28) Cambio de Base

Clase 28: Cambio de Base

📚 Introducción

Esta clase introduce el concepto fundamental de cambio de base en espacios vectoriales. Cuando se elige una base para un espacio vectorial $V$ de dimensión $n$, el mapeo de coordenadas asociado a $n$ proporciona un sistema de coordenadas para $V$. Se identifica cada x en $V$ únicamente por su vector de B-coordenadas, $[\mathbf{x}{]}_{\mathcal{B}}$.

En algunas aplicaciones, se describe un problema inicialmente usando una base $\mathcal{B}$, pero la solución del problema se facilita cambiando a una nueva base $\mathcal{C}$. Cada vector se le asigna un nuevo vector de C-coordenadas. En esta sección se estudia cómo $[\mathbf{x}{]}_{\mathcal{B}}$ y $[\mathbf{x}{]}_{\mathcal{C}}$ se relacionan para toda x en $V$.

Objetivos de la Clase

• Comprender la acción de la matriz de cambio de coordenadas
• Establecer la relación entre diferentes sistemas de coordenadas
• Aprender a construir matrices de cambio de base
• Aplicar el cambio de base a problemas prácticos en ${\mathbb{R}}^n$

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1. Motivación: Dos Sistemas de Coordenadas

1.1 El Problema Geométrico

Para visualizar el problema, considere los dos sistemas de coordenadas de la figura 1.

Problema Motivador

Considere dos bases $\mathcal{B}=\{{\mathbf{b}}_1,{\mathbf{b}}_2\}$ y $\mathcal{C}=\{{\mathbf{c}}_1,{\mathbf{c}}_2\}$ de un espacio vectorial $V$, de manera que

${\mathbf{b}}_1=3{\mathbf{c}}_1+{\mathbf{c}}_2\text{y}{\mathbf{b}}_2=5{\mathbf{c}}_1+3{\mathbf{c}}_2$

Es decir, suponga que $[{\mathbf{b}}_1{]}_{\mathcal{C}}=\left[\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right]$ y $[{\mathbf{b}}_2{]}_{\mathcal{C}}=\left[\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right]$.

Suponga que $\mathbf{x}=3{\mathbf{b}}_1+{\mathbf{b}}_2$

Es decir, suponga que $[\mathbf{x}{]}_{\mathcal{B}}=\left[\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right]$. Encuentre $[\mathbf{x}{]}_{\mathcal{C}}$.

1.2 Interpretación Geométrica

En la figura 1a), $\mathbf{x}=3{\mathbf{b}}_1+{\mathbf{b}}_2$, mientras que en la figura 1b), la misma x se muestra como $\mathbf{x}=6{\mathbf{c}}_1+4{\mathbf{c}}_2$.

Conexión Clave

Nuestro problema es encontrar la conexión entre los dos vectores de coordenadas. El ejemplo 1 muestra cómo hacer esto, siempre que se conozca cómo se forman ${\mathbf{b}}_1$ y ${\mathbf{b}}_2$ a partir de ${\mathbf{c}}_1$ y ${\mathbf{c}}_2$.

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2. Matriz de Cambio de Coordenadas

2.1 Desarrollo de la Fórmula

Puesto que el mapeo de coordenadas es una transformación lineal,

$[\mathbf{x}{]}_{\mathcal{C}}=[3{\mathbf{b}}_1+{\mathbf{b}}_2{]}_{\mathcal{C}}=3[{\mathbf{b}}_1{]}_{\mathcal{C}}+[{\mathbf{b}}_2{]}_{\mathcal{C}}$

Esta fórmula da $[\mathbf{x}{]}_{\mathcal{C}}$, una vez que se conocen las columnas de la matriz. A partir de (1),

$3[{\mathbf{b}}_1{]}_{\mathcal{C}}+[{\mathbf{b}}_2{]}_{\mathcal{C}}=3\left[\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}14\\ 6\end{array}\right]$

Por lo tanto, la ecuación (3) da la solución:

$[\mathbf{x}{]}_{\mathcal{C}}=\left[\begin{array}{cc}3& 5\\ 1& 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}14\\ 6\end{array}\right]$

2.2 Definición Formal

Definición - Matriz de Cambio de Coordenadas

Sean $\mathcal{B}=\{{\mathbf{b}}_1,\dots ,{\mathbf{b}}_n\}$ y $\mathcal{C}=\{{\mathbf{c}}_1,\dots ,{\mathbf{c}}_n\}$ las bases de un espacio vectorial $V$. Entonces, existe una única matriz $P_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}$ de $n\times n$ tal que

$[\mathbf{x}{]}_{\mathcal{C}}=P_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}[\mathbf{x}{]}_{\mathcal{B}}$

Las columnas de $P_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}$ son los vectores de C-coordenadas de los vectores en la base $\mathcal{B}$. Es decir,

$P_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}=\left[\begin{array}{cccc}[{\mathbf{b}}_1{]}_{\mathcal{C}}& [{\mathbf{b}}_2{]}_{\mathcal{C}}& \cdots & [{\mathbf{b}}_n{]}_{\mathcal{C}}\end{array}\right]$

2.3 Propiedades Importantes

Teorema - Propiedades de la Matriz de Cambio

1. La matriz $P_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}$ es invertible
2. Las columnas de $P_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}$ son linealmente independientes
3. $(P_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}{)}^{-1}=P_{\mathcal{B}\leftarrow \mathcal{C}}$

Recordatorio

Para recordar cómo se construye la matriz, piense en $P_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}[\mathbf{x}{]}_{\mathcal{B}}$ como en una combinación lineal de las columnas de $P_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}$. El producto matriz-vector es un vector de C-coordenadas, de modo que las columnas de $P_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}$ también deberían ser los vectores de C-coordenadas.

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3. Ejemplos Desarrollados

3.2 Ejemplo con Tres Dimensiones

Ejemplo 2 - Sistema de Coordenadas en \mathbb{R}^3

Problema: Sean ${\mathbf{b}}_1=\left[\begin{array}{c}1\\ -3\end{array}\right]$, ${\mathbf{b}}_2=\left[\begin{array}{c}-2\\ 4\end{array}\right]$, ${\mathbf{c}}_1=\left[\begin{array}{c}-7\\ 9\end{array}\right]$, ${\mathbf{c}}_2=\left[\begin{array}{c}-5\\ 7\end{array}\right]$, y considere las bases para ${\mathbb{R}}^2$ dadas por $\mathcal{B}=\{{\mathbf{b}}_1,{\mathbf{b}}_2\}$ y $\mathcal{C}=\{{\mathbf{c}}_1,{\mathbf{c}}_2\}$.

a) Determine la matriz de cambio de coordenadas de $\mathcal{C}$ a $\mathcal{B}$. b) Encuentre la matriz de cambio de coordenadas de $\mathcal{B}$ a $\mathcal{C}$.

Solución:

a) Considere que $P_{\mathcal{B}\leftarrow \mathcal{C}}$ se necesita más que $P_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}$, y calcule

$\left[\begin{array}{ccccc}{\mathbf{b}}_1& {\mathbf{b}}_2& ⋮& {\mathbf{c}}_1& {\mathbf{c}}_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccc}1& -2& ⋮& -7& -5\\ -3& 4& ⋮& 9& 7\end{array}\right]\sim \left[\begin{array}{ccccc}1& 0& ⋮& 5& 3\\ 0& 1& ⋮& 6& 4\end{array}\right]$

Por lo tanto,

$P_{\mathcal{B}\leftarrow \mathcal{C}}=\left[\begin{array}{cc}5& 3\\ 6& 4\end{array}\right]$

b) De acuerdo con el inciso a) y la propiedad (6) anterior (con $\mathcal{B}$ y $\mathcal{C}$ intercambiadas),

$P_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}=(P_{\mathcal{B}\leftarrow \mathcal{C}}{)}^{-1}=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc}4& -3\\ -6& 5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2& -3/2\\ -3& 5/2\end{array}\right]$

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4. Otra Descripción de la Matriz de Cambio

4.1 Usando Matrices de Cambio de Coordenadas

Otra descripción de la matriz de cambio de coordenadas $P_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}$ utiliza las matrices de cambio de coordenadas $P_{\mathcal{B}}$ y $P_{\mathcal{C}}$ que convierten a las B-coordenadas en las C-coordenadas.

4.2 Relación con Coordenadas Estándar

Conexión con Coordenadas Estándar

En ${\mathbb{R}}^n$, la matriz de cambio de coordenadas $P_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}$ se puede calcular como $P_{\mathcal{C}}^{-1}{P}_{\mathcal{B}}$. En realidad, para matrices más grandes que $2\times 2$, un algoritmo similar al del ejemplo 3 es más rápido que calcular $P_{\mathcal{C}}^{-1}$ y luego $P_{\mathcal{C}}^{-1}{P}_{\mathcal{B}}$.

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5. Cambio de Base en ${\mathbb{R}}^n$

5.1 Caso Especial: Base Estándar

Si $\mathcal{B}=\{{\mathbf{b}}_1,\dots ,{\mathbf{b}}_n\}$ y $\mathcal{E}$ es la base estándar $\{{\mathbf{e}}_1,\dots ,{\mathbf{e}}_n\}$ en ${\mathbb{R}}^n$, entonces $[{\mathbf{b}}_i{]}_{\mathcal{E}}={\mathbf{b}}_i$, y lo mismo para los otros vectores en $\mathcal{B}$.

Matriz de Cambio para Base Estándar

En ${\mathbb{R}}^n$, si $\mathcal{E}$ es la base estándar, entonces:

$P_{\mathcal{E}\leftarrow \mathcal{B}}=\left[\begin{array}{cccc}{\mathbf{b}}_1& {\mathbf{b}}_2& \cdots & {\mathbf{b}}_n\end{array}\right]=P_{\mathcal{B}}$

5.2 Cambio entre Dos Bases No Estándar

Para cambiar las coordenadas entre dos bases que no son estándar en ${\mathbb{R}}^n$, se necesita el teorema 15.

Procedimiento en

${\mathbb{R}}^n$

La matriz de cambio de coordenadas $P_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}$ en el teorema 15 se denomina matriz de cambio de base de $\mathcal{B}$ a $\mathcal{C}$. La multiplicación por $P_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}$ convierte las B-coordenadas en las C-coordenadas.

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6. Algoritmo para Construir la Matriz de Cambio

6.1 Procedimiento Sistemático

Algoritmo de Cambio de Base

Para encontrar la matriz de cambio de coordenadas $P_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}$:

Paso 1: Forme la matriz aumentada $[{\mathbf{c}}_1{\mathbf{c}}_2\cdots {\mathbf{c}}_n|{\mathbf{b}}_1{\mathbf{b}}_2\cdots {\mathbf{b}}_n]$

Paso 2: Reduzca por filas a la forma $[I|P_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}]$

Esta operación equivale a: $[{\mathbf{c}}_1{\mathbf{c}}_2\cdots {\mathbf{c}}_n|{\mathbf{b}}_1{\mathbf{b}}_2\cdots {\mathbf{b}}_n]\sim [I|P_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}]$

6.2 Justificación del Algoritmo

Un procedimiento análogo funciona para encontrar la matriz de cambio de coordenadas entre dos bases cualesquiera en ${\mathbb{R}}^n$.

Observación Importante

Observe que la matriz $P_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}$ del ejemplo 2 ya apareció en la ecuación (7). Esto no es sorprendente, ya que la primera columna de $P_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}$ resulta de reducir por filas $[{\mathbf{c}}_1{\mathbf{c}}_2|{\mathbf{b}}_1]$ a $[I|[{\mathbf{b}}_1{]}_{\mathcal{C}}]$, y de manera similar para la segunda columna de $P_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}$.

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7. Aplicaciones del Cambio de Base

7.1 Simplificación de Problemas

Aplicaciones Prácticas

El cambio de base aparece en:

• Diagonalización de matrices: Simplificar cálculos de potencias de matrices
• Sistemas dinámicos: Encontrar soluciones más fácilmente
• Transformaciones lineales: Representar en bases más convenientes
• Formas cuadráticas: Eliminar términos cruzados

7.2 Ejemplo Aplicado

Ejemplo 3 - Aplicación a Sistemas Dinámicos

Problema: Sean ${\mathbf{b}}_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$ y ${\mathbf{b}}_2=\left[\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right]$, y considere $\mathcal{B}=\{{\mathbf{b}}_1,{\mathbf{b}}_2\}$ como una base de ${\mathbb{R}}^2$. Use $\mathcal{B}$ y la matriz estándar $\mathcal{E}$ para resolver el sistema dinámico:

${\mathbf{x}}_{k+1}=A{\mathbf{x}}_k$

donde $A=\left[\begin{array}{cc}0.5& 0.5\\ 0.5& 0.5\end{array}\right]$

Solución: En la base $\mathcal{B}$, la matriz de la transformación es diagonal, facilitando el cálculo.

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🚨 Errores Comunes

Error 1: Confundir el orden de las bases

• Incorrecto: Usar $P_{\mathcal{B}\leftarrow \mathcal{C}}$ cuando se necesita $P_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}$
• Correcto: La notación $P_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}$ convierte de B-coordenadas a C-coordenadas

Error 2: Invertir la matriz incorrecta

• Incorrecto: Pensar que $P_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}=(P_{\mathcal{C}}{)}^{-1}$
• Correcto: $P_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}=P_{\mathcal{C}}^{-1}{P}_{\mathcal{B}}$

Error 3: Olvidar que las columnas deben estar en C-coordenadas

• Incorrecto: Usar directamente los vectores de $\mathcal{B}$ como columnas
• Correcto: Las columnas de $P_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}$ son $[{\mathbf{b}}_i{]}_{\mathcal{C}}$

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📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicios Básicos

Ejercicios Fundamentales

1. Cambio de coordenadas simple: Sean $\mathcal{B}=\{{\mathbf{b}}_1,{\mathbf{b}}_2\}$ y $\mathcal{C}=\{{\mathbf{c}}_1,{\mathbf{c}}_2\}$ bases para un espacio vectorial $V$, y suponga que ${\mathbf{b}}_1=6{\mathbf{c}}_1-2{\mathbf{c}}_2$ y ${\mathbf{b}}_2=9{\mathbf{c}}_1-4{\mathbf{c}}_2$.

   a) Encuentre la matriz de cambio de coordenadas de $\mathcal{B}$ a $\mathcal{C}$. b) Encuentre $[\mathbf{x}{]}_{\mathcal{C}}$ para $\mathbf{x}=-3{\mathbf{b}}_1+2{\mathbf{b}}_2$.

2. Construcción de matriz de cambio: Sean ${\mathbf{b}}_1=\left[\begin{array}{c}8\\ -7\end{array}\right]$, ${\mathbf{b}}_2=\left[\begin{array}{c}-6\\ 5\end{array}\right]$, ${\mathbf{c}}_1=\left[\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right]$, ${\mathbf{c}}_2=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$, y considere las bases de ${\mathbb{R}}^2$ dadas por $\mathcal{B}=\{{\mathbf{b}}_1,{\mathbf{b}}_2\}$ y $\mathcal{C}=\{{\mathbf{c}}_1,{\mathbf{c}}_2\}$. Encuentre la matriz de cambio de coordenadas de $\mathcal{C}$ a $\mathcal{B}$.

Ejercicios Intermedios

Problemas de Aplicación

3. Verificación de propiedades: Sean $\mathcal{B}$ y $\mathcal{C}$ bases de ${\mathbb{R}}^3$. Demuestre que:

   a) $(P_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}{)}^{-1}=P_{\mathcal{B}\leftarrow \mathcal{C}}$ b) $P_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{C}}=I$

4. Cambio de base en ${\mathbb{R}}^3$: Sean ${\mathbf{b}}_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ -3\end{array}\right]$, ${\mathbf{b}}_2=\left[\begin{array}{c}2\\ 1\\ 5\end{array}\right]$, ${\mathbf{b}}_3=\left[\begin{array}{c}1\\ -1\\ 0\end{array}\right]$, y sean ${\mathbf{c}}_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right]$, ${\mathbf{c}}_2=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right]$, ${\mathbf{c}}_3=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right]$.

   a) Encuentre $P_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}$ b) Si $[\mathbf{x}{]}_{\mathcal{B}}=\left[\begin{array}{c}2\\ -1\\ 3\end{array}\right]$, encuentre $[\mathbf{x}{]}_{\mathcal{C}}$

Ejercicios Avanzados

Problemas Conceptuales

5. Composición de cambios de base: Si $\mathcal{B}$, $\mathcal{C}$ y $\mathcal{D}$ son bases de un espacio vectorial $V$, demuestre que:

   $P_{\mathcal{D}\leftarrow \mathcal{B}}=P_{\mathcal{D}\leftarrow \mathcal{C}}\cdot P_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}$

6. Aplicación a transformaciones: Sea $T:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$ una transformación lineal con matriz estándar $A=\left[\begin{array}{cc}7& -10\\ 3& -4\end{array}\right]$. Encuentre la matriz de $T$ respecto a la base $\mathcal{B}=\left\{\left[\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right]\right\}$.

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🎯 Conceptos Clave para Repasar

Resumen de Conceptos Fundamentales

1. Matriz de cambio de coordenadas: $P_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}$ convierte B-coordenadas en C-coordenadas
2. Columnas de la matriz: Son los vectores de C-coordenadas de los vectores de la base $\mathcal{B}$
3. Invertibilidad: $(P_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}{)}^{-1}=P_{\mathcal{B}\leftarrow \mathcal{C}}$
4. Algoritmo: Reducir $[{\mathbf{c}}_1\cdots {\mathbf{c}}_n|{\mathbf{b}}_1\cdots {\mathbf{b}}_n]$ a $[I|P_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}]$
5. Base estándar: $P_{\mathcal{E}\leftarrow \mathcal{B}}=P_{\mathcal{B}}$
6. Relación general: $P_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}=P_{\mathcal{C}}^{-1}{P}_{\mathcal{B}}$

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✅ Checklist de Estudio

Lista de Verificación

• Comprendo qué significa cambiar de base
• Puedo construir la matriz de cambio de coordenadas
• Sé aplicar el algoritmo de reducción por filas
• Entiendo la relación entre $P_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}$ y $P_{\mathcal{B}\leftarrow \mathcal{C}}$
• Puedo trabajar con la base estándar como caso especial
• Comprendo las aplicaciones prácticas del cambio de base
• Sé verificar si una matriz de cambio es correcta

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🔗 Conexiones con Otros Temas

Vínculos Conceptuales

Clases anteriores:

• Clase 22 - Espacios y subespacios vectoriales
• Clase 23-27 - Bases y dimensión

Próxima clase:

• Clase 29: Valores propios y vectores propios

Conceptos relacionados:

• Base - Fundamento del cambio de coordenadas
• Coordenadas - Sistema de referencia
• Transformacion-Lineal - Representación en diferentes bases

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📚 Referencias

Lectura Principal

• Lay, D. Álgebra Lineal y sus Aplicaciones. Sección 4.7, págs. 239-242

Lectura Complementaria

• Poole, D. Álgebra lineal: Una introducción moderna. Sección 4.7
• Strang, G. Introducción al Álgebra Lineal. Capítulo 5

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🏷️ Tags

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Próxima Clase

En la Clase 29, introduciremos los conceptos fundamentales de valores propios y vectores propios, que son esenciales para la diagonalización de matrices y tienen aplicaciones importantes en sistemas dinámicos, geometría y análisis de datos.

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