41) Formas Cuadráticas

Clase 41: Formas Cuadráticas

📚 Introducción

Hasta ahora en este libro nos hemos concentrado en ecuaciones lineales, excepto por las sumas de cuadrados que se encontraron en el capítulo 6 al calcular xᵀx. Estas sumas y expresiones más generales, llamadas formas cuadráticas, se presentan con frecuencia en aplicaciones del álgebra lineal a la ingeniería (en criterios de diseño y optimización) y el procesamiento de señales (como potencia de ruido de salida).

Las aplicaciones también surgen, por ejemplo, en física (como energías potencial y cinética), geometría diferencial (como la curvatura normal de superficies), economía (como funciones de utilidad) y estadística (en elipsoides de confianza). Parte de las bases matemáticas para dichas aplicaciones fluyen fácilmente de nuestro trabajo de matrices simétricas.

Objetivos de la Clase

• Comprender la definición de forma cuadrática y su matriz asociada
• Dominar la construcción de la matriz de una forma cuadrática
• Aprender el cambio de variable en formas cuadráticas
• Aplicar el teorema de los ejes principales
• Clasificar formas cuadráticas (positiva definida, negativa definida, indefinida)
• Interpretar geométricamente las formas cuadráticas
• Relacionar valores propios con la clasificación de formas cuadráticas

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1. Definición y Construcción de Formas Cuadráticas

1.1 Definición

Definición - Forma Cuadrática

Una forma cuadrática en ℝⁿ es una función Q definida sobre ℝⁿ cuyo valor en un vector x de ℝⁿ se puede calcular mediante una expresión de la forma Q(x) = xᵀAx, donde A es una matriz simétrica de n × n. La matriz A se denomina matriz de la forma cuadrática.

Ejemplo Más Sencillo

El ejemplo más sencillo de una forma cuadrática diferente de cero es Q(x) = xᵀIx = x² = ||x||².

1.2 Ejemplos Básicos

Los ejemplos 1 y 2 revelan la conexión entre cualquier matriz simétrica A y la forma cuadrática xᵀAx.

Ejemplo 1:

Sea A = $\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{12}& a_{22}\end{array}\right]$. Calcule xᵀAx para las siguientes matrices:

a) $A=\left[\begin{array}{cc}4& 0\\ 0& 3\end{array}\right]$

Solución:

${\mathbf{x}}^{T}A\mathbf{x}=\left[\begin{array}{cc}{x}_1& x_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}4& 0\\ 0& 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{x}_1& x_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}4x_1\\ 3x_2\end{array}\right]=4x_1^2+3x_2^2$

b) $A=\left[\begin{array}{cc}3& -2\\ -2& 7\end{array}\right]$

Solución:

En A existen dos entradas -2. Observe cómo participan en los cálculos. La entrada (1, 2) en A está en negritas.

${\mathbf{x}}^{T}A\mathbf{x}=\left[\begin{array}{cc}{x}_1& x_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}3& -2\\ -2& 7\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{x}_1& x_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}3x_1-2x_2\\ -2x_1+7x_2\end{array}\right]$

$=x_1(3x_1-2x_2)+x_2(-2x_1+7x_2)$

$=3x_1^2-2x_1{x}_2-2x_2{x}_1+7x_2^2$

$=3x_1^2-4x_1{x}_2+7x_2^2$

La presencia de -4x₁x₂ en la forma cuadrática del ejemplo 1b) se debe a las entradas -2 fuera de la diagonal en la matriz A. En contraste, la forma cuadrática asociada con la matriz diagonal del ejemplo 1a) no tiene el producto cruzado x₁x₂.

1.3 Construcción de la Matriz

Ejemplo 2:

Para x en ℝ³, sea Q(x) = 5x₁² + 3x₂² + 2x₃² - x₁x₂ + 8x₂x₃. Escriba esta forma cuadrática como xᵀAx.

Solución:

Los coeficientes de x₁², x₂², x₃² están en la diagonal de A. Para que A sea simétrica, el coeficiente de xᵢxⱼ con i ≠ j debe dividirse en partes iguales entre las entradas (i, j) y (j, i) en A. El coeficiente de x₁x₃ es 0. Es sencillo comprobar que:

$Q(\mathbf{x})={\mathbf{x}}^{T}A\mathbf{x}=\left[\begin{array}{ccc}{x}_1& x_2& x_3\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}5& -1/2& 0\\ -1/2& 3& 4\\ 0& 4& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]$

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2. Cambio de Variable en Formas Cuadráticas

2.1 Transformación de Variables

Si x representa un vector variable en ℝⁿ, entonces un cambio de variable es una ecuación de la forma:

$\mathbf{x}=P\mathbf{y},\text{o, de manera equivalente, }\mathbf{y}=P^{-1}\mathbf{x}(1)$

donde P es una matriz invertible y y es un nuevo vector variable en ℝⁿ. Aquí y es el vector de coordenadas de x con respecto a la base de ℝⁿ determinada por las columnas de P. (Véase la sección 4.4).

Si el cambio de variable (1) se efectúa en una forma cuadrática xᵀAx, entonces:

${\mathbf{x}}^{T}A\mathbf{x}=(P\mathbf{y}{)}^{T}A(P\mathbf{y})={\mathbf{y}}^T{P}^{T}AP\mathbf{y}={\mathbf{y}}^T(P^{T}AP)\mathbf{y}(2)$

y la nueva matriz de la forma cuadrática es PᵀAP. Como A es simétrica, entonces el teorema 2 garantiza que existe una matriz ortogonal P tal que PᵀAP es una matriz diagonal D, y así la forma cuadrática en (2) se convierte en yᵀDy. Esta es la estrategia del siguiente ejemplo.

2.2 Ejemplo de Cambio de Variable

Ejemplo 4: Realice un cambio de variable que transforme la forma cuadrática del ejemplo 3 en una forma cuadrática sin productos cruzados.

Solución:

La matriz de la forma cuadrática del ejemplo 3 es:

$A=\left[\begin{array}{cc}1& -4\\ -4& -5\end{array}\right]$

El primer paso es que A se diagonalice ortogonalmente. Sus valores propios resultan ser λ = 3 y λ = -7. Los vectores propios unitarios asociados son:

$\lambda =3:\left[\begin{array}{c}2/\sqrt{5}\\ -1/\sqrt{5}\end{array}\right];\lambda =-7:\left[\begin{array}{c}1/\sqrt{5}\\ 2/\sqrt{5}\end{array}\right]$

Esos vectores son automáticamente ortogonales (porque corresponden a diferentes valores propios), de manera que brindan una base ortonormal para ℝ². Sean:

$P=\left[\begin{array}{cc}2/\sqrt{5}& 1/\sqrt{5}\\ -1/\sqrt{5}& 2/\sqrt{5}\end{array}\right],D=\left[\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& -7\end{array}\right]$

Entonces A = PDP⁻¹ = PDPᵀ, como se indicó antes. Un cambio de variable conveniente es:

$\mathbf{x}=P\mathbf{y},\text{donde }\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]\text{ y }\mathbf{y}=\left[\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\end{array}\right]$

De esta forma,

$x_1^2-8x_1{x}_2-5x_2^2={\mathbf{x}}^{T}A\mathbf{x}=(P\mathbf{y}{)}^{T}A(P\mathbf{y})={\mathbf{y}}^T{P}^{T}AP\mathbf{y}={\mathbf{y}}^{T}D\mathbf{y}=3y_1^2-7y_2^2$

Interpretación Geométrica

Para ilustrar el significado de la igualdad de las formas cuadráticas del ejemplo 4, se puede calcular Q(x) para x = (2, -2) empleando la nueva forma cuadrática. Primero, como x = Py,

$\mathbf{y}=P^{-1}\mathbf{x}=P^T\mathbf{x}=\left[\begin{array}{cc}2/\sqrt{5}& -1/\sqrt{5}\\ 1/\sqrt{5}& 2/\sqrt{5}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}2\\ -2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}6/\sqrt{5}\\ -2/\sqrt{5}\end{array}\right]$

Por lo tanto,

$3y_1^2-7y_2^2=3(6/\sqrt{5}{)}^2-7(-2/\sqrt{5}{)}^2=3(36/5)-7(4/5)=(108-28)/5=16$

Este es el valor de Q(x) en el ejemplo 3 cuando x = (2, -2). Véase la figura 1.

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3. Teorema de los Ejes Principales

3.1 Enunciado del Teorema

Teorema 4 - Teorema de los Ejes Principales

Sea A una matriz simétrica de n × n. Luego, existe un cambio de variable ortogonal, x = Py, que convierte la forma cuadrática xᵀAx en una forma cuadrática yᵀDy sin productos cruzados.

Interpretación Geométrica

En el teorema, las columnas de P se llaman ejes principales de la forma cuadrática xᵀAx. El vector y es el vector de coordenadas de x respecto de la base ortonormal de ℝⁿ que dan esos ejes principales.

3.2 Ejes Principales desde un Punto de Vista Geométrico

Suponga que Q(x) = xᵀAx, donde A es una matriz simétrica invertible de 2 × 2, y sea c una constante. Es posible demostrar que el conjunto de todas las x en ℝ² que satisfacen:

${\mathbf{x}}^{T}A\mathbf{x}=c(3)$

corresponde a una elipse (o circunferencia), a una hipérbola, a dos rectas que se intersecan, a un solo punto, o quizá no contenga puntos. Si A no es una matriz diagonal, la gráfica está en posición estándar, como se muestra en la figura 2.

Encontrar los Ejes Principales

Si A no es una matriz diagonal, la gráfica de la ecuación (3) ha dado un giro respecto de la posición estándar, como se muestra en la figura 3. Encontrar los ejes principales (determinados por los vectores propios de A) equivale a encontrar un nuevo sistema de coordenadas con respecto al cual la gráfica está en posición estándar.

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4. Clasificación de Formas Cuadráticas

4.1 Definiciones

Cuando A es una matriz de n × n, la forma cuadrática xᵀAx es una función de valores reales con dominio ℝⁿ. La figura 4 presenta las gráficas de cuatro formas cuadráticas con dominio ℝ². Para cada punto x = (x₁, x₂) en el dominio de una forma cuadrática Q, la gráfica muestra el punto (x₁, x₂, z), donde z = Q(x). Observe que, excepto en x = 0, todos los valores de Q(x) son positivos en la figura 4a) y todos son negativos en la figura 4d). Las secciones transversales horizontales de las gráficas son elipses en la figura 4a) y 4d), y son hipérbolas en la figura 4c).

Definición - Clasificación de Formas Cuadráticas

Una forma cuadrática Q es:

a) positiva definida si Q(x) > 0 para toda x ≠ 0,

b) negativa definida si Q(x) < 0 para toda x ≠ 0,

c) indefinida si Q(x) toma valores positivos y negativos.

Formas Semidefinidas

También, se dice que Q es positiva semidefinida si Q(x) ≥ 0 para toda x, y negativa semidefinida si Q(x) ≤ 0 para toda x. Las formas cuadráticas en los incisos a) y b) de la figura 4 son semidefinidas positivas, pero la forma en a) se describe mejor como positiva definida.

4.2 Relación con Valores Propios

Teorema 5 - Formas Cuadráticas y Valores Propios

Sea A una matriz simétrica de n × n. Así, una forma cuadrática xᵀAx es:

a) positiva definida si y solo si todos los valores propios de A son positivos,

b) negativa definida si y solo si todos los valores propios de A son negativos, o

c) indefinida si y solo si A tiene valores propios positivos y negativos.

Demostración

De acuerdo con el teorema de los ejes principales, existe un cambio ortogonal de variable x = Py tal que:

$Q(\mathbf{x})={\mathbf{x}}^{T}A\mathbf{x}={\mathbf{y}}^{T}D\mathbf{y}={\lambda }_1{y}_1^2+{\lambda }_2{y}_2^2+\cdots +{\lambda }_n{y}_n^2(4)$

donde λ₁,…, λₙ son los valores propios de A. Como P es invertible, existe una correspondencia uno a uno entre todas las x y todas las y diferentes de cero. Por lo tanto, los valores de Q(x) para x ≠ 0 coinciden con los valores de la expresión en el miembro derecho de la ecuación (4), la cual, como es evidente, está controlada por los signos de los valores propios λ₁,…, λₙ, en las tres maneras descritas en el teorema.

4.3 Ejemplo de Clasificación

Ejemplo 6: ¿Q( x) = 3x₁² - 2x₂² - x₃² + 4x₁x₂ + 4x₂x₃ es positiva definida?

Solución:

A causa de todos los signos positivos, esta forma “parece” positiva definida. Pero la matriz de la forma es:

$A=\left[\begin{array}{ccc}3& 2& 0\\ 2& -2& 2\\ 0& 2& -1\end{array}\right]$

y los valores propios de A resultan ser 5, -2 y -1. Así, Q es una forma cuadrática indefinida, y no positiva definida.

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5. Ejemplos Adicionales y Aplicaciones

5.1 Ejemplo con Cálculo de Valores

Ejemplo 3:

Sea Q(x) = x₁² - 8x₁x₂ - 5x₂². Calcule el valor de Q(x) para x = $\left[\begin{array}{c}2\\ -2\end{array}\right]$, $\left[\begin{array}{c}1\\ -3\end{array}\right]$, y $\left[\begin{array}{c}0\\ 2\end{array}\right]$.

Solución:

$Q(2,-2)=(2{)}^2-8(2)(-2)-5(-2{)}^2=4+32-20=16$

$Q(1,-3)=(1{)}^2-8(1)(-3)-5(-3{)}^2=1+24-45=-20$

$Q(0,2)=(0{)}^2-8(0)(2)-5(2{)}^2=0-0-20=-20$

5.2 Ejemplo Completo: De la Forma a la Clasificación

Ejemplo 5:

La elipse de la figura 3a) es la gráfica de la ecuación 5x₁² - 4x₁x₂ + 5x₂² = 48. Encuentre un cambio de variable que elimine el producto cruzado de la ecuación.

Solución:

La matriz de la forma cuadrática es A = $\left[\begin{array}{cc}5& -2\\ -2& 5\end{array}\right]$. Los valores propios de A resultan ser 3 y 7, con los vectores propios unitarios correspondientes:

${\mathbf{u}}_1=\left[\begin{array}{c}1/\sqrt{2}\\ 1/\sqrt{2}\end{array}\right],{\mathbf{u}}_2=\left[\begin{array}{c}-1/\sqrt{2}\\ 1/\sqrt{2}\end{array}\right]$

Sea P = $\left[\begin{array}{cc}1/\sqrt{2}& -1/\sqrt{2}\\ 1/\sqrt{2}& 1/\sqrt{2}\end{array}\right]$. Entonces A = PDP⁻¹ = PDPᵀ, y D = PᵀAP. Un cambio de variable conveniente es x = Py, donde y = $\left[\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\end{array}\right]$.

de manera que el cambio de variable x = Py produce la forma cuadrática yᵀDy = 3y₁² + 7y₂². La figura 3a) muestra los nuevos ejes para este cambio de variable.

La hipérbola en la figura 3b) es la gráfica de la ecuación xᵀAx = 16, donde A es la matriz del ejemplo 4. El eje y₁ positivo en la figura 3b) está en la dirección de la primera columna de la matriz P del ejemplo 4, y el eje y₂ positivo se encuentra en la dirección de la segunda columna de P.

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🎯 Conceptos Clave para Repasar

Resumen de Conceptos

1. Forma Cuadrática: Q(x) = xᵀAx con A simétrica
2. Matriz de la Forma: Coeficientes de xᵢ² en diagonal, coeficientes de xᵢxⱼ divididos entre (i,j) y (j,i)
3. Productos Cruzados: Términos xᵢxⱼ con i ≠ j, provienen de entradas fuera de la diagonal
4. Cambio de Variable: x = Py transforma Q(x) en yᵀ(PᵀAP)y
5. Teorema de Ejes Principales: Cambio ortogonal elimina productos cruzados
6. Ejes Principales: Columnas de P (vectores propios ortonormales de A)
7. Clasificación: Positiva/negativa definida, indefinida según signos de valores propios
8. Interpretación Geométrica: Elipses, hipérbolas, paraboloides en posición estándar

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🚨 Errores Comunes

Error 1: No dividir coeficientes de productos cruzados

• Incorrecto: Si 4x₁x₂ aparece, poner 4 en (1,2) y 4 en (2,1)
• Correcto: Dividir: poner 2 en (1,2) y 2 en (2,1) para que A sea simétrica

Error 2: Olvidar que A debe ser simétrica

• Problema: Usar matriz no simétrica para forma cuadrática
• Solución: Siempre verificar aᵢⱼ = aⱼᵢ

Error 3: Confundir clasificación con signos en la fórmula

• Trampa: Q(x) = 3x₁² - 2x₂² puede parecer positiva por el primer término
• Correcto: Clasificar según valores propios de A, no términos individuales

Error 4: No usar base ortonormal para cambio de variable

• Problema: Usar vectores propios sin normalizar
• Consecuencia: P no es ortogonal, PᵀP ≠ I

Error 5: Interpretar mal la geometría

• Confusión: Pensar que los ejes coordenados originales son los ejes principales
• Realidad: Los ejes principales son direcciones de vectores propios (generalmente rotados)

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📝 Ejercicios Propuestos

Ejercicios Nivel Básico (1-8)

Construcción de matrices y cálculos básicos

1. Calcule xᵀAx para matrices simétricas 2×2 dadas
2. Encuentre la matriz A de formas cuadráticas dadas
3. Evalúe Q(x) para vectores específicos
4. Identifique productos cruzados y sus coeficientes

Ejercicios Nivel Intermedio (9-18)

Cambio de variable y eliminación de productos cruzados

5. Diagonalice la matriz de una forma cuadrática
6. Construya cambio de variable x = Py que elimine productos cruzados
7. Verifique que Q(x) = yᵀDy con valores numéricos
8. Identifique ejes principales geométricamente
9. Clasifique formas cuadráticas usando valores propios

Ejercicios Nivel Avanzado (19-30)

Clasificación y aplicaciones geométricas

10. Determine si formas cuadráticas son positiva/negativa definida o indefinida
11. Analice gráficas de formas cuadráticas (elipses, hipérbolas, paraboloides)
12. Use formas cuadráticas para identificar secciones cónicas
13. Aplique a problemas de optimización con restricciones cuadráticas
14. Relacione con valores propios y descomposición espectral

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📚 Referencias

Lectura Principal

• Sección 7.2: Formas cuadráticas, págs. 401-406

Enlaces Relacionados

• 40) Diagonalización de Matrices Simétricas - Teoría fundamental
• Teorema-Espectral - Base teórica
• Teorema-Ejes-Principales - Cambio de variable
• Clasificacion-Formas-Cuadraticas
• Optimizacion-Cuadratica
• Secciones-Conicas

Aplicaciones Prácticas

Campos de Aplicación

Física: Energía potencial, energía cinética, momento de inercia

Ingeniería: Criterios de diseño, optimización de estructuras, análisis de vibraciones

Geometría: Clasificación de secciones cónicas y superficies cuádricas, curvatura

Economía: Funciones de utilidad, optimización con restricciones

Estadística: Elipsoides de confianza, análisis multivariado, distribuciones normales multivariadas

Procesamiento de Señales: Potencia de ruido, formas cuadráticas en análisis espectral

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Sugerencia de Estudio

Las formas cuadráticas son la aplicación más importante de las matrices simétricas y el teorema espectral. La clave está en tres pasos: (1) Construir correctamente la matriz A (¡cuidado con dividir los coeficientes de productos cruzados!), (2) Diagonalizar A ortogonalmente encontrando vectores propios ortonormales, (3) Usar el cambio de variable x = Py para eliminar productos cruzados. La clasificación de formas cuadráticas mediante valores propios es elegante y poderosa: todos positivos → positiva definida, todos negativos → negativa definida, mixtos → indefinida. Esto conecta álgebra (valores propios) con geometría (elipses vs hipérbolas) de manera profunda. Practica construyendo matrices de formas cuadráticas y realizando cambios de variable hasta que el proceso sea natural.

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✅ Checklist de Estudio

Lista de Verificación

• Comprendo qué es una forma cuadrática Q(x) = xᵀAx
• Puedo construir la matriz A de una forma cuadrática dada
• Sé dividir correctamente coeficientes de productos cruzados
• Puedo evaluar Q(x) para vectores específicos
• Entiendo cómo el cambio de variable x = Py transforma la forma
• Sé aplicar el teorema de los ejes principales
• Puedo identificar los ejes principales (vectores propios)
• Comprendo la clasificación: positiva/negativa definida, indefinida
• Sé usar valores propios para clasificar formas cuadráticas
• Entiendo la interpretación geométrica (elipses, hipérbolas, etc.)

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