6) Variables Aleatorias Discretas

Clase 6: Variables Aleatorias Discretas

📚 Introducción

En esta clase nos enfocaremos en un tipo especial de variables aleatorias: las variables aleatorias discretas. Estas son variables que solo pueden tomar un conjunto finito o numerable de valores. Estudiaremos la función de probabilidad como herramienta para describir su comportamiento, y aprenderemos a calcular la esperanza (o media) y la varianza, que son las medidas más importantes para caracterizar la ubicación y dispersión de una distribución probabilística.

Objetivos de la Clase

• Comprender el concepto de variable aleatoria discreta
• Calcular y trabajar con funciones de probabilidad
• Determinar funciones de probabilidad de transformaciones de variables aleatorias
• Calcular la esperanza (media) de una variable aleatoria discreta
• Comprender la esperanza como operador lineal
• Calcular la varianza y desviación estándar de variables discretas
• Aplicar fórmulas alternativas para el cálculo de varianza

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1. Variables Aleatorias Discretas

1.1 Definición

Definición - Variable Aleatoria Discreta

Sea (⌦, F, P) un espacio de probabilidad. Una variable aleatoria X = X(ω), ω ∈ ⌦ tiene distribución discreta si existe un conjunto B, finito o numerable, de la recta real, tal que se verifica que:

$P(X\in B)=1$

Interpretación: X solo puede tomar valores en el conjunto B, que contiene a lo más una cantidad numerable de valores.

Ejemplos comunes:

• Número de caras al lanzar n monedas: $B=\{0,1,2,...,n\}$ (finito)
• Número de intentos hasta obtener el primer éxito: $B=\{1,2,3,...\}$ (infinito numerable)
• Número de clientes que llegan a una tienda en una hora: $B=\{0,1,2,3,...\}$

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2. Función de Distribución para Variables Discretas

2.1 Ejemplo 1: Construcción de la Función de Distribución

Problema: Considere una variable aleatoria X en (⌦, F, P), que toma valores $x_1,x_2,...$ con probabilidades $p_1,p_2,...$, respectivamente; es decir, $p_k=P(X=x_k)$, k = 1, 2, …, con $p_1+p_2+\cdots =1$. Encuentre la función de distribución de X.

Solución

La función de distribución está dada por:

$F_X(x)=P(X\le x)={\sum }_{x_i\le x}P(X=x_i)={\sum }_{x_i\le x}{p}_i$

Es decir, sumamos las probabilidades de todos los valores que X puede tomar que sean menores o iguales a x.

Características:

• $F_X(x)$ es una función escalonada
• Tiene saltos en cada valor $x_i$ que X puede tomar
• El tamaño del salto en $x_i$ es precisamente $p_i=P(X=x_i)$
• Entre los valores posibles de X, la función es constante

Relación entre F_X y las probabilidades puntuales

Podemos recuperar las probabilidades puntuales desde la función de distribución:

$P(X=x_i)=F_X(x_i)-{\lim }_{x\to x_i^{-}}{F}_X(x)=F_X(x_i)-F_X(x_i^{-})$

Es decir, la probabilidad puntual es el tamaño del salto de la función de distribución en ese punto.

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3. Función de Probabilidad

3.1 Definición

Definición - Función de Probabilidad

Sea X una variable aleatoria discreta definida en (⌦, F, P), con valores en $\{x_1,x_2,...\}$. Se denomina función de probabilidad de X a la función:

$p_X(x_i)=P(X=x_i),i=1,2,...$

Propiedades de la función de probabilidad:

1. $0\le p_X(x_i)\le 1$ para todo i
2. ${\sum }_{i=1}^{\infty }{p}_X(x_i)=1$
3. $p_X(x)=0$ si $x\notin \{x_1,x_2,...\}$

3.2 Ejemplo 2: Tres Monedas Honestas

Problema: En el lanzamiento de tres monedas honestas, considere la variable aleatoria X que cuenta el número de caras obtenidas. Encuentre la función de probabilidad de X.

Solución

Espacio muestral:

$\Omega =\{\text{ccc},\text{ccs},\text{csc},\text{css},\text{scc},\text{scs},\text{ssc},\text{sss}\}$

con $|\Omega |=8$ elementos equiprobables

Valores de X y sus probabilidades:

$X=0:\{\text{sss}\}\Rightarrow p_X(0)=P(X=0)=\frac{1}{8}$

$X=1:\{\text{css},\text{scs},\text{ssc}\}\Rightarrow p_X(1)=P(X=1)=\frac{3}{8}$

$X=2:\{\text{ccs},\text{csc},\text{scc}\}\Rightarrow p_X(2)=P(X=2)=\frac{3}{8}$

$X=3:\{\text{ccc}\}\Rightarrow p_X(3)=P(X=3)=\frac{1}{8}$

Función de probabilidad:

\frac{1}{8} & \text{si } x = 0 \\ \frac{3}{8} & \text{si } x = 1 \\ \frac{3}{8} & \text{si } x = 2 \\ \frac{1}{8} & \text{si } x = 3 \\ 0 & \text{en otro caso} \end{cases}$$ **Verificación**: $\frac{1}{8} + \frac{3}{8} + \frac{3}{8} + \frac{1}{8} = 1$ ✓

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4. Función de Probabilidad de Transformaciones

4.1 Ejemplo 3: Ganancia en un Juego

Problema: Un alumno juega a lanzar una moneda equilibrada 3 veces. La ganancia que se le ofrece en este juego es $200 por cada cara obtenida en los 3 lanzamientos. Encuentre la función de probabilidad de la ganancia.

Solución

Paso 1: Del Ejemplo 2, sabemos la distribución de X = número de caras

Paso 2: La ganancia G se relaciona con X mediante:

$G=200X$

Paso 3: Los valores posibles de G son:

• $G=0$ cuando $X=0$
• $G=200$ cuando $X=1$
• $G=400$ cuando $X=2$
• $G=600$ cuando $X=3$

Paso 4: Las probabilidades se mantienen:

\frac{1}{8} & \text{si } g = 0 \\ \frac{3}{8} & \text{si } g = 200 \\ \frac{3}{8} & \text{si } g = 400 \\ \frac{1}{8} & \text{si } g = 600 \\ 0 & \text{en otro caso} \end{cases}$$ Equivalentemente: $p_G(200k) = p_X(k)$ para $k = 0, 1, 2, 3$

4.2 Teorema General para Transformaciones

Teorema - Función de Probabilidad de g(X)

Sea (⌦, F, P) un espacio de probabilidad y X = X(ω), ω ∈ ⌦, una variable aleatoria con distribución discreta. Sea g una función arbitraria. Entonces, Y = g(X) es también una variable aleatoria, con función de probabilidad dada por:

$P(g(X)=y)=P(Y=y)={\sum }_{x:g(x)=y}P(X=x)$

Interpretación: Para encontrar $P(Y=y)$, sumamos las probabilidades de todos los valores de X que se transforman en y mediante la función g.

4.3 Ejemplo 4: Transformación Cuadrática

Problema: Considere la variable X que toma valores -2, -1, 0, 1, 2 con probabilidades 0.1, 0.2, 0.2, 0.25, y 0.25, respectivamente. Encuentre la función de probabilidad de la variable aleatoria $Y=g(X)=X^2$.

Solución

Valores de Y:

• Si $X=-2$: $Y=(-2{)}^2=4$
• Si $X=-1$: $Y=(-1{)}^2=1$
• Si $X=0$: $Y=0^2=0$
• Si $X=1$: $Y=1^2=1$
• Si $X=2$: $Y=2^2=4$

Nota importante: Varios valores de X se mapean al mismo valor de Y.

Calculando probabilidades:

$P(Y=0)=P(X=0)=0.2$

$P(Y=1)=P(X=-1\text{ o }X=1)=P(X=-1)+P(X=1)=0.2+0.25=0.45$

$P(Y=4)=P(X=-2\text{ o }X=2)=P(X=-2)+P(X=2)=0.1+0.25=0.35$

Función de probabilidad de Y:

0.2 & \text{si } y = 0 \\ 0.45 & \text{si } y = 1 \\ 0.35 & \text{si } y = 4 \\ 0 & \text{en otro caso} \end{cases}$$ **Verificación**: $0.2 + 0.45 + 0.35 = 1$ ✓

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5. Media o Esperanza de una Variable Aleatoria

5.1 Motivación Intuitiva

Consideremos dos situaciones:

Situación 1: Lanzamiento de 3 monedas equilibradas, X = número de caras

• Los valores posibles son 0, 1, 2, 3 con probabilidades $\frac{1}{8},\frac{3}{8},\frac{3}{8},\frac{1}{8}$
• ¿Dónde está el “centro” de esta distribución?

Situación 2: Variable X con valores 0, 1, 2, 3 y probabilidades 0.05, 0.1, 0.5, 0.35

• ¿Dónde está el “centro” de esta distribución?

Idea del Centro de una Distribución

El centro de una distribución se encuentra donde se “equilibra” la masa de probabilidad. Es un promedio ponderado de los valores posibles, donde los pesos son las probabilidades.

5.2 Definición de Esperanza

Definición - Esperanza o Media

Sea (⌦, F, P) un espacio de probabilidad y X = X(ω), ω ∈ ⌦, una variable aleatoria discreta. La media, esperanza, o valor esperado de X está dada por:

${\mu }_X=E(X)={\sum }_{x}x\cdot P(X=x)$

donde la suma se realiza sobre todos los valores posibles de X.

Notaciones alternativas:

• $E(X)$ = esperanza de X
• ${\mu }_X$ = media de X
• $\mathbb{E}[X]$ = valor esperado de X

5.3 Ejemplo 5: Cálculo de la Esperanza

Problema: Sea X una variable aleatoria que toma valores -2, -1, 0, 1, 2 con probabilidades 0.1, 0.2, 0.2, 0.25, y 0.25, respectivamente. Encuentre la media o esperanza de X.

Solución

$E(X)={\sum }_{x}x\cdot P(X=x)$

$=(-2)(0.1)+(-1)(0.2)+(0)(0.2)+(1)(0.25)+(2)(0.25)$

$=-0.2-0.2+0+0.25+0.5$

$=0.35$

Interpretación: En promedio, esperamos que X tome el valor 0.35. Note que este valor no necesita ser un valor posible de X.

5.4 Fórmula Alternativa para Variables en ℕ

Propiedad - Fórmula Alternativa

Sea (⌦, F, P) un espacio de probabilidad y X = X(ω), ω ∈ ⌦, una variable aleatoria discreta tomando valores en los naturales. Entonces:

${\mu }_X=E(X)={\sum }_{x=1}^{\infty }x\cdot P(X=x)={\sum }_{j=1}^{\infty }P(X\ge j)$

Esta fórmula es útil para algunas demostraciones teóricas.

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6. Esperanza de Funciones de Variables Aleatorias

6.1 Ejemplo 6: Esperanza de X²

Problema: Considere la variable X que toma valores -2, -1, 0, 1, 2 con probabilidades 0.1, 0.2, 0.2, 0.25, y 0.25, respectivamente. Encuentre la media o esperanza de la variable aleatoria $Y=g(X)=X^2$.

Solución - Método 1 (usando la distribución de Y)

Del Ejemplo 4 sabemos que Y toma valores 0, 1, 4 con probabilidades 0.2, 0.45, 0.35.

$E(Y)={\sum }_{y}y\cdot P(Y=y)=(0)(0.2)+(1)(0.45)+(4)(0.35)$

$=0+0.45+1.4=1.85$

Solución - Método 2 (usando el Teorema)

Usando el teorema siguiente, podemos calcular directamente:

$E(X^2)={\sum }_x{x}^2\cdot P(X=x)$

$=(-2{)}^2(0.1)+(-1{)}^2(0.2)+(0{)}^2(0.2)+(1{)}^2(0.25)+(2{)}^2(0.25)$

$=4(0.1)+1(0.2)+0+1(0.25)+4(0.25)$

$=0.4+0.2+0.25+1=1.85$ ✓

6.2 Teorema General

Teorema - Esperanza de g(X)

Sea (⌦, F, P) un espacio de probabilidad y X = X(ω), ω ∈ ⌦, una variable discreta. Sea g una función arbitraria. Entonces:

$E(g(X))={\sum }_{x}g(x)\cdot P(X=x)$

Ventaja: No necesitamos encontrar primero la distribución de $Y=g(X)$; podemos calcular $E(g(X))$ directamente usando la distribución de X.

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7. Esperanza como Operador Lineal

7.1 Propiedad de Linealidad

Teorema - Linealidad de la Esperanza

La esperanza de una variable aleatoria E(·) es un operador lineal, es decir:

$E(aX+b)=aE(X)+b$

para cualesquiera constantes $a,b\in \mathbb{R}$.

Demostración:

$E(aX+b)={\sum }_x(ax+b)\cdot P(X=x)$

$={\sum }_x[ax\cdot P(X=x)+b\cdot P(X=x)]$

$=a{\sum }_{x}x\cdot P(X=x)+b{\sum }_{x}P(X=x)$

$=a\cdot E(X)+b\cdot 1=aE(X)+b$ ∎

7.2 Ejemplo 7: Esperanza de una Ganancia

Problema: Un alumno juega a lanzar una moneda equilibrada 3 veces. La ganancia que se le ofrece en este juego es $200 por cada cara obtenida en los 3 lanzamientos. Obtenga la esperanza o media de la ganancia.

Solución - Método 1 (directo)

Del Ejemplo 3, la ganancia G tiene distribución:

\frac{1}{8} & \text{si } g = 0 \\ \frac{3}{8} & \text{si } g = 200 \\ \frac{3}{8} & \text{si } g = 400 \\ \frac{1}{8} & \text{si } g = 600 \end{cases}$$ $$E(G) = 0 \cdot \frac{1}{8} + 200 \cdot \frac{3}{8} + 400 \cdot \frac{3}{8} + 600 \cdot \frac{1}{8}$$ $$= 0 + 75 + 150 + 75 = 300$$

Solución - Método 2 (usando linealidad)

Como $G=200X$ donde X es el número de caras:

$E(G)=E(200X)=200\cdot E(X)$

Del Ejemplo 2, calculamos:

$E(X)=0\cdot \frac{1}{8}+1\cdot \frac{3}{8}+2\cdot \frac{3}{8}+3\cdot \frac{1}{8}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}$

Por lo tanto:

$E(G)=200\cdot \frac{3}{2}=300$ ✓

Ventaja de la Linealidad

La propiedad de linealidad simplifica muchos cálculos. Si sabemos que $G=aX+b$, entonces $E(G)=aE(X)+b$, sin necesidad de calcular toda la distribución de G.

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8. Varianza de una Variable Aleatoria

8.1 Motivación

La esperanza nos indica el “centro” de una distribución, pero no nos dice nada sobre la dispersión o variabilidad de los datos alrededor de ese centro.

Idea de Varianza

La varianza mide qué tan dispersos están los valores de X alrededor de su media ${\mu }_X$. Es el “promedio” de las desviaciones cuadráticas respecto a la media.

8.2 Definición

Definición - Varianza

Sea (⌦, F, P) un espacio de probabilidad y X = X(ω), ω ∈ ⌦, una variable discreta. La varianza de X se define como:

${\sigma }_X^2=\text{Var}(X)=E\left[(X-{\mu }_X{)}^2\right]$

La desviación estándar de X es la raíz cuadrada de la varianza de X:

${\sigma }_X=\sqrt{\text{Var}(X)}$

Notaciones:

• $\text{Var}(X)$ = varianza de X
• ${\sigma }_X^2$ = varianza de X
• ${\sigma }_X$ = desviación estándar de X

8.3 Fórmulas para el Cálculo de la Varianza

Fórmulas Equivalentes

Fórmula 1 - Definición: $\text{Var}(X)={\sum }_x(x-{\mu }_X{)}^2\cdot P(X=x)$

Fórmula 2 - Fórmula Práctica: $\text{Var}(X)=E(X^2)-[E(X){]}^2$

Esta segunda fórmula es generalmente más fácil de usar en cálculos.

Demostración de la equivalencia:

$\text{Var}(X)=E[(X-{\mu }_X{)}^2]$

$=E[X^2-2{\mu }_{X}X+{\mu }_X^2]$

$=E(X^2)-2{\mu }_{X}E(X)+{\mu }_X^2$

$=E(X^2)-2{\mu }_X\cdot {\mu }_X+{\mu }_X^2$

$=E(X^2)-{\mu }_X^2=E(X^2)-[E(X){]}^2$ ∎

8.4 Ejemplo 8: Varianza del Número de Caras

Problema: Sea X el número de caras obtenidas al lanzar tres veces, de manera independiente, una moneda equilibrada. Encuentre la varianza de X.

Solución

Paso 1: Calcular $E(X)$

Del Ejemplo 2:

$E(X)=0\cdot \frac{1}{8}+1\cdot \frac{3}{8}+2\cdot \frac{3}{8}+3\cdot \frac{1}{8}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}$

Paso 2: Calcular $E(X^2)$

$E(X^2)=0^2\cdot \frac{1}{8}+1^2\cdot \frac{3}{8}+2^2\cdot \frac{3}{8}+3^2\cdot \frac{1}{8}$

$=0+\frac{3}{8}+\frac{12}{8}+\frac{9}{8}=\frac{24}{8}=3$

Paso 3: Aplicar la fórmula

$\text{Var}(X)=E(X^2)-[E(X){]}^2=3-{\left(\frac{3}{2}\right)}^2=3-\frac{9}{4}=\frac{12-9}{4}=\frac{3}{4}$

Desviación estándar:

${\sigma }_X=\sqrt{\text{Var}(X)}=\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0.866$

8.5 Ejemplo 9: Otro Cálculo de Varianza

Problema: Sea X una variable aleatoria que toma valores 0, 1, 2 y 3 con probabilidades 0.1, 0.1, 0.5 y 0.3, respectivamente. Encuentre la varianza de X.

Solución

Paso 1: Calcular $E(X)$

$E(X)=0(0.1)+1(0.1)+2(0.5)+3(0.3)=0+0.1+1.0+0.9=2.0$

Paso 2: Calcular $E(X^2)$

$E(X^2)=0^2(0.1)+1^2(0.1)+2^2(0.5)+3^2(0.3)$

$=0+0.1+2.0+2.7=4.8$

Paso 3: Aplicar la fórmula

$\text{Var}(X)=E(X^2)-[E(X){]}^2=4.8-(2.0{)}^2=4.8-4.0=0.8$

Desviación estándar:

${\sigma }_X=\sqrt{0.8}\approx 0.894$

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9. Propiedades de la Varianza

Propiedades de la Varianza

1. $\text{Var}(X)\ge 0$ (siempre no negativa)
2. $\text{Var}(aX+b)=a^2\text{Var}(X)$ (la constante aditiva no afecta, la multiplicativa se eleva al cuadrado)
3. Si X es constante (toma un solo valor), entonces $\text{Var}(X)=0$

Demostración de la propiedad 2:

$\text{Var}(aX+b)=E[(aX+b{)}^2]-[E(aX+b){]}^2$

$=E[a^2{X}^2+2abX+b^2]-[aE(X)+b{]}^2$

$=a^{2}E(X^2)+2abE(X)+b^2-a^2[E(X){]}^2-2abE(X)-b^2$

$=a^{2}E(X^2)-a^2[E(X){]}^2=a^2[E(X^2)-[E(X){]}^2]$

$=a^2\text{Var}(X)$ ∎

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🎯 Conceptos Clave para Repasar

Resumen de Conceptos

1. Variable discreta: Toma valores en un conjunto finito o numerable
2. Función de probabilidad: $p_X(x_i)=P(X=x_i)$, con $\sum p_X(x_i)=1$
3. Esperanza: $E(X)={\sum }_{x}x\cdot P(X=x)$ (centro de la distribución)
4. Linealidad de E: $E(aX+b)=aE(X)+b$
5. Varianza: $\text{Var}(X)=E(X^2)-[E(X){]}^2$ (dispersión alrededor de la media)
6. Desviación estándar: ${\sigma }_X=\sqrt{\text{Var}(X)}$
7. Transformaciones: $E(g(X))={\sum }_{x}g(x)P(X=x)$

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🚨 Errores Comunes

Error 1: Confundir E(X) con un valor que X debe tomar

• Incorrecto: Pensar que E(X) debe ser un valor posible de X
• Correcto: E(X) es un promedio ponderado que puede no estar entre los valores de X

Error 2: Olvidar elevar al cuadrado en Var(aX + b)

• Incorrecto: $\text{Var}(aX+b)=a\cdot \text{Var}(X)$
• Correcto: $\text{Var}(aX+b)=a^2\text{Var}(X)$

Error 3: Calcular mal E(X²)

• Incorrecto: $E(X^2)=[E(X){]}^2$
• Correcto: $E(X^2)=\sum x^{2}P(X=x)$, que generalmente es diferente de $[E(X){]}^2$

Error 4: Sumar probabilidades incorrectamente para g(X)

• Incorrecto: No considerar que varios valores de X pueden dar el mismo g(X)
• Correcto: $P(g(X)=y)={\sum }_{x:g(x)=y}P(X=x)$

Error 5: Usar la fórmula de varianza incorrectamente

• Incorrecto: $\text{Var}(X)=E(X^2)-E(X)$ o $\text{Var}(X)=E[(X-\mu {)}^2]$ calculando mal
• Correcto: $\text{Var}(X)=E(X^2)-[E(X){]}^2$ (¡elevar al cuadrado toda la esperanza!)

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📝 Ejercicios Propuestos

Ejercicios de Práctica

1. Una variable X toma valores -1, 0, 1, 2 con probabilidades 0.2, 0.3, 0.4, 0.1. Calcule: a) $E(X)$ b) $E(X^2)$ c) $\text{Var}(X)$ d) $P(|X-E(X)|\le {\sigma }_X)$

2. Si $E(X)=5$ y $\text{Var}(X)=4$, calcule: a) $E(3X-2)$ b) $\text{Var}(3X-2)$ c) $E(X^2)$

3. Sea X el resultado de lanzar un dado justo. Sea $Y=(X-3.5{)}^2$. Encuentre: a) La función de probabilidad de Y b) $E(Y)$

4. Demuestre que para constantes $a,b$: $\text{Var}(aX+b)=a^2\text{Var}(X)$

5. En el Ejercicio del teatro (ejercicios propuestos en clase): a) Calcule la varianza de los ingresos por noche sin cubierta b) Interprete el valor de la desviación estándar

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📚 Referencias

Lectura Principal

• Introducción a la Estadística - Clase 6
• Clase6_Pizarra_2025-02.pdf

Ejercicios de Repaso

• ClaseR_I2_Pizarra_2025-02.pdf

Enlaces Relacionados

• Clase-05-Variables-Aleatorias - Clase anterior
• Clase-07-Distribuciones-Discretas - Clase siguiente
• Esperanza-Matematica
• Varianza
• Funcion-de-Probabilidad

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Sugerencia de Estudio

Practique el cálculo de esperanzas y varianzas hasta que se vuelva automático. La esperanza es un “promedio ponderado” donde los pesos son las probabilidades. La varianza mide dispersión y siempre es no negativa. La fórmula $\text{Var}(X)=E(X^2)-[E(X){]}^2$ es más eficiente que la definición. Memorice que $E$ es lineal pero Var NO lo es: $\text{Var}(aX+b)=a^2\text{Var}(X)$. Trabaje muchos ejemplos de transformaciones $Y=g(X)$.

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✅ Checklist de Estudio

Lista de Verificación

• Entiendo qué es una variable aleatoria discreta
• Puedo calcular funciones de probabilidad para experimentos simples
• Sé encontrar la distribución de $Y=g(X)$ usando el teorema
• Puedo calcular $E(X)$ usando la definición
• Comprendo que $E(X)$ puede no ser un valor posible de X
• Sé usar la propiedad de linealidad: $E(aX+b)=aE(X)+b$
• Puedo calcular $E(g(X))$ sin encontrar la distribución de g(X)
• Sé calcular la varianza usando $\text{Var}(X)=E(X^2)-[E(X){]}^2$
• Entiendo que $\text{Var}(aX+b)=a^2\text{Var}(X)$
• Puedo calcular e interpretar la desviación estándar

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