Resumen Completo Clases 11-23

Resumen Completo: Álgebra Lineal - Clases 11 a 23

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Contenido del Resumen

Este documento presenta un resumen completo y estructurado de las clases 11 a 23 del curso de Álgebra Lineal (MAT1203).

Temas cubiertos:

• Sistemas lineales y transformaciones
• Álgebra de matrices
• Determinantes y sus aplicaciones
• Espacios vectoriales y bases

Organización: El material está organizado por capítulos temáticos para facilitar el estudio y comprensión integral.

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CAPÍTULO 1: Sistemas Lineales y Transformaciones

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Clase 11: Conjunto Solución de Sistemas Lineales

1. Sistemas Homogéneos

Definición - Sistema Homogéneo

Un sistema de ecuaciones lineales de la forma $A\mathbf{x}=0$ se llama sistema homogéneo.

Propiedad fundamental: Siempre tiene al menos la solución trivial $\mathbf{x}=0$.

Pregunta Clave

¿Cuándo tiene un sistema homogéneo soluciones no triviales (diferentes de cero)?

Teorema - Existencia de Soluciones No Triviales

El sistema homogéneo $A\mathbf{x}=0$ tiene una solución no trivial si y solo si el sistema tiene al menos una variable libre.

Corolario: Si $A$ es una matriz de $m\times n$ con $n>m$ (más variables que ecuaciones), entonces $A\mathbf{x}=0$ tiene soluciones no triviales.

2. Forma Vectorial Paramétrica

Descripción de Soluciones

La forma vectorial paramétrica expresa todas las soluciones del sistema como:

$\mathbf{x}=s{\mathbf{v}}_1+t{\mathbf{v}}_2+\cdots +k{\mathbf{v}}_r$

donde:

• Los escalares $s,t,\dots ,k$ son parámetros (variables libres)
• Los vectores ${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,\dots ,{\mathbf{v}}_r$ son vectores directores del conjunto solución

Ejemplo 1 - Sistema Homogéneo con Parámetros

Considere el sistema homogéneo cuya forma escalonada reducida es: $\left[\begin{array}{cccc}1& 3& 0& -4\\ 0& 0& 1& 2\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$

Variables pivote: $x_1$, $x_3$ Variables libres: $x_2$, $x_4$

Solución general: $\mathbf{x}=x_2\left[\begin{array}{c}-3\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right]+x_4\left[\begin{array}{c}4\\ 0\\ -2\\ 1\end{array}\right]$

3. Sistemas No Homogéneos

Teorema 6 - Estructura de la Solución General

Si $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ es consistente y $\mathbf{p}$ es una solución particular, entonces el conjunto solución de $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ es:

$\boxed{\mathbf{x}=\mathbf{p}+{\mathbf{x}}_h}$

donde ${\mathbf{x}}_h$ es cualquier solución del sistema homogéneo $A\mathbf{x}=0$.

En palabras: Solución general = Solución particular + Solución del sistema homogéneo

Interpretación Geométrica

• 0 variables libres → Un punto (solución única)
• 1 variable libre → Una recta
• 2 variables libres → Un plano
• $k$ variables libres → Un subespacio de dimensión $k$

El conjunto solución de $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ es una traslación del conjunto solución de $A\mathbf{x}=0$.

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Clase 12: Independencia Lineal

1. Definiciones Fundamentales

Definición - Independencia Lineal

Un conjunto indexado de vectores $\{{\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,\dots ,{\mathbf{v}}_p\}$ en ${\mathbb{R}}^n$ es linealmente independiente si la ecuación vectorial:

$x_1{\mathbf{v}}_1+x_2{\mathbf{v}}_2+\cdots +x_p{\mathbf{v}}_p=0$

tiene solo la solución trivial $x_1=x_2=\cdots =x_p=0$.

Definición - Dependencia Lineal

El conjunto $\{{\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,\dots ,{\mathbf{v}}_p\}$ es linealmente dependiente si existen pesos $c_1,c_2,\dots ,c_p$ (no todos cero) tales que:

$c_1{\mathbf{v}}_1+c_2{\mathbf{v}}_2+\cdots +c_p{\mathbf{v}}_p=0$

2. Método Matricial para Verificar Independencia

Algoritmo - Verificar Independencia Lineal

Para determinar si $\{{\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_p\}$ es linealmente independiente:

1. Formar la matriz $A=[{\mathbf{v}}_1{\mathbf{v}}_2\cdots {\mathbf{v}}_p]$
2. Resolver el sistema homogéneo $A\mathbf{x}=0$
3. Linealmente independiente ⟺ Solo solución trivial ⟺ Todas las columnas son columnas pivote

3. Teoremas Importantes

Teorema 7 - Caracterización de Dependencia Lineal

Un conjunto $S=\{{\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_p\}$ es linealmente dependiente si y solo si al menos uno de los vectores en $S$ es una combinación lineal de los otros.

Teorema 8 - Dependencia de Dos Vectores

Un conjunto de dos vectores $\{{\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2\}$ es linealmente dependiente si y solo si uno de los vectores es un múltiplo escalar del otro.

Geométricamente: son paralelos (o colineales).

Teorema 9 - Vector Cero

Si un conjunto contiene el vector cero, entonces el conjunto es linealmente dependiente.

Teorema 10 - Demasiados Vectores

Si un conjunto contiene más vectores que entradas en cada vector ($p>n$ en ${\mathbb{R}}^n$), entonces el conjunto es linealmente dependiente.

Interpretación Geométrica

En ${\mathbb{R}}^2$:

• Dos vectores son independientes ⟺ No son paralelos

En ${\mathbb{R}}^3$:

• Dos vectores son independientes ⟺ No son paralelos
• Tres vectores son independientes ⟺ No son coplanares

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Clase 13: Introducción a Transformaciones Lineales

1. Transformaciones: Conceptos Básicos

Definición - Transformación

Una transformación (o función o mapeo) $T$ de ${\mathbb{R}}^n$ a ${\mathbb{R}}^m$ es una regla que asigna a cada vector $\mathbf{x}$ en ${\mathbb{R}}^n$ un vector $T(\mathbf{x})$ en ${\mathbb{R}}^m$.

Notación: $T:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$

Terminología:

• ${\mathbb{R}}^n$ = Dominio de $T$
• ${\mathbb{R}}^m$ = Codominio de $T$
• $T(\mathbf{x})$ = Imagen de $\mathbf{x}$ bajo $T$
• Conjunto de todas las imágenes = Rango de $T$

Definición - Transformación Matricial

Una transformación matricial es una transformación de la forma:

$T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}$

donde $A$ es una matriz de $m\times n$ y $\mathbf{x}$ está en ${\mathbb{R}}^n$.

2. Transformaciones Lineales

Definición - Transformación Lineal

Una transformación $T:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$ es lineal si:

1. $T(\mathbf{u}+\mathbf{v})=T(\mathbf{u})+T(\mathbf{v})$ para todo $\mathbf{u},\mathbf{v}$ en el dominio de $T$
2. $T(c\mathbf{u})=cT(\mathbf{u})$ para todo escalar $c$ y todo $\mathbf{u}$ en el dominio de $T$

Propiedad Equivalente

Una transformación $T$ es lineal si y solo si: $T(c\mathbf{u}+d\mathbf{v})=cT(\mathbf{u})+dT(\mathbf{v})$ para todos los vectores $\mathbf{u},\mathbf{v}$ en el dominio y todos los escalares $c,d$.

Teorema - Toda Transformación Matricial es Lineal

Si $T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}$ para alguna matriz $A$, entonces $T$ es una transformación lineal.

Propiedades de Transformaciones Lineales

Si $T$ es lineal, entonces:

1. $T(0)=0$
2. $T(c_1{\mathbf{v}}_1+c_2{\mathbf{v}}_2+\cdots +c_p{\mathbf{v}}_p)=c_{1}T({\mathbf{v}}_1)+c_{2}T({\mathbf{v}}_2)+\cdots +c_{p}T({\mathbf{v}}_p)$

3. Transformaciones Geométricas en ${\mathbb{R}}^2$

Ejemplos Clásicos de Transformaciones Lineales

Transformación	Matriz	Efecto
Reflexión en el eje $x_1$	$\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]$	$(x_1,x_2)\mapsto (x_1,-x_2)$
Reflexión en el eje $x_2$	$\left[\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$	$(x_1,x_2)\mapsto (-x_1,x_2)$
Rotación de ángulo $\varphi$	$\left[\begin{array}{cc}\cos \varphi & -\sin \varphi \\ \sin \varphi & \cos \varphi \end{array}\right]$	Rota vectores por $\varphi$ radianes
Proyección en $x_1$	$\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right]$	$(x_1,x_2)\mapsto (x_1,0)$
Expansión horizontal	$\left[\begin{array}{cc}k& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$	$(x_1,x_2)\mapsto (k{x}_1,x_2)$

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Clase 14: Matriz de una Transformación Lineal

1. Teorema de Representación Matricial

Teorema 10 - Existencia de la Matriz Estándar

Sea $T:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$ una transformación lineal. Entonces existe una única matriz $A$ tal que:

$T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}\text{para todo }\mathbf{x}\text{ en }{\mathbb{R}}^n$

De hecho, $A$ es la matriz $m\times n$ cuya $j$-ésima columna es el vector $T({\mathbf{e}}_j)$:

$A=[T({\mathbf{e}}_1)T({\mathbf{e}}_2)\cdots T({\mathbf{e}}_n)]$

donde ${\mathbf{e}}_j$ es la $j$-ésima columna de la matriz identidad en ${\mathbb{R}}^n$.

$A$ se llama la matriz estándar de la transformación lineal $T$.

Estrategia para Encontrar la Matriz Estándar

Para encontrar la matriz estándar de $T$:

1. Encuentra $T({\mathbf{e}}_1),T({\mathbf{e}}_2),\dots ,T({\mathbf{e}}_n)$
2. Coloca estos vectores como columnas de la matriz $A$

2. Transformaciones Uno a Uno

Definición - Transformación Uno a Uno

Una transformación $T:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$ es uno a uno (o inyectiva) si cada $\mathbf{b}$ en ${\mathbb{R}}^m$ es la imagen de a lo sumo un $\mathbf{x}$ en ${\mathbb{R}}^n$.

Teorema 12 - Caracterizaciones de Uno a Uno

Sea $T:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$ una transformación lineal con matriz estándar $A$. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

a) $T$ es uno a uno

b) $T(\mathbf{x})=0$ tiene solo la solución trivial

c) Las columnas de $A$ son linealmente independientes

d) $A$ tiene un pivote en cada columna

3. Transformaciones Sobre

Definición - Transformación Sobre

Una transformación $T:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$ mapea ${\mathbb{R}}^n$ sobre ${\mathbb{R}}^m$ (o es suprayectiva) si cada $\mathbf{b}$ en ${\mathbb{R}}^m$ es la imagen de al menos un $\mathbf{x}$ en ${\mathbb{R}}^n$.

Teorema 13 - Caracterizaciones de Sobre

Sea $T:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$ una transformación lineal con matriz estándar $A$. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

a) $T$ mapea ${\mathbb{R}}^n$ sobre ${\mathbb{R}}^m$

b) Cada $\mathbf{b}$ en ${\mathbb{R}}^m$ es una combinación lineal de las columnas de $A$

c) Las columnas de $A$ generan ${\mathbb{R}}^m$

d) $A$ tiene un pivote en cada fila

4. Composición de Transformaciones

Composición y Producto Matricial

Si $T:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$ tiene matriz estándar $A$ y $S:{\mathbb{R}}^m\to {\mathbb{R}}^p$ tiene matriz estándar $B$, entonces la composición $S\circ T:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^p$ tiene matriz estándar $BA$:

$(S\circ T)(\mathbf{x})=S(T(\mathbf{x}))=S(A\mathbf{x})=B(A\mathbf{x})=(BA)\mathbf{x}$

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CAPÍTULO 2: Álgebra de Matrices

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Clase 15: Operaciones de Matrices

1. Suma y Múltiplo Escalar

Definiciones Básicas

Suma de matrices: Si $A$ y $B$ son matrices de $m\times n$, entonces la suma $A+B$ es la matriz $m\times n$ cuya entrada $(i,j)$ es $a_{ij}+b_{ij}$.

Múltiplo escalar: Si $r$ es un escalar y $A$ es una matriz, entonces $rA$ es la matriz cuyas entradas son $r$ veces las entradas correspondientes en $A$.

2. Producto de Matrices

Definición - Producto Matricial

Si $A$ es una matriz de $m\times n$ y $B$ es una matriz de $n\times p$ con columnas ${\mathbf{b}}_1,\dots ,{\mathbf{b}}_p$, entonces el producto $AB$ es la matriz $m\times p$ cuyas columnas son $A{\mathbf{b}}_1,\dots ,A{\mathbf{b}}_p$:

$AB=A[{\mathbf{b}}_1{\mathbf{b}}_2\cdots {\mathbf{b}}_p]=[A{\mathbf{b}}_{1}A{\mathbf{b}}_2\cdots A{\mathbf{b}}_p]$

Regla Fila-Columna

La entrada $(i,j)$ de $AB$ es el producto punto de la fila $i$ de $A$ con la columna $j$ de $B$:

$(AB{)}_{ij}=a_{i1}{b}_{1j}+a_{i2}{b}_{2j}+\cdots +a_{in}{b}_{nj}$

3. Propiedades del Producto Matricial

Teorema 2 - Propiedades de la Multiplicación Matricial

Sean $A$, $B$ y $C$ matrices de tamaños apropiados, y sean $r$ y $s$ escalares:

a) $A(BC)=(AB)C$ (Ley asociativa)

b) $A(B+C)=AB+AC$ (Ley distributiva por la izquierda)

c) $(B+C)A=BA+CA$ (Ley distributiva por la derecha)

d) $r(AB)=(rA)B=A(rB)$ (Multiplicación escalar)

e) $I_{m}A=A=A{I}_n$ (Matriz identidad)

Advertencias sobre Multiplicación Matricial

1. NO es conmutativa: En general, $AB\ne BA$
2. Propiedad de cancelación NO es válida: $AB=AC$ NO implica $B=C$ (incluso si $A\ne O$)
3. $AB=O$ NO implica $A=O$ o $B=O$

4. La Transpuesta de una Matriz

Definición - Matriz Transpuesta

Dada una matriz $A$ de $m\times n$, la transpuesta de $A$ es la matriz $n\times m$ denotada por $A^T$, cuyas columnas son las filas correspondientes de $A$.

Formalmente: $(A^T{)}_{ij}=a_{ji}$

Teorema 3 - Propiedades de la Transpuesta

Sean $A$ y $B$ matrices de tamaños apropiados, y sea $r$ un escalar:

a) $(A^T{)}^T=A$

b) $(A+B{)}^T=A^T+B^T$

c) $(rA{)}^T=r{A}^T$

d) $(AB{)}^T=B^T{A}^T$ (el orden se invierte)

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Clase 16: La Inversa de una Matriz

1. Definición y Motivación

Analogía con Números

Para resolver $5x=7$, multiplicamos por $5^{-1}=\frac{1}{5}$: $x=5^{-1}\cdot 7=\frac{7}{5}$

¿Podemos hacer algo similar con matrices para resolver $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$?

Definición - Matriz Inversa

Una matriz $A$ de $n\times n$ es invertible si existe una matriz $C$ de $n\times n$ tal que:

$CA=I\text{y}AC=I$

donde $I=I_n$ es la matriz identidad $n\times n$.

En este caso, $C$ es una inversa de $A$. Esta inversa es única y se denota $A^{-1}$:

$\boxed{A^{-1}A=I\text{y}A{A}^{-1}=I}$

Una matriz que NO es invertible se llama matriz singular.

2. Fórmula para la Inversa 2×2

Teorema 4 - Fórmula de la Inversa 2×2

Sea $A=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$. Si $ad-bc\ne 0$, entonces $A$ es invertible y:

$\boxed{A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left[\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right]}$

Si $ad-bc=0$, entonces $A$ no es invertible.

Nota: La cantidad $ad-bc$ se llama el determinante de $A$.

Cómo Recordar la Fórmula

1. Calcular el determinante: $\det A=ad-bc$
2. Intercambiar los elementos de la diagonal principal ($a\leftrightarrow d$)
3. Cambiar el signo de los elementos de la diagonal secundaria ($b\to -b$, $c\to -c$)
4. Dividir toda la matriz por el determinante

3. Propiedades de las Matrices Invertibles

Teorema 5 - Propiedades de la Inversa

Si $A$ es una matriz invertible, entonces:

a) $A^{-1}$ es invertible y $(A^{-1}{)}^{-1}=A$

b) Para cualquier escalar $k\ne 0$: $(kA{)}^{-1}=\frac{1}{k}{A}^{-1}$

c) Si $A$ y $B$ son invertibles del mismo tamaño, entonces $AB$ es invertible y: $(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$ ⚠️ El orden se invierte

d) $(A^T{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^T$

4. Resolución de Sistemas usando la Inversa

Teorema 6 - Resolución mediante A^{-1}

Si $A$ es una matriz invertible $n\times n$, entonces para cada $\mathbf{b}$ en ${\mathbb{R}}^n$, la ecuación $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ tiene la solución única:

$\boxed{\mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}}$

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Clase 17: Matrices Elementales y Algoritmo para la Inversa

1. Matrices Elementales

Definición - Matriz Elemental

Una matriz elemental es aquella que se obtiene al realizar una sola operación elemental de fila sobre la matriz identidad $I_n$.

Los Tres Tipos de Matrices Elementales

Correspondiendo a las tres operaciones elementales de fila:

1. (Reemplazo): $R_i\leftarrow R_i+c{R}_j$
2. (Intercambio): $R_i\leftrightarrow R_j$
3. (Escalamiento): $R_i\leftarrow k{R}_i$ (con $k\ne 0$)

Teorema - Operaciones de Fila como Multiplicación Matricial

Si se realiza una operación elemental de fila sobre una matriz $A$ de $m\times n$, el resultado es $EA$, donde $E$ es la matriz elemental $m\times m$ que se obtiene al realizar la misma operación sobre $I_m$.

2. Invertibilidad de Matrices Elementales

Teorema - Matrices Elementales son Invertibles

Toda matriz elemental $E$ es invertible. La inversa $E^{-1}$ es la matriz elemental del mismo tipo que deshace la operación de $E$.

Inversas de cada tipo:

1. Reemplazo: $R_i\leftarrow R_i+c{R}_j$ se invierte con $R_i\leftarrow R_i-c{R}_j$
2. Intercambio: $R_i\leftrightarrow R_j$ se invierte con la misma operación
3. Escalamiento: $R_i\leftarrow k{R}_i$ se invierte con $R_i\leftarrow \frac{1}{k}{R}_i$

3. Algoritmo para Calcular la Inversa

Teorema 7 - Algoritmo de Inversión

Una matriz $A$ de $n\times n$ es invertible si y solo si $A$ es equivalente por filas a $I_n$.

En este caso, cualquier secuencia de operaciones elementales que reduce $A$ a $I_n$ también transforma $I_n$ en $A^{-1}$.

Algoritmo para Calcular A^{-1}

Paso 1: Formar la matriz aumentada $[A|I]$

Paso 2: Reducir por filas hasta obtener $[I|B]$

Paso 3: La matriz $B$ es $A^{-1}$

Si no se puede reducir $A$ a $I$, entonces $A$ no es invertible.

4. El Teorema de la Matriz Invertible (TMI)

Teorema 8 - El Teorema de la Matriz Invertible

Sea $A$ una matriz cuadrada $n\times n$. Las siguientes afirmaciones son equivalentes (todas verdaderas o todas falsas):

a) $A$ es una matriz invertible

b) $A$ es equivalente por filas a $I_n$

c) $A$ tiene $n$ posiciones pivote

d) La ecuación $A\mathbf{x}=0$ tiene solo la solución trivial

e) Las columnas de $A$ son linealmente independientes

f) La transformación $\mathbf{x}\mapsto A\mathbf{x}$ es uno a uno (inyectiva)

g) Para cada $\mathbf{b}$ en ${\mathbb{R}}^n$, la ecuación $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ tiene al menos una solución

h) Las columnas de $A$ generan ${\mathbb{R}}^n$

i) La transformación $\mathbf{x}\mapsto A\mathbf{x}$ es sobre (suprayectiva)

j) Existe una matriz $C$ de $n\times n$ tal que $CA=I$

k) Existe una matriz $D$ de $n\times n$ tal que $AD=I$

l) $A^T$ es una matriz invertible

Importancia del TMI

Este teorema unifica casi todo lo aprendido sobre:

• Sistemas de ecuaciones lineales
• Independencia lineal
• Transformaciones lineales
• Equivalencia por filas
• Matrices inversas

¡Si una propiedad es verdadera, todas lo son!

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CAPÍTULO 3: Determinantes

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Clase 18: Definición del Determinante

1. Determinante de Matrices 2×2

Definición - Determinante 2×2

Sea $A=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$ una matriz de $2\times 2$. El determinante de $A$, denotado $\det (A)$ o $|A|$, se define como:

$\det (A)=ad-bc$

Interpretación Geométrica en \mathbb{R}^2

Si $A=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$, entonces $|\det (A)|$ representa el área del paralelogramo formado por los vectores columna de $A$.

• Si $\det (A)>0$: La transformación preserva la orientación
• Si $\det (A)<0$: La transformación invierte la orientación
• Si $\det (A)=0$: Los vectores son linealmente dependientes

2. Determinante n×n: Expansión por Cofactores

Definiciones Previas

Submatriz $A_{ij}$: Se obtiene eliminando la fila $i$ y la columna $j$ de $A$.

Cofactor $C_{ij}$: Se define como: $C_{ij}=(-1{)}^{i+j}\det (A_{ij})$

El signo $(-1{)}^{i+j}$ sigue el patrón de tablero de ajedrez: $\left[\begin{array}{cccc}+& -& +& \cdots \\ -& +& -& \cdots \\ +& -& +& \cdots \\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots \end{array}\right]$

Teorema - Expansión por Cofactores

El determinante de una matriz $A$ de $n\times n$ se puede calcular expandiendo por cualquier fila $i$:

$\det (A)=a_{i1}{C}_{i1}+a_{i2}{C}_{i2}+\cdots +a_{in}{C}_{in}$

O por cualquier columna $j$:

$\det (A)=a_{1j}{C}_{1j}+a_{2j}{C}_{2j}+\cdots +a_{nj}{C}_{nj}$

Estrategia para Expansión Eficiente

Elige la fila o columna con más ceros para expandir. Esto reduce el número de cálculos.

3. Propiedades Básicas

Teorema Fundamental

Una matriz cuadrada $A$ es invertible si y solo si $\det (A)\ne 0$.

• Si $\det (A)\ne 0$ → $A$ es invertible
• Si $\det (A)=0$ → $A$ es singular (no invertible)

Propiedades Especiales

1. Matriz Identidad: $\det (I_n)=1$

2. Matriz Triangular (superior o inferior): El determinante es el producto de las entradas diagonales: $\det (A)=a_{11}\cdot a_{22}\cdot a_{33}\cdots a_{nn}$

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Clase 19: Propiedades del Determinante

1. Efecto de Operaciones de Fila

Teorema - Operaciones de Fila y Determinante

Sea $A$ una matriz cuadrada. Las operaciones elementales de fila afectan al determinante así:

1. Intercambio de filas: Si $B$ se obtiene intercambiando dos filas de $A$: $\det (B)=-\det (A)$

2. Escalamiento de una fila: Si $B$ se obtiene multiplicando una fila de $A$ por $k\ne 0$: $\det (B)=k\cdot \det (A)$

3. Reemplazo de fila: Si $B$ se obtiene sumando un múltiplo de una fila a otra fila de $A$: $\det (B)=\det (A)$

Cálculo Eficiente mediante Reducción

Para calcular $\det (A)$:

1. Reduce $A$ a forma escalonada usando operaciones elementales
2. Lleva la cuenta de cómo cada operación afecta al determinante
3. El determinante de una matriz triangular es el producto de sus entradas diagonales

2. Propiedades Algebraicas

Teorema - Propiedad Multiplicativa

Para matrices cuadradas $A$ y $B$ del mismo tamaño: $\det (AB)=\det (A)\cdot \det (B)$

Esta propiedad también implica:

• $\det (A^k)=[\det (A){]}^k$ para cualquier entero positivo $k$

Teorema - Determinante de la Inversa

Si $A$ es invertible, entonces: $\det (A^{-1})=\frac{1}{\det (A)}=[\det (A){]}^{-1}$

Teorema - Determinante de la Transpuesta

Para cualquier matriz cuadrada $A$: $\det (A^T)=\det (A)$

3. Propiedades Especiales

Teorema - Filas/Columnas Proporcionales

Si una matriz $A$ tiene:

• Dos filas iguales, o
• Dos columnas iguales, o
• Una fila/columna de solo ceros

Entonces $\det (A)=0$.

Cuidado con los Escalares

Para una matriz $A$ de $n\times n$ y un escalar $c$: $\det (cA)=c^n\det (A)$

NO es simplemente $c\cdot \det (A)$, sino $c^n\cdot \det (A)$

4. TMI Ampliado

Teorema de la Matriz Invertible (Actualizado)

A las equivalencias anteriores del TMI se agrega:

(m) $\det (A)\ne 0$

Esta condición es equivalente a todas las demás propiedades de invertibilidad.

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Clase 20: Regla de Cramer y Fórmula de la Inversa

1. La Regla de Cramer

Teorema - Regla de Cramer

Sea $A$ una matriz invertible de $n\times n$ y sea $\mathbf{b}$ un vector en ${\mathbb{R}}^n$. La solución única del sistema $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ está dada por:

$x_i=\frac{\det (A_i(\mathbf{b}))}{\det (A)},i=1,2,\dots ,n$

donde $A_i(\mathbf{b})$ es la matriz que se obtiene reemplazando la columna $i$ de $A$ por el vector $\mathbf{b}$.

Guía de Uso Práctico

Usa la Regla de Cramer cuando:

• El sistema es pequeño (2×2 o 3×3)
• Necesitas una fórmula simbólica (con parámetros)
• Solo necesitas calcular una o dos variables, no todas

NO uses la Regla de Cramer cuando:

• El sistema es grande (4×4 o mayor)
• Necesitas eficiencia computacional
• Para sistemas grandes, la eliminación gaussiana es mucho más eficiente

2. La Matriz Adjunta

Recordatorio - Cofactor

El cofactor $C_{ij}$ de una matriz $A$ es: $C_{ij}=(-1{)}^{i+j}\det (A_{ij})$

donde $A_{ij}$ es la submatriz que se obtiene eliminando la fila $i$ y columna $j$ de $A$.

Definición - Matriz Adjunta

La matriz adjunta (o adjunta clásica) de $A$, denotada $\text{adj}(A)$, es la transpuesta de la matriz de cofactores.

Es decir, si $C=[C_{ij}]$ es la matriz de cofactores de $A$, entonces: $\text{adj}(A)=C^T$

La entrada $(i,j)$ de $\text{adj}(A)$ es $C_{ji}$ (nota el orden invertido de los índices).

3. Fórmula de la Inversa

Teorema - Fórmula de la Inversa

Sea $A$ una matriz invertible de $n\times n$. Entonces:

$\boxed{A^{-1}=\frac{1}{\det (A)}\text{adj}(A)}$

Esta fórmula proporciona una expresión explícita para cada entrada de $A^{-1}$.

Fórmula - Inversa de una Matriz 2×2

Si $A=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$ y $\det (A)=ad-bc\ne 0$, entonces:

$A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left[\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right]$

Patrón: Intercambia $a$ y $d$, cambia los signos de $b$ y $c$, divide por el determinante.

4. Eficiencia Computacional

Análisis de Complejidad

Para una matriz $n\times n$:

Método	Número de Operaciones	Eficiencia
Eliminación Gaussiana	$\approx \frac{2n^3}{3}$	⭐⭐⭐⭐⭐ Excelente
Regla de Cramer	$\approx (n+1)\cdot n!$	⭐ Muy mala
Fórmula de la Inversa	$\approx n\cdot n!$	⭐ Muy mala

La diferencia es astronómica para matrices grandes.

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Clase 21: Aplicaciones Geométricas del Determinante

1. Áreas en el Plano (${\mathbb{R}}^2$)

Teorema - Área de un Paralelogramo en \mathbb{R}^2

Sean $\mathbf{u}=\left[\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right]$ y $\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}c\\ d\end{array}\right]$ dos vectores en ${\mathbb{R}}^2$.

El área del paralelogramo determinado por $\mathbf{u}$ y $\mathbf{v}$ es:

$\text{Aˊrea}=\left|\det \left[\begin{array}{cc}a& c\\ b& d\end{array}\right]\right|=|ad-bc|$

Corolario - Área de un Triángulo

El área del triángulo con vértices en el origen y los puntos definidos por $\mathbf{u}$ y $\mathbf{v}$ es:

$\text{Aˊrea del triaˊngulo}=\frac{1}{2}\left|\det \left[\begin{array}{cc}\mathbf{u}& \mathbf{v}\end{array}\right]\right|$

Fórmula General para Triángulos

Para un triángulo con vértices en $(x_1,y_1)$, $(x_2,y_2)$ y $(x_3,y_3)$:

$\text{Aˊrea}=\frac{1}{2}\left|\det \left[\begin{array}{ccc}{x}_1& y_1& 1\\ x_2& y_2& 1\\ x_3& y_3& 1\end{array}\right]\right|$

2. Volúmenes en el Espacio (${\mathbb{R}}^3$)

Teorema - Volumen de un Paralelepípedo en \mathbb{R}^3

Sean $\mathbf{u}$, $\mathbf{v}$ y $\mathbf{w}$ tres vectores en ${\mathbb{R}}^3$.

El volumen del paralelepípedo determinado por estos tres vectores es:

$\text{Volumen}=|\det [\mathbf{u}\mathbf{v}\mathbf{w}]|$

Corolario - Volumen de un Tetraedro

El volumen de un tetraedro con un vértice en el origen y los otros tres definidos por $\mathbf{u}$, $\mathbf{v}$ y $\mathbf{w}$ es:

$\text{Volumen del tetraedro}=\frac{1}{6}|\det [\mathbf{u}\mathbf{v}\mathbf{w}]|$

3. Factor de Escala de Transformaciones

Teorema - Factor de Escala de Volúmenes

Sea $T:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n$ una transformación lineal representada por la matriz $A$.

Si $S$ es cualquier región en ${\mathbb{R}}^n$ con volumen $V$, entonces la imagen $T(S)$ tiene volumen:

$\text{Volumen}(T(S))=|\det (A)|\cdot V$

En otras palabras, el determinante nos dice cuánto se expande o contrae el volumen bajo la transformación.

Caso Especial: \det(A) = 0

Si $\det (A)=0$, la transformación $T$ colapsa toda región a un volumen cero.

Geométricamente:

• En ${\mathbb{R}}^2$: Todo el plano se aplasta en una línea (o punto)
• En ${\mathbb{R}}^3$: Todo el espacio se aplasta en un plano, línea o punto

Por esto, matrices con $\det (A)=0$ son no invertibles.

4. El Signo del Determinante: Orientación

Interpretación del Signo

El signo del determinante nos dice si la transformación preserva o invierte la orientación:

• $\det (A)>0$: La transformación preserva la orientación
• $\det (A)<0$: La transformación invierte la orientación
• $\det (A)=0$: La transformación colapsa dimensiones

5. Aplicaciones Prácticas

Aplicación - Puntos Colineales

Tres puntos $(x_1,y_1)$, $(x_2,y_2)$ y $(x_3,y_3)$ son colineales (están en la misma línea) si y solo si:

$\left|\begin{array}{ccc}{x}_1& y_1& 1\\ x_2& y_2& 1\\ x_3& y_3& 1\end{array}\right|=0$

Razón: Si están en la misma línea, el “triángulo” que forman tiene área cero.

Aplicación - Puntos Coplanares en \mathbb{R}^3

Cuatro puntos en ${\mathbb{R}}^3$ son coplanares (están en el mismo plano) si y solo si el determinante de cierta matriz $4\times 4$ es cero.

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CAPÍTULO 4: Espacios Vectoriales

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Clase 22: Espacios y Subespacios Vectoriales

1. Definición de Espacio Vectorial

Pregunta para Reflexionar

¿Qué tienen en común:

• Los vectores en ${\mathbb{R}}^n$
• Las matrices de $m\times n$
• Los polinomios de grado ≤ $n$
• Las funciones continuas en $[a,b]$

Todos pueden sumarse y multiplicarse por escalares, y satisfacen propiedades similares.

Definición - Espacio Vectorial

Un espacio vectorial es un conjunto $V$ de objetos (llamados vectores) junto con dos operaciones:

1. Suma de vectores: $\mathbf{u}+\mathbf{v}\in V$ para todo $\mathbf{u},\mathbf{v}\in V$
2. Multiplicación por escalar: $c\mathbf{u}\in V$ para todo $\mathbf{u}\in V$ y todo escalar $c$

Estas operaciones deben satisfacer 10 axiomas para todo $\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}\in V$ y todos los escalares $c,d$.

Los 10 Axiomas de Espacio Vectorial

Axiomas de la Suma:

1. $\mathbf{u}+\mathbf{v}=\mathbf{v}+\mathbf{u}$ (Conmutatividad)
2. $(\mathbf{u}+\mathbf{v})+\mathbf{w}=\mathbf{u}+(\mathbf{v}+\mathbf{w})$ (Asociatividad)
3. Existe un vector cero $0$ tal que $\mathbf{u}+0=\mathbf{u}$ para todo $\mathbf{u}$
4. Para cada $\mathbf{u}$ existe un vector opuesto $-\mathbf{u}$ tal que $\mathbf{u}+(-\mathbf{u})=0$

Axiomas de la Multiplicación por Escalar: 5. $c(\mathbf{u}+\mathbf{v})=c\mathbf{u}+c\mathbf{v}$ (Distributividad respecto a la suma de vectores) 6. $(c+d)\mathbf{u}=c\mathbf{u}+d\mathbf{u}$ (Distributividad respecto a la suma de escalares) 7. $c(d\mathbf{u})=(cd)\mathbf{u}$ (Asociatividad mixta) 8. $1\mathbf{u}=\mathbf{u}$ (Identidad multiplicativa)

Axiomas de Cierre: 9. Si $\mathbf{u},\mathbf{v}\in V$, entonces $\mathbf{u}+\mathbf{v}\in V$ (Cierre bajo la suma) 10. Si $\mathbf{u}\in V$ y $c$ es un escalar, entonces $c\mathbf{u}\in V$ (Cierre bajo multiplicación por escalar)

2. Ejemplos de Espacios Vectoriales

Ejemplo 1 - El Espacio \mathbb{R}^n

El espacio ${\mathbb{R}}^n$ con las operaciones usuales de suma y multiplicación por escalar es un espacio vectorial.

• Vector cero: $0=(0,0,\dots ,0)$
• Vector opuesto: $-\mathbf{u}=(-u_1,-u_2,\dots ,-u_n)$

Ejemplo 2 - El Espacio de Matrices M_{m \times n}

El conjunto de todas las matrices de $m\times n$ forma un espacio vectorial bajo:

• Suma de matrices: $(A+B{)}_{ij}=A_{ij}+B_{ij}$
• Multiplicación por escalar: $(cA{)}_{ij}=c\cdot A_{ij}$

Vector cero: La matriz cero de $m\times n$

Ejemplo 3 - El Espacio de Polinomios \mathbb{P}_n

El conjunto ${\mathbb{P}}_n$ de todos los polinomios de grado menor o igual a $n$ es un espacio vectorial:

Si $p(t)=a_0+a_{1}t+\cdots +a_n{t}^n$ y $q(t)=b_0+b_{1}t+\cdots +b_n{t}^n$:

• Suma: $(p+q)(t)=(a_0+b_0)+(a_1+b_1)t+\cdots +(a_n+b_n)t^n$
• Multiplicación por escalar: $(cp)(t)=c{a}_0+c{a}_{1}t+\cdots +c{a}_n{t}^n$

Vector cero: El polinomio cero $p(t)=0$

Ejemplo 4 - El Espacio de Funciones Continuas \mathcal{C}[a,b]

El conjunto de todas las funciones continuas en el intervalo $[a,b]$ es un espacio vectorial:

• Suma: $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$
• Multiplicación por escalar: $(cf)(x)=c\cdot f(x)$

Este espacio es infinito-dimensional.

3. Subespacios Vectoriales

Definición - Subespacio Vectorial

Un subespacio de un espacio vectorial $V$ es un subconjunto $H$ de $V$ que tiene tres propiedades:

1. El vector cero de $V$ está en $H$
2. $H$ es cerrado bajo la suma de vectores: Si $\mathbf{u},\mathbf{v}\in H$, entonces $\mathbf{u}+\mathbf{v}\in H$
3. $H$ es cerrado bajo multiplicación por escalar: Si $\mathbf{u}\in H$ y $c$ es cualquier escalar, entonces $c\mathbf{u}\in H$

Teorema - Subespacios son Espacios Vectoriales

Si $H$ es un subespacio de un espacio vectorial $V$, entonces $H$ es en sí mismo un espacio vectorial bajo las mismas operaciones definidas en $V$.

Estrategia para Verificar Subespacios

Para demostrar que $H$ es un subespacio de $V$, solo necesitas verificar tres condiciones:

1. $0\in H$
2. $\mathbf{u}+\mathbf{v}\in H$ para todo $\mathbf{u},\mathbf{v}\in H$
3. $c\mathbf{u}\in H$ para todo $\mathbf{u}\in H$ y todo escalar $c$

¡Esto es mucho más fácil que verificar los 10 axiomas!

Ejemplo 5 - Subespacios Triviales

En cualquier espacio vectorial $V$:

• El conjunto $\{0\}$ que contiene solo el vector cero es un subespacio (el subespacio cero)
• Todo el espacio $V$ es un subespacio de sí mismo

4. Conjunto Generado

Definición - Conjunto Generado

Si ${\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_p$ están en un espacio vectorial $V$, entonces $\text{Gen}\{{\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_p\}$ denota el conjunto de todas las combinaciones lineales: $\text{Gen}\{{\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_p\}=\{c_1{\mathbf{v}}_1+c_2{\mathbf{v}}_2+\cdots +c_p{\mathbf{v}}_p:c_1,\dots ,c_p\in \mathbb{R}\}$

Teorema 1 - El Conjunto Generado es un Subespacio

Si ${\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_p$ están en un espacio vectorial $V$, entonces $\text{Gen}\{{\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_p\}$ es un subespacio de $V$.

Técnica Útil

Los vectores ${\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_p$ del conjunto generador actúan como “bloques de construcción” que nos permiten armar todo el subespacio.

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Clase 23: Bases para Nul $A$ y Col $A$

1. Definición de Base

Definición - Base de un Subespacio

Una base de un subespacio $H$ es un conjunto de vectores $\mathcal{B}=\{{\mathbf{b}}_1,{\mathbf{b}}_2,\dots ,{\mathbf{b}}_p\}$ tal que:

1. $\mathcal{B}$ genera $H$: $H=\text{Gen}\{{\mathbf{b}}_1,\dots ,{\mathbf{b}}_p\}$
2. $\mathcal{B}$ es linealmente independiente

Una base es un conjunto generador mínimo o, equivalentemente, un conjunto linealmente independiente máximo.

Importancia de las Bases

Una base proporciona:

• Descripción completa: Todo vector en $H$ se expresa como combinación lineal de los vectores de la base
• Descripción única: Cada vector tiene representación única (por la independencia lineal)
• Eficiencia: Forma más compacta sin vectores redundantes
• Coordenadas: Los coeficientes son las “coordenadas” del vector respecto a esa base

2. Teorema del Conjunto Generador

Teorema del Conjunto Generador

Sea $S=\{{\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,\dots ,{\mathbf{v}}_p\}$ un conjunto que genera un subespacio $H$.

(a) Si uno de los vectores de $S$, digamos ${\mathbf{v}}_k$, es una combinación lineal de los demás vectores, entonces el conjunto que se obtiene al eliminar ${\mathbf{v}}_k$ aún genera $H$.

(b) Repitiendo este proceso, se puede reducir $S$ a una base de $H$.

3. Base para el Espacio Nulo (Nul $A$)

Algoritmo - Base para Nul A

Para encontrar una base para Nul $A$:

1. Resuelve el sistema homogéneo $A\mathbf{x}=0$
2. Expresa la solución general en forma vectorial (paramétrica)
3. Los vectores que multiplican a las variables libres forman una base para Nul $A$

Ejemplo Completo - Base para Nul A

Encuentra una base para Nul $A$ donde $A=\left[\begin{array}{cccc}1& 2& -5& 1\\ 2& 4& -8& 0\\ 0& 0& 2& -2\end{array}\right]$

Paso 1: Resolver $A\mathbf{x}=0$ (forma escalonada reducida): $\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 0& -4\\ 0& 0& 1& -1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$

Variables pivote: $x_1,x_3$ Variables libres: $x_2,x_4$

Paso 2: Solución general: $\mathbf{x}=x_2\left[\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right]+x_4\left[\begin{array}{c}4\\ 0\\ 1\\ 1\end{array}\right]$

Base para Nul $A$: $\left\{\left[\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}4\\ 0\\ 1\\ 1\end{array}\right]\right\}$

Propiedad Importante

dim(Nul $A$) = número de variables libres

4. Base para el Espacio Columna (Col $A$)

Teorema - Columnas Pivote como Base

Las columnas pivote de $A$ forman una base para Col $A$.

Algoritmo - Base para Col A

1. Reduce $A$ a forma escalonada
2. Identifica qué columnas son pivote en la forma escalonada
3. Toma las columnas correspondientes de la matriz ORIGINAL $A$

¡MUY IMPORTANTE!

Para encontrar una base para Col $A$:

• Identifica las columnas pivote en la forma escalonada
• Pero toma las columnas correspondientes de la matriz ORIGINAL $A$

Las operaciones de fila cambian el espacio columna, por eso debemos usar las columnas de $A$ original.

Propiedad Importante

dim(Col $A$) = número de columnas pivote = rango de $A$

5. Dimensión de un Subespacio

Definición - Dimensión

La dimensión de un subespacio $H$, denotada dim $H$, es el número de vectores en cualquier base de $H$.

Este número está bien definido: todas las bases de un subespacio tienen el mismo número de vectores.

Ejemplos de Dimensiones

• dim ${\mathbb{R}}^n$ = $n$
• dim (línea a través del origen en ${\mathbb{R}}^3$) = 1
• dim (plano a través del origen en ${\mathbb{R}}^3$) = 2
• dim ${\mathbb{P}}_n$ = $n+1$
• dim $\{0\}$ = 0

6. Teorema del Rango

Teorema del Rango

Para una matriz $A$ de $m\times n$:

$\boxed{\text{dim(Nul }A)+\text{dim(Col }A)=n}$

También expresado como:

• dim(Nul $A$) = número de variables libres
• dim(Col $A$) = número de columnas pivote = rango de $A$
• dim(Nul $A$) + rango($A$) = número de columnas de $A$

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🎯 Sección de Repaso

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El Teorema de la Matriz Invertible COMPLETO

TMI - Versión Final con Determinantes

Para una matriz cuadrada $A$ de $n\times n$, todas estas afirmaciones son equivalentes:

1. $A$ es invertible
2. $A\sim I_n$
3. $A$ tiene $n$ posiciones pivote
4. $A\mathbf{x}=0$ tiene solo la solución trivial
5. Columnas de $A$ son linealmente independientes
6. $T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}$ es uno a uno
7. $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ tiene solución para todo $\mathbf{b}$
8. Columnas de $A$ generan ${\mathbb{R}}^n$
9. $T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}$ es sobre
10. Existe $C$ tal que $CA=I$
11. Existe $D$ tal que $AD=I$
12. $A^T$ es invertible
13. $\det (A)\ne 0$

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🚨 Errores Comunes a Evitar

Errores Frecuentes

1. ❌ Pensar que $AB=BA$ (la multiplicación NO es conmutativa)
2. ❌ Usar $(AB{)}^{-1}=A^{-1}{B}^{-1}$ (el orden correcto es $B^{-1}{A}^{-1}$)
3. ❌ Olvidar el valor absoluto en áreas/volúmenes
4. ❌ Usar columnas de la forma escalonada para Col $A$
5. ❌ Pensar que $\det (A+B)=\det (A)+\det (B)$
6. ❌ Confundir subespacios con subconjuntos arbitrarios
7. ❌ Olvidar que los subespacios deben pasar por el origen
8. ❌ No distinguir entre variables libres y parámetros

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📐 Fórmulas Esenciales

Fórmulas para Memorizar

Matrices:

• Inversa 2×2: ${\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left[\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right]$
• $(AB{)}^T=B^T{A}^T$
• $(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$

Determinantes:

• Det 2×2: $ad-bc$
• $\det (AB)=\det (A)\det (B)$
• $\det (A^{-1})=\frac{1}{\det (A)}$
• $\det (A^T)=\det (A)$
• $\det (cA)=c^n\det (A)$ (para $A$ de $n\times n$)

Geometría:

• Área paralelogramo: $|\det [\mathbf{u}\mathbf{v}]|$
• Área triángulo: $\frac{1}{2}|\det [\mathbf{u}\mathbf{v}]|$
• Volumen paralelepípedo: $|\det [\mathbf{u}\mathbf{v}\mathbf{w}]|$

Dimensión:

• dim(Nul $A$) + dim(Col $A$) = número de columnas
• dim(Nul $A$) = número de variables libres
• dim(Col $A$) = número de columnas pivote = rango($A$)

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✅ Checklist de Repaso

Lista de Verificación para el Examen

• Puedo resolver sistemas lineales y expresar soluciones en forma paramétrica
• Sé verificar independencia lineal de un conjunto de vectores
• Entiendo qué es una transformación lineal y puedo encontrar su matriz estándar
• Puedo verificar si una transformación es uno a uno y/o sobre
• Puedo realizar operaciones matriciales correctamente
• Sé calcular la inversa de una matriz (algoritmo y fórmula 2×2)
• Conozco todas las equivalencias del Teorema de la Matriz Invertible
• Puedo calcular determinantes de cualquier tamaño
• Entiendo las propiedades del determinante y puedo aplicarlas
• Sé usar determinantes para calcular áreas y volúmenes
• Comprendo qué es un espacio vectorial y un subespacio
• Puedo verificar si un conjunto es un subespacio
• Puedo encontrar bases para Nul $A$ y Col $A$
• Entiendo el concepto de dimensión y el Teorema del Rango

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🔗 Conexiones entre Conceptos

Diagrama Conceptual

Sistema A𝐱 = 𝐛
    ↓
Forma Escalonada
    ↓
Pivotes ←→ Variables libres
    ↓           ↓
Col A       Nul A
    ↓           ↓
Rango       Nulidad
    ↓
Dimensión

Jerarquía de Espacios:

Espacio Vectorial V
    ↓
Subespacio H
    ↓
Conjunto Generado Gen{𝐯₁, ..., 𝐯ₚ}
    ↓
Base {𝐛₁, ..., 𝐛ₖ}
    ↓
Dimensión k

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🎓 Resumen Final

Conceptos Fundamentales

El álgebra lineal estudia sistemas de ecuaciones lineales y las transformaciones lineales que los representan. Las herramientas fundamentales son:

1. Matrices: Representan transformaciones lineales y sistemas
2. Determinantes: Miden invertibilidad y cambios de volumen
3. Espacios vectoriales: Marco abstracto que unifica todos los conceptos
4. Bases: Descripción eficiente de subespacios

El Teorema de la Matriz Invertible es el resultado central que conecta todas estas ideas, mostrando que múltiples propiedades aparentemente diferentes son en realidad equivalentes.

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📚 Referencias y Tags

Fecha de elaboración: Octubre 2025 Curso: MAT1203 Álgebra Lineal Contenido: Clases 11-23 (Material completo para el segundo ciclo evaluativo)

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