9) Variables Aleatorias Continuas

Clase 9: Variables Aleatorias Continuas

📚 Introducción

Esta clase marca la transición del estudio de variables aleatorias discretas a variables aleatorias continuas. Mientras que las variables discretas toman valores en un conjunto finito o numerable, las variables continuas pueden tomar cualquier valor en uno o más intervalos de los números reales. Este cambio fundamental nos lleva a trabajar con funciones de densidad en lugar de funciones de probabilidad, y con integrales en lugar de sumas.

Objetivos de la Clase

• Comprender la diferencia entre variables aleatorias discretas y continuas
• Definir y trabajar con funciones de densidad de probabilidad
• Calcular probabilidades usando integrales
• Estudiar distribuciones continuas importantes: Uniforme, Exponencial, Gama y Normal
• Calcular esperanza y varianza para variables continuas
• Aplicar la estandarización de la distribución Normal

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1. Variables Aleatorias Continuas

1.1 Definiciones

Variable Aleatoria Discreta (Repaso)

Sea $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ un espacio de probabilidad. Una variable aleatoria $X=X(\omega )$, $\omega \in \Omega$ tiene distribución discreta si existe un conjunto $B$, finito o numerable, de la recta real, tal que se verifica que $P(X\in B)=1$.

Variable Aleatoria Continua (Definición Informal)

Sea $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ un espacio de probabilidad y $X=X(\omega )$, $\omega \in \Omega$, una variable aleatoria.

Decimos que $X$ tiene distribución continua si toma valores en uno o más intervalos en los números reales.

Variable Aleatoria Continua (Definición Formal)

Sea $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ un espacio de probabilidad y $X=X(\omega )$, $\omega \in \Omega$, una variable aleatoria.

Decimos que $X$ tiene distribución continua si su función de distribución $F_X(x)$ puede expresarse como el área bajo la curva $f(x)$:

$F_X(x)={\int }_{-\infty }^x{f}_X(u)du$

donde $f$ es una función no-negativa y tal que su área existe.

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2. Función de Densidad

2.1 Definición y Propiedades

Definición - Función de Densidad

La función $f_X(x)$ se denomina función de densidad de la distribución de la variable aleatoria $X$ y decimos que la variable aleatoria $X$ tiene densidad $f_X$.

Se desprende que: $f_X(x)=\frac{d{F}_X(x)}{dx}$

Propiedades Necesarias

Si $f_X(x)$ es una función de densidad:

1. $f_X(x)\ge 0$, $\forall x\in R$
2. ${\int }_{-\infty }^{\infty }{f}_X(u)du=1$

Diferencia Fundamental con Variables Discretas

• Discreta: Trabajamos con $P(X=x)$ (probabilidad puntual)
• Continua: Trabajamos con $f_X(x)$ (función de densidad) y probabilidades de intervalos

2.2 Probabilidad de un Punto

Propiedad Fundamental

Sea $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ un espacio de probabilidad y $X=X(\omega )$, $\omega \in \Omega$, una variable aleatoria continua. Entonces:

$P(X=x_0)=0$

para todo $x_0$.

Interpretación Importante

Para variables continuas:

• La probabilidad de un punto específico es cero
• Esto NO significa que el evento sea imposible, sino que la probabilidad se “distribuye” sobre intervalos
• Solo tiene sentido hablar de probabilidades de intervalos

2.3 Probabilidades de Intervalos

Propiedad - Probabilidades de Intervalos

Sea $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ un espacio de probabilidad y $X=X(\omega )$, $\omega \in \Omega$, una variable aleatoria continua.

Entonces, para dos números $a<b$ arbitrarios:

$P(a\le X<b)=P(a\le X\le b)=P(a<X\le b)=P(a<X<b)$ $=F_X(b)-F_X(a)={\int }_a^b{f}_X(u)du$

Observación Clave

Para variables continuas, no importa si los extremos del intervalo están incluidos o no, ya que $P(X=a)=P(X=b)=0$.

Por lo tanto: $P(a<X<b)=P(a\le X\le b)$

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3. Distribución Uniforme

3.1 Definición

Definición - Distribución Uniforme

Se dice que una variable aleatoria $X$ tiene distribución Uniforme en el intervalo $(a,b)$, donde $a<b$, si su función de densidad es:

$f_X(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{b-a}& \text{si }x\in (a,b)\\ 0& \text{si }x\notin (a,b)\end{array}$

Notación: $X\sim \text{Uniforme}(a,b)$

Interpretación

La distribución uniforme representa una variable aleatoria donde todos los valores en el intervalo $(a,b)$ son igualmente probables.

Ejemplos:

• El momento exacto en que llega un bus dentro de un período de 10 minutos
• La posición donde cae una gota de lluvia en una superficie plana
• Generadores de números aleatorios

3.2 Propiedades de la Uniforme

Características de la Uniforme (a, b)

• Esperanza (Media): $E(X)=\frac{a+b}{2}$ (punto medio del intervalo)
• Varianza: $\text{Var}(X)=\frac{(b-a{)}^2}{12}$
• Gráfica: Función constante en $(a,b)$, cero fuera
• Área bajo la curva: $\frac{1}{b-a}\times (b-a)=1$ ✓

3.3 Ejemplo: Ejercicio 1

Ejercicio 1: Distribución Uniforme

Decimos que una variable aleatoria $X$ tiene distribución Uniforme en el intervalo $(a,b)$, donde $a<b$, si su función de densidad es:

$f_X(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{b-a}& \text{si }a<x<b\\ 0& \text{si }x\le a\text{ o }x\ge b\end{array}$

Parte 1: Represente esta función de densidad de manera gráfica.

Solución: La función es un rectángulo de altura $\frac{1}{b-a}$ entre $a$ y $b$.

Parte 2: Verifique que cumple las condiciones de una función de densidad.

Solución:

1. $f_X(x)\ge 0$ ✓ (es positiva en $(a,b)$ y cero fuera)
2. ${\int }_{-\infty }^{\infty }{f}_X(x)dx={\int }_a^b\frac{1}{b-a}dx=\frac{1}{b-a}\cdot (b-a)=1$ ✓

Parte 3: Obtenga la probabilidad de que la variable aleatoria esté entre 3 y 4, cuando $a=1,b=5$.

Solución: $P(3<X<4)={\int }_3^4\frac{1}{5-1}dx={\int }_3^4\frac{1}{4}dx=\frac{1}{4}\cdot 1=0.25$

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4. Esperanza y Varianza para Variables Continuas

4.1 Esperanza o Media

Esperanza para Variables Discretas (Repaso)

Sea $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ un espacio de probabilidad y $X=X(\omega )$, $\omega \in \Omega$, una variable aleatoria discreta. La esperanza o media de $X$ está dada por:

${\mu }_X=E(X)={\sum }_{x}x\cdot P(X=x)$

Esperanza para Variables Continuas

Sea $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ un espacio de probabilidad y $X=X(\omega )$, $\omega \in \Omega$, una variable aleatoria continua. La esperanza o media de $X$ está dada por:

${\mu }_X=E(X)={\int }_{-\infty }^{\infty }x\cdot f_X(x)dx$

Interpretación Geométrica

La media representa el punto de equilibrio de la distribución, donde la “masa” de probabilidad se balancea.

4.2 Varianza

Definición - Varianza para Variables Continuas

Sea $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ un espacio de probabilidad y $X=X(\omega )$, $\omega \in \Omega$, una variable aleatoria continua. La varianza de $X$ se define como:

${\sigma }_X^2=\text{Var}(X)=E[(X-{\mu }_X{)}^2]={\int }_{-\infty }^{\infty }(x-{\mu }_X{)}^2{f}_X(x)dx$

$=E(X^2)-[E(X){]}^2$

La desviación estándar de $X$ es la raíz cuadrada de la varianza de $X$: ${\sigma }_X=\sqrt{\text{Var}(X)}$

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5. Distribución Exponencial

5.1 Definición

Definición - Distribución Exponencial

Se dice que una variable aleatoria $X$ sigue una distribución Exponencial con parámetro $\lambda >0$, si su función de densidad está dada por:

$f_X(x)=\{\begin{array}{ll}\lambda e^{-\lambda x}& \text{si }x>0\\ 0& \text{si }x\le 0\end{array}$

Notación: $X\sim \text{Exp}(\lambda )$

Aplicaciones de la Exponencial

La distribución exponencial modela:

• Tiempos de espera hasta que ocurra un evento (llegada de clientes, fallas de equipos)
• Tiempo entre eventos en un proceso de Poisson
• Vida útil de componentes electrónicos
• Tiempo de desintegración de átomos radiactivos

5.2 Propiedades de la Exponencial

Características de la Exp (\lambda)

• Esperanza: $E(X)=\frac{1}{\lambda }$
• Varianza: $\text{Var}(X)=\frac{1}{{\lambda }^2}$
• Propiedad sin memoria: $P(X>s+t|X>s)=P(X>t)$
• Función de distribución: $F_X(x)=1-e^{-\lambda x}$ para $x>0$

Interpretación del Parámetro

• $\lambda$ representa la tasa del proceso (eventos por unidad de tiempo)
• $\frac{1}{\lambda }$ representa el tiempo promedio hasta el primer evento

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6. Distribución Gama

6.1 Definición

Definición - Distribución Gama

Se dice que una variable aleatoria $X$ sigue una distribución Gama con parámetros $\alpha >0$ y $\lambda >0$, si su función de densidad está dada por:

$f_X(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{{\lambda }^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}{x}^{\alpha -1}{e}^{-\lambda x}& \text{si }x>0\\ 0& \text{si }x\le 0\end{array}$

Donde $\Gamma (\alpha )={\int }_0^{\infty }{t}^{\alpha -1}{e}^{-t}dt$ es la función Gama.

Notación: $X\sim \text{Gamma}(\alpha ,\lambda )$

Relación con la Exponencial

La distribución Gama es una generalización de la distribución Exponencial:

• Si $\alpha =1$, entonces $\text{Gamma}(1,\lambda )=\text{Exp}(\lambda )$
• La Gama modela la suma de $\alpha$ variables exponenciales independientes

6.2 Propiedades de la Gama

Características de la Gamma (\alpha, \lambda)

• Esperanza: $E(X)=\frac{\alpha }{\lambda }$
• Varianza: $\text{Var}(X)=\frac{\alpha }{{\lambda }^2}$
• Parámetro de forma: $\alpha$ determina la forma de la distribución
• Parámetro de escala: $\lambda$ afecta la escala horizontal

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7. Distribución Normal

7.1 Definición

Definición - Distribución Normal

Se dice que una variable aleatoria $X$ sigue una distribución Normal con parámetros $\mu \in R$ y ${\sigma }^2\in R^{+}$, si su función de densidad está dada por:

$f_X(x)=(2\pi {\sigma }^2{)}^{-1/2}\exp \left\{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}\right\},x\in R$

Notación: $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$ o $X\sim \text{Normal}(\mu ,{\sigma }^2)$

Importancia de la Normal

La distribución Normal es la más importante en estadística porque:

• Teorema del Límite Central: Muchas distribuciones convergen a la Normal
• Modela numerosos fenómenos naturales (alturas, pesos, errores de medición)
• Base de muchos métodos estadísticos de inferencia
• Tiene propiedades matemáticas muy convenientes

7.2 Parámetros de la Normal

Parámetros

• $\mu$: Media de la distribución (centro)
• ${\sigma }^2$: Varianza de la distribución (dispersión)
• $\sigma$: Desviación estándar

Propiedades:

• $E(X)=\mu$
• $\text{Var}(X)={\sigma }^2$

Características de la Curva Normal

• Simétrica alrededor de $\mu$
• Forma de campana (campana de Gauss)
• Puntos de inflexión en $\mu \pm \sigma$
• Asintótica al eje x (nunca toca el eje)
• Área total bajo la curva = 1

7.3 Distribución Normal Estándar

Definición - Normal Estándar

Se dice que una variable aleatoria $Z$ sigue una distribución Normal Estándar si $Z\sim N(0,1)$.

En este caso, su función de densidad está dada por: $f_Z(z)=(2\pi {)}^{-1/2}\exp \left\{-\frac{1}{2}{z}^2\right\},z\in R$

Propiedades:

• $E(Z)=0$
• $\text{Var}(Z)=1$

7.4 Estandarización

Teorema - Estandarización de la Normal

Sean $\mu \in R$ y ${\sigma }^2\in R^{+}$.

1. Si una variable aleatoria $Z$ sigue una distribución $N(0,1)$, entonces la variable aleatoria: $X=\mu +\sigma Z$ sigue una distribución $N(\mu ,{\sigma }^2)$.

2. Si una variable aleatoria $X$ sigue una distribución $N(\mu ,{\sigma }^2)$, entonces la variable aleatoria: $Z=\frac{X-\mu }{\sigma }$ sigue una distribución $N(0,1)$.

Uso Práctico de la Estandarización

La estandarización permite:

• Convertir cualquier Normal en Normal Estándar
• Usar tablas de la distribución Normal Estándar
• Calcular probabilidades para cualquier Normal usando la misma tabla

Pasos para calcular $P(X<a)$ cuando $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$:

1. Estandarizar: $Z=\frac{X-\mu }{\sigma }$
2. Transformar: $P(X<a)=P\left(Z<\frac{a-\mu }{\sigma }\right)$
3. Usar tabla o software para $Z\sim N(0,1)$

7.5 Ejemplo: Tiempos de Reacción

Ejercicio 4: Tiempos de Reacción al Conducir

Los tiempos de reacción al conducir de los adolescentes entre 18 y 21 años siguen una distribución Normal de media 0.53 segundos, y desviación estándar 0.11 segundos.

Pregunta 1: ¿Cuál es la probabilidad de que un adolescente en este rango de edad reaccione en menos de 0.6 segundos desde que percibió el paso de un gato en la vía?

Solución:

Tenemos $X\sim N(0.53,0.11^2)$ donde $\mu =0.53$ y $\sigma =0.11$.

Queremos $P(X<0.6)$:

$P(X<0.6)=P\left(\frac{X-0.53}{0.11}<\frac{0.6-0.53}{0.11}\right)$

$=P\left(Z<\frac{0.07}{0.11}\right)=P(Z<0.64)\approx 0.7389$

Pregunta 2: ¿Cuál es la probabilidad de que reaccione entre 0.5 y 0.55 segundos desde el mismo instante?

Solución:

$P(0.5<X<0.55)=P(X<0.55)-P(X<0.5)$

Estandarizando: $=P\left(Z<\frac{0.55-0.53}{0.11}\right)-P\left(Z<\frac{0.5-0.53}{0.11}\right)$

$=P(Z<0.18)-P(Z<-0.27)$

$\approx 0.5714-[1-P(Z<0.27)]$

$\approx 0.5714-1+0.6064=0.1778$

Pregunta 3: ¿Cuál es el tiempo de reacción, $t_0$, tal que la probabilidad de que un adolescente en este rango de edad reaccione antes de este sea igual a 0.3?

Solución:

Queremos $t_0$ tal que $P(X<t_0)=0.3$

$P\left(Z<\frac{t_0-0.53}{0.11}\right)=0.3$

De tabla: $P(Z<-0.52)\approx 0.3$

Por lo tanto: $\frac{t_0-0.53}{0.11}=-0.52$

$t_0=0.53+0.11\times (-0.52)=0.4728\text{ segundos}$

Pregunta 4: ¿Cuál es el tiempo de reacción, $t_0$, tal que la probabilidad de que un adolescente en este rango de edad reaccione después de este sea igual a 0.2?

Solución:

Queremos $t_0$ tal que $P(X>t_0)=0.2$, es decir, $P(X<t_0)=0.8$

$P\left(Z<\frac{t_0-0.53}{0.11}\right)=0.8$

De tabla: $P(Z<0.84)\approx 0.8$

Por lo tanto: $\frac{t_0-0.53}{0.11}=0.84$

$t_0=0.53+0.11\times 0.84=0.6224\text{ segundos}$

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🎯 Conceptos Clave para Repasar

Resumen de Conceptos

1. Variable aleatoria continua: Toma valores en intervalos de ℝ
2. Función de densidad: $f_X(x)\ge 0$ y ${\int }_{-\infty }^{\infty }{f}_X(x)dx=1$
3. Probabilidad de un punto: $P(X=x_0)=0$ para variables continuas
4. Probabilidad de intervalo: $P(a<X<b)={\int }_a^b{f}_X(x)dx$
5. Esperanza continua: $E(X)={\int }_{-\infty }^{\infty }x{f}_X(x)dx$
6. Uniforme$(a,b)$: Todos los valores en $(a,b)$ igualmente probables
7. Exponencial$(\lambda )$: Modela tiempos de espera, $E(X)=1/\lambda$
8. Normal$(\mu ,{\sigma }^2)$: La más importante, simétrica, forma de campana
9. Estandarización: $Z=\frac{X-\mu }{\sigma }$ convierte $N(\mu ,{\sigma }^2)$ en $N(0,1)$

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🚨 Errores Comunes

Error 1: Pensar que f_X(x) es una probabilidad

• Incorrecto: Interpretar $f_X(0.5)=2$ como “la probabilidad es 2”
• Correcto: $f_X(x)$ es una densidad, no una probabilidad. Las probabilidades se obtienen integrando

Error 2: Intentar calcular P(X = x_0) para variables continuas

• Incorrecto: Calcular $P(X=5)$ como $f_X(5)$
• Correcto: Para variables continuas, $P(X=x_0)=0$ siempre. Solo intervalos tienen probabilidad positiva

Error 3: Confundir parámetros de la Normal

• Incorrecto: Pensar que $N(3,4)$ tiene desviación estándar 4
• Correcto: $N(\mu ,{\sigma }^2)$ usa la varianza, entonces ${\sigma }^2=4\Rightarrow \sigma =2$

Error 4: Olvidar estandarizar en la Normal

• Incorrecto: Usar tabla de $N(0,1)$ directamente para $X\sim N(5,9)$
• Correcto: Primero estandarizar: $Z=\frac{X-5}{3}$, luego usar tabla

Error 5: Confundir mayor/menor en probabilidades

• Incorrecto: Si $P(Z<0.84)=0.8$, entonces $P(Z>0.84)=0.8$
• Correcto: $P(Z>0.84)=1-P(Z<0.84)=1-0.8=0.2$

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📝 Ejercicios Propuestos

Ejercicios de Práctica

1. Si $X\sim \text{Uniforme}(2,8)$, calcule:

   • $P(X<5)$
   • $E(X)$ y $\text{Var}(X)$

2. Si $X\sim \text{Exp}(2)$, calcule:

   • $P(X>1)$
   • $E(X)$

3. Si $X\sim N(100,225)$, calcule:

   • $P(X<115)$
   • $P(85<X<115)$
   • El valor $c$ tal que $P(X<c)=0.95$

4. Verifique que la función $f(x)=3x^2$ para $0<x<1$ es una función de densidad válida

5. El tiempo (en horas) hasta la próxima falla de una máquina sigue una distribución $\text{Exp}(0.5)$. ¿Cuál es la probabilidad de que la máquina funcione al menos 3 horas?

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📚 Referencias

Lectura Principal

• Sección: Variables aleatorias continuas
• EYP 1016 Clase 9.pdf

Enlaces Relacionados

• Clase-08-Vectores-Aleatorios
• Distribucion-Uniforme
• Distribucion-Exponencial
• Distribucion-Normal
• Teorema-Limite-Central
• Tabla-Normal-Estandar

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Sugerencia de Estudio

Las variables continuas son fundamentales para modelar fenómenos del mundo real. Practica especialmente la Normal y su estandarización, ya que es la distribución más importante en estadística. Domina la interpretación geométrica (áreas bajo curvas) y la estandarización con ejemplos como el Ejercicio 4.

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✅ Checklist de Estudio

Lista de Verificación

• Entiendo la diferencia entre variables discretas y continuas
• Comprendo que para variables continuas $P(X=x_0)=0$
• Sé calcular probabilidades usando integrales de la función de densidad
• Puedo verificar si una función es una densidad válida
• Conozco las propiedades de la distribución Uniforme
• Entiendo la distribución Exponencial y su aplicación a tiempos de espera
• Reconozco la distribución Normal y sus características
• Domino el proceso de estandarización de la Normal
• Puedo usar tablas de la Normal Estándar para calcular probabilidades
• Sé calcular percentiles de la Normal

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🏷️ Tags

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