5) Variables Aleatorias

Clase 5: Variables Aleatorias

📚 Introducción

En esta clase introducimos el concepto fundamental de variable aleatoria, que es una función que asigna valores numéricos a los resultados de un experimento aleatorio. Las variables aleatorias nos permiten trabajar con probabilidades de manera más formal y sistemática, conectando el espacio muestral abstracto con valores numéricos concretos. Además, estudiaremos la función de distribución, una herramienta clave para caracterizar completamente el comportamiento probabilístico de una variable aleatoria.

Objetivos de la Clase

• Comprender el concepto de variable aleatoria como función desde el espacio muestral ⌦ a los números reales ℝ
• Verificar que una función cumple la condición de medibilidad para ser una variable aleatoria
• Definir σ-álgebras apropiadas para diferentes experimentos aleatorios
• Calcular y graficar funciones de distribución
• Conocer y aplicar las propiedades de las funciones de distribución

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1. Variables Aleatorias

1.1 Definición Formal

Definición - Variable Aleatoria

Sea (⌦, F, P) un espacio de probabilidad. Una variable aleatoria es una función real valorada X = X(ω) definida sobre el espacio muestral ⌦, que satisface la condición de medibilidad:

$\{\omega \in \Omega :X(\omega )\le x\}\in \mathcal{F}$

para todo $x\in \mathbb{R}$.

Interpretación: Una variable aleatoria es una regla que asigna un número real a cada resultado posible del experimento aleatorio. La condición de medibilidad garantiza que podemos calcular probabilidades relacionadas con la variable aleatoria.

1.2 Notación Simplificada

Por convención, escribimos:

• $\{X\le x\}$ en lugar de $\{\omega \in \Omega :X(\omega )\le x\}$
• $\{X=x\}$ en lugar de $\{\omega \in \Omega :X(\omega )=x\}$
• $\{a<X\le b\}$ en lugar de $\{\omega \in \Omega :a<X(\omega )\le b\}$

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2. Ejemplos Fundamentales

2.1 Ejemplo 1: Lanzamiento de Dos Monedas

Problema: Considere dos lanzamientos independientes de una moneda equilibrada, donde se registra el lado que muestra cada vez al caer. Interesa la función X, con dominio en ⌦, que cuenta el número de caras obtenidas. Defina un σ-álgebra F tal que X sea una variable aleatoria en (⌦, F, P).

Solución

Paso 1: Espacio Muestral

$\Omega =\{\text{cc},\text{cs},\text{sc},\text{ss}\}$

donde c = cara, s = sello

Paso 2: Definir la función X

$X({\omega }_1)=X(\text{cc})=2$ $X({\omega }_2)=X(\text{cs})=1$ $X({\omega }_3)=X(\text{sc})=1$ $X({\omega }_4)=X(\text{ss})=0$

Paso 3: Verificar medibilidad

Para que X sea variable aleatoria, necesitamos que $\{\omega \in \Omega :X(\omega )\le x\}\in \mathcal{F}$ para todo $x\in \mathbb{R}$.

Consideremos diferentes valores de x:

• Si $x<0$: $\{\omega \in \Omega :X(\omega )\le x\}=\varnothing \in \mathcal{F}$
• Si $0\le x<1$: $\{\omega :X(\omega )\le x\}=\{\text{ss}\}\in \mathcal{F}$
• Si $1\le x<2$: $\{\omega :X(\omega )\le x\}=\{\text{ss},\text{cs},\text{sc}\}\in \mathcal{F}$
• Si $x\ge 2$: $\{\omega :X(\omega )\le x\}=\Omega \in \mathcal{F}$
• Si $x=3$: $\{\omega :X(\omega )\le 3\}=\{\text{cc},\text{cs},\text{sc},\text{ss}\}=\Omega \in \mathcal{F}$

Paso 4: Definir σ-álgebra F

Una σ-álgebra apropiada es:

$\mathcal{F}=\{\varnothing ,\{\text{ss}\},\{\text{cs},\text{sc}\},\{\text{cc}\},\{\text{ss},\text{cs},\text{sc}\},\{\text{ss},\text{cc}\},\{\text{cs},\text{sc},\text{cc}\},\Omega \}$

Con la medida de probabilidad:

• $P(\{\text{cc}\})=P(\{\text{cs}\})=P(\{\text{sc}\})=P(\{\text{ss}\})=\frac{1}{4}$

Nota sobre Medibilidad

La condición de medibilidad es crucial: garantiza que todos los eventos del tipo $\{X\le x\}$ pertenezcan a la σ-álgebra F, lo que nos permite calcular sus probabilidades.

2.2 Ejemplo 2: Lanzamiento de Dos Dados

Problema: Considere dos lanzamientos independientes de un dado, donde se registra, en cada lanzamiento, el número que muestra el dado al caer. Interesa la función X, con dominio en ⌦, que indica la suma de los números obtenidos. Defina un σ-álgebra F tal que X sea una variable aleatoria en (⌦, F, P).

Solución

Espacio Muestral:

$\Omega =\{(i,j):i,j\in \{1,2,3,4,5,6\}\}$

con $|\Omega |=36$ elementos

Definición de X:

$X((i,j))=i+j$

donde $X$ toma valores en $\{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}$

Ejemplos de valores:

• $X((1,1))=2$ (mínimo)
• $X((1,6))=X((6,1))=7$
• $X((6,6))=12$ (máximo)

Verificación de medibilidad:

Para cada $x\in \mathbb{R}$, debemos verificar que $\{X\le x\}\in \mathcal{F}$:

• Si $x<2$: $\{X\le x\}=\varnothing$
• Si $x=7$: $\{X\le 7\}=\{(1,1),(1,2),(2,1),...,(6,1),(1,6)\}$
• Si $x\ge 12$: $\{X\le x\}=\Omega$

La σ-álgebra debe contener todos los conjuntos de la forma $\{(i,j):i+j\le x\}$ para cada $x$ real.

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3. Propiedades de los Eventos Relacionados con Variables Aleatorias

3.1 Teorema de Medibilidad

Teorema - Eventos Medibles

Consideremos un espacio de probabilidad (⌦, F, P) y una variable aleatoria X = X(ω), ω ∈ ⌦. Sean dos números $a<b$. Entonces, los siguientes conjuntos también están en F (son medibles):

1. $\{\omega :X(\omega )<a\}$
2. $\{\omega :X(\omega )>a\}$
3. $\{\omega :X(\omega )\ge a\}$
4. $\{\omega :X(\omega )=a\}$
5. $\{\omega :a<X(\omega )<b\}$
6. $\{\omega :a<X(\omega )\le b\}$
7. $\{\omega :a\le X(\omega )<b\}$
8. $\{\omega :a\le X(\omega )\le b\}$

Consecuencia: Podemos calcular la probabilidad de todos estos eventos usando la medida de probabilidad P.

Aplicación Práctica

Este teorema nos permite trabajar con cualquier tipo de desigualdad o igualdad que involucre a la variable aleatoria X, sabiendo que siempre podremos calcular probabilidades.

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4. Función de Distribución

4.1 Definición

Definición - Función de Distribución

Consideremos un espacio de probabilidad (⌦, F, P) y una variable aleatoria X = X(ω), ω ∈ ⌦. Se denomina función de distribución de la variable aleatoria X, a la función $F_X(x)$ definida para todos los valores x reales mediante:

$F_X(x)=P(X\le x)\equiv P(\{\omega \in \Omega :X(\omega )\le x\})$

Interpretación: $F_X(x)$ representa la probabilidad acumulada hasta el valor x. Es decir, la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor menor o igual a x.

4.2 Ejemplo 3: Función de Distribución del Número de Caras

Problema: Considere dos lanzamientos independientes de una moneda, donde se registra el lado que muestra cada vez al caer. Encuentre la función de distribución del número de caras obtenidas y grafíquela.

Solución

Del Ejemplo 1 sabemos que:

• $X=0$ con probabilidad $P(X=0)=P(\{\text{ss}\})=\frac{1}{4}$
• $X=1$ con probabilidad $P(X=1)=P(\{\text{cs},\text{sc}\})=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$
• $X=2$ con probabilidad $P(X=2)=P(\{\text{cc}\})=\frac{1}{4}$

Calculando la función de distribución:

0 & \text{si } x < 0 \\ \frac{1}{4} & \text{si } 0 \leq x < 1 \\ \frac{3}{4} & \text{si } 1 \leq x < 2 \\ 1 & \text{si } x \geq 2 \end{cases}$$ **Gráfica**: La función de distribución es una función escalonada que: - Vale 0 para $x < 0$ - Salta a $\frac{1}{4}$ en $x = 0$ - Salta a $\frac{3}{4}$ en $x = 1$ - Salta a 1 en $x = 2$ - Se mantiene en 1 para $x \geq 2$

Características de la Gráfica

• Es una función escalonada (constante por tramos)
• Tiene saltos en los valores que puede tomar X
• Es no-decreciente
• Los límites son: ${\lim }_{x\to -\infty }{F}_X(x)=0$ y ${\lim }_{x\to +\infty }{F}_X(x)=1$

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5. Propiedades de la Función de Distribución

5.1 Propiedades Fundamentales

Propiedades de F_X(x)

Propiedad 1 - Rango: Para todo $x\in \mathbb{R}$ se cumple $0\le F_X(x)\le 1$

Propiedad 2 - Cálculo de Probabilidades en Intervalos: Si $a<b$ son reales, entonces: $P(a<X\le b)=F_X(b)-F_X(a)$

Propiedad 3 - Monotonía: La función $F_X(x)$ es no-decreciente en toda la recta real, es decir, dados $a<b$ reales, se cumple $F(a)\le F(b)$

Propiedad 4 - Límites: Se tiene que: ${\lim }_{x\to +\infty }{F}_X(x)=1\text{y}{\lim }_{x\to -\infty }{F}_X(x)=0$

Propiedad 5 - Continuidad por la Derecha: La función $F_X(x)$ es continua por la derecha, es decir: ${\lim }_{h\to 0^{+}}{F}_X(x+h)=F_X(x)$

5.2 Aplicación de las Propiedades

Ejemplo de Aplicación

Si sabemos que $F_X(5)=0.7$ y $F_X(8)=0.9$, entonces:

$P(5<X\le 8)=F_X(8)-F_X(5)=0.9-0.7=0.2$

Esta propiedad es extremadamente útil para calcular probabilidades en intervalos.

Cuidado con los Extremos

Note que la fórmula es $P(a<X\le b)$, no $P(a\le X\le b)$.

Para variables discretas:

• $P(X=a)=F_X(a)-{\lim }_{x\to a^{-}}{F}_X(x)$ (tamaño del salto en $a$)
• $P(a\le X\le b)=P(X=a)+P(a<X\le b)=P(X=a)+F_X(b)-F_X(a)$

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6. Caracterización Completa de una Variable Aleatoria

Concepto Clave

La función de distribución $F_X(x)$ caracteriza completamente el comportamiento probabilístico de una variable aleatoria X. Es decir, conociendo $F_X(x)$ podemos calcular la probabilidad de cualquier evento relacionado con X.

Ejemplos de cálculos:

1. $P(X>a)=1-F_X(a)$
2. $P(X<a)={\lim }_{x\to a^{-}}{F}_X(x)$ (para variables discretas es $F_X(a^{-})$)
3. $P(X=a)=F_X(a)-F_X(a^{-})$ (tamaño del salto)
4. $P(a\le X\le b)=F_X(b)-F_X(a^{-})$

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🎯 Conceptos Clave para Repasar

Resumen de Conceptos

1. Variable aleatoria: Función $X:\Omega \to \mathbb{R}$ que satisface la condición de medibilidad
2. Condición de medibilidad: $\{X\le x\}\in \mathcal{F}$ para todo $x\in \mathbb{R}$
3. Función de distribución: $F_X(x)=P(X\le x)$ caracteriza completamente a X
4. Propiedades de $F_X$: Rango [0,1], no-decreciente, límites 0 y 1, continua por la derecha
5. Cálculo en intervalos: $P(a<X\le b)=F_X(b)-F_X(a)$

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🚨 Errores Comunes

Error 1: Confundir X(ω) con x

• Incorrecto: Pensar que la variable aleatoria X es un número
• Correcto: X es una función que asigna números a elementos de Ω. X(ω) es el valor que toma en ω

Error 2: Olvidar verificar que {X ≤ x} ∈ F

• Incorrecto: Asumir que cualquier función es una variable aleatoria
• Correcto: Verificar la condición de medibilidad para todo x ∈ ℝ

Error 3: Confundir P(X = x) con F_X(x)

• Incorrecto: Pensar que $F_X(x)=P(X=x)$
• Correcto: $F_X(x)=P(X\le x)$ (probabilidad acumulada), mientras que $P(X=x)$ es la probabilidad puntual

Error 4: No considerar la continuidad por la derecha

• Incorrecto: Pensar que $F_X$ es continua en todos lados
• Correcto: $F_X$ es continua por la derecha, pero puede tener discontinuidades de salto por la izquierda

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📝 Ejercicios Propuestos

Ejercicios de Práctica

1. Considere el lanzamiento de un dado justo. Sea X el número que sale. Defina una σ-álgebra apropiada y encuentre $F_X(x)$.

2. Se lanzan tres monedas equilibradas. Sea Y el número de caras menos el número de sellos. Encuentre la función de distribución de Y.

3. Dada la función de distribución: $F_X(x)=\{\begin{array}{ll}0& x<0\\ 0.3& 0\le x<1\\ 0.7& 1\le x<2\\ 1& x\ge 2\end{array}$ Calcule: a) $P(X\le 1)$, b) $P(X>0.5)$, c) $P(0.5<X\le 1.5)$, d) $P(X=1)$

4. Demuestre que si $F_X$ es una función de distribución, entonces $P(X>a)=1-F_X(a)$.

5. Verifique todas las propiedades de la función de distribución para el Ejemplo 3.

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📚 Referencias

Lectura Principal

• Introducción a la Estadística - Clase 5
• Clase5_Pizarra_2025-02.pdf

Enlaces Relacionados

• Clase-04-Espacios-de-Probabilidad - Clase anterior
• Clase-06-Variables-Aleatorias-Discretas - Clase siguiente
• Variables-Aleatorias
• Funcion-de-Distribucion
• Sigma-Algebras

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Sugerencia de Estudio

Enfatice la comprensión de que una variable aleatoria es una FUNCIÓN, no un número. La condición de medibilidad es técnica pero fundamental: garantiza que podemos calcular probabilidades. La función de distribución $F_X(x)$ es la herramienta central para trabajar con variables aleatorias, ya que la caracteriza completamente. Practique calculando funciones de distribución para diferentes experimentos aleatorios simples (dados, monedas, etc.) hasta dominar el concepto.

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✅ Checklist de Estudio

Lista de Verificación

• Comprendo que una variable aleatoria es una función X: Ω → ℝ
• Puedo verificar la condición de medibilidad {X ≤ x} ∈ F
• Sé definir σ-álgebras apropiadas para experimentos aleatorios simples
• Puedo calcular funciones de distribución para variables aleatorias discretas
• Sé graficar funciones de distribución escalonadas
• Conozco y puedo aplicar las 5 propiedades principales de F_X(x)
• Puedo calcular P(a < X ≤ b) usando la función de distribución
• Entiendo que F_X caracteriza completamente a X
• Puedo distinguir entre P(X = x) y F_X(x)

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