8) Vectores Aleatorios Discretos

Clase 8: Vectores Aleatorios Discretos

📚 Introducción

Esta clase introduce el concepto de vectores aleatorios discretos, que nos permite estudiar dos o más variables aleatorias simultáneamente y analizar las relaciones entre ellas. Estudiaremos cómo describir el comportamiento conjunto de variables aleatorias mediante funciones de probabilidad conjunta, cómo obtener las distribuciones individuales (marginales), y cómo determinar si las variables son independientes.

Objetivos de la Clase

• Comprender el concepto de vector aleatorio discreto
• Definir y trabajar con funciones de probabilidad conjunta
• Obtener funciones de probabilidad marginales a partir de la conjunta
• Determinar la independencia entre variables aleatorias
• Aplicar propiedades de distribuciones conjuntas
• Trabajar con la suma de variables Poisson independientes

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1. Vector Aleatorio Discreto

1.1 Definición

Definición - Vector Aleatorio Discreto

Sea $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ un espacio de probabilidad y $X=X(\omega )$ e $Y=Y(\omega )$, $\omega \in \Omega$, variables aleatorias discretas.

El vector $(X,Y)$ se denomina un vector aleatorio discreto.

Contexto

Un vector aleatorio discreto nos permite estudiar el comportamiento conjunto de dos variables aleatorias. Por ejemplo:

• La altura y el peso de una persona
• El número de productos vendidos y el ingreso obtenido
• Puntajes en dos exámenes diferentes

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2. Función de Probabilidad Conjunta

2.1 Definición

Definición - Función de Probabilidad Conjunta

La función de probabilidad conjunta de $X$ e $Y$ está dada por:

$P(X=x,Y=y)=P(\{\omega \in \Omega ;X(\omega )=x,Y(\omega )=y\})$

para todo valor $x\in R$ de $X$ e $y\in R$ de $Y$.

Interpretación

$P(X=x,Y=y)$ representa la probabilidad de que simultáneamente la variable $X$ tome el valor $x$ y la variable $Y$ tome el valor $y$.

2.2 Ejemplo: Juego de Cartas

Ejemplo 1: Puntajes en un Juego de Cartas

En un juego de cartas, se gana o se pierde dependiendo de la pinta y los números de las cartas con que cada jugador se queda en la mano al finalizar la partida. Las variables aleatorias $X$ e $Y$ indican los puntajes obtenidos por un jugador debido a las pintas y a los números de sus cartas, respectivamente.

La función de probabilidad conjunta de $X$ e $Y$ está dada por:

$x\backslash y$	1	2	3
-1	0.10	0.10	0
0	0.10	0.20	0.10
1	0	0.05	0.05
2	0.10	0.15	0.05

$P(X=x,Y=y)=0$ en cualquier otro caso.

Interpretación: Por ejemplo, $P(X=0,Y=2)=0.20$ significa que hay un 20% de probabilidad de que el jugador obtenga 0 puntos por pintas y 2 puntos por números.

Propiedades de la Función de Probabilidad Conjunta

1. $P(X=x,Y=y)\ge 0$ para todo $x,y$
2. ${\sum }_x{\sum }_{y}P(X=x,Y=y)=1$ (suma sobre todos los pares posibles)

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3. Funciones de Probabilidad Marginales

3.1 Definición

Definición - Probabilidades Marginales

Sea $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ un espacio de probabilidad y $(X,Y)$ un vector aleatorio discreto definido en él.

Las funciones de probabilidad $P(X=x)$ y $P(Y=y)$ se denominan función de probabilidad marginal de $X$ e $Y$, respectivamente.

¿Por qué "Marginales"?

El término “marginal” proviene de que, en una tabla de probabilidades conjuntas, estas probabilidades se calculan en los márgenes de la tabla (sumando filas o columnas).

3.2 Teorema para Obtener Marginales

Teorema - Cálculo de Probabilidades Marginales

Dadas dos variables aleatorias $X$ e $Y$, con función de probabilidad conjunta $P(X=x,Y=y)$, las probabilidades marginales de $X$ e $Y$ pueden obtenerse como:

$P(X=x)={\sum }_{y}P(X=x,Y=y)$

$P(Y=y)={\sum }_{x}P(X=x,Y=y)$

3.3 Ejemplo: Obtención de Marginales

Ejercicio 1: Marginales del Juego de Cartas

Obtenga las funciones de probabilidad marginales de $X$ y de $Y$ en el ejemplo anterior.

Solución:

$x\backslash y$	1	2	3	$P(X=x)$
-1	0.10	0.10	0	0.20
0	0.10	0.20	0.10	0.40
1	0	0.05	0.05	0.10
2	0.10	0.15	0.05	0.30
$P(Y=y)$	0.30	0.50	0.20	1.00

Por ejemplo:

• $P(X=-1)=0.10+0.10+0=0.20$
• $P(Y=2)=0.10+0.20+0.05+0.15=0.50$

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4. Independencia de Variables Aleatorias

4.1 Definición de Independencia

Definición - Variables Aleatorias Independientes

Sea $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ un espacio de probabilidad y $X=X(\omega )$ e $Y=Y(\omega )$, $\omega \in \Omega$, variables aleatorias discretas.

$X$ e $Y$ se dicen variables aleatorias independientes si y solo si, para todo $x\in R$ de $X$ e $y\in R$ de $Y$:

$P(X=x,Y=y)=P(X=x)\cdot P(Y=y)$

Interpretación de Independencia

Dos variables son independientes cuando el conocimiento del valor de una no proporciona información sobre el valor de la otra.

Para verificar independencia, debe cumplirse la condición para TODAS las combinaciones de valores de $x$ e $y$.

4.2 Ejemplo: Verificación de Independencia

Ejercicio 2: ¿Son Independientes X e Y?

En el problema del Ejercicio 1, estudie si las variables $X$ e $Y$ son independientes.

Solución:

Para que sean independientes, debe cumplirse que $P(X=x,Y=y)=P(X=x)\cdot P(Y=y)$ para todos los pares $(x,y)$.

Verifiquemos para $X=-1,Y=1$:

• $P(X=-1,Y=1)=0.10$

• $P(X=-1)\cdot P(Y=1)=0.20\times 0.30=0.06$

• Como $0.10\ne 0.06$, concluimos que $X$ e $Y$ NO son independientes

Importante todas las combinaciones. Basta con encontrar un par donde no se cumpla para concluir que NO son independientes.

Para que lo sean, se debe cumplir la condición en

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5. Obtención de Función de Probabilidad Conjunta

5.1 Caso General

Observación

En el caso general, no es posible obtener una función de probabilidad conjunta únicamente a partir de las funciones de probabilidad marginales.

Excepción: Cuando las variables son independientes, entonces: $P(X=x,Y=y)=P(X=x)\cdot P(Y=y)$

5.2 Fórmulas Generales

Relaciones para Obtener la Conjunta

En general, se tiene:

$P(X=x,Y=y)=P(X=x)\cdot P(Y=y|X=x)$

$P(X=x,Y=y)=P(Y=y)\cdot P(X=x|Y=y)$

Donde $P(Y=y|X=x)$ es la probabilidad condicional de $Y$ dado $X$.

5.3 Ejemplo: Distribuciones Condicionales

Ejercicio 3: Distribución Conjunta con Poisson y Binomial

Sean $X$ e $Y$ variables aleatorias discretas. Se sabe que:

• $Y\sim \text{Poisson}(\lambda )$, $y\in N\cup \{0\}$, $\lambda >0$
• $X|Y=y\sim \text{Binomial}(y,p)$, $x=0,...,y$

Encuentre la distribución conjunta de $X$ e $Y$.

Solución:

Usando $P(X=x,Y=y)=P(Y=y)\cdot P(X=x|Y=y)$:

$P(X=x,Y=y)=\frac{e^{-\lambda }{\lambda }^y}{y!}\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{y}{x}\right)p^x(1-p{)}^{y-x}$

$=\frac{e^{-\lambda }{\lambda }^y}{y!}\cdot \frac{y!}{x!(y-x)!}{p}^x(1-p{)}^{y-x}$

$=\frac{e^{-\lambda }{\lambda }^y{p}^x(1-p{)}^{y-x}}{x!(y-x)!}$

para $x=0,1,...,y$ y $y=0,1,2,...$

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6. Distribución de la Suma de Variables Poisson Independientes

6.1 Teorema Importante

Teorema - Suma de Variables Poisson

Sea $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ un espacio de probabilidad y $X_1=X_1(\omega )$ y $X_2=X_2(\omega )$, $\omega \in \Omega$, variables aleatorias independientes con distribución de Poisson de parámetros ${\lambda }_1$ y ${\lambda }_2$, respectivamente.

Sea la variable aleatoria $Y=X_1+X_2$. Entonces:

$Y\sim \text{Poisson}({\lambda }_1+{\lambda }_2)$

Propiedad de Clausura

Esta propiedad nos dice que la suma de variables Poisson independientes es también Poisson, con parámetro igual a la suma de los parámetros individuales.

6.2 Aplicación: Paradero de Transantiago

Ejercicio 5: Paradero de Transantiago

El número de personas que llegan a un paradero dado durante un período de 10 minutos, y que esperan un bus de Transantiago, puede ser modelado como una variable aleatoria con distribución de Poisson de media ${\lambda }_1=8$.

El número de personas que llegan al mismo paradero, en el mismo intervalo de tiempo, y que esperan un taxi, puede ser modelado como otra variable aleatoria con distribución de Poisson de media ${\lambda }_2=2$.

Suponga que ambas variables son independientes.

Obtenga la probabilidad de que en total hayan llegado exactamente 12 personas al paradero en dicho intervalo de tiempo.

Solución:

Sean:

• $X_1$ = número de personas que esperan bus ($X_1\sim \text{Poisson}(8)$)
• $X_2$ = número de personas que esperan taxi ($X_2\sim \text{Poisson}(2)$)
• $Y=X_1+X_2$ = total de personas

Por el teorema: $Y\sim \text{Poisson}(8+2)=\text{Poisson}(10)$

Por lo tanto: $P(Y=12)=\frac{e^{-10}\cdot 10^{12}}{12!}$

6.3 Distribución Condicional

Ejercicio 6: Probabilidad Condicional

En el ejercicio anterior, obtenga la probabilidad de que hayan llegado $x_1=5$ personas que esperen un bus Transantiago, si se sabe que, en total, llegaron $y=8$ personas en el mismo período de tiempo al paradero.

Solución:

Queremos calcular $P(X_1=5|Y=8)$ donde $Y=X_1+X_2$.

Usando probabilidad condicional: $P(X_1=5|Y=8)=\frac{P(X_1=5,X_2=3)}{P(Y=8)}$

Por independencia: $=\frac{P(X_1=5)\cdot P(X_2=3)}{P(Y=8)}$

$=\frac{\frac{e^{-8}\cdot 8^5}{5!}\cdot \frac{e^{-2}\cdot 2^3}{3!}}{\frac{e^{-10}\cdot 10^8}{8!}}$

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🎯 Conceptos Clave para Repasar

Resumen de Conceptos

1. Vector aleatorio discreto: Par $(X,Y)$ de variables aleatorias discretas
2. Función de probabilidad conjunta: $P(X=x,Y=y)$ - probabilidad de que ambas tomen valores específicos simultáneamente
3. Probabilidades marginales: Distribuciones individuales obtenidas sumando sobre la otra variable
4. Independencia: $P(X=x,Y=y)=P(X=x)\cdot P(Y=y)$ para todos los pares $(x,y)$
5. Suma de Poisson: Si $X_1\sim \text{Poisson}({\lambda }_1)$ y $X_2\sim \text{Poisson}({\lambda }_2)$ son independientes, entonces $X_1+X_2\sim \text{Poisson}({\lambda }_1+{\lambda }_2)$

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🚨 Errores Comunes

Error 1: Confundir conjunta con marginal

• Incorrecto: Pensar que $P(X=x,Y=y)=P(X=x)+P(Y=y)$
• Correcto: La conjunta no es la suma de las marginales (excepto en casos de independencia donde es el producto)

Error 2: Verificar independencia con un solo par de valores

• Incorrecto: Verificar $P(X=x_0,Y=y_0)=P(X=x_0)\cdot P(Y=y_0)$ para un solo par y concluir independencia
• Correcto: Debe verificarse para TODOS los pares posibles de valores

Error 3: No reconocer la distribución de la suma

• Incorrecto: Pensar que si $X\sim \text{Poisson}({\lambda }_1)$ y $Y\sim \text{Poisson}({\lambda }_2)$, entonces $X+Y$ no tiene distribución conocida
• Correcto: $X+Y\sim \text{Poisson}({\lambda }_1+{\lambda }_2)$ cuando son independientes

Error 4: Olvidar el supuesto de independencia

• Incorrecto: Aplicar $P(X=x,Y=y)=P(X=x)\cdot P(Y=y)$ sin verificar independencia
• Correcto: Esta fórmula solo es válida cuando las variables son independientes

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📝 Ejercicios Propuestos

Ejercicios de Práctica

1. Dada la siguiente tabla de probabilidad conjunta, calcule las marginales:

$x\backslash y$	0	1	2
0	0.1	0.2	0.1
1	0.15	0.25	0.2

2. Para la tabla anterior, determine si $X$ e $Y$ son independientes
3. Si $X\sim \text{Poisson}(3)$ y $Y\sim \text{Poisson}(5)$ son independientes, calcule $P(X+Y=4)$
4. Demuestre que si $X$ e $Y$ son independientes, entonces $P(X\le x,Y\le y)=P(X\le x)\cdot P(Y\le y)$

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📚 Referencias

Lectura Principal

• Sección: Vectores aleatorios discretos
• EYP 1016 Clase 8.pdf

Enlaces Relacionados

• Clase-07-Variables-Aleatorias-Discretas
• Distribucion-Poisson
• Distribucion-Binomial
• Probabilidad-Condicional
• Independencia-Eventos

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Sugerencia de Estudio

Los vectores aleatorios son fundamentales para modelar situaciones donde múltiples variables interactúan. Practica especialmente la obtención de marginales y la verificación de independencia. Los ejemplos de Poisson son muy útiles para aplicaciones prácticas.

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✅ Checklist de Estudio

Lista de Verificación

• Entiendo qué es un vector aleatorio discreto
• Puedo calcular probabilidades conjuntas
• Sé obtener distribuciones marginales a partir de la conjunta
• Comprendo el concepto de independencia de variables aleatorias
• Puedo verificar independencia usando la definición
• Entiendo las fórmulas para obtener la conjunta usando condicionales
• Conozco la propiedad de la suma de variables Poisson independientes
• Puedo aplicar estos conceptos a problemas prácticos

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