Resumen I3

Resumen Completo: Álgebra Lineal - Clases 23 a 33

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Contenido del Resumen

Este documento presenta un resumen completo y estructurado de las clases 23 a 33 del curso de Álgebra Lineal (MAT1203).

Temas cubiertos:

• Bases y dimensión de espacios vectoriales
• Espacios nulos y espacios columna
• Sistemas de coordenadas y cambio de base
• Teorema del rango
• Valores y vectores propios
• Diagonalización de matrices

Organización: El material está organizado por capítulos temáticos para facilitar el estudio y comprensión integral.

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CAPÍTULO 1: Espacios Vectoriales (Continuación)

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Clase 23: Bases e Independencia Lineal

1. Definición de Base

Definición - Base de un Subespacio

Una base de un subespacio $H$ es un conjunto de vectores $\mathcal{B}={\mathbf{b}}_1,{\mathbf{b}}_2,\dots ,{\mathbf{b}}_p$ tal que:

1. $\mathcal{B}$ genera $H$: $H=\text{Gen}{\mathbf{b}}_1,\dots ,{\mathbf{b}}_p$
2. $\mathcal{B}$ es linealmente independiente

Una base es un conjunto generador mínimo o, equivalentemente, un conjunto linealmente independiente máximo.

Importancia de las Bases

Una base proporciona:

• Descripción completa: Todo vector en $H$ se expresa como combinación lineal de los vectores de la base
• Descripción única: Cada vector tiene representación única (por la independencia lineal)
• Eficiencia: Forma más compacta sin vectores redundantes
• Coordenadas: Los coeficientes son las “coordenadas” del vector respecto a esa base

2. Teorema del Conjunto Generador

Teorema del Conjunto Generador

Sea $S={\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,\dots ,{\mathbf{v}}_p$ un conjunto que genera un subespacio $H$.

(a) Si uno de los vectores de $S$, digamos ${\mathbf{v}}_k$, es una combinación lineal de los demás vectores, entonces el conjunto que se obtiene al eliminar ${\mathbf{v}}_k$ aún genera $H$.

(b) Repitiendo este proceso, se puede reducir $S$ a una base de $H$.

3. Bases Canónicas

Base Canónica de ℝⁿ

La base canónica (o base estándar) de ℝⁿ es:

$\mathcal{E}={\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2,\dots ,{\mathbf{e}}_n$

donde: ${\mathbf{e}}_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right],{\mathbf{e}}_2=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ ⋮\\ 0\end{array}\right],\dots ,{\mathbf{e}}_n=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ ⋮\\ 1\end{array}\right]$

Base Canónica de ℙₙ

La base canónica del espacio de polinomios de grado ≤ $n$ es: $1,t,t^2,\dots ,t^n$

4. Criterio para Bases

Criterio de Base para ℝⁿ

Sea $\mathcal{B}={\mathbf{b}}_1,\dots ,{\mathbf{b}}_n$ un conjunto de $n$ vectores en ℝⁿ.

Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. $\mathcal{B}$ es una base de ℝⁿ
2. La matriz $$\begin{gathered} B=[{\mathbf{b}}_1 \\ {\mathbf{b}}_2 \\ \cdots \\ {\mathbf{b}}_n] \end{gathered}$$ es invertible
3. Las columnas de $B$ son linealmente independientes
4. Las columnas de $B$ generan ℝⁿ

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Clase 24: Espacios Nulos y Espacios Columna

1. Espacio Nulo (Kernel)

Definición - Espacio Nulo

El espacio nulo (o kernel) de una matriz $A$ de $m\times n$, denotado Nul $A$, es el conjunto de todas las soluciones del sistema homogéneo $A\mathbf{x}=0$:

$\text{Nul }A=\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^n:A\mathbf{x}=0$

Teorema - Nul A es un Subespacio

El espacio nulo de una matriz $A$ de $m\times n$ es un subespacio de ℝⁿ.

Algoritmo - Base para Nul A

Para encontrar una base para Nul $A$:

1. Resuelve el sistema homogéneo $A\mathbf{x}=0$
2. Expresa la solución general en forma vectorial paramétrica
3. Los vectores que multiplican a las variables libres forman una base para Nul $A$

Ejemplo - Base para Nul A

Si $A=\left[\begin{array}{cccc}1& 3& -4& 2\\ 0& 0& 2& -2\\ 2& 6& -6& 2\end{array}\right]$

Reduciendo a RREF: $\left[\begin{array}{cccc}1& 3& 0& -2\\ 0& 0& 1& -1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$

Variables libres: $x_2,x_4$

Solución general: $\mathbf{x}=x_2\left[\begin{array}{c}-3\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right]+x_4\left[\begin{array}{c}2\\ 0\\ 1\\ 1\end{array}\right]$

Base para Nul $A$: $\left[\begin{array}{c}-3\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}2\\ 0\\ 1\\ 1\end{array}\right]$

2. Espacio Columna

Definición - Espacio Columna

El espacio columna de una matriz $$\begin{gathered} A=[{\mathbf{a}}_1 \\ {\mathbf{a}}_2 \\ \cdots \\ {\mathbf{a}}_n] \end{gathered}$$, denotado Col $A$, es el conjunto de todas las combinaciones lineales de las columnas de $A$:

$\text{Col }A=\text{Gen}{\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,\dots ,{\mathbf{a}}_n$

Teorema - Col A es un Subespacio

El espacio columna de una matriz $A$ de $m\times n$ es un subespacio de ℝᵐ.

Caracterización de Col A

El espacio columna de $A$ es el conjunto de todos los vectores $\mathbf{b}$ tales que la ecuación $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ tiene solución.

En otras palabras: Col $A$ = {todos los $\mathbf{b}$ en ℝᵐ : $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ es consistente}

Algoritmo - Base para Col A

Para encontrar una base para Col $A$:

1. Reduce $A$ a forma escalonada
2. Identifica qué columnas son pivote en la forma escalonada
3. Toma las columnas correspondientes de la matriz ORIGINAL $A$

¡MUY IMPORTANTE!

Las operaciones de fila cambian el espacio columna. Por eso, para la base de Col $A$ usamos las columnas de la matriz original, no de la forma escalonada.

3. Espacio Fila

Definición - Espacio Fila

El espacio fila de una matriz $A$ es el espacio generado por las filas de $A$ (vistas como vectores).

Equivalentemente: Espacio fila de $A$ = Col($A^T$)

Propiedad Importante

Las operaciones de fila no cambian el espacio fila. Por tanto, el espacio fila de $A$ es igual al espacio fila de cualquier forma escalonada de $A$.

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Clase 25: Sistemas de Coordenadas

1. Coordenadas Respecto a una Base

Teorema - Representación Única

Sea $\mathcal{B}={\mathbf{b}}_1,\dots ,{\mathbf{b}}_n$ una base de un subespacio $H$.

Para cada $\mathbf{x}$ en $H$, existe una única combinación lineal: $\mathbf{x}=c_1{\mathbf{b}}_1+c_2{\mathbf{b}}_2+\cdots +c_n{\mathbf{b}}_n$

Los escalares $c_1,c_2,\dots ,c_n$ se llaman las coordenadas de $\mathbf{x}$ respecto a la base $\mathcal{B}$.

Definición - Vector de Coordenadas

El vector de coordenadas de $\mathbf{x}$ respecto a $\mathcal{B}$, denotado $[\mathbf{x}{]}_{\mathcal{B}}$, es:

$[\mathbf{x}{]}_{\mathcal{B}}=\left[\begin{array}{c}{c}_1\\ c_2\\ ⋮\\ c_n\end{array}\right]$

Ejemplo - Coordenadas

Sea $\mathcal{B}=\left\{\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]\right\}$ una base de ${\mathbb{R}}^2$.

Para $\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}3\\ 4\end{array}\right]$, encontramos: $\left[\begin{array}{c}3\\ 4\end{array}\right]=c_1\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]+c_2\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]$

Resolviendo: $c_1=1$, $c_2=2$

Por tanto: $[\mathbf{x}{]}_{\mathcal{B}}=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]$

2. Isomorfismo de Coordenadas

Teorema - El Mapeo de Coordenadas es Isomorfismo

Sea $\mathcal{B}={\mathbf{b}}_1,\dots ,{\mathbf{b}}_n$ una base de un espacio vectorial $V$.

El mapeo de coordenadas $\mathbf{x}\mapsto [\mathbf{x}{]}_{\mathcal{B}}$ es una correspondencia uno a uno de $V$ a ℝⁿ que preserva las operaciones vectoriales:

1. $[\mathbf{u}+\mathbf{v}{]}_{\mathcal{B}}=[\mathbf{u}{]}_{\mathcal{B}}+[\mathbf{v}{]}_{\mathcal{B}}$
2. $[c\mathbf{u}{]}_{\mathcal{B}}=c[\mathbf{u}{]}_{\mathcal{B}}$

Importancia del Isomorfismo

Este teorema significa que trabajar en $V$ con la base $\mathcal{B}$ es equivalente a trabajar en ℝⁿ con la base estándar.

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Clase 26: Dimensión de un Espacio Vectorial

1. Definición de Dimensión

Definición - Dimensión

La dimensión de un subespacio no nulo $H$, denotada dim $H$, es el número de vectores en cualquier base de $H$.

La dimensión del subespacio cero $0$ se define como cero.

Teorema - Unicidad de la Dimensión

Todas las bases de un subespacio $H$ tienen el mismo número de vectores.

Por tanto, la dimensión está bien definida.

Ejemplos de Dimensiones

• dim ℝⁿ = $n$
• dim ℙₙ = $n+1$ (espacio de polinomios de grado ≤ $n$)
• dim (línea a través del origen en ℝ³) = 1
• dim (plano a través del origen en ℝ³) = 2
• dim $M_{m\times n}$ = $mn$ (espacio de matrices $m\times n$)

2. Teoremas sobre Bases y Dimensión

Teorema - Bases tienen Exactamente n Vectores

Si un espacio vectorial $V$ tiene una base de $n$ vectores, entonces cada base de $V$ consiste de exactamente $n$ vectores.

Teorema - Conjuntos con Más de dim H Vectores son Dependientes

Si dim $H=n$, entonces cualquier conjunto de más de $n$ vectores en $H$ es linealmente dependiente.

Teorema - Conjuntos con Menos de dim H Vectores no Generan

Si dim $H=n$, entonces cualquier conjunto de menos de $n$ vectores en $H$ no puede generar $H$.

3. Subespacios de Dimensión Finita

Teorema - Subespacio de Dimensión Finita

Sea $H$ un subespacio de un espacio vectorial de dimensión finita $V$.

Cualquier conjunto linealmente independiente en $H$ puede extenderse a una base de $H$, y $H$ es de dimensión finita.

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Clase 27: Teorema del Rango

1. Rango de una Matriz

Definición - Rango

El rango de una matriz $A$, denotado rango($A$) o rang($A$), es la dimensión del espacio columna de $A$:

$\text{rango}(A)=\dim (\text{Col }A)$

Equivalentemente: rango($A$) = número de columnas pivote de $A$

Propiedades del Rango

• rango($A$) = número de posiciones pivote en $A$
• rango($A$) ≤ min($m$, $n$) para una matriz $m\times n$
• rango($A$) = rango($A^T$)

2. Nulidad de una Matriz

Definición - Nulidad

La nulidad de una matriz $A$, denotada nulidad($A$), es la dimensión del espacio nulo de $A$:

$\text{nulidad}(A)=\dim (\text{Nul }A)$

Equivalentemente: nulidad($A$) = número de variables libres

3. Teorema del Rango

Teorema del Rango

Para una matriz $A$ de $m\times n$:

$\boxed{\text{rango}(A)+\text{nulidad}(A)=n}$

En palabras: $\text{dim(Col }A)+\text{dim(Nul }A)=\text{nuˊmero de columnas}$

O equivalentemente: $\text{(columnas pivote)}+\text{(variables libres)}=n$

Ejemplo del Teorema del Rango

Para $A$ de $5\times 7$ con rango($A$) = 3:

• Número de columnas = 7
• rango($A$) = 3 (hay 3 columnas pivote)
• nulidad($A$) = 7 - 3 = 4 (hay 4 variables libres)
• dim(Col $A$) = 3 (subespacio de ℝ⁵)
• dim(Nul $A$) = 4 (subespacio de ℝ⁷)

4. Teorema de la Matriz Invertible (Ampliado)

TMI - Versión Ampliada con Rango

Sea $A$ una matriz cuadrada $n\times n$. Agregar a las equivalencias anteriores del TMI:

(m) Las columnas de $A$ forman una base de ℝⁿ (n) Col $A$ = ℝⁿ (o) dim(Col $A$) = $n$ (p) rango($A$) = $n$ (q) Nul $A$ = $0$ (r) dim(Nul $A$) = 0

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Clase 28: Cambio de Base

1. Matriz de Cambio de Base

Definición - Matriz de Cambio de Coordenadas

Sean $\mathcal{B}={\mathbf{b}}_1,\dots ,{\mathbf{b}}_n$ y $\mathcal{C}={\mathbf{c}}_1,\dots ,{\mathbf{c}}_n$ bases de ℝⁿ.

La matriz de cambio de coordenadas de $\mathcal{B}$ a $\mathcal{C}$, denotada $\underset{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}{P}$, es la matriz cuyas columnas son los vectores de coordenadas de los vectores de $\mathcal{B}$ respecto a la base $\mathcal{C}$:

$\underset{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}{P}=[[{\mathbf{b}}_1{]}_{\mathcal{C}}[{\mathbf{b}}_2{]}_{\mathcal{C}}\cdots [{\mathbf{b}}_n{]}_{\mathcal{C}}]$

Teorema - Cambio de Coordenadas

Si $\underset{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}{P}$ es la matriz de cambio de coordenadas de $\mathcal{B}$ a $\mathcal{C}$, entonces:

$[\mathbf{x}{]}_{\mathcal{C}}=\underset{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}{P}[\mathbf{x}{]}_{\mathcal{B}}$

para todo $\mathbf{x}$ en ℝⁿ.

2. Cambio desde/hacia la Base Canónica

Caso Especial - Base Canónica

Sea $\mathcal{E}$ la base canónica de ℝⁿ y $\mathcal{B}={\mathbf{b}}_1,\dots ,{\mathbf{b}}_n$ otra base.

La matriz de cambio de $\mathcal{B}$ a $\mathcal{E}$ es simplemente: $$\begin{gathered} \underset{\mathcal{E}\leftarrow \mathcal{B}}{P}=[{\mathbf{b}}_1 \\ {\mathbf{b}}_2 \\ \cdots \\ {\mathbf{b}}_n] \end{gathered}$$

Y la inversa: $$\begin{gathered} \underset{\mathcal{B}\leftarrow \mathcal{E}}{P}=[{\mathbf{b}}_1 \\ {\mathbf{b}}_2 \\ \cdots \\ {\mathbf{b}}_n{]}^{-1} \end{gathered}$$

Conversión de Coordenadas

• De $\mathcal{B}$ a coordenadas estándar: $\mathbf{x}=P_{\mathcal{B}}[\mathbf{x}{]}_{\mathcal{B}}$ donde $$\begin{gathered} P_{\mathcal{B}}=[{\mathbf{b}}_1 \\ \cdots \\ {\mathbf{b}}_n] \end{gathered}$$
• De coordenadas estándar a $\mathcal{B}$: $[\mathbf{x}{]}_{\mathcal{B}}=P_{\mathcal{B}}^{-1}\mathbf{x}$

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CAPÍTULO 2: Valores y Vectores Propios

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Clase 29: Valores y Vectores Propios

1. Definiciones Fundamentales

Definición - Vector Propio y Valor Propio

Sea $A$ una matriz $n\times n$. Un vector $\mathbf{v}\ne 0$ en ℝⁿ es un vector propio (o eigenvector) de $A$ si existe un escalar $\lambda$ tal que:

$A\mathbf{v}=\lambda \mathbf{v}$

El escalar $\lambda$ se llama valor propio (o eigenvalor) asociado al vector propio $\mathbf{v}$.

Interpretación Geométrica

Un vector propio $\mathbf{v}$ es un vector cuya dirección es preservada por la transformación $A$ (aunque su magnitud puede cambiar).

• Si $\lambda >1$: $A$ estira $\mathbf{v}$
• Si $0<\lambda <1$: $A$ encoge $\mathbf{v}$
• Si $\lambda <0$: $A$ invierte la dirección de $\mathbf{v}$
• Si $\lambda =0$: $A$ mapea $\mathbf{v}$ al vector cero

2. Espacio Propio

Definición - Espacio Propio

Sea $\lambda$ un valor propio de $A$. El espacio propio de $A$ correspondiente a $\lambda$ es el conjunto de todos los vectores propios asociados a $\lambda$, junto con el vector cero:

$E_{\lambda }=\text{Nul}(A-\lambda I)=\mathbf{v}:(A-\lambda I)\mathbf{v}=0$

Teorema - El Espacio Propio es un Subespacio

Para cada valor propio $\lambda$ de $A$, el espacio propio $E_{\lambda }$ es un subespacio de ℝⁿ.

3. Encontrar Valores y Vectores Propios

Algoritmo - Encontrar Valores y Vectores Propios

Paso 1: Calcular los valores propios resolviendo la ecuación característica: $\det (A-\lambda I)=0$

Paso 2: Para cada valor propio $\lambda$, encontrar los vectores propios resolviendo: $(A-\lambda I)\mathbf{v}=0$

Los vectores propios son las soluciones no triviales de este sistema homogéneo.

Ejemplo Completo

Sea $A=\left[\begin{array}{cc}3& -2\\ 1& 0\end{array}\right]$

Paso 1: Ecuación característica $\det (A-\lambda I)=\det \left[\begin{array}{cc}3-\lambda & -2\\ 1& -\lambda \end{array}\right]=(3-\lambda )(-\lambda )+2={\lambda }^2-3\lambda +2=0$

Factorizando: $(\lambda -1)(\lambda -2)=0$

Valores propios: ${\lambda }_1=1$, ${\lambda }_2=2$

Paso 2a: Vectores propios para ${\lambda }_1=1$ $(A-I)\mathbf{v}=\left[\begin{array}{cc}2& -2\\ 1& -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right]$

Solución: $v_1=v_2$, entonces ${\mathbf{v}}_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$

Paso 2b: Vectores propios para ${\lambda }_2=2$ $(A-2I)\mathbf{v}=\left[\begin{array}{cc}1& -2\\ 1& -2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right]$

Solución: $v_1=2v_2$, entonces ${\mathbf{v}}_2=\left[\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right]$

4. Propiedades de Valores y Vectores Propios

Teorema - Vectores Propios Linealmente Independientes

Si ${\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_r$ son vectores propios correspondientes a valores propios distintos ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_r$, entonces ${\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_r$ es linealmente independiente.

Propiedades Importantes

• El vector cero NO es un vector propio (por definición)
• Un valor propio puede ser cero
• Un valor propio puede tener múltiples vectores propios linealmente independientes
• Si $\mathbf{v}$ es vector propio de $A$, entonces $c\mathbf{v}$ (con $c\ne 0$) también lo es

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Clase 30: Ecuación Característica

1. Polinomio Característico

Definición - Polinomio Característico

El polinomio característico de una matriz $A$ de $n\times n$ es:

$p(\lambda )=\det (A-\lambda I)$

Este es un polinomio de grado $n$ en $\lambda$.

Definición - Ecuación Característica

La ecuación característica de $A$ es:

$\det (A-\lambda I)=0$

Las raíces de esta ecuación son los valores propios de $A$.

2. Multiplicidades

Definición - Multiplicidades

Sea $\lambda$ un valor propio de $A$.

• La multiplicidad algebraica de $\lambda$ es su multiplicidad como raíz del polinomio característico
• La multiplicidad geométrica de $\lambda$ es dim($E_{\lambda }$) = dim(Nul($A-\lambda I$))

Teorema - Relación entre Multiplicidades

Para cualquier valor propio $\lambda$: $1\le \text{mult. geomeˊtrica}\le \text{mult. algebraica}$

3. Propiedades del Polinomio Característico

Propiedades Especiales

Para una matriz $A$ de $n\times n$:

• Grado: El polinomio característico tiene grado $n$
• Coeficiente principal: El coeficiente de ${\lambda }^n$ es $(-1{)}^n$
• Término independiente: $p(0)=\det (A)$
• Suma de raíces: La suma de los valores propios (con multiplicidad) = traza($A$)
• Producto de raíces: El producto de los valores propios (con multiplicidad) = $\det (A)$

Teorema - Matrices Similares

Si $A$ y $B$ son similares (es decir, $B=P^{-1}AP$ para alguna matriz invertible $P$), entonces tienen el mismo polinomio característico y, por tanto, los mismos valores propios.

4. Traza de una Matriz

Definición - Traza

La traza de una matriz cuadrada $A=[a_{ij}]$ es la suma de sus entradas diagonales:

$\text{tr}(A)=a_{11}+a_{22}+\cdots +a_{nn}$

Propiedades de la Traza

• tr($A+B$) = tr($A$) + tr($B$)
• tr($cA$) = $c$ · tr($A$)
• tr($AB$) = tr($BA$) (incluso si $AB\ne BA$)
• tr($A$) = suma de los valores propios de $A$ (contando multiplicidades)

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Clase 31: Diagonalización

1. Definición de Diagonalización

Definición - Matriz Diagonalizable

Una matriz $A$ de $n\times n$ es diagonalizable si es similar a una matriz diagonal $D$.

Es decir, existe una matriz invertible $P$ tal que: $P^{-1}AP=D$

o equivalentemente: $A=PD{P}^{-1}$

donde $D$ es diagonal.

2. Teorema de Diagonalización

Teorema de Diagonalización

Una matriz $A$ de $n\times n$ es diagonalizable si y solo si $A$ tiene $n$ vectores propios linealmente independientes.

En este caso:

• Las columnas de $P$ son los $n$ vectores propios de $A$
• Los elementos diagonales de $D$ son los valores propios correspondientes

Algoritmo de Diagonalización

Para diagonalizar $A$:

1. Encuentra los valores propios de $A$ resolviendo $\det (A-\lambda I)=0$
2. Para cada valor propio $\lambda$, encuentra una base del espacio propio $E_{\lambda }$
3. Si el total de vectores propios es $n$, forma $P$ con estos vectores como columnas
4. Forma $D$ con los valores propios en la diagonal (en el mismo orden que los vectores en $P$)
5. Verifica: $A=PD{P}^{-1}$

Ejemplo de Diagonalización

Sea $A=\left[\begin{array}{cc}5& 2\\ 2& 2\end{array}\right]$

Paso 1: Valores propios $\det (A-\lambda I)=(5-\lambda )(2-\lambda )-4={\lambda }^2-7\lambda +6=0$ ${\lambda }_1=6$, ${\lambda }_2=1$

Paso 2: Vectores propios

• Para ${\lambda }_1=6$: ${\mathbf{v}}_1=\left[\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right]$
• Para ${\lambda }_2=1$: ${\mathbf{v}}_2=\left[\begin{array}{c}-1\\ 2\end{array}\right]$

Paso 3: Formar $P$ y $D$ $P=\left[\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 2\end{array}\right],D=\left[\begin{array}{cc}6& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$

Verificación: $A=PD{P}^{-1}$ ✓

3. Criterios de Diagonalizabilidad

Teorema - Suficiente para Diagonalización

Si $A$ de $n\times n$ tiene $n$ valores propios distintos, entonces $A$ es diagonalizable.

Cuidado

El recíproco NO es cierto. Una matriz puede ser diagonalizable incluso si tiene valores propios repetidos.

Criterio General

$A$ es diagonalizable si y solo si para cada valor propio $\lambda$: $\text{multiplicidad geomeˊtrica}=\text{multiplicidad algebraica}$

4. Aplicaciones de la Diagonalización

Potencias de Matrices

Si $A=PD{P}^{-1}$, entonces: $A^k=P{D}^k{P}^{-1}$

donde $D^k$ es fácil de calcular: $D^k=\left[\begin{array}{cccc}{\lambda }_1^k& 0& \cdots & 0\\ 0& {\lambda }_2^k& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & {\lambda }_n^k\end{array}\right]$

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Clase 32: Matriz de Transformación Lineal y Similitud

1. Matriz de una Transformación Respecto a Bases

Definición - Matriz de T Respecto a Bases

Sea $T:V\to W$ una transformación lineal, con $\mathcal{B}$ base de $V$ y $\mathcal{C}$ base de $W$.

La matriz de $T$ respecto a $\mathcal{B}$ y $\mathcal{C}$, denotada $[T{]}_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}$ o $M(T)$, es la matriz que satisface:

$[T(\mathbf{x}){]}_{\mathcal{C}}=[T{]}_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}[\mathbf{x}{]}_{\mathcal{B}}$

Las columnas de $[T{]}_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}$ son los vectores de coordenadas de $T({\mathbf{b}}_i)$ respecto a $\mathcal{C}$: $$\begin{gathered} [T{]}_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}=[[T({\mathbf{b}}_1){]}_{\mathcal{C}} \\ [T({\mathbf{b}}_2){]}_{\mathcal{C}} \\ \cdots \\ [T({\mathbf{b}}_n){]}_{\mathcal{C}}] \end{gathered}$$

2. Matrices Similares

Definición - Matrices Similares

Dos matrices $A$ y $B$ de $n\times n$ son similares si existe una matriz invertible $P$ tal que: $B=P^{-1}AP$

Teorema - Cambio de Base y Similitud

Sea $T:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n$ una transformación lineal, y sean $\mathcal{B}$ y $\mathcal{C}$ dos bases de ${\mathbb{R}}^n$.

Entonces las matrices $[T{]}_{\mathcal{B}}$ y $[T{]}_{\mathcal{C}}$ son similares: $[T{]}_{\mathcal{C}}=P^{-1}[T{]}_{\mathcal{B}}P$

donde $P$ es la matriz de cambio de coordenadas de $\mathcal{C}$ a $\mathcal{B}$.

3. Propiedades de Matrices Similares

Invariantes bajo Similitud

Si $A$ y $B$ son similares, entonces tienen:

• El mismo determinante: $\det (A)=\det (B)$
• El mismo polinomio característico
• Los mismos valores propios (con las mismas multiplicidades)
• La misma traza: tr($A$) = tr($B$)
• El mismo rango: rango($A$) = rango($B$)

Lo que NO se Preserva

Las matrices similares generalmente NO tienen:

• Los mismos vectores propios
• Las mismas entradas

4. Diagonalización como Caso de Similitud

Interpretación de la Diagonalización

Diagonalizar $A$ significa encontrar una base $\mathcal{B}$ tal que la matriz de la transformación $T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}$ respecto a $\mathcal{B}$ sea diagonal.

La base $\mathcal{B}$ está formada por los vectores propios de $A$.

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Clase 33: Valores Propios Complejos

1. Valores y Vectores Propios Complejos

Extensión a Números Complejos

Cuando el polinomio característico tiene raíces complejas, obtenemos valores propios complejos.

Para una matriz real $A$, los valores propios complejos siempre aparecen en pares conjugados:

• Si $\lambda =a+bi$ es valor propio, entonces $\bar{\lambda }=a-bi$ también lo es

Vectores Propios Complejos

Los vectores propios asociados a valores propios complejos conjugados también son conjugados complejos.

2. Matrices con Entradas Complejas

Matriz Conjugada Transpuesta

Para una matriz compleja $A=[a_{ij}]$, la conjugada transpuesta (o adjunta) de $A$, denotada $A^{\ast }$ o $A^H$, es: $A^{\ast }=\overline{A^T}$

Es decir, $(A^{\ast }{)}_{ij}=\overline{a_{ji}}$

Matriz Hermitiana

Una matriz compleja $A$ es hermitiana si $A^{\ast }=A$.

Para matrices reales, hermitiana = simétrica.

3. Valores Propios de Matrices Especiales

Teorema - Valores Propios de Matrices Hermitianas

Si $A$ es una matriz hermitiana, entonces todos sus valores propios son reales.

Teorema - Valores Propios de Matrices Unitarias

Si $U$ es una matriz unitaria ($U^{\ast }U=I$), entonces todos sus valores propios tienen módulo 1.

Es decir, $|\lambda |=1$ para todo valor propio $\lambda$ de $U$.

4. Aplicación: Rotaciones y Comportamiento Dinámico

Rotaciones en ℝ²

La matriz de rotación por ángulo $\theta$ en ℝ²: $R_{\theta }=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]$

tiene valores propios complejos: $\lambda =e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$ y $\bar{\lambda }=e^{-i\theta }$

Comportamiento Dinámico

Para sistemas dinámicos ${\mathbf{x}}_{k+1}=A{\mathbf{x}}_k$:

• Valores propios reales $|\lambda |>1$: Expansión
• Valores propios reales $|\lambda |<1$: Contracción
• Valores propios complejos con $|\lambda |=1$: Rotación (comportamiento periódico)
• Valores propios complejos con $|\lambda |<1$: Espiral hacia adentro
• Valores propios complejos con $|\lambda |>1$: Espiral hacia afuera

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🎯 Sección de Repaso

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🚨 Errores Comunes a Evitar

Errores Frecuentes

1. ❌ Usar columnas de la forma escalonada para base de Col $A$ (usar las del original)
2. ❌ Olvidar que el vector cero NO es vector propio
3. ❌ Confundir multiplicidad algebraica con geométrica
4. ❌ Pensar que todas las matrices son diagonalizables
5. ❌ No verificar que hay $n$ vectores propios independientes antes de diagonalizar
6. ❌ Confundir el orden de $P$ y $D$ en $A=PD{P}^{-1}$
7. ❌ Olvidar que bases diferentes dan coordenadas diferentes
8. ❌ Pensar que matrices similares tienen las mismas entradas
9. ❌ No recordar que valores propios complejos vienen en pares conjugados
10. ❌ Confundir dim(Nul $A$) con dim(Col $A$)

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📐 Fórmulas Esenciales

Fórmulas para Memorizar

Dimensión:

• dim(Nul $A$) + dim(Col $A$) = $n$ (Teorema del Rango)
• dim(Col $A$) = rango($A$) = número de columnas pivote
• dim(Nul $A$) = nulidad($A$) = número de variables libres

Valores Propios:

• Ecuación característica: $\det (A-\lambda I)=0$
• Espacio propio: $E_{\lambda }=\text{Nul}(A-\lambda I)$
• Diagonalización: $A=PD{P}^{-1}$
• Potencias: $A^k=P{D}^k{P}^{-1}$

Traza:

• tr($A$) = suma de los valores propios
• tr($AB$) = tr($BA$)

Determinante:

• $\det (A)$ = producto de los valores propios

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✅ Checklist de Repaso

Lista de Verificación para el Examen

Espacios Vectoriales:

• Puedo encontrar una base para Nul $A$
• Puedo encontrar una base para Col $A$
• Entiendo la diferencia entre rango y nulidad
• Sé aplicar el Teorema del Rango
• Puedo calcular dim($H$) para cualquier subespacio $H$
• Entiendo coordenadas respecto a una base
• Puedo construir matrices de cambio de base

Valores Propios:

• Puedo calcular el polinomio característico
• Sé encontrar valores propios de cualquier matriz
• Puedo encontrar vectores propios para cada valor propio
• Entiendo el concepto de espacio propio
• Sé cuándo una matriz es diagonalizable
• Puedo diagonalizar matrices (encontrar $P$ y $D$)
• Entiendo multiplicidad algebraica vs geométrica
• Sé calcular potencias de matrices usando diagonalización
• Entiendo matrices similares y sus propiedades
• Reconozco valores propios complejos y sus propiedades

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🔗 Conexiones entre Conceptos

Diagrama Conceptual

Espacio Vectorial V
    ↓
Base {b₁, ..., bₙ}
    ↓
dim(V) = n
    ↓
Coordenadas [x]_B


Matriz A
    ↓
Nul A ← → Col A
    ↓         ↓
nulidad   rango
    ↓         ↓
    Teorema del Rango


Transformación Lineal T
    ↓
Valores propios λ
    ↓
Vectores propios v
    ↓
Espacios propios E_λ
    ↓
Diagonalización A = PDP⁻¹

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🎓 Resumen Final

Conceptos Fundamentales

Esta tercera unidad del curso profundiza en la estructura algebraica del álgebra lineal:

1. Bases y Dimensión: Proporcionan una forma minimal de describir espacios vectoriales
2. Nul $A$ y Col $A$: Subespacios fundamentales asociados a una matriz
3. Teorema del Rango: Relación fundamental entre dimensiones de Nul $A$ y Col $A$
4. Coordenadas: Diferentes formas de representar el mismo vector
5. Cambio de Base: Transformación entre diferentes sistemas de coordenadas
6. Valores y Vectores Propios: Direcciones especiales preservadas por transformaciones
7. Diagonalización: Simplificación de matrices a su forma más simple
8. Similitud: Diferentes representaciones de la misma transformación

Los valores propios revelan propiedades intrínsecas de las transformaciones lineales y son cruciales para:

• Análisis de sistemas dinámicos
• Simplificación de cálculos (potencias de matrices)
• Clasificación de transformaciones
• Aplicaciones en física, ingeniería, y ciencia de datos

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📚 Referencias y Tags

Fecha de elaboración: Noviembre 2025
Curso: MAT1203 Álgebra Lineal
Contenido: Clases 23-33 (Material completo para el tercer ciclo evaluativo - I3)

algebra-lineal resumen-completo espacios-vectoriales bases dimension valores-propios diagonalizacion cambio-de-base I3