16) Regla de la Cadena - Derivadas de Composición (Parte 2)

Clase 16: Regla de la Cadena - Derivadas de Composición (Parte 2)

📚 Introducción

Esta clase profundiza en la regla de la cadena, una de las herramientas más poderosas del cálculo diferencial. Mientras que en la clase anterior vimos los fundamentos, ahora exploraremos aplicaciones más avanzadas, especialmente con funciones exponenciales y composiciones múltiples.

Objetivos de la Clase

• Dominar la regla de la cadena en contextos más complejos
• Aplicar la regla de la cadena a funciones exponenciales generales
• Deducir la derivada de $a^x$ para cualquier base $a>0$
• Resolver problemas que involucran múltiples composiciones

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1. Repaso: Regla de la Cadena

1.1 Forma General

Teorema - Regla de la Cadena

Si $g$ es derivable en $x$ y $f$ es derivable en $g(x)$, entonces la composición $F=f\circ g$ es derivable en $x$ y:

$\frac{d}{dx}[f(g(x))]=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)$

1.2 Notación Alternativa

En notación de Leibniz, si $y=f(u)$ y $u=g(x)$:

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}$

Interpretación Intuitiva

La regla de la cadena nos dice que la razón de cambio de $y$ respecto a $x$ es el producto de:

• La razón de cambio de $y$ respecto a $u$
• La razón de cambio de $u$ respecto a $x$

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2. Casos Especiales Importantes

2.1 Potencia de una Función

Fórmula - Potencia de una Función

$\frac{d}{dx}{\left[f(x)\right]}^n=n{\left[f(x)\right]}^{n-1}\cdot f^{\prime }(x)$

Ejemplo: Si $y=(x^2+3x{)}^5$, entonces: $\frac{dy}{dx}=5(x^2+3x{)}^4\cdot (2x+3)$

2.2 Raíz de una Función

Para raíces, recordamos que $\sqrt[n]{f(x)}=[f(x){]}^{1/n}$:

$\frac{d}{dx}\sqrt[n]{f(x)}=\frac{1}{n}[f(x){]}^{(1/n)-1}\cdot f^{\prime }(x)=\frac{f^{\prime }(x)}{n\sqrt[n]{[f(x){]}^{n-1}}}$

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3. Derivadas de Funciones Exponenciales

3.1 Exponencial con Base $e$

Ya sabemos que: $\frac{d}{dx}{e}^x=e^x$

Pero, ¿qué pasa con $e^{f(x)}$?

Regla - Exponencial Compuesta (Base e)

$\frac{d}{dx}{e}^{f(x)}=e^{f(x)}\cdot f^{\prime }(x)$

Ejemplos del libro:

Ejemplo 3, pág. 202: $\frac{d}{dx}{e}^{x^2}=e^{x^2}\cdot 2x$

Ejemplo 4, pág. 202: $\frac{d}{dx}{e}^{\tan x}=e^{\tan x}\cdot {\sec }^{2}x$

Ejemplo 7, pág. 202: $\frac{d}{dx}{e}^{\sqrt{x}}=e^{\sqrt{x}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}$

3.2 Derivada de $a^x$ para cualquier base

Deducción - Derivada de a^x

Objetivo: Encontrar $\frac{d}{dx}{a}^x$ donde $a>0$

Paso 1: Usamos la identidad fundamental $a^x=e^{\ln (a^x)}=e^{x\ln a}$

Paso 2: Aplicamos la regla de la cadena $\frac{d}{dx}{a}^x=\frac{d}{dx}{e}^{x\ln a}=e^{x\ln a}\cdot \frac{d}{dx}(x\ln a)$

Paso 3: Como $\ln a$ es una constante $=e^{x\ln a}\cdot \ln a=a^x\ln a$

Resultado:

$\boxed{\frac{d}{dx}{a}^x=a^x\ln a}$

Ejemplo 8, pág. 203:

Derivar $y=2^x$

$\frac{dy}{dx}=2^x\ln 2$

3.3 Exponencial General Compuesta

Combinando lo anterior con la regla de la cadena:

Fórmula General

$\frac{d}{dx}{a}^{f(x)}=a^{f(x)}\cdot \ln a\cdot f^{\prime }(x)$

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4. Ejemplos Avanzados

4.1 Composiciones Múltiples

Problema: Derivar $h(x)=\sqrt{3+\sqrt{x}}$

Solución Paso a Paso

Identificamos las capas:

• Capa externa: $\sqrt{u}$ donde $u=3+\sqrt{x}$
• Capa interna: $3+\sqrt{x}$
• Capa más interna: $\sqrt{x}$

Aplicando la regla de la cadena: $h^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{3+\sqrt{x}}}\cdot \frac{d}{dx}(3+\sqrt{x})$

$=\frac{1}{2\sqrt{3+\sqrt{x}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$

$=\frac{1}{4\sqrt{x}\sqrt{3+\sqrt{x}}}$

4.2 Productos con Composiciones

Problema: Derivar $y=x^2{e}^{3x}$

Solución

Usamos regla del producto y regla de la cadena:

$\frac{dy}{dx}=(x^2{)}^{\prime }\cdot e^{3x}+x^2\cdot (e^{3x}{)}^{\prime }$

$=2x\cdot e^{3x}+x^2\cdot e^{3x}\cdot 3$

$=e^{3x}(2x+3x^2)$

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🎯 Conceptos Clave para Repasar

Resumen de Conceptos

1. Regla de la cadena: $[f(g(x)){]}^{\prime }=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)$
2. Potencia de función: $[f(x){]}^n$ deriva como $n[f(x){]}^{n-1}\cdot f^{\prime }(x)$
3. Exponencial compuesta: $\frac{d}{dx}{e}^{f(x)}=e^{f(x)}\cdot f^{\prime }(x)$
4. Base general: $\frac{d}{dx}{a}^x=a^x\ln a$
5. Identidad clave: $a^x=e^{x\ln a}$
6. Composiciones múltiples: Derivar desde afuera hacia adentro

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🚨 Errores Comunes

Error 1: Olvidar la derivada interna

• Incorrecto: $\frac{d}{dx}{e}^{x^2}=e^{x^2}$
• Correcto: $\frac{d}{dx}{e}^{x^2}=e^{x^2}\cdot 2x$

Error 2: Confundir a^x con x^a

• Incorrecto: $\frac{d}{dx}{2}^x=x\cdot 2^{x-1}$ (esto sería para $x^2$)
• Correcto: $\frac{d}{dx}{2}^x=2^x\ln 2$

Error 3: No usar la identidad para bases arbitrarias

• Incorrecto: Intentar derivar $3^x$ sin usar $e^{x\ln 3}$
• Correcto: Usar $3^x=e^{x\ln 3}$ y aplicar regla de la cadena

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📝 Ejercicios Propuestos

Ejercicios de Práctica

1. Derivar $y=(2x^2+5{)}^{10}$
2. Encontrar $\frac{dy}{dx}$ si $y=e^{-x^2}$
3. Calcular $\frac{d}{dx}{5}^{x^2}$
4. Derivar $h(x)=\sqrt{e^x+1}$
5. Si $f(x)=2^{\sin x}$, encontrar $f^{\prime }(x)$

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📚 Referencias

Lectura Principal

• Sección 3.4: Regla de la cadena, págs. 202-205
• Ejemplos 3, 4, 7 y 8

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✅ Checklist de Estudio

Lista de Verificación

• Puedo aplicar la regla de la cadena a funciones con 2 o más composiciones
• Entiendo cómo derivar $e^{f(x)}$ para cualquier función $f$
• Puedo deducir por qué $\frac{d}{dx}{a}^x=a^x\ln a$
• Comprendo la identidad $a^x=e^{x\ln a}$
• Sé combinar regla del producto con regla de la cadena
• Puedo identificar correctamente la “función externa” e “interna”

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