Resumen I1

Resumen Completo: Álgebra Lineal - Clases 1 a 11

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Contenido del Resumen

Este documento presenta un resumen completo y estructurado de las clases 1 a 11 del curso de Álgebra Lineal (MAT1203).

Temas cubiertos:

• Vectores en ℝⁿ y geometría vectorial
• Sistemas de ecuaciones lineales
• Matrices y notación matricial
• Formas escalonadas y reducción por filas
• Conjunto solución de sistemas lineales

Organización: El material está organizado por capítulos temáticos para facilitar el estudio y comprensión integral.

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CAPÍTULO 1: Vectores en ℝⁿ

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Clase 1: Vectores Geométricos

1. Definiciones Fundamentales

Definición - Vector Geométrico

Un vector geométrico en ℝⁿ es un segmento de recta dirigido que tiene:

• Magnitud (longitud)
• Dirección
• Sentido

Los vectores se representan con flechas y se denotan con letras minúsculas con flecha encima ($\vec{v}$) o en negrita ($\mathbf{v}$).

Definición - Vector en ℝⁿ

Un vector en ℝⁿ es una lista ordenada de $n$ números reales: $\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\\ ⋮\\ v_n\end{array}\right]$

donde $v_1,v_2,\dots ,v_n$ son las componentes del vector.

2. Vectores en ℝ² y ℝ³

Representación de Vectores

En ℝ²: $\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right]$ representa un vector con 3 unidades en dirección $x$ y 2 en dirección $y$.

En ℝ³: $\mathbf{w}=\left[\begin{array}{c}1\\ -2\\ 4\end{array}\right]$ representa un vector en el espacio tridimensional.

3. Magnitud de un Vector

Definición - Norma (Magnitud)

La magnitud o norma de un vector $\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\\ ⋮\\ v_n\end{array}\right]$ se define como:

$|\mathbf{v}|=\sqrt{v_1^2+v_2^2+\cdots +v_n^2}$

Esta fórmula generaliza el teorema de Pitágoras a $n$ dimensiones.

4. Vector Cero y Vectores Paralelos

Vectores Especiales

Vector cero: $0=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right]$ tiene magnitud cero y dirección indefinida.

Vectores paralelos: Dos vectores $\mathbf{u}$ y $\mathbf{v}$ son paralelos si uno es múltiplo escalar del otro: $\mathbf{v}=k\mathbf{u}\text{para alguˊn }k\in \mathbb{R}$

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Clase 2: Álgebra de Vectores y Producto Punto

1. Operaciones con Vectores

Definición - Suma de Vectores

La suma de dos vectores $\mathbf{u}=\left[\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\\ ⋮\\ u_n\end{array}\right]$ y $\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\\ ⋮\\ v_n\end{array}\right]$ es:

$\mathbf{u}+\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}{u}_1+v_1\\ u_2+v_2\\ ⋮\\ u_n+v_n\end{array}\right]$

Interpretación geométrica: Regla del paralelogramo o método punta-cola.

Definición - Multiplicación por Escalar

El múltiplo escalar de un vector $\mathbf{v}$ por un escalar $c$ es:

$c\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}c{v}_1\\ c{v}_2\\ ⋮\\ c{v}_n\end{array}\right]$

• Si $c>1$: Alarga el vector
• Si $0<c<1$: Acorta el vector
• Si $c<0$: Invierte la dirección

2. Propiedades de las Operaciones Vectoriales

Propiedades Algebraicas

Para vectores $\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}$ y escalares $c,d$:

1. Conmutatividad de la suma: $\mathbf{u}+\mathbf{v}=\mathbf{v}+\mathbf{u}$
2. Asociatividad de la suma: $(\mathbf{u}+\mathbf{v})+\mathbf{w}=\mathbf{u}+(\mathbf{v}+\mathbf{w})$
3. Identidad aditiva: $\mathbf{v}+0=\mathbf{v}$
4. Inverso aditivo: $\mathbf{v}+(-\mathbf{v})=0$
5. Distributividad: $c(\mathbf{u}+\mathbf{v})=c\mathbf{u}+c\mathbf{v}$
6. $(c+d)\mathbf{v}=c\mathbf{v}+d\mathbf{v}$
7. $(cd)\mathbf{v}=c(d\mathbf{v})$
8. $1\mathbf{v}=\mathbf{v}$

3. Producto Punto

Definición - Producto Punto

El producto punto (o producto escalar) de $\mathbf{u}=\left[\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\\ ⋮\\ u_n\end{array}\right]$ y $\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\\ ⋮\\ v_n\end{array}\right]$ es:

$\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}=u_1{v}_1+u_2{v}_2+\cdots +u_n{v}_n$

Resultado: Un escalar (número real).

Propiedades del Producto Punto

1. Conmutatividad: $\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}=\mathbf{v}\cdot \mathbf{u}$
2. Distributividad: $\mathbf{u}\cdot (\mathbf{v}+\mathbf{w})=\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}+\mathbf{u}\cdot \mathbf{w}$
3. Homogeneidad: $(c\mathbf{u})\cdot \mathbf{v}=c(\mathbf{u}\cdot \mathbf{v})$
4. Producto consigo mismo: $\mathbf{v}\cdot \mathbf{v}=|\mathbf{v}{|}^2$

Relación con la Magnitud

$|\mathbf{v}|=\sqrt{\mathbf{v}\cdot \mathbf{v}}$

4. Vectores Unitarios

Definición - Vector Unitario

Un vector unitario es un vector con magnitud 1: $|\mathbf{u}|=1$

Normalización

Para obtener un vector unitario en la dirección de $\mathbf{v}\ne 0$: $\mathbf{u}=\frac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|}$

Vectores Unitarios Canónicos

En ℝ³: $\mathbf{i}=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right],\mathbf{j}=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right],\mathbf{k}=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right]$

Cualquier vector en ℝ³ puede escribirse como: $\mathbf{v}=v_1\mathbf{i}+v_2\mathbf{j}+v_3\mathbf{k}$

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Clase 3: Ángulos entre Vectores y Ecuaciones de Rectas

1. Ángulo entre Vectores

Teorema - Ángulo entre Vectores

El ángulo $\theta$ entre dos vectores no nulos $\mathbf{u}$ y $\mathbf{v}$ está dado por:

$\cos \theta =\frac{\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}}{|\mathbf{u}||\mathbf{v}|}$

donde $0\le \theta \le \pi$ (entre 0° y 180°).

2. Vectores Ortogonales

Definición - Vectores Ortogonales

Dos vectores $\mathbf{u}$ y $\mathbf{v}$ son ortogonales (perpendiculares) si:

$\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}=0$

Casos Especiales

• El vector cero $0$ es ortogonal a cualquier vector
• Los vectores canónicos $\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}$ son mutuamente ortogonales

3. Proyecciones

Definición - Proyección Escalar

La proyección escalar de $\mathbf{v}$ sobre $\mathbf{u}$ es:

${\text{comp}}_{\mathbf{u}}\mathbf{v}=\frac{\mathbf{v}\cdot \mathbf{u}}{|\mathbf{u}|}$

Definición - Proyección Vectorial

La proyección vectorial de $\mathbf{v}$ sobre $\mathbf{u}$ es:

${\text{proy}}_{\mathbf{u}}\mathbf{v}=\left(\frac{\mathbf{v}\cdot \mathbf{u}}{\mathbf{u}\cdot \mathbf{u}}\right)\mathbf{u}$

Componente Ortogonal

El vector $\mathbf{v}$ puede descomponerse como: $\mathbf{v}={\text{proy}}_{\mathbf{u}}\mathbf{v}+(\mathbf{v}-{\text{proy}}_{\mathbf{u}}\mathbf{v})$

donde $(\mathbf{v}-{\text{proy}}_{\mathbf{u}}\mathbf{v})$ es ortogonal a $\mathbf{u}$.

4. Ecuaciones de Rectas en ℝ² y ℝ³

Ecuación Vectorial de una Recta

Una recta que pasa por el punto ${\mathbf{r}}_0$ en la dirección de $\mathbf{v}$ tiene ecuación vectorial:

$\mathbf{r}(t)={\mathbf{r}}_0+t\mathbf{v},t\in \mathbb{R}$

Ecuaciones Paramétricas

Si ${\mathbf{r}}_0=\left[\begin{array}{c}{x}_0\\ y_0\\ z_0\end{array}\right]$ y $\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right]$, entonces:

$\{\begin{array}{l}x=x_0+at\\ y=y_0+bt\\ z=z_0+ct\end{array}$

Ecuación Simétrica (si a, b, c \neq 0)

$\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}$

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Clase 4: Planos en ℝ³

1. Producto Cruz

Definición - Producto Cruz

El producto cruz de $\mathbf{u}=\left[\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\\ u_3\end{array}\right]$ y $\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\\ v_3\end{array}\right]$ en ℝ³ es:

$\mathbf{u}\times \mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}{u}_2{v}_3-u_3{v}_2\\ u_3{v}_1-u_1{v}_3\\ u_1{v}_2-u_2{v}_1\end{array}\right]$

Fórmula mnemotécnica usando determinantes: $\mathbf{u}\times \mathbf{v}=\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ u_1& u_2& u_3\\ v_1& v_2& v_3\end{array}\right|$

Propiedades del Producto Cruz

1. Ortogonalidad: $\mathbf{u}\times \mathbf{v}$ es ortogonal tanto a $\mathbf{u}$ como a $\mathbf{v}$
2. Anticonmutatividad: $\mathbf{u}\times \mathbf{v}=-(\mathbf{v}\times \mathbf{u})$
3. Distributividad: $\mathbf{u}\times (\mathbf{v}+\mathbf{w})=\mathbf{u}\times \mathbf{v}+\mathbf{u}\times \mathbf{w}$
4. Homogeneidad: $(c\mathbf{u})\times \mathbf{v}=c(\mathbf{u}\times \mathbf{v})$
5. Producto cruz consigo mismo: $\mathbf{v}\times \mathbf{v}=0$

Magnitud del Producto Cruz

$|\mathbf{u}\times \mathbf{v}|=|\mathbf{u}||\mathbf{v}|\sin \theta$

donde $\theta$ es el ángulo entre $\mathbf{u}$ y $\mathbf{v}$.

Interpretación geométrica: $|\mathbf{u}\times \mathbf{v}|$ = Área del paralelogramo formado por $\mathbf{u}$ y $\mathbf{v}$

2. Ecuación de un Plano

Ecuación Vectorial del Plano

Un plano que pasa por el punto ${\mathbf{r}}_0$ con vector normal $\mathbf{n}$ tiene ecuación vectorial:

$\mathbf{n}\cdot (\mathbf{r}-{\mathbf{r}}_0)=0$

Ecuación Escalar del Plano

Si $\mathbf{n}=\left[\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right]$ y ${\mathbf{r}}_0=\left[\begin{array}{c}{x}_0\\ y_0\\ z_0\end{array}\right]$, entonces:

$a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0$

O en forma general: $ax+by+cz=d$

donde $d=a{x}_0+b{y}_0+c{z}_0$.

Encontrar el Vector Normal

Si conocemos dos vectores $\mathbf{u}$ y $\mathbf{v}$ paralelos al plano, el vector normal es: $\mathbf{n}=\mathbf{u}\times \mathbf{v}$

3. Distancia de un Punto a un Plano

Fórmula de Distancia

La distancia de un punto $P_1(x_1,y_1,z_1)$ al plano $ax+by+cz=d$ es:

$D=\frac{|a{x}_1+b{y}_1+c{z}_1-d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

4. Ángulo entre Planos

Ángulo entre Planos

El ángulo $\theta$ entre dos planos con vectores normales ${\mathbf{n}}_1$ y ${\mathbf{n}}_2$ es:

$\cos \theta =\frac{|{\mathbf{n}}_1\cdot {\mathbf{n}}_2|}{|{\mathbf{n}}_1||{\mathbf{n}}_2|}$

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CAPÍTULO 2: Sistemas de Ecuaciones Lineales

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Clase 5: Introducción a Sistemas de Ecuaciones Lineales

1. Definiciones Básicas

Definición - Ecuación Lineal

Una ecuación lineal en las variables $x_1,x_2,\dots ,x_n$ es una ecuación que puede escribirse en la forma:

$a_1{x}_1+a_2{x}_2+\cdots +a_n{x}_n=b$

donde $a_1,a_2,\dots ,a_n$ y $b$ son constantes reales.

Características:

• Cada variable aparece elevada a la primera potencia
• No hay productos de variables
• No hay funciones no lineales (seno, coseno, exponencial, etc.)

Definición - Sistema de Ecuaciones Lineales

Un sistema de ecuaciones lineales (o sistema lineal) es una colección de una o más ecuaciones lineales en las mismas variables.

Forma general: $\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=b_2\\ ⋮\\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\cdots +a_{mn}{x}_n=b_m\end{array}$

2. Soluciones de Sistemas Lineales

Definición - Solución

Una solución del sistema es una lista $(s_1,s_2,\dots ,s_n)$ de números que, al sustituirse en las variables $x_1,x_2,\dots ,x_n$, satisface todas las ecuaciones del sistema.

Conjunto Solución

El conjunto solución es el conjunto de todas las soluciones posibles.

Un sistema puede tener:

1. Solución única: Exactamente una solución
2. Infinitas soluciones: Un conjunto infinito de soluciones
3. Sin solución: El conjunto solución es vacío

Definición - Sistemas Consistentes e Inconsistentes

• Un sistema es consistente si tiene al menos una solución
• Un sistema es inconsistente si no tiene solución

3. Sistemas Equivalentes

Definición - Sistemas Equivalentes

Dos sistemas son equivalentes si tienen el mismo conjunto solución.

Operaciones Elementales de Ecuación

Las siguientes operaciones transforman un sistema en uno equivalente:

1. Intercambio: Intercambiar dos ecuaciones
2. Escalamiento: Multiplicar una ecuación por una constante no nula
3. Reemplazo: Reemplazar una ecuación por la suma de ella misma y un múltiplo de otra ecuación

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Clase 6: Definiciones y Conceptos de Sistemas Lineales

1. Interpretación Geométrica

Geometría de Sistemas 2×2

En ℝ²:

• Cada ecuación lineal representa una recta
• Solución única: Las rectas se intersectan en un punto
• Infinitas soluciones: Las rectas coinciden (son la misma)
• Sin solución: Las rectas son paralelas (no se intersectan)

Geometría de Sistemas 3×3

En ℝ³:

• Cada ecuación lineal representa un plano
• Solución única: Los tres planos se intersectan en un punto
• Infinitas soluciones: Los planos se intersectan en una recta o todos coinciden
• Sin solución: No hay punto común a los tres planos

2. Método de Eliminación Gaussiana

Estrategia de Eliminación

El objetivo es transformar el sistema en uno equivalente más simple mediante operaciones elementales, hasta obtener una forma que sea fácil de resolver.

Proceso:

1. Eliminar la primera variable de todas las ecuaciones excepto la primera
2. Eliminar la segunda variable de todas las ecuaciones excepto las dos primeras
3. Continuar hasta obtener forma escalonada
4. Resolver por sustitución hacia atrás

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Clase 7: Matrices y Notación Matricial

1. Definición de Matriz

Definición - Matriz

Una matriz es un arreglo rectangular de números dispuestos en filas y columnas:

$A=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right]$

• Dimensión: $m\times n$ (se lee “m por n”)
• $m$ = número de filas
• $n$ = número de columnas
• $a_{ij}$ = entrada en la fila $i$, columna $j$

2. Tipos Especiales de Matrices

Matrices Especiales

Matriz cuadrada: $m=n$ (mismo número de filas que de columnas)

Matriz cero: Todas las entradas son cero $O=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & 0\end{array}\right]$

Matriz identidad (cuadrada): $I_n=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& \cdots & 0\\ 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & 1\end{array}\right]$

3. Matriz Aumentada

Definición - Matriz de Coeficientes y Matriz Aumentada

Para el sistema: $\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=b_2\\ ⋮\\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\cdots +a_{mn}{x}_n=b_m\end{array}$

Matriz de coeficientes: $A=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right]$

Matriz aumentada: $$\begin{gathered} [A \\ | \\ \mathbf{b}]=\left[\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}& b_1\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}& b_2\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}& b_m\end{array}\right] \end{gathered}$$

4. Operaciones Elementales de Fila

Las Tres Operaciones Elementales de Fila

1. (Intercambio) Intercambiar dos filas: $R_i\leftrightarrow R_j$

2. (Escalamiento) Multiplicar una fila por una constante no nula: $R_i\leftarrow k{R}_i$ (con $k\ne 0$)

3. (Reemplazo) Sumar a una fila un múltiplo de otra: $R_i\leftarrow R_i+k{R}_j$

Notación

Las operaciones de fila se indican generalmente al lado de la matriz o entre pasos de transformación.

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Clase 8: Teorema de Existencia y Unicidad

1. Formas Escalonadas

Definición - Forma Escalonada por Filas

Una matriz está en forma escalonada si:

1. Todas las filas diferentes de cero están arriba de las filas que solo contienen ceros
2. Cada entrada principal (pivote) de una fila está en una columna a la derecha de la entrada principal de la fila superior
3. Todas las entradas en una columna debajo de una entrada principal son ceros

Entrada principal (o pivote): La primera entrada diferente de cero (de izquierda a derecha) en una fila no nula.

Ejemplo de Forma Escalonada

$\left[\begin{array}{cccc}\boxed{2}& 1& 3& 4\\ 0& \boxed{3}& -1& 2\\ 0& 0& 0& \boxed{5}\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$

Las entradas en cajas son los pivotes.

Definición - Forma Escalonada Reducida por Filas (RREF)

Una matriz está en forma escalonada reducida si además de estar en forma escalonada:

4. Cada pivote es 1
5. Cada pivote es la única entrada diferente de cero en su columna

Ejemplo de Forma Escalonada Reducida

$\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 3& 0\\ 0& 1& -1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$

2. Posiciones Pivote

Definición - Posición Pivote y Columna Pivote

Una posición pivote en una matriz $A$ es una ubicación en $A$ que corresponde a un pivote (entrada principal 1) en la forma escalonada reducida de $A$.

Una columna pivote es una columna de $A$ que contiene una posición pivote.

3. Teorema de Existencia y Unicidad

Teorema 2 - Existencia y Unicidad

Un sistema lineal es consistente si y solo si la columna de aumentación NO es una columna pivote.

Es decir, el sistema $$\begin{gathered} [A \\ | \\ \mathbf{b}] \end{gathered}$$ tiene solución si y solo si la forma escalonada de la matriz aumentada NO tiene una fila de la forma: $[\begin{array}{ccccc}0& 0& \cdots & 0& b\end{array}]$ con $b\ne 0$.

Si el sistema es consistente, entonces:

• Tiene solución única si NO hay variables libres (toda columna de $A$ es columna pivote)
• Tiene infinitas soluciones si HAY al menos una variable libre (alguna columna de $A$ no es columna pivote)

Definición - Variables Básicas y Libres

• Variables básicas (o pivote): Variables correspondientes a columnas pivote
• Variables libres: Variables correspondientes a columnas no pivote

Las variables libres pueden tomar cualquier valor, y las variables básicas se determinan en función de las libres.

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Clases 9 y 10: Reducción por Filas y Formas Escalonadas

1. Algoritmo de Reducción por Filas

Algoritmo Completo de Reducción por Filas

FASE PROGRESIVA (Pasos 1-4): Producir forma escalonada

Paso 1: Comenzar con la columna diferente de cero del extremo izquierdo (columna pivote)

Paso 2: Seleccionar un pivote no nulo. Si es necesario, intercambiar filas para mover esta entrada a la posición pivote

Paso 3: Usar operaciones de reemplazo para crear ceros debajo del pivote

Paso 4: Cubrir la fila con el pivote y repetir los pasos 1-3 en la submatriz restante

FASE REGRESIVA (Paso 5): Producir forma escalonada reducida

Paso 5: Empezando con el pivote del extremo derecho, trabajar hacia arriba y a la izquierda:

• Escalar cada fila pivote para que el pivote sea 1
• Crear ceros arriba de cada pivote

Estrategia Eficiente

• Elegir como pivote la entrada con mayor valor absoluto (pivoteo parcial) reduce errores de redondeo
• Al crear ceros, elegir la fila o columna con más ceros reduce el trabajo

2. Equivalencia por Filas

Definición - Matrices Equivalentes por Filas

Dos matrices son equivalentes por filas si una puede transformarse en la otra mediante una secuencia de operaciones elementales de fila.

Notación: $A\sim B$

Teorema - Matrices Equivalentes tienen la Misma Solución

Si las matrices aumentadas de dos sistemas lineales son equivalentes por filas, entonces los dos sistemas tienen el mismo conjunto solución.

3. Unicidad de la RREF

Teorema 1 - Unicidad de la Forma Escalonada Reducida

Cada matriz es equivalente por filas a una y solo una matriz en forma escalonada reducida.

Implicación: La forma escalonada reducida es única, mientras que la forma escalonada NO lo es (depende de las operaciones realizadas).

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Clase 11: Conjunto Solución de Sistemas Lineales

1. Sistemas Homogéneos

Definición - Sistema Homogéneo

Un sistema de ecuaciones lineales de la forma $A\mathbf{x}=0$ se llama sistema homogéneo.

Propiedad fundamental: Siempre tiene al menos la solución trivial $\mathbf{x}=0$.

Pregunta Clave

¿Cuándo tiene un sistema homogéneo soluciones no triviales (diferentes de cero)?

Teorema - Existencia de Soluciones No Triviales

El sistema homogéneo $A\mathbf{x}=0$ tiene una solución no trivial si y solo si el sistema tiene al menos una variable libre.

Corolario: Si $A$ es una matriz de $m\times n$ con $n>m$ (más variables que ecuaciones), entonces $A\mathbf{x}=0$ tiene soluciones no triviales.

2. Forma Vectorial Paramétrica

Descripción de Soluciones en Forma Paramétrica

La forma vectorial paramétrica expresa todas las soluciones del sistema como:

$\mathbf{x}=s{\mathbf{v}}_1+t{\mathbf{v}}_2+\cdots +k{\mathbf{v}}_r$

donde:

• Los escalares $s,t,\dots ,k$ son parámetros (variables libres)
• Los vectores ${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,\dots ,{\mathbf{v}}_r$ son vectores directores del conjunto solución

Ejemplo - Sistema Homogéneo con Parámetros

Si la forma escalonada reducida de $A$ es: $\left[\begin{array}{cccc}1& 3& 0& -4\\ 0& 0& 1& 2\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$

Con variables pivote $x_1,x_3$ y variables libres $x_2,x_4$:

De la RREF: $\{\begin{array}{l}{x}_1+3x_2-4x_4=0\\ x_3+2x_4=0\end{array}$

Despejando las variables básicas: $\{\begin{array}{l}{x}_1=-3x_2+4x_4\\ x_3=-2x_4\end{array}$

Solución vectorial paramétrica: $\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-3x_2+4x_4\\ x_2\\ -2x_4\\ x_4\end{array}\right]=x_2\left[\begin{array}{c}-3\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right]+x_4\left[\begin{array}{c}4\\ 0\\ -2\\ 1\end{array}\right]$

3. Sistemas No Homogéneos

Teorema 6 - Estructura de la Solución General

Si $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ es consistente y $\mathbf{p}$ es una solución particular, entonces el conjunto solución de $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ es:

$\boxed{\mathbf{x}=\mathbf{p}+{\mathbf{x}}_h}$

donde ${\mathbf{x}}_h$ es cualquier solución del sistema homogéneo $A\mathbf{x}=0$.

En palabras: $\text{Solucioˊn general}=\text{Solucioˊn particular}+\text{Solucioˊn del sistema homogeˊneo}$

Interpretación Geométrica

• 0 variables libres → Un punto (solución única)
• 1 variable libre → Una recta en ℝⁿ
• 2 variables libres → Un plano en ℝⁿ
• $k$ variables libres → Un subespacio de dimensión $k$ trasladado

El conjunto solución de $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ es una traslación del conjunto solución de $A\mathbf{x}=0$.

Ejemplo - Sistema No Homogéneo

Para $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ con RREF: $\left[\begin{array}{cccc}1& 0& -5& 1\\ 0& 1& 1& 4\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$

Solución particular (poniendo variables libres = 0): $\mathbf{p}=\left[\begin{array}{c}1\\ 4\\ 0\\ 0\end{array}\right]$

Solución del homogéneo asociado: ${\mathbf{x}}_h=x_3\left[\begin{array}{c}5\\ -1\\ 1\\ 0\end{array}\right]+x_4\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right]$

Solución general: $\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}1\\ 4\\ 0\\ 0\end{array}\right]+x_3\left[\begin{array}{c}5\\ -1\\ 1\\ 0\end{array}\right]+x_4\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right]$

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🎯 Sección de Repaso

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🚨 Errores Comunes a Evitar

Errores Frecuentes

1. ❌ Confundir magnitud con dirección
2. ❌ Olvidar el valor absoluto al calcular distancias
3. ❌ Usar producto cruz en ℝ² (solo existe en ℝ³)
4. ❌ Pensar que el producto punto da un vector (da un escalar)
5. ❌ No verificar que los vectores sean paralelos al plano antes de usar producto cruz
6. ❌ Confundir forma escalonada con forma escalonada reducida
7. ❌ Olvidar que las variables libres pueden ser cualquier valor
8. ❌ No distinguir entre solución particular y solución general
9. ❌ Pensar que sistema homogéneo siempre tiene solución única
10. ❌ Aplicar operaciones de fila incorrectamente

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📐 Fórmulas Esenciales

Fórmulas para Memorizar

Vectores:

• Magnitud: $|\mathbf{v}|=\sqrt{v_1^2+v_2^2+\cdots +v_n^2}$
• Producto punto: $\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}=u_1{v}_1+u_2{v}_2+\cdots +u_n{v}_n$
• Ángulo: $\cos \theta =\frac{\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}}{|\mathbf{u}||\mathbf{v}|}$
• Proyección: ${\text{proy}}_{\mathbf{u}}\mathbf{v}=\frac{\mathbf{v}\cdot \mathbf{u}}{\mathbf{u}\cdot \mathbf{u}}\mathbf{u}$
• Producto cruz: $\mathbf{u}\times \mathbf{v}=\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ u_1& u_2& u_3\\ v_1& v_2& v_3\end{array}\right|$

Geometría:

• Ecuación del plano: $\mathbf{n}\cdot (\mathbf{r}-{\mathbf{r}}_0)=0$ o $ax+by+cz=d$
• Distancia punto-plano: $D=\frac{|a{x}_1+b{y}_1+c{z}_1-d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

Sistemas:

• Solución general (no homogéneo): $\mathbf{x}=\mathbf{p}+{\mathbf{x}}_h$

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✅ Checklist de Repaso

Lista de Verificación para el Examen

Vectores:

• Puedo calcular magnitud, suma y múltiplo escalar de vectores
• Sé calcular producto punto y producto cruz
• Puedo encontrar ángulos entre vectores
• Entiendo proyecciones vectoriales
• Puedo escribir ecuaciones de rectas en forma vectorial y paramétrica
• Sé encontrar el vector normal a un plano
• Puedo escribir la ecuación de un plano
• Sé calcular distancias entre puntos y planos

Sistemas Lineales:

• Reconozco qué es una ecuación lineal
• Entiendo cuándo un sistema es consistente o inconsistente
• Puedo escribir la matriz aumentada de un sistema
• Sé aplicar las tres operaciones elementales de fila
• Puedo reducir una matriz a forma escalonada
• Puedo reducir una matriz a forma escalonada reducida
• Identifico variables pivote y variables libres
• Sé expresar soluciones en forma paramétrica
• Entiendo la estructura de soluciones de sistemas homogéneos
• Puedo encontrar la solución general de sistemas no homogéneos

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🔗 Conexiones entre Conceptos

Diagrama Conceptual

Vectores en ℝⁿ
    ↓
Operaciones vectoriales → Producto punto → Ángulos y ortogonalidad
    ↓                          ↓
Producto cruz            Proyecciones
    ↓                          ↓
Planos en ℝ³            Ecuaciones de rectas


Sistemas de ecuaciones lineales
    ↓
Matriz aumentada
    ↓
Operaciones de fila
    ↓
Forma escalonada → Variables pivote/libres
    ↓                       ↓
RREF                   Solución paramétrica
    ↓
Clasificación: única/infinitas/sin solución

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🎓 Resumen Final

Conceptos Fundamentales

Esta primera parte del curso establece las bases del álgebra lineal:

1. Vectores: Objetos geométricos y algebraicos que representan magnitud y dirección
2. Producto punto y cruz: Herramientas para medir ángulos, áreas y encontrar perpendicularidad
3. Ecuaciones geométricas: Representación de rectas y planos usando vectores
4. Sistemas lineales: Conjuntos de ecuaciones que modelan problemas del mundo real
5. Matrices: Forma compacta de representar y resolver sistemas lineales
6. Reducción por filas: Algoritmo sistemático para resolver cualquier sistema lineal

El algoritmo de reducción por filas es la herramienta central que permite:

• Determinar si un sistema tiene solución
• Clasificar el tipo de solución (única, infinitas, ninguna)
• Encontrar todas las soluciones de manera explícita

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📚 Referencias y Tags

Fecha de elaboración: Noviembre 2025
Curso: MAT1203 Álgebra Lineal
Contenido: Clases 1-11 (Material completo para el primer ciclo evaluativo - I1)

algebra-lineal resumen-completo vectores sistemas-lineales matrices reduccion-por-filas forma-escalonada I1