Resumen Examen

📖 Guía de Estudio Completa - Examen Final MAT1610

Información del Examen

Cobertura: Clases 1-42 (énfasis en clases 32-42) Enfoque Principal: Técnicas de Integración y Aplicaciones Documento: Guía completa con ejemplos, estrategias y ejercicios

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📋 Índice

1. Fundamentos (Clases 1-31) - Repaso Rápido
2. Técnicas de Integración (Clases 32-39) - ÉNFASIS DEL EXAMEN
3. Aplicaciones de Integrales (Clases 40-42) - ÉNFASIS DEL EXAMEN
4. Formulario Completo
5. Estrategias de Resolución
6. Errores Comunes Consolidados

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PARTE I: FUNDAMENTOS (Clases 1-31)

Nota Importante

Esta sección cubre los fundamentos necesarios para entender las técnicas de integración. Si algún concepto aquí te resulta confuso, debes repasarlo antes de continuar con las técnicas avanzadas.

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1. Límites y Continuidad

1.1 Definición de Límite

Límite de una Función

${\lim }_{x\to a}f(x)=L$

significa que $f(x)$ se aproxima a $L$ cuando $x$ se aproxima a $a$.

Propiedades de límites:

• ${\lim }_{x\to a}[f(x)+g(x)]={\lim }_{x\to a}f(x)+{\lim }_{x\to a}g(x)$
• ${\lim }_{x\to a}[cf(x)]=c{\lim }_{x\to a}f(x)$
• ${\lim }_{x\to a}[f(x)\cdot g(x)]={\lim }_{x\to a}f(x)\cdot {\lim }_{x\to a}g(x)$
• ${\lim }_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{{\lim }_{x\to a}f(x)}{{\lim }_{x\to a}g(x)}$ si ${\lim }_{x\to a}g(x)\ne 0$

1.2 Continuidad

Función Continua

$f$ es continua en $x=a$ si:

1. $f(a)$ está definida
2. ${\lim }_{x\to a}f(x)$ existe
3. ${\lim }_{x\to a}f(x)=f(a)$

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2. Derivadas

2.1 Definición y Reglas Básicas

Definición de Derivada

$f^{\prime }(x)={\lim }_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

Reglas fundamentales:

Función	Derivada
$c$	$0$
$x^n$	$n{x}^{n-1}$
$e^x$	$e^x$
$\ln x$	$\frac{1}{x}$
$\sin x$	$\cos x$
$\cos x$	$-\sin x$
$\tan x$	${\sec }^{2}x$

2.2 Regla del Producto y Cociente

• Producto: $(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$
• Cociente: ${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$
• Cadena: $(f\circ g{)}^{\prime }(x)=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)$

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3. Integrales Básicas (Pre-Técnicas)

3.1 Antiderivadas Fundamentales

Tabla de Antiderivadas Básicas

$f(x)$	$\int f(x)dx$
$k$	$kx+C$
$x^n$ $(n\ne -1)$	$\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$
$\frac{1}{x}$	$\ln \Vert x\Vert +C$
$e^x$	$e^x+C$
$\sin x$	$-\cos x+C$
$\cos x$	$\sin x+C$
${\sec }^{2}x$	$\tan x+C$
$\sec x\tan x$	$\sec x+C$
$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$\arcsin x+C$
$\frac{1}{1+x^2}$	$\arctan x+C$

3.2 Teorema Fundamental del Cálculo

TFC - Parte 1

Si $f$ es continua en $[a,b]$, entonces la función $g$ definida por: $g(x)={\int }_a^{x}f(t)dt,a\le x\le b$ es continua en $[a,b]$, derivable en $(a,b)$, y $g^{\prime }(x)=f(x)$.

TFC - Parte 2

Si $f$ es continua en $[a,b]$, entonces: ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$ donde $F$ es cualquier antiderivada de $f$.

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PARTE II: TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN (Clases 32-39)

SECCIÓN CRÍTICA PARA EL EXAMEN

Esta es la parte más importante del examen. Domina estas técnicas y sabrás cuándo aplicar cada una.

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📌 CLASE 32-33: Regla de Sustitución

Concepto Fundamental

Regla de Sustitución (Indefinida)

Si $u=g(x)$ es una función derivable cuyo rango es un intervalo $I$, y $f$ es continua en $I$, entonces: $\int f(g(x))g^{\prime }(x)dx=\int f(u)du$

Regla de Sustitución (Definida)

${\int }_a^{b}f(g(x))g^{\prime }(x)dx={\int }_{g(a)}^{g(b)}f(u)du$

Estrategia de Aplicación

¿Cuándo usar sustitución?

Busca estas señales:

1. Composición de funciones: $(ax+b{)}^n$, $\sin (3x)$, $e^{x^2}$
2. Función y su derivada: $x\cdot e^{x^2}$ (la derivada de $x^2$ es $2x$)
3. Cadenas evidentes: $\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}$, $f^{\prime }(x)\cdot [f(x){]}^n$

Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: Sustitución Simple

Problema: $\int x\sqrt{1+x^2}dx$

Solución:

• Paso 1: Identificar $u=1+x^2$
• Paso 2: Calcular $du=2xdx$, entonces $xdx=\frac{1}{2}du$
• Paso 3: Sustituir: $\int x\sqrt{1+x^2}dx=\int \sqrt{u}\cdot \frac{1}{2}du=\frac{1}{2}\int u^{1/2}du$
• Paso 4: Integrar: $=\frac{1}{2}\cdot \frac{u^{3/2}}{3/2}+C=\frac{1}{3}{u}^{3/2}+C$
• Paso 5: Regresar a $x$: $=\frac{1}{3}(1+x^2{)}^{3/2}+C$

Ejemplo 2: Integral Definida con Cambio de Límites

Problema: ${\int }_0^4\frac{x}{\sqrt{1+2x}}dx$

Solución:

• Paso 1: $u=1+2x$, entonces $du=2dx$, $x=\frac{u-1}{2}$
• Paso 2: Cambiar límites:
  • Cuando $x=0$: $u=1+2(0)=1$
  • Cuando $x=4$: $u=1+2(4)=9$
• Paso 3: Sustituir: ${\int }_1^9\frac{(u-1)/2}{\sqrt{u}}\cdot \frac{1}{2}du=\frac{1}{4}{\int }_1^9\frac{u-1}{\sqrt{u}}du$
• Paso 4: Simplificar: $=\frac{1}{4}{\int }_1^9(u^{1/2}-u^{-1/2})du$
• Paso 5: Integrar: $=\frac{1}{4}{\left[\frac{2u^{3/2}}{3}-2u^{1/2}\right]}_1^9=\frac{1}{4}{\left[\frac{2}{3}{u}^{3/2}-2u^{1/2}\right]}_1^9$ $=\frac{1}{4}\left[\left(18-6\right)-\left(\frac{2}{3}-2\right)\right]=\frac{1}{4}\left[12+\frac{4}{3}\right]=\frac{10}{3}$

Propiedad de Simetría

Integrales de Funciones Pares e Impares

Si $f$ es par ($f(-x)=f(x)$): ${\int }_{-a}^{a}f(x)dx=2{\int }_0^{a}f(x)dx$

Si $f$ es impar ($f(-x)=-f(x)$): ${\int }_{-a}^{a}f(x)dx=0$

Ejemplo: Usando Simetría

Problema: ${\int }_{-2}^2(x^4+3x^2+1)dx$

Solución: La función es par, entonces: $=2{\int }_0^2(x^4+3x^2+1)dx=2{\left[\frac{x^5}{5}+x^3+x\right]}_0^2$ $=2\left(\frac{32}{5}+8+2\right)=2\cdot \frac{82}{5}=\frac{164}{5}$

Errores Comunes en Sustitución

Error 1: Olvidar cambiar límites en integrales definidas

• Incorrecto: Sustituir pero mantener límites originales
• Correcto: Cambiar límites: $x=a\to u=g(a)$, $x=b\to u=g(b)$

Error 2: No ajustar completamente el diferencial

• Problema: Si $u=x^2$, $du=2xdx$, no $xdx$
• Correcto: $xdx=\frac{1}{2}du$

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📌 CLASE 34: Integración por Partes

Fórmula Fundamental

Fórmula de Integración por Partes

$\int udv=uv-\int vdu$

O en forma de integral definida: ${\int }_a^{b}udv=[uv{]}_a^b-{\int }_a^{b}vdu$

Regla ILATE para Elegir $u$

Prioridad ILATE

Elige $u$ según este orden de prioridad:

1. I - Funciones Inversas ($\arctan x$, $\arcsin x$, $\ln x$)
2. L - Funciones Logarítmicas ($\ln x$, $\log x$)
3. A - Funciones Algebraicas ($x$, $x^2$, $x^n$)
4. T - Funciones Trigonométricas ($\sin x$, $\cos x$, $\tan x$)
5. E - Funciones Exponenciales ($e^x$, $a^x$)

El resto va en $dv$.

Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: Logaritmo × Polinomio

Problema: $\int x\ln xdx$

Solución:

• Paso 1: Aplicar ILATE
  • $u=\ln x$ (L viene antes que A)
  • $dv=xdx$
• Paso 2: Calcular derivadas/integrales
  • $du=\frac{1}{x}dx$
  • $v=\frac{x^2}{2}$
• Paso 3: Aplicar fórmula $\int x\ln xdx=\ln x\cdot \frac{x^2}{2}-\int \frac{x^2}{2}\cdot \frac{1}{x}dx$ $=\frac{x^2\ln x}{2}-\int \frac{x}{2}dx$ $=\frac{x^2\ln x}{2}-\frac{x^2}{4}+C$

Ejemplo 2: Exponencial × Trigonométrica

Problema: $\int e^x\sin xdx$

Solución (requiere dos aplicaciones):

• Primera aplicación:
  • $u=\sin x$, $dv=e^{x}dx$
  • $du=\cos xdx$, $v=e^x$ $\int e^x\sin xdx=e^x\sin x-\int e^x\cos xdx$
• Segunda aplicación en $\int e^x\cos xdx$:
  • $u=\cos x$, $dv=e^{x}dx$
  • $du=-\sin xdx$, $v=e^x$ $\int e^x\cos xdx=e^x\cos x+\int e^x\sin xdx$
• Paso 3: Sustituir y resolver $\int e^x\sin xdx=e^x\sin x-(e^x\cos x+\int e^x\sin xdx)$ $\int e^x\sin xdx=e^x\sin x-e^x\cos x-\int e^x\sin xdx$ $2\int e^x\sin xdx=e^x(\sin x-\cos x)$ $\int e^x\sin xdx=\frac{e^x(\sin x-\cos x)}{2}+C$

Ejemplo 3: Reducción de Potencias

Problema: $\int x^3{e}^{x}dx$

Solución: Aplicar partes 3 veces

Primera aplicación: $\int x^3{e}^{x}dx=x^3{e}^x-3\int x^2{e}^{x}dx$

Segunda aplicación: $\int x^2{e}^{x}dx=x^2{e}^x-2\int x{e}^{x}dx$

Tercera aplicación: $\int x{e}^{x}dx=x{e}^x-\int e^{x}dx=x{e}^x-e^x$

Combinar: $\int x^3{e}^{x}dx=x^3{e}^x-3[x^2{e}^x-2(x{e}^x-e^x)]+C$ $=e^x(x^3-3x^2+6x-6)+C$

Errores Comunes

Error: Mala elección de u y dv

• Problema: Elegir $u=e^x$ y $dv=xdx$ en $\int x{e}^{x}dx$
• Consecuencia: La integral resultante es más complicada
• Correcto: $u=x$, $dv=e^{x}dx$ (ILATE: A antes que E)

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📌 CLASE 35: Integrales Trigonométricas

Estrategias por Tipo

Casos de Integrales Trigonométricas

1. $\int {\sin }^{m}x{\cos }^{n}xdx$
2. $\int {\tan }^{m}x{\sec }^{n}xdx$
3. Productos de senos y cosenos: $\int \sin (mx)\cos (nx)dx$

Caso 1: Potencias de Seno y Coseno

Estrategia para \int \sin^m x \cos^n x \, dx

Si $n$ es impar:

• Separar un factor $\cos x$
• Usar ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$
• Sustituir $u=\sin x$

Si $m$ es impar:

• Separar un factor $\sin x$
• Usar ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$
• Sustituir $u=\cos x$

Si ambos son pares:

• Usar identidades de ángulo medio:
  • ${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$
  • ${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$

Ejemplo 1: Exponente Impar

Problema: $\int {\sin }^{3}x{\cos }^{2}xdx$

Solución:

• Paso 1: Separar un $\sin x$ $\int {\sin }^{2}x{\cos }^{2}x\sin xdx$
• Paso 2: Usar ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$ $\int (1-{\cos }^{2}x){\cos }^{2}x\sin xdx$
• Paso 3: Sustituir $u=\cos x$, $du=-\sin xdx$ $=-\int (1-u^2)u^{2}du=-\int (u^2-u^4)du$
• Paso 4: Integrar $=-\left(\frac{u^3}{3}-\frac{u^5}{5}\right)+C=-\frac{{\cos }^{3}x}{3}+\frac{{\cos }^{5}x}{5}+C$

Ejemplo 2: Ambos Exponentes Pares

Problema: $\int {\sin }^{2}x{\cos }^{2}xdx$

Solución:

• Paso 1: Usar identidades ${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2},{\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$
• Paso 2: Multiplicar $\int \frac{1-\cos 2x}{2}\cdot \frac{1+\cos 2x}{2}dx=\frac{1}{4}\int (1-{\cos }^{2}2x)dx$
• Paso 3: Simplificar con ${\sin }^{2}2x=1-{\cos }^{2}2x$ $=\frac{1}{4}\int {\sin }^{2}2xdx=\frac{1}{4}\int \frac{1-\cos 4x}{2}dx$
• Paso 4: Integrar $=\frac{1}{8}\left[x-\frac{\sin 4x}{4}\right]+C=\frac{x}{8}-\frac{\sin 4x}{32}+C$

Caso 2: Potencias de Tangente y Secante

Estrategia para \int \tan^m x \sec^n x \, dx

Si $n$ es par:

• Separar ${\sec }^{2}x$
• Usar ${\sec }^{2}x=1+{\tan }^{2}x$
• Sustituir $u=\tan x$

Si $m$ es impar:

• Separar $\sec x\tan x$
• Usar ${\tan }^{2}x={\sec }^{2}x-1$
• Sustituir $u=\sec x$

Casos especiales:

• $\int \tan xdx=\ln |\sec x|+C$
• $\int \sec xdx=\ln |\sec x+\tan x|+C$

Ejemplo 3: Secante Par

Problema: $\int {\tan }^{3}x{\sec }^{4}xdx$

Solución:

• Paso 1: Separar ${\sec }^{2}x$ $\int {\tan }^{3}x{\sec }^{2}x\cdot {\sec }^{2}xdx$
• Paso 2: Usar ${\sec }^{2}x=1+{\tan }^{2}x$ $\int {\tan }^{3}x(1+{\tan }^{2}x){\sec }^{2}xdx$
• Paso 3: Sustituir $u=\tan x$, $du={\sec }^{2}xdx$ $\int u^3(1+u^2)du=\int (u^3+u^5)du$
• Paso 4: Integrar $=\frac{u^4}{4}+\frac{u^6}{6}+C=\frac{{\tan }^{4}x}{4}+\frac{{\tan }^{6}x}{6}+C$

Identidades Clave

Identidades Trigonométricas Esenciales

Pitagóricas:

• ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$
• $1+{\tan }^{2}x={\sec }^{2}x$
• $1+{\cot }^{2}x={\csc }^{2}x$

Ángulo doble:

• $\sin 2x=2\sin x\cos x$
• $\cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x=2{\cos }^{2}x-1=1-2{\sin }^{2}x$

Ángulo medio:

• ${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$
• ${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$

Producto a suma:

• $\sin A\cos B=\frac{1}{2}[\sin (A+B)+\sin (A-B)]$
• $\sin A\sin B=\frac{1}{2}[\cos (A-B)-\cos (A+B)]$
• $\cos A\cos B=\frac{1}{2}[\cos (A-B)+\cos (A+B)]$

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📌 CLASE 36: Sustitución Trigonométrica

Concepto y Aplicación

Cuándo Usar Sustitución Trigonométrica

Cuando la integral contiene expresiones de la forma:

• $\sqrt{a^2-x^2}$ → Usar $x=a\sin \theta$
• $\sqrt{a^2+x^2}$ → Usar $x=a\tan \theta$
• $\sqrt{x^2-a^2}$ → Usar $x=a\sec \theta$

Las Tres Sustituciones Fundamentales

Tabla de Sustituciones

Expresión	Sustitución	Identidad	Resultado
$\sqrt{a^2-x^2}$	$x=a\sin \theta$	${\cos }^2\theta =1-{\sin }^2\theta$	$a\cos \theta$
$\sqrt{a^2+x^2}$	$x=a\tan \theta$	${\sec }^2\theta =1+{\tan }^2\theta$	$a\sec \theta$
$\sqrt{x^2-a^2}$	$x=a\sec \theta$	${\tan }^2\theta ={\sec }^2\theta -1$	$a\tan \theta$

Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: \sqrt{a^2 - x^2}

Problema: $\int \frac{1}{\sqrt{9-x^2}}dx$

Solución:

• Paso 1: Identificar $a^2=9$, entonces $a=3$
• Paso 2: Sustituir $x=3\sin \theta$, $dx=3\cos \theta d\theta$
• Paso 3: Simplificar el radical $\sqrt{9-x^2}=\sqrt{9-9{\sin }^2\theta }=\sqrt{9(1-{\sin }^2\theta )}=3\cos \theta$
• Paso 4: Sustituir $\int \frac{3\cos \theta }{3\cos \theta }d\theta =\int 1d\theta =\theta +C$
• Paso 5: Regresar a $x$
  • De $x=3\sin \theta$: $\sin \theta =\frac{x}{3}$
  • Entonces $\theta =\arcsin \left(\frac{x}{3}\right)$ $=\arcsin \left(\frac{x}{3}\right)+C$

Ejemplo 2: \sqrt{a^2 + x^2}

Problema: $\int \frac{x^2}{\sqrt{4+x^2}}dx$

Solución:

• Paso 1: Identificar $a^2=4$, $a=2$
• Paso 2: Sustituir $x=2\tan \theta$, $dx=2{\sec }^2\theta d\theta$
• Paso 3: Simplificar $\sqrt{4+x^2}=\sqrt{4+4{\tan }^2\theta }=2\sec \theta$ $x^2=4{\tan }^2\theta$
• Paso 4: Sustituir $\int \frac{4{\tan }^2\theta }{2\sec \theta }\cdot 2{\sec }^2\theta d\theta =4\int {\tan }^2\theta \sec \theta d\theta$
• Paso 5: Usar ${\tan }^2\theta ={\sec }^2\theta -1$ $=4\int ({\sec }^2\theta -1)\sec \theta d\theta =4\int ({\sec }^3\theta -\sec \theta )d\theta$
• Paso 6: Integrar (usando fórmulas conocidas) $=4\left[\frac{\sec \theta \tan \theta +\ln |\sec \theta +\tan \theta |}{2}-\ln |\sec \theta +\tan \theta |\right]+C$
• Paso 7: Simplificar y regresar a $x$ usando triángulo rectángulo

Ejemplo 3: \sqrt{x^2 - a^2}

Problema: $\int \frac{\sqrt{x^2-16}}{x}dx$

Solución:

• Paso 1: $a=4$, sustituir $x=4\sec \theta$, $dx=4\sec \theta \tan \theta d\theta$
• Paso 2: Simplificar $\sqrt{x^2-16}=\sqrt{16{\sec }^2\theta -16}=4\tan \theta$
• Paso 3: Sustituir $\int \frac{4\tan \theta }{4\sec \theta }\cdot 4\sec \theta \tan \theta d\theta =4\int {\tan }^2\theta d\theta$
• Paso 4: Usar ${\tan }^2\theta ={\sec }^2\theta -1$ $=4\int ({\sec }^2\theta -1)d\theta =4(\tan \theta -\theta )+C$
• Paso 5: Regresar a $x$ $=4\left(\frac{\sqrt{x^2-16}}{4}-\arctan \left(\frac{\sqrt{x^2-16}}{4}\right)\right)+C$

Completación de Cuadrados

Cuando ax^2 + bx + c No es Perfecto

Completar el cuadrado: $a{x}^2+bx+c=a\left[{\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2+\frac{4ac-b^2}{4a^2}\right]$

Luego usar sustitución $u=x+\frac{b}{2a}$ y aplicar sustitución trigonométrica.

Ejemplo: Completación + Sustitución

Problema: $\int \frac{1}{\sqrt{x^2+4x+13}}dx$

Solución:

• Paso 1: Completar cuadrado $x^2+4x+13=(x+2{)}^2+9$
• Paso 2: Sustituir $u=x+2$, $du=dx$ $\int \frac{1}{\sqrt{u^2+9}}du$
• Paso 3: Usar sustitución trigonométrica $u=3\tan \theta$ $=\ln |u+\sqrt{u^2+9}|+C$
• Paso 4: Regresar a $x$ $=\ln |(x+2)+\sqrt{x^2+4x+13}|+C$

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📌 CLASES 37-38: Fracciones Parciales

Concepto Fundamental

Método de Fracciones Parciales

Para integrar una función racional $\frac{P(x)}{Q(x)}$:

1. Si grado$(P)\ge$ grado$(Q)$: hacer división larga primero
2. Factorizar $Q(x)$ completamente
3. Descomponer en fracciones parciales según el caso
4. Integrar término por término

Los Cuatro Casos

Casos de Fracciones Parciales

Caso I: $Q(x)$ es producto de factores lineales distintos $\frac{P(x)}{(a_{1}x+b_1)(a_{2}x+b_2)\cdots (a_{k}x+b_k)}=\frac{A_1}{a_{1}x+b_1}+\frac{A_2}{a_{2}x+b_2}+\cdots +\frac{A_k}{a_{k}x+b_k}$

Caso II: $Q(x)$ tiene factores lineales repetidos $(a_{1}x+b_1{)}^r⟹\frac{A_1}{a_{1}x+b_1}+\frac{A_2}{(a_{1}x+b_1{)}^2}+\cdots +\frac{A_r}{(a_{1}x+b_1{)}^r}$

Caso III: $Q(x)$ tiene factores cuadráticos irreducibles $a{x}^2+bx+c⟹\frac{Ax+B}{a{x}^2+bx+c}$

Caso IV: Factores cuadráticos repetidos (NO se cubre en el curso)

Caso I: Factores Lineales Distintos

Ejemplo Caso I

Problema: $\int \frac{x^2+2x-1}{2x^3+3x^2-2x}dx$

Solución:

• Paso 1: Factorizar denominador $2x^3+3x^2-2x=x(2x^2+3x-2)=x(2x-1)(x+2)$

• Paso 2: Plantear descomposición $\frac{x^2+2x-1}{x(2x-1)(x+2)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{2x-1}+\frac{C}{x+2}$

• Paso 3: Determinar coeficientes (multiplicar por denominador) $x^2+2x-1=A(2x-1)(x+2)+Bx(x+2)+Cx(2x-1)$

• Método de sustitución:

  • $x=0$: $-1=A(-1)(2)\Rightarrow A=\frac{1}{2}$
  • $x=\frac{1}{2}$: $\frac{1}{4}+1-1=B\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{5}{2}\Rightarrow B=\frac{1}{5}$
  • $x=-2$: $4-4-1=C(-2)(-5)\Rightarrow C=-\frac{1}{10}$

• Paso 4: Integrar $\int \left(\frac{1/2}{x}+\frac{1/5}{2x-1}-\frac{1/10}{x+2}\right)dx$ $=\frac{1}{2}\ln |x|+\frac{1}{10}\ln |2x-1|-\frac{1}{10}\ln |x+2|+C$

Caso II: Factores Lineales Repetidos

Ejemplo Caso II (Ejemplo 4 del libro)

Problema: $\int \frac{x^4-2x^2+4x+1}{x^3-x^2-x+1}dx$

Solución:

• Paso 1: División larga (grado numerador > denominador) $\frac{x^4-2x^2+4x+1}{x^3-x^2-x+1}=x+1+\frac{4x}{x^3-x^2-x+1}$

• Paso 2: Factorizar $x^3-x^2-x+1=(x-1{)}^2(x+1)$

• Paso 3: Descomponer (nota el factor repetido) $\frac{4x}{(x-1{)}^2(x+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1{)}^2}+\frac{C}{x+1}$

• Paso 4: Resolver para coeficientes $4x=A(x-1)(x+1)+B(x+1)+C(x-1{)}^2$

  • $x=1$: $4=2B\Rightarrow B=2$
  • $x=-1$: $-4=4C\Rightarrow C=-1$
  • $x=0$: $0=-A+B+C\Rightarrow A=1$

• Paso 5: Integrar $\int \left(x+1+\frac{1}{x-1}+\frac{2}{(x-1{)}^2}-\frac{1}{x+1}\right)dx$ $=\frac{x^2}{2}+x+\ln |x-1|-\frac{2}{x-1}-\ln |x+1|+C$

Integración de (ax + b)^{-n}

$\int \frac{1}{(ax+b{)}^n}dx=\frac{-1}{(n-1)a(ax+b{)}^{n-1}}+C(n\ne 1)$

Caso III: Factores Cuadráticos Irreducibles

Identificar Cuadrática Irreducible

$a{x}^2+bx+c$ es irreducible si $b^2-4ac<0$ (no tiene raíces reales).

En la descomposición, usar: $\frac{Ax+B}{a{x}^2+bx+c}$

IMPORTANTE: El numerador es lineal ($Ax+B$), NO una constante.

Ejemplo Caso III (Ejemplo 5 del libro)

Problema: $\int \frac{2x^2-x+4}{x^3+4x}dx$

Solución:

• Paso 1: Factorizar $x^3+4x=x(x^2+4)$

• Paso 2: Verificar que $x^2+4$ es irreducible (discriminante $=-16<0$)

• Paso 3: Descomponer $\frac{2x^2-x+4}{x(x^2+4)}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2+4}$

• Paso 4: Determinar coeficientes $2x^2-x+4=A(x^2+4)+(Bx+C)x$

  • $x=0$: $4=4A\Rightarrow A=1$
  • Coeficiente de $x^2$: $2=A+B\Rightarrow B=1$
  • Coeficiente de $x$: $-1=C\Rightarrow C=-1$

• Paso 5: Separar e integrar $\int \left(\frac{1}{x}+\frac{x-1}{x^2+4}\right)dx$ $=\int \frac{1}{x}dx+\int \frac{x}{x^2+4}dx-\int \frac{1}{x^2+4}dx$ $=\ln |x|+\frac{1}{2}\ln (x^2+4)-\frac{1}{2}\arctan \left(\frac{x}{2}\right)+C$

Fórmulas para Caso III

Logaritmo: $\int \frac{2x}{x^2+a^2}dx=\ln (x^2+a^2)+C$

Arctangente: $\int \frac{1}{x^2+a^2}dx=\frac{1}{a}\arctan \left(\frac{x}{a}\right)+C$

Estrategia General para Fracciones Parciales

Procedimiento Completo

1. Verificar si es propia: grado$(P)<$ grado$(Q)$
   • Si no: hacer división larga
2. Factorizar $Q(x)$ completamente
3. Identificar el caso:
   • Factores lineales distintos → Caso I
   • Factores lineales repetidos → Caso II
   • Factores cuadráticos irreducibles → Caso III
   • Combinación de los anteriores
4. Plantear la descomposición según el caso
5. Determinar coeficientes:
   • Método de sustitución (valores convenientes)
   • Igualar coeficientes
   • Combinación de ambos
6. Integrar término por término
7. Verificar derivando el resultado

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📌 CLASE 39: Estrategias para la Integración

Estrategia General en Cuatro Pasos

Procedimiento Universal

Paso 1: Simplifique el integrando si es posible

• Álgebra: división larga, factorización
• Identidades trigonométricas
• Racionalización

Paso 2: Busque una sustitución obvia

• ¿Aparece $f(x)$ y $f^{\prime }(x)$?
• ¿Es composición simple?

Paso 3: Clasifique según la forma

• Ver tabla de clasificación

Paso 4: Intente una vez más

• Manipule algebraicamente
• Combine técnicas
• Use simetría

Tabla de Clasificación

Guía de Técnicas por Forma

Forma del Integrando	Técnica Sugerida	Sección
${\sin }^{m}x{\cos }^{n}x$	Estrategias trigonométricas	7.2
${\tan }^{m}x{\sec }^{n}x$	Estrategias trigonométricas	7.2
$\frac{P(x)}{Q(x)}$ (racional)	Fracciones parciales	7.4
$\sqrt{a^2-x^2}$, $\sqrt{a^2+x^2}$, $\sqrt{x^2-a^2}$	Sustitución trigonométrica	7.3
Productos de tipos diferentes	Integración por partes (ILATE)	7.1
$f(g(x))g^{\prime }(x)$	Sustitución simple	5.5
$\sqrt[n]{ax+b}$	Racionalización	7.5

Ejemplos de Estrategia

Ejemplo 1: Simplificar Primero

Problema: $\int \frac{x+4}{x-1}dx$

Método 1 (sustitución): Funciona pero es largo

Método 2 (división larga): ¡Trivial! $\frac{x+4}{x-1}=1+\frac{5}{x-1}$ $\int \left(1+\frac{5}{x-1}\right)dx=x+5\ln |x-1|+C$

Ejemplo 2: Combinación de Técnicas

Problema: $\int \frac{\sqrt{x+4}}{x}dx$

Solución:

• Paso 1: Racionalizar con $u=\sqrt{x+4}$
  • Entonces $x=u^2-4$, $dx=2udu$
• Paso 2: Sustituir $\int \frac{u}{u^2-4}\cdot 2udu=2\int \frac{u^2}{u^2-4}du$
• Paso 3: División larga $\frac{u^2}{u^2-4}=1+\frac{4}{u^2-4}$
• Paso 4: Fracciones parciales en $\frac{4}{u^2-4}$ $\frac{4}{u^2-4}=\frac{1}{u-2}-\frac{1}{u+2}$
• Paso 5: Integrar y regresar a $x$ $=2\sqrt{x+4}+2\ln \left|\frac{\sqrt{x+4}-2}{\sqrt{x+4}+2}\right|+C$

Diagrama de Flujo Mental

¿Es producto de tipos diferentes?
  → SÍ: Integración por partes (ILATE)
  
¿Es función racional P(x)/Q(x)?
  → SÍ: División (si impropia) + Fracciones parciales
  
¿Tiene radicales √(a²±x²) o √(x²-a²)?
  → SÍ: Sustitución trigonométrica
  
¿Es trigonométrica con potencias?
  → SÍ: Estrategias Sección 7.2
  
¿Es de la forma f(g(x))·g'(x)?
  → SÍ: Sustitución simple u = g(x)
  
¿Nada funciona?
  → Simplificar y reintentar

Funciones No Elementales

Integrales Sin Forma Cerrada

Algunas funciones continuas no tienen antiderivada elemental:

• $\int e^{x^2}dx$ (función error de Gauss)
• $\int \frac{e^x}{x}dx$ (integral exponencial)
• $\int \frac{\sin x}{x}dx$ (seno integral)
• $\int \cos (x^2)dx$ (integral de Fresnel)
• $\int \frac{1}{\ln x}dx$ (logaritmo integral)
• $\int \sqrt{x^3+1}dx$

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PARTE III: APLICACIONES (Clases 40-42)

SECCIÓN CRÍTICA

Estas aplicaciones combinan todo lo aprendido en técnicas de integración. Son problemas conceptuales y computacionales.

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📌 CLASE 40: Área entre Curvas

Fórmulas Fundamentales

Área entre Curvas (Respecto a x)

Si $f(x)\ge g(x)$ para $a\le x\le b$: $A={\int }_a^b[f(x)-g(x)]dx$

Área entre Curvas (Respecto a y)

Si $f(y)\ge g(y)$ para $c\le y\le d$: $A={\int }_c^d[f(y)-g(y)]dy$

Estrategia Paso a Paso

Procedimiento

1. Graficar la región (aunque sea aproximadamente)
2. Decidir si integrar respecto a $x$ o $y$
3. Encontrar puntos de intersección (límites de integración)
4. Determinar cuál curva está arriba/derecha
5. Plantear la integral
6. Evaluar usando técnicas aprendidas
7. Verificar que el resultado sea positivo y razonable

Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: Área Simple

Problema: Área entre $y=e^x$ y $y=x$ desde $x=0$ hasta $x=1$

Solución:

• Identificar: $f(x)=e^x\ge g(x)=x$ en $[0,1]$
• Integrar: $A={\int }_0^1(e^x-x)dx=[e^x-\frac{x^2}{2}{]}_0^1=(e-\frac{1}{2})-(1-0)=e-\frac{3}{2}$

Ejemplo 2: Con Puntos de Intersección

Problema: Área entre $y=x^2$ y $y=2x-x^2$

Solución:

• Paso 1: Encontrar intersecciones $x^2=2x-x^2\Rightarrow 2x^2-2x=0\Rightarrow x=0\text{ o }x=1$
• Paso 2: Determinar cuál está arriba
  • En $x=0.5$: $(2x-x^2)=0.75>x^2=0.25$ ✓
• Paso 3: Integrar $A={\int }_0^1[(2x-x^2)-x^2]dx={\int }_0^1(2x-2x^2)dx$ $=[x^2-\frac{2x^3}{3}{]}_0^1=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$

Ejemplo 3: Integrar Respecto a y

Problema: Área entre $y=x-1$ y $y^2=2x+6$

Solución:

• Paso 1: Expresar en términos de $y$
  • Recta: $x=y+1$ (derecha)
  • Parábola: $x=\frac{y^2-6}{2}$ (izquierda)
• Paso 2: Intersecciones $y+1=\frac{y^2-6}{2}\Rightarrow y^2-2y-8=0\Rightarrow y=-2\text{ o }4$
• Paso 3: Integrar $A={\int }_{-2}^4\left[(y+1)-\frac{y^2-6}{2}\right]dy$ $={\int }_{-2}^4\left[-\frac{y^2}{2}+y+4\right]dy$ $={\left[-\frac{y^3}{6}+\frac{y^2}{2}+4y\right]}_{-2}^4=18$

Decisión: ¿$x$ o $y$?

Cuándo Integrar Respecto a y

Preferir $y$ cuando:

• Las curvas son más naturales como $x=g(y)$
• Integrar respecto a $x$ requeriría múltiples integrales
• Los límites verticales son complicados

Ejemplo: Para región entre $x=y^2$ y $x=4$, es más fácil: $A={\int }_{-2}^2(4-y^2)dy$ que dividir en dos partes respecto a $x$.

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📌 CLASE 41: Volúmenes por Secciones Transversales

Concepto Fundamental

Definición de Volumen

Sea $S$ un sólido entre $x=a$ y $x=b$. Si el área de la sección transversal en $x$ es $A(x)$: $V={\int }_a^{b}A(x)dx$

Método del Disco

Sólidos de Revolución - Método del Disco

Si la región bajo $y=f(x)$ gira alrededor del eje $x$: $V={\int }_a^b\pi [f(x){]}^{2}dx$

Si gira alrededor del eje $y$ (con $x=g(y)$): $V={\int }_c^d\pi [g(y){]}^{2}dy$

Formas Comunes de Secciones

Áreas de Secciones Transversales

Forma	Área
Disco (círculo)	$A=\pi r^2$
Semicírculo	$A=\frac{\pi r^2}{2}$
Cuadrado de lado $s$	$A=s^2$
Triángulo equilátero de lado $s$	$A=\frac{\sqrt{3}}{4}{s}^2$
Triángulo rectángulo	$A=\frac{1}{2}bh$

Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: Volumen de Esfera

Problema: Demostrar que $V=\frac{4}{3}\pi r^3$

Solución:

• Paso 1: Esfera de radio $r$ centrada en el origen
• Paso 2: Sección en $x$: círculo de radio $y=\sqrt{r^2-x^2}$
• Paso 3: Área: $A(x)=\pi y^2=\pi (r^2-x^2)$
• Paso 4: Integrar (función par) $V={\int }_{-r}^r\pi (r^2-x^2)dx=2\pi {\int }_0^r(r^2-x^2)dx$ $=2\pi {\left[r^{2}x-\frac{x^3}{3}\right]}_0^r=2\pi \left(r^3-\frac{r^3}{3}\right)=\frac{4\pi r^3}{3}$

Ejemplo 2: Base Circular, Secciones Semicirculares

Problema: Base es $x^2+y^2\le 1$. Secciones perpendiculares al eje $x$ son semicírculos.

Solución:

• Paso 1: En $x$, el diámetro va de $(x,-\sqrt{1-x^2})$ a $(x,\sqrt{1-x^2})$
• Paso 2: Diámetro = $2\sqrt{1-x^2}$, radio = $\sqrt{1-x^2}$
• Paso 3: Área del semicírculo: $A(x)=\frac{\pi }{2}(\sqrt{1-x^2}{)}^2=\frac{\pi }{2}(1-x^2)$
• Paso 4: Integrar $V={\int }_{-1}^1\frac{\pi }{2}(1-x^2)dx=\pi {\int }_0^1(1-x^2)dx$ $=\pi {\left[x-\frac{x^3}{3}\right]}_0^1=\frac{2\pi }{3}$

Ejemplo 3: Pirámide

Problema: Base cuadrada de lado $L$, altura $h$

Solución:

• Paso 1: Vértice en origen, eje a lo largo de eje central
• Paso 2: A distancia $x$, sección es cuadrado de lado $s$
• Paso 3: Por triángulos semejantes: $\frac{s}{L}=\frac{x}{h}$, entonces $s=\frac{Lx}{h}$
• Paso 4: Área: $A(x)=s^2=\frac{L^2{x}^2}{h^2}$
• Paso 5: Integrar $V={\int }_0^h\frac{L^2{x}^2}{h^2}dx=\frac{L^2}{h^2}\cdot \frac{h^3}{3}=\frac{L^{2}h}{3}$

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📌 CLASE 42: Volúmenes por Cascarones Cilíndricos

Fórmula del Cascarón

Volumen de Cascarón Cilíndrico

Un cascarón de radio promedio $r$, altura $h$ y espesor $\Delta r$: $V=2\pi rh\Delta r$

Recordar como: [circunferencia][altura][espesor]

Fórmula Integral

Método del Cascarón (Revolución alrededor del eje y)

Si la región bajo $y=f(x)$ desde $x=a$ hasta $x=b$ gira alrededor del eje $y$: $V={\int }_a^{b}2\pi xf(x)dx$

Componentes:

• $2\pi x$ = circunferencia
• $f(x)$ = altura
• $dx$ = espesor

Estrategia de Aplicación

Cuándo Usar Cascarones

Preferir cascarones cuando:

• Se gira alrededor de eje perpendicular a la variable natural
• Expresar en la otra variable sería complicado
• El método del disco requeriría resolver ecuaciones difíciles

Ejemplo: Para $y=2x^2-x^3$ girando alrededor del eje $y$:

• Cascarones: trivial
• Discos: requiere resolver cúbica para $x(y)$

Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1: Caso Estándar

Problema: $y=2x^2-x^3$, $y=0$, gira alrededor del eje $y$

Solución:

• Paso 1: Cascarón tiene radio $x$, altura $2x^2-x^3$
• Paso 2: Límites: $x=0$ hasta $x=2$
• Paso 3: Integrar $V={\int }_0^{2}2\pi x(2x^2-x^3)dx=2\pi {\int }_0^2(2x^3-x^4)dx$ $=2\pi {\left[\frac{x^4}{2}-\frac{x^5}{5}\right]}_0^2=2\pi \left(8-\frac{32}{5}\right)=\frac{16\pi }{5}$

Ejemplo 2: Revolución alrededor de x = k

Problema: $y=x-x^2$, $y=0$, gira alrededor de $x=2$

Solución:

• Paso 1: Radio del cascarón = $2-x$
• Paso 2: Altura = $x-x^2$
• Paso 3: Límites: $x=0$ hasta $x=1$
• Paso 4: Integrar $V={\int }_0^{1}2\pi (2-x)(x-x^2)dx$ $=2\pi {\int }_0^1(2x-2x^2-x^2+x^3)dx$ $=2\pi {\int }_0^1(2x-3x^2+x^3)dx$ $=2\pi {\left[x^2-x^3+\frac{x^4}{4}\right]}_0^1=2\pi \cdot \frac{1}{4}=\frac{\pi }{2}$

Comparación de Métodos

Tabla Comparativa: Discos vs. Cascarones

Problema	Mejor Método	Por qué
$y=x^2$ alrededor de eje $x$	Discos	Natural con $x$
$y=x^2$ alrededor de eje $y$	Cascarones	Evita resolver $x=\sqrt{y}$
$x=y^2$ alrededor de eje $y$	Discos	Natural con $y$
$x=y^2$ alrededor de eje $x$	Cascarones	Evita complicaciones
Entre dos curvas, eje entre ellas	Arandelas	Método natural
Entre dos curvas, eje fuera	Cascarones	Más simple

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PARTE IV: FORMULARIO COMPLETO

Antiderivadas Básicas

$$\begin{array}{rl}\int kdx& =kx+C\\ \int x^{n}dx& =\frac{x^{n+1}}{n+1}+C(n\ne -1)\\ \int \frac{1}{x}dx& =\ln |x|+C\\ \int e^{x}dx& =e^x+C\\ \int a^{x}dx& =\frac{a^x}{\ln a}+C\\ \int \sin xdx& =-\cos x+C\\ \int \cos xdx& =\sin x+C\\ \int {\sec }^{2}xdx& =\tan x+C\\ \int {\csc }^{2}xdx& =-\cot x+C\\ \int \sec x\tan xdx& =\sec x+C\\ \int \csc x\cot xdx& =-\csc x+C\\ \int \tan xdx& =\ln |\sec x|+C=-\ln |\cos x|+C\\ \int \cot xdx& =\ln |\sin x|+C\\ \int \sec xdx& =\ln |\sec x+\tan x|+C\\ \int \csc xdx& =-\ln |\csc x+\cot x|+C\\ \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx& =\arcsin x+C\\ \int \frac{1}{1+x^2}dx& =\arctan x+C\\ \int \frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}dx& =\text{arcsec}x+C\end{array}$$

Técnicas de Integración

Sustitución

$\int f(g(x))g^{\prime }(x)dx=\int f(u)du(u=g(x))$

Integración por Partes

$\int udv=uv-\int vdu$

Sustitución Trigonométrica

Expresión	Sustitución	Identidad
$\sqrt{a^2-x^2}$	$x=a\sin \theta$	$1-{\sin }^2\theta ={\cos }^2\theta$
$\sqrt{a^2+x^2}$	$x=a\tan \theta$	$1+{\tan }^2\theta ={\sec }^2\theta$
$\sqrt{x^2-a^2}$	$x=a\sec \theta$	${\sec }^2\theta -1={\tan }^2\theta$

Identidades Trigonométricas

Pitagóricas

$$\begin{array}{rl}{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x& =1\\ 1+{\tan }^{2}x& ={\sec }^{2}x\\ 1+{\cot }^{2}x& ={\csc }^{2}x\end{array}$$

Ángulo Doble

$$\begin{array}{rl}\sin 2x& =2\sin x\cos x\\ \cos 2x& ={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x=2{\cos }^{2}x-1=1-2{\sin }^{2}x\end{array}$$

Ángulo Medio

$$\begin{array}{rl}{\sin }^{2}x& =\frac{1-\cos 2x}{2}\\ {\cos }^{2}x& =\frac{1+\cos 2x}{2}\end{array}$$

Aplicaciones

Área entre Curvas

$A={\int }_a^b[f(x)-g(x)]dx(f\ge g)$

Volumen por Secciones

$V={\int }_a^{b}A(x)dx$

Volumen por Discos

$V={\int }_a^b\pi [f(x){]}^{2}dx$

Volumen por Cascarones

$V={\int }_a^{b}2\pi xf(x)dx$

---

PARTE V: ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN EN EL EXAMEN

Diagrama de Decisión General

┌─────────────────────────────────────┐
│   ¿Qué tipo de problema es?         │
└─────────────────────────────────────┘
                 │
      ┌──────────┴──────────┐
      │                      │
   INTEGRAL            APLICACIÓN
      │                      │
      ▼                      ▼
┌──────────┐          ┌──────────┐
│ Ver tabla │          │ ¿Área o  │
│ técnicas  │          │ Volumen? │
└──────────┘          └──────────┘

Estrategia para Elegir Técnica de Integración

Árbol de Decisión

1. ¿Es suma/resta de funciones simples? → Separar e integrar término por término

2. ¿Aparece $f(x)$ y $f^{\prime }(x)$? → Sustitución $u=f(x)$

3. ¿Es producto de tipos diferentes? → Integración por partes (ILATE)

4. ¿Es función racional? → Fracciones parciales

5. ¿Tiene $\sqrt{a^2\pm x^2}$ o $\sqrt{x^2-a^2}$? → Sustitución trigonométrica

6. ¿Es trigonométrica con potencias? → Estrategias específicas (Clase 35)

7. ¿Nada funciona? → Simplificar algebraicamente y reintentar

Checklist Pre-Examen

Verificar Antes del Examen

Técnicas de Integración:

• Domino la regla de sustitución (cambio de variable)
• Sé cuándo aplicar simetría (funciones pares/impares)
• Puedo aplicar integración por partes (ILATE)
• Conozco estrategias para integrales trigonométricas
• Domino las tres sustituciones trigonométricas
• Puedo descomponer en fracciones parciales (Casos I, II, III)
• Sé combinar múltiples técnicas

Aplicaciones:

• Calculo área entre curvas (respecto a $x$ y $y$)
• Encuentro puntos de intersección correctamente
• Determino volúmenes por secciones transversales
• Aplico el método del disco/arandela
• Uso cascarones cilíndricos efectivamente
• Sé cuándo usar cada método de volumen

Habilidades Generales:

• Grafico regiones rápidamente
• Identifico límites de integración
• Verifico respuestas (derivando, estimando magnitud)
• Manejo álgebra y trigonometría con soltura

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PARTE VI: ERRORES COMUNES CONSOLIDADOS

Errores en Sustitución

Error 1: Olvidar cambiar límites

• Problema: En integral definida, sustituir pero mantener límites originales
• Correcto: Si $u=g(x)$, cambiar $[a,b]\to [g(a),g(b)]$

Error 2: Ajuste incompleto del diferencial

• Incorrecto: Si $u=x^2$, escribir $du=xdx$
• Correcto: $du=2xdx$, entonces $xdx=\frac{1}{2}du$

Errores en Integración por Partes

Error 3: Mala elección de u y dv

• Problema: No seguir ILATE
• Ejemplo: En $\int x{e}^{x}dx$, elegir $u=e^x$ complica
• Correcto: $u=x$, $dv=e^{x}dx$ (A antes que E)

Error 4: Olvidar el signo en \int v \, du

• Recordar: La fórmula es $uv-\int vdu$ (con resta)

Errores en Integrales Trigonométricas

Error 5: Identidades incorrectas

• Incorrecto: ${\sin }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$
• Correcto: ${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$
• Correcto: ${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$

Error 6: No separar el factor correcto

• Problema: En $\int {\sin }^{3}xdx$, no dejar un $\sin x$ para $du$
• Correcto: $\int {\sin }^{2}x\sin xdx=\int (1-{\cos }^{2}x)\sin xdx$

Errores en Sustitución Trigonométrica

Error 7: Sustitución incorrecta

• Para $\sqrt{a^2-x^2}$: Usar $x=a\sin \theta$, NO $x=a\cos \theta$
• Para $\sqrt{a^2+x^2}$: Usar $x=a\tan \theta$, NO $x=a\sin \theta$

Error 8: Olvidar regresar a x

• Problema: Dejar la respuesta en términos de $\theta$
• Solución: Usar triángulo rectángulo o identidades inversas

Errores en Fracciones Parciales

Error 9: Forma incorrecta para cuadrática irreducible

• Incorrecto: $\frac{A}{a{x}^2+bx+c}$ (solo constante)
• Correcto: $\frac{Ax+B}{a{x}^2+bx+c}$ (lineal en numerador)

Error 10: No incluir todos los términos en factor repetido

• Incorrecto: Para $(x-1{)}^3$ usar solo $\frac{A}{(x-1{)}^3}$
• Correcto: $\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1{)}^2}+\frac{C}{(x-1{)}^3}$

Errores en Aplicaciones

Error 11: No determinar cuál curva está arriba

• Problema: Asumir sin verificar
• Solución: Evaluar en punto de prueba o graficar

Error 12: Radio incorrecto en cascarones

• Problema: Al girar alrededor de $x=2$, usar radio $=x$
• Correcto: Radio $=|2-x|$ o $|x-2|$ según geometría

Error 13: Confundir área de sección con volumen

• Recordar: $V=\int A(x)dx$, no solo $A(x)$

Error 14: Olvidar el factor \pi en discos

• Incorrecto: $V=\int [f(x){]}^{2}dx$
• Correcto: $V=\int \pi [f(x){]}^{2}dx$

Error 15: Olvidar el factor 2\pi en cascarones

• Recordar: Circunferencia $=2\pi r$, no $\pi r$

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🎯 Consejos Finales para el Examen

Durante el Examen

1. Lee cada problema completamente antes de empezar
2. Grafica cuando sea posible (especialmente en aplicaciones)
3. Identifica la técnica antes de calcular
4. Verifica tu trabajo:
   • ¿Derivando recupero el integrando?
   • ¿El área/volumen es positivo?
   • ¿La magnitud es razonable?
5. Administra tu tiempo: No te quedes atascado en un problema
6. Muestra tu trabajo: Puede haber puntos parciales
7. Revisa constantes: $\pi$, $2\pi$, signos, límites
8. Simplificum antes de integrar cuando sea posible
9. No entres en pánico: Si una técnica no funciona, intenta otra
10. Confía en tu preparación: Has estudiado todo esto

Reflexión Final

Este examen evalúa tu capacidad para:

• Reconocer patrones en integrales
• Elegir estrategias apropiadas
• Ejecutar técnicas correctamente
• Aplicar conceptos a problemas geométricos
• Combinar conocimientos de todo el curso

No se trata solo de memorizar fórmulas, sino de entender cuándo y cómo aplicar cada herramienta. ¡Confía en tu práctica y razonamiento!

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📊 Resumen de Prioridades

Tema	Nivel de Importancia	Tiempo de Estudio Sugerido
Integración por Partes	⭐⭐⭐⭐⭐	20%
Fracciones Parciales	⭐⭐⭐⭐⭐	20%
Sustitución Trigonométrica	⭐⭐⭐⭐	15%
Integrales Trigonométricas	⭐⭐⭐⭐	15%
Área entre Curvas	⭐⭐⭐⭐	10%
Volúmenes (ambos métodos)	⭐⭐⭐⭐	15%
Sustitución Simple	⭐⭐⭐	5%

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