3) Espacios Equiprobables y Técnicas de Conteo

Clase 3: Espacios Equiprobables y Técnicas de Conteo

📚 Introducción

Esta clase introduce las técnicas de conteo, herramientas fundamentales para calcular probabilidades en experimentos con resultados igualmente probables. Estudiaremos el principio multiplicativo, permutaciones y combinaciones, que nos permitirán resolver problemas complejos de probabilidad de manera sistemática.

Objetivos de la Clase

• Comprender el modelo de espacios muestrales equiprobables
• Aplicar el principio multiplicativo para contar resultados
• Calcular permutaciones (con y sin repetición)
• Calcular combinaciones
• Resolver problemas de probabilidad usando técnicas de conteo

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1. Espacios Muestrales Equiprobables

1.1 Definición Clásica de Probabilidad

Definición - Espacio Equiprobable

Consideremos un espacio muestral $\Omega$ compuesto por $n$ elementos ${\omega }_1,{\omega }_2,\dots ,{\omega }_n$.

Sea $\mathbb{P}$ una medida de probabilidad tal que todos los resultados elementales son igualmente probables: $\mathbb{P}(\{{\omega }_1\})=\mathbb{P}(\{{\omega }_2\})=\cdots =\mathbb{P}(\{{\omega }_n\})=\frac{1}{n}$

Decimos que $\Omega$ es un espacio equiprobable.

1.2 Probabilidad de un Evento en el Caso Equiprobable

Teorema - Probabilidad en Espacios Equiprobables

Si $\Omega$ es un espacio equiprobable con $n$ elementos, y $A=\{{\omega }_{i_1},{\omega }_{i_2},\dots ,{\omega }_{i_k}\}$ es un evento con $k$ elementos, entonces:

$\mathbb{P}(A)=\frac{k}{n}=\frac{|A|}{|\Omega |}=\frac{\text{casos favorables}}{\text{casos totales}}$

Definición Clásica de Probabilidad

Esta fórmula se conoce como la definición clásica de probabilidad (Laplace, siglo XVIII):

“La probabilidad de un evento es la razón entre el número de casos favorables y el número de casos totales posibles.”

1.3 Limitaciones del Modelo Equiprobable

Limitación Importante

Este modelo solo es aplicable cuando:

1. El espacio muestral es finito
2. Todos los resultados son igualmente probables

La violación de estas condiciones impide su aplicación general, pero sigue siendo muy útil en muchos contextos prácticos.

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2. Ejemplos de Espacios Equiprobables

2.1 Ejemplo 1: Dado Equilibrado

Ejercicio 1: Número Impar

Problema: Obtenga la probabilidad de obtener un número impar al lanzar un dado equilibrado de 6 caras una vez.

Solución:

• Espacio muestral: $\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}$, con $|\Omega |=6$
• Evento de interés: $A=\{1,3,5\}$ (números impares), con $|A|=3$
• Probabilidad: $\mathbb{P}(A)=\frac{|A|}{|\Omega |}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$

2.2 Ejemplo 2: Suma de Dos Dados

Ejercicio 2: Suma \geq 8

Problema: Obtenga la probabilidad de que al lanzar un dado equilibrado de 6 caras dos veces consecutivas, la suma de los resultados obtenidos sea no menor que 8.

Solución:

• Espacio muestral: $\Omega =\{(i,j):i,j\in \{1,2,3,4,5,6\}\}$
• Tamaño: $|\Omega |=6\times 6=36$
• Evento: $A=\{(i,j):i+j\ge 8\}$

Enumeración de casos favorables:

Suma	Pares $(i,j)$	Cantidad
8	$(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)$	5
9	$(3,6),(4,5),(5,4),(6,3)$	4
10	$(4,6),(5,5),(6,4)$	3
11	$(5,6),(6,5)$	2
12	$(6,6)$	1

• Total casos favorables: $|A|=5+4+3+2+1=15$
• Probabilidad: $\mathbb{P}(A)=\frac{15}{36}=\frac{5}{12}$

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3. Principio Multiplicativo

3.1 Motivación

Ejemplo Introductorio: Comité Curricular

Situación: Por reglamento, el Comité Curricular debe contar con la participación de dos alumnos delegados: uno de la Licenciatura en Matemática y otro de la Licenciatura en Estadística.

Datos:

• 38 alumnos en Licenciatura en Matemática
• 50 alumnos en Licenciatura en Estadística

Pregunta: ¿Cuántas son las posibles parejas de alumnos delegados?

Respuesta intuitiva: Para cada alumno de Matemática (38 opciones), podemos elegir cualquiera de Estadística (50 opciones): $38\times 50=1900\text{ parejas posibles}$

3.2 Enunciado del Principio

Principio Multiplicativo

Sea $\Omega$ el espacio muestral asociado a un experimento que puede ser considerado como la realización de $k$ sub-experimentos sucesivos.

Si cada sub-experimento tiene $n_i$ resultados posibles ($i=1,2,\dots ,k$), entonces el número de elementos en $\Omega$ es: $|\Omega |={\prod }_{i=1}^k{n}_i=n_1\times n_2\times \cdots \times n_k$

3.3 Condición Importante

Requisito para Aplicar el Principio

Este resultado requiere que el número de resultados de cada sub-experimento se mantenga constante, independientemente de los resultados de los sub-experimentos restantes.

3.4 Aplicación a Subconjuntos

Nota sobre Subconjuntos

Este principio también puede aplicarse para contar los elementos de subconjuntos $A\subseteq \Omega$, no solo para contar $|\Omega |$.

3.5 Ejemplo de Aplicación

Ejercicio 3: Delegados Específicos

Situación: Si se sabe que el delegado de Matemáticas ya ha sido elegido, y que este ha sido Andrea o Felipe, ¿cuántas parejas de alumnos delegados son ahora posibles?

Solución:

• Sub-experimento 1 (Delegado de Matemáticas): 2 opciones {Andrea, Felipe}
• Sub-experimento 2 (Delegado de Estadística): 50 opciones
• Total de parejas posibles: $2\times 50=100$

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4. Permutaciones

4.1 Motivación

Ejemplo Introductorio: Fotografía de Ganadores

Situación: 5 estudiantes de las Licenciaturas han obtenido un premio en un concurso de poesía. Se tomará una fotografía para el diario Visión Universitaria.

Pregunta: ¿De cuántas formas podría formarse esta fotografía, si aún no se conoce a los ganadores?

Estamos preguntando por el número de formas de ordenar 5 personas elegidas de un total de 88 estudiantes.

4.2 Permutaciones sin Repetición

Definición - Permutaciones de r en n

El número de arreglos u ordenaciones sin repetición de $r$ elementos tomados de un total de $n$ elementos diferentes está dado por:

$P_n^r=\frac{n!}{(n-r)!}=n(n-1)(n-2)\cdots (n-r+1)$

donde $n!=n\times (n-1)\times (n-2)\times \cdots \times 2\times 1$ (factorial de $n$).

Convención: 0! = 1

Caso Especial: Permutaciones de $n$ elementos

Permutaciones Totales

El número de ordenamientos de $n$ elementos diferentes corresponde a: $P_n^n=n!$

4.3 Justificación del Principio Multiplicativo

Razonamiento para P_n^r

Para formar un arreglo ordenado de $r$ elementos de $n$ disponibles:

• Posición 1: $n$ opciones
• Posición 2: $n-1$ opciones (ya elegimos uno)
• Posición 3: $n-2$ opciones
• $⋮$
• Posición $r$: $n-r+1$ opciones

Por el principio multiplicativo: $P_n^r=n\times (n-1)\times (n-2)\times \cdots \times (n-r+1)=\frac{n!}{(n-r)!}$

4.4 Ejemplos de Permutaciones

Ejercicio 4: Foto de Ganadores Conocidos

Problema: Si se conocen los 5 estudiantes que han obtenido el premio, ¿cuántos son sus posibles ordenamientos para la fotografía?

Solución: $P_5^5=5!=5\times 4\times 3\times 2\times 1=120$

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5. Permutaciones con Elementos Repetidos

5.1 Caso Simple: Un Tipo Repetido

Teorema - Permutaciones con r Elementos Idénticos

Si se tienen $n$ elementos de entre los cuales hay $r$ elementos idénticos, y los demás son todos distintos entre sí, el número de ordenamientos posibles es: $N=\frac{n!}{r!}$

Justificación: Si los $r$ elementos idénticos fueran diferentes, tendríamos $n!$ permutaciones. Pero como son idénticos, cada ordenamiento único se repite $r!$ veces.

5.2 Caso General: Múltiples Tipos Repetidos

Teorema - Permutaciones con Repetición General

Si en un conjunto de $n$ elementos se tienen $r_i$ elementos idénticos de tipo $i$ ($i=1,2,\dots ,k$), con ${\sum }_{i=1}^k{r}_i=n$, el número de ordenamientos posibles es: $N=\frac{n!}{r_1!\cdot r_2!\cdot \dots \cdot r_k!}$

5.3 Ejemplo con Elementos Repetidos

Ejercicio 5: Palabra LICENCIATURA

Problema: ¿De cuántas maneras se pueden ordenar las letras de la palabra LICENCIATURA?

Análisis:

• Total de letras: $n=12$
• Letra L: 1 vez
• Letra I: 2 veces
• Letra C: 2 veces
• Letra E: 1 vez
• Letra N: 1 vez
• Letra A: 2 veces
• Letra T: 1 vez
• Letra U: 1 vez
• Letra R: 1 vez

Solución: $N=\frac{12!}{1!\cdot 2!\cdot 2!\cdot 1!\cdot 1!\cdot 2!\cdot 1!\cdot 1!\cdot 1!}=\frac{12!}{2!\cdot 2!\cdot 2!}=\frac{479,001,600}{8}=59,875,200$

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6. Combinaciones

6.1 Motivación

Ejemplo Introductorio: Juego del Loto

Situación: En el juego del Loto, las personas apuestan a 6 números diferentes entre los números del 1 al 41.

Pregunta: ¿Cuántas son las posibles apuestas?

Observación clave: En este caso, el orden no importa. La apuesta {1, 5, 12, 23, 30, 41} es la misma que {41, 30, 23, 12, 5, 1}.

6.2 Definición de Combinaciones

Definición - Combinaciones

El número de muestras no ordenadas de $r$ elementos diferentes, elegidos desde un conjunto de $n$ elementos diferentes, corresponde a: $C_n^r=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r}\right)=\frac{n!}{r!(n-r)!}$

Se lee como ”$n$ combinado con $r$” o ”$n$ elige $r$“.

6.3 Relación con Permutaciones

Conexión Permutaciones-Combinaciones

La relación entre permutaciones y combinaciones es: $P_n^r=C_n^r\times r!$

Razonamiento:

• $C_n^r$ cuenta el número de grupos de $r$ elementos
• Cada grupo puede ordenarse de $r!$ maneras
• Por lo tanto: $P_n^r=C_n^r\times r!$

Despejando: $C_n^r=\frac{P_n^r}{r!}=\frac{n!/(n-r)!}{r!}=\frac{n!}{r!(n-r)!}$

6.4 Propiedades de los Coeficientes Binomiales

Propiedades Importantes

1. Simetría: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n-r}\right)$

2. Casos extremos:

   • $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0}\right)=1$
   • $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n}\right)=1$
   • $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1}\right)=n$

3. Identidad de Pascal: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{r-1}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{r}\right)$

6.5 Ejemplos de Combinaciones

Ejemplo: Loto

Problema: En el Loto se eligen 6 números de 41. ¿Cuántas apuestas posibles hay?

Solución: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{41}{6}\right)=\frac{41!}{6!\cdot 35!}=\frac{41\times 40\times 39\times 38\times 37\times 36}{6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1}=4,496,388$

Ejercicio 6: Delegación de Estudiantes

Problema: Se debe elegir una delegación de 3 estudiantes para representar a la Licenciatura en Matemáticas en una petición a Casa Central. ¿Cuántas son las delegaciones posibles, si el total de alumnos de la carrera es 125?

Solución: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{125}{3}\right)=\frac{125!}{3!\cdot 122!}=\frac{125\times 124\times 123}{6}=317,750$

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7. Resumen de Fórmulas

Tabla de Resumen - Técnicas de Conteo

Técnica	Fórmula	¿Orden importa?	Descripción
Principio Multiplicativo	$n_1\times n_2\times \cdots \times n_k$	Sí	$k$ sub-experimentos sucesivos
Permutaciones	$P_n^r=\frac{n!}{(n-r)!}$	Sí	Ordenar $r$ de $n$ elementos (sin repetición)
Permutaciones totales	$P_n^n=n!$	Sí	Ordenar $n$ elementos diferentes
Permutaciones con repetición	$\frac{n!}{r_1!\cdot r_2!\cdot \dots \cdot r_k!}$	Sí	Ordenar $n$ elementos con tipos repetidos
Combinaciones	$C_n^r=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r}\right)=\frac{n!}{r!(n-r)!}$	No	Elegir $r$ de $n$ elementos (sin orden)

Regla de Oro

Pregúntate siempre: ¿Importa el orden en este problema?

• Sí importa → Usar permutaciones
• No importa → Usar combinaciones

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8. Aplicaciones a Probabilidad

8.1 Estrategia General

Método para Calcular Probabilidades

En espacios equiprobables:

1. Identificar el espacio muestral $\Omega$
2. Contar $|\Omega |$ usando técnicas de conteo
3. Definir el evento de interés $A$
4. Contar $|A|$ usando técnicas de conteo
5. Calcular $\mathbb{P}(A)=\frac{|A|}{|\Omega |}$

8.2 Ejemplo Integrador

Problema: Comité de 5 personas

Situación: De un grupo de 10 hombres y 8 mujeres, se elige un comité de 5 personas al azar.

Pregunta: ¿Cuál es la probabilidad de que el comité tenga exactamente 3 hombres y 2 mujeres?

Solución:

• Espacio muestral: Todas las formas de elegir 5 personas de 18 $|\Omega |=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{18}{5}\right)=8568$

• Evento favorable: Elegir 3 hombres de 10 Y 2 mujeres de 8 $|A|=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{3}\right)\times \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{2}\right)=120\times 28=3360$

• Probabilidad: $\mathbb{P}(A)=\frac{3360}{8568}\approx 0.392=39.2\%$

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9. Resumen de Conceptos

Puntos Clave de la Clase

1. Espacios equiprobables: $\mathbb{P}(A)=\frac{|A|}{|\Omega |}$

2. Principio multiplicativo: Para experimentos sucesivos con $n_i$ opciones cada uno

3. Permutaciones $P_n^r$: Ordenar $r$ elementos de $n$ (orden importa)

4. Permutaciones con repetición: Dividir por los factoriales de las repeticiones

5. Combinaciones $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r}\right)$: Elegir $r$ elementos de $n$ (orden no importa)

6. Estrategia: Identificar si el orden importa para elegir la técnica correcta

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🎯 Conceptos Clave para Repasar

1. Definición clásica de probabilidad: Casos favorables / casos totales
2. Factorial: $n!=n\times (n-1)\times \cdots \times 2\times 1$
3. Principio multiplicativo: Base de todas las técnicas de conteo
4. Diferencia clave: Permutación (orden) vs Combinación (sin orden)
5. Coeficiente binomial: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r}\right)$ y sus propiedades

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📖 Términos Importantes

• Espacio-Equiprobable
• Definición-Clásica-de-Probabilidad
• Principio-Multiplicativo
• Permutación
• Combinación
• Factorial
• Coeficiente-Binomial

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🔗 Conexiones con Otras Clases

• Clase 1: Clase-01-The-Lady-Tasting-Tea - Aplicación de combinaciones
• Clase 2: Clase-02-Experimentos-Aleatorios - Espacios de probabilidad
• Clase 4: Clase-04-Probabilidad-Condicional - Cálculos más complejos