoricé las antiderivadas básicas?
• ¿Entiendo ambas partes del TFC?
• ¿Puedo aplicar TFC1 con regla de la cadena?

---

🎓 Reflexión Final

Conexión de las Clases 21-30

Este bloque de contenido representa la culminación del cálculo diferencial (clases 21-27) y el inicio del cálculo integral (clases 28-30).

Mensaje clave: La derivada y la integral son operaciones inversas, conectadas maravillosamente por el Teorema Fundamental del Cálculo.

• Derivadas → Razones de cambio, tangentes, optimización
• Integrales → Acumulación, áreas, antiderivadas
• TFC → El puente que une ambos mundos

---

🏷️ Tags

resumen prueba3 calculo aplicaciones-derivada optimizacion lhopital integrales tfc MAT1610 estudio

---

¡Mucho éxito en tu prueba! 🚀📐✨