24) Espacios Nulos_Espacios Columna y Transformaciones Lineales

Clase 24: Espacios Nulos, Espacios Columna y Transformaciones Lineales

📚 Introducción

Esta clase introduce los espacios nulos y espacios columna asociados a una matriz, dos subespacios fundamentales que proporcionan información crucial sobre las soluciones de sistemas lineales y las propiedades de transformaciones lineales. Estos conceptos conectan el álgebra matricial con la geometría de los espacios vectoriales.

Objetivos de la Clase

• Comprender la definición del espacio nulo de una matriz
• Estudiar el espacio columna y su relación con sistemas lineales
• Explorar la conexión entre espacios nulos/columna y transformaciones lineales
• Establecer métodos para encontrar bases de estos espacios
• Analizar el contraste entre Nul A y Col A

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1. El Espacio Nulo de una Matriz

1.1 Motivación

Consideremos el sistema homogéneo:

$\{\begin{array}{l}{x}_1-3x_2-2x_3=0\\ -5x_1+9x_2+x_3=0\end{array}$

En forma matricial: $A\mathbf{x}=0$, donde

$A=\left[\begin{array}{ccc}1& -3& -2\\ -5& 9& 1\end{array}\right]$

Observación Clave

El conjunto de todas las soluciones de $A\mathbf{x}=0$ forma un subespacio de ${\mathbb{R}}^n$.

1.2 Definición Formal

Definición - Espacio Nulo

El espacio nulo de una matriz $A$ de $m\times n$, denotado como Nul $A$, es el conjunto de todas las soluciones de la ecuación homogénea $A\mathbf{x}=0$:

$\text{Nul }A=\{\mathbf{x}:\mathbf{x}\text{ estaˊ en }{\mathbb{R}}^n\text{ y }A\mathbf{x}=0\}$

1.3 Propiedades Fundamentales

Teorema - El Espacio Nulo es un Subespacio

El espacio nulo de una matriz $A$ de $m\times n$ es un subespacio de ${\mathbb{R}}^n$.

Demostración:

• El vector cero satisface $A0=0$, por lo que $0$ está en Nul $A$
• Si $\mathbf{u}$ y $\mathbf{v}$ están en Nul $A$, entonces $A(\mathbf{u}+\mathbf{v})=A\mathbf{u}+A\mathbf{v}=0+0=0$
• Si $\mathbf{u}$ está en Nul $A$ y $c$ es un escalar, entonces $A(c\mathbf{u})=c(A\mathbf{u})=c0=0$

Una Descripción Más Dinámica de Nul A

Una descripción explícita de Nul $A$ es el conjunto de todas las $\mathbf{x}$ en ${\mathbb{R}}^n$ que se mapean en el vector cero de ${\mathbb{R}}^m$ a través de la transformación lineal $\mathbf{x}\mapsto A\mathbf{x}$.

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2. Encontrar una Base para Nul A

2.1 Método Estándar

Algoritmo para Encontrar una Base de Nul A

Paso 1: Escribir la ecuación $A\mathbf{x}=0$ en forma de matriz ampliada $[A|0]$

Paso 2: Reducir por filas a la forma escalonada reducida

Paso 3: Expresar las variables básicas en términos de las variables libres

Paso 4: Escribir la solución general como combinación lineal de vectores

Paso 5: Los vectores de esta combinación lineal forman una base para Nul $A$

2.2 Ejemplo Desarrollado

Ejemplo 1 - Base para el Espacio Nulo

Encuentre una base para el espacio nulo de

$A=\left[\begin{array}{ccccc}-3& 6& -1& 1& -7\\ 1& -2& 2& 3& -1\\ 2& -4& 5& 8& -4\end{array}\right]$

Solución: Reducimos por filas la matriz ampliada $[A|0]$:

$\left[\begin{array}{cccccc}-3& 6& -1& 1& -7& 0\\ 1& -2& 2& 3& -1& 0\\ 2& -4& 5& 8& -4& 0\end{array}\right]\sim \left[\begin{array}{cccccc}1& -2& 0& -1& 3& 0\\ 0& 0& 1& 2& -2& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$

Las variables libres son $x_2$, $x_4$ y $x_5$. Expresando las variables básicas:

$\{\begin{array}{l}{x}_1=2x_2+x_4-3x_5\\ x_3=-2x_4+2x_5\end{array}$

La solución general es:

$\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\\ x_5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2x_2+x_4-3x_5\\ x_2\\ -2x_4+2x_5\\ x_4\\ x_5\end{array}\right]=x_2\left[\begin{array}{c}2\\ 1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right]+x_4\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ -2\\ 1\\ 0\end{array}\right]+x_5\left[\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 2\\ 0\\ 1\end{array}\right]$

Base para Nul $A$:

$\left\{\left[\begin{array}{c}2\\ 1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ -2\\ 1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 2\\ 0\\ 1\end{array}\right]\right\}$

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3. El Espacio Columna de una Matriz

3.1 Definición y Motivación

Definición - Espacio Columna

El espacio columna de una matriz $A$ de $m\times n$, denotado como Col $A$, es el conjunto de todas las combinaciones lineales de las columnas de $A$:

$\text{Col }A=\text{Gen}\{{\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,\dots ,{\mathbf{a}}_n\}$

donde ${\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,\dots ,{\mathbf{a}}_n$ son las columnas de $A$.

Propiedad Clave

El espacio columna de una matriz $A$ de $m\times n$ es un subespacio de ${\mathbb{R}}^m$.

3.2 Interpretación con Sistemas Lineales

Teorema - Consistencia y Espacio Columna

La ecuación $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ tiene solución si y solo si $\mathbf{b}$ está en Col $A$.

Equivalentemente: Col $A$ = $\{\mathbf{b}:\mathbf{b}=A\mathbf{x}$ para alguna $\mathbf{x}$ en ${\mathbb{R}}^n\}$

Conexión Geométrica

• Nul $A$: Conjunto de vectores que se mapean en $0$
• Col $A$: Conjunto de todos los vectores de la forma $A\mathbf{x}$ (rango de la transformación)

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4. Encontrar una Base para Col A

4.1 Método de las Columnas Pivote

Algoritmo para Encontrar una Base de Col A

Paso 1: Reducir $A$ por filas a una forma escalonada $B$

Paso 2: Identificar las columnas pivote de $B$

Paso 3: Las columnas correspondientes de la matriz original $A$ forman una base para Col $A$

⚠️ Importante: Usar las columnas de $A$, no de $B$

4.2 Ejemplo Desarrollado

Ejemplo 2 - Base para el Espacio Columna

Encuentre una base para Col $B$, donde

$B=\left[\begin{array}{ccccc}1& 4& 0& 2& 0\\ 0& 0& 1& -1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$

Solución: Como $B$ ya está en forma escalonada, las columnas pivote son las columnas 1, 3 y 5.

Base para Col $B$:

$\left\{\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right]\right\}$

Ejemplo 3 - Espacio Columna de una Matriz General

Encuentre una base para el espacio columna de

$A=\left[\begin{array}{ccccc}1& 4& 0& 2& -1\\ 3& 12& 1& 5& 5\\ 2& 8& 1& 3& 2\\ 5& 20& 2& 8& 8\end{array}\right]$

Solución: Reducimos $A$ a forma escalonada:

$A\sim \left[\begin{array}{ccccc}1& 4& 0& 2& -1\\ 0& 0& 1& -1& 8\\ 0& 0& 0& 0& -7\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$

Las columnas pivote son 1, 3 y 5. Por lo tanto, las columnas 1, 3 y 5 de la matriz original $A$ forman una base:

$\left\{\left[\begin{array}{c}1\\ 3\\ 2\\ 5\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\\ 2\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}-1\\ 5\\ 2\\ 8\end{array}\right]\right\}$

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5. Contraste entre Nul A y Col A

5.1 Comparación de Propiedades

Tabla Comparativa: Nul A vs Col A para una matriz A de m \times n

Nul $A$	Col $A$
Es un subespacio de ${\mathbb{R}}^n$	Es un subespacio de ${\mathbb{R}}^m$
Se define implícitamente (condición $A\mathbf{x}=0$)	Se define explícitamente (combinaciones lineales)
Se necesita tiempo para encontrar vectores en Nul $A$	Es fácil encontrar vectores en Col $A$ (las columnas mismas)
No hay relación evidente entre Nul $A$ y las entradas de $A$	Existe relación evidente entre Col $A$ y las entradas de $A$
Determinar si $\mathbf{v}$ está en Nul $A$ es fácil (calcular $A\mathbf{v}$)	Determinar si $\mathbf{v}$ está en Col $A$ requiere operaciones de fila
Un vector típico $\mathbf{v}$ en Nul $A$ tiene la propiedad $A\mathbf{v}=0$	Un vector típico $\mathbf{v}$ en Col $A$ tiene la propiedad $A\mathbf{x}=\mathbf{v}$ es consistente
Nul $A$ = $\{0\}$ si y solo si $A\mathbf{x}=0$ tiene solo la solución trivial	Col $A$ = ${\mathbb{R}}^m$ si y solo si $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ tiene solución para toda $\mathbf{b}$ en ${\mathbb{R}}^m$
Nul $A$ = $\{0\}$ si y solo si la transformación $\mathbf{x}\mapsto A\mathbf{x}$ es uno a uno	Col $A$ = ${\mathbb{R}}^m$ si y solo si la transformación $\mathbf{x}\mapsto A\mathbf{x}$ mapea ${\mathbb{R}}^n$ sobre ${\mathbb{R}}^m$

5.2 Observaciones Importantes

Diferencias Clave

• Nul $A$ y Col $A$ viven en “universos” totalmente diferentes
• Nul $A$ se refiere a las entradas (variables)
• Col $A$ se refiere a las salidas (combinaciones de columnas)
• El único vector que tienen en común es $0$
• Para matrices cuadradas, pueden ambos ser ${\mathbb{R}}^n$, pero en contextos diferentes

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6. Núcleo y Rango de una Transformación Lineal

6.1 Extensión a Transformaciones Lineales

Definición - Núcleo y Rango

Sea $T:V\to W$ una transformación lineal. El núcleo (o espacio nulo) de $T$ es:

$\text{Nuˊcleo}(T)=\{\mathbf{u}\in V:T(\mathbf{u})=0\}$

El rango de $T$ es:

$\text{Rango}(T)=\{T(\mathbf{x}):\mathbf{x}\in V\}=\{\mathbf{w}\in W:\mathbf{w}=T(\mathbf{x})\text{ para alguna }\mathbf{x}\in V\}$

Teorema - Núcleo y Rango son Subespacios

El núcleo de $T$ es un subespacio de $V$, y el rango de $T$ es un subespacio de $W$.

6.2 Relación con Matrices

Conexión con Nul A y Col A

Si $T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}$ para alguna matriz $A$, entonces:

• Núcleo($T$) = Nul $A$
• Rango($T$) = Col $A$

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🚨 Conceptos Clave para Recordar

Ideas Centrales

1. Espacio nulo: Conjunto de soluciones de $A\mathbf{x}=0$, subespacio de ${\mathbb{R}}^n$

2. Espacio columna: Conjunto de combinaciones lineales de columnas de $A$, subespacio de ${\mathbb{R}}^m$

3. Base para Nul $A$: Se obtiene resolviendo $A\mathbf{x}=0$ y expresando en términos de variables libres

4. Base para Col $A$: Columnas pivote de $A$ (de la matriz original, no de la forma escalonada)

5. Contraste: Nul $A$ se define implícitamente, Col $A$ explícitamente; viven en espacios diferentes

6. Conexión con consistencia: $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ tiene solución ⟺ $\mathbf{b}\in$ Col $A$

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📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicios Básicos

Ejercicios Fundamentales

1. Determinar pertenencia al espacio nulo: Para cada matriz $A$ y vector $\mathbf{v}$, determine si $\mathbf{v}$ está en Nul $A$:

   a) $A=\left[\begin{array}{ccc}3& -5& -3\\ 6& -2& 0\\ -8& 4& 1\end{array}\right]$, $\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}1\\ 3\\ -4\end{array}\right]$

   b) $A=\left[\begin{array}{ccc}2& 6& 4\\ -3& 2& 5\\ -5& -4& 1\end{array}\right]$, $\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}1\\ -1\\ 1\end{array}\right]$

2. Encontrar una base para Nul $A$: Determine una base para el espacio nulo de:

   $A=\left[\begin{array}{ccccc}1& 2& -3& 0& 1\\ 3& 6& -7& 2& 0\\ -1& -2& 1& 1& -2\end{array}\right]$

3. Determinar pertenencia al espacio columna: Para la matriz

   $A=\left[\begin{array}{ccc}1& -3& 2\\ -4& 6& -5\\ -3& 7& -1\end{array}\right]$

   Determine si $\mathbf{b}=\left[\begin{array}{c}3\\ -7\\ 2\end{array}\right]$ está en Col $A$.

Ejercicios Intermedios

Problemas de Aplicación

4. Base para el espacio columna: Encuentre una base para Col $A$ donde:

   $A=\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 3& 0& -1\\ 0& 1& 2& 0& -2\\ -2& -1& -8& 0& 3\\ 0& 0& 0& 1& 5\end{array}\right]$

5. Comparación de dimensiones: Para la matriz del ejercicio 4, determine:

   a) dim(Nul $A$)

   b) dim(Col $A$)

   c) Verifique que dim(Nul $A$) + dim(Col $A$) = $n$ (número de columnas)

6. Caracterización de soluciones: Sea $A$ una matriz $3\times 5$. Si Nul $A$ = $\{0\}$, ¿qué puede decir sobre las soluciones de $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$?

Ejercicios Avanzados

Problemas Conceptuales

7. Núcleo y rango de transformaciones: Sea $T:{\mathbb{R}}^4\to {\mathbb{R}}^3$ definida por

   $T\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{x}_1-x_2+x_3\\ x_2-x_3+x_4\\ x_1+x_4\end{array}\right)$

   a) Encuentre una matriz $A$ tal que $T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}$

   b) Determine una base para el núcleo de $T$

   c) Determine una base para el rango de $T$

8. Aplicación a sistemas: Explique por qué un sistema $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ con $A$ de $m\times n$ puede:

   a) No tener solución para algunos $\mathbf{b}$ incluso si Nul $A$ = $\{0\}$

   b) Tener infinitas soluciones para algunos $\mathbf{b}$ incluso si Col $A$ = ${\mathbb{R}}^m$

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🎯 Preparación para la Próxima Clase

Lo que Viene

En la Clase 25, estudiaremos los sistemas de coordenadas, introduciendo el concepto de vector coordenado y el mapeo de coordenadas, que nos permitirá trabajar con espacios vectoriales generales de manera similar a ${\mathbb{R}}^n$.

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🏷️ Tags

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📚 Referencias

Lectura Principal

• Lay, D. Álgebra Lineal y sus Aplicaciones. Sección 4.2, págs. 198-205
• Lay, D. Álgebra Lineal y sus Aplicaciones. Sección 4.3, págs. 211-212

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