25) Mas Formas Indeterminadas, Productos, Diferencias y Potencias

Clase 25: Más Formas Indeterminadas - Productos, Diferencias y Potencias

📚 Introducción

En la Clase 24 aprendimos a usar la Regla de L’Hôpital para formas indeterminadas del tipo $\frac{0}{0}$ y $\frac{\infty }{\infty }$. Sin embargo, existen otras formas indeterminadas que aparecen frecuentemente: productos indeterminados ($0\cdot \infty$), diferencias indeterminadas ($\infty -\infty$), y potencias indeterminadas ($0^0$, ${\infty }^0$, $1^{\infty }$). En esta clase aprenderemos a transformar estas formas en $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty }{\infty }$ para poder aplicar la Regla de L’Hôpital.

Objetivos de la Clase

• Reconocer formas indeterminadas de tipo: $0\cdot \infty$, $\infty -\infty$, $0^0$, ${\infty }^0$, $1^{\infty }$
• Transformar productos indeterminados a cocientes indeterminados
• Convertir diferencias indeterminadas en cocientes mediante manipulación algebraica
• Manejar potencias indeterminadas usando logaritmos naturales
• Aplicar la Regla de L’Hôpital a estas formas transformadas

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1. Productos Indeterminados - Forma $0\cdot \infty$

1.1 ¿Qué es un Producto Indeterminado?

Cuando tenemos un límite de la forma:

${\lim }_{x\to a}[f(x)\cdot g(x)]$

donde $f(x)\to 0$ y $g(x)\to \infty$ (o $-\infty$) cuando $x\to a$, nos encontramos con una forma indeterminada del tipo $0\cdot \infty$.

¿Por qué es indeterminada?

Intuitivamente, el factor que tiende a 0 “tira” el producto hacia 0, mientras que el factor que tiende a $\infty$ “tira” el producto hacia $\infty$. No es claro cuál domina, por lo que el límite es indeterminado.

1.2 Estrategia de Conversión

Para resolver un producto indeterminado, lo convertimos en un cociente:

Estrategia para 0 \cdot \infty

Si $\lim f(x)\cdot g(x)$ es de la forma $0\cdot \infty$, reescribimos como:

$f(x)\cdot g(x)=\frac{f(x)}{\frac{1}{g(x)}}\text{(forma }\frac{0}{0}\text{)}$

o como:

$f(x)\cdot g(x)=\frac{g(x)}{\frac{1}{f(x)}}\text{(forma }\frac{\infty }{\infty }\text{)}$

Elegimos la forma que sea más fácil de derivar.

1.3 Ejemplo Resuelto 1

Ejemplo 1: 0 \cdot \infty

Encuentre $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }x\ln x$

Análisis: Cuando $x\to 0^{+}$:

• $x\to 0$
• $\ln x\to -\infty$

Por lo tanto, tenemos la forma $0\cdot (-\infty )$

Solución: Reescribimos el producto como un cociente:

$x\ln x=\frac{\ln x}{\frac{1}{x}}\text{[Forma }\frac{-\infty }{\infty }\text{]}$

Ahora podemos aplicar la Regla de L’Hôpital:

${\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{\ln x}{\frac{1}{x}}={\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}={\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{\frac{1}{x}\cdot x^2}{-1}={\lim }_{x\to 0^{+}}(-x)=0$

Respuesta: $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }x\ln x=0$

1.4 Ejemplo Resuelto 2

Ejemplo 2: 0 \cdot \infty con funciones trigonométricas

Calcule $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }x\ln (\sin x)$

Análisis:

• $x\to 0^{+}$
• $\sin x\to 0^{+}$, entonces $\ln (\sin x)\to -\infty$
• Forma: $0\cdot (-\infty )$

Solución:

${\lim }_{x\to 0^{+}}x\ln (\sin x)={\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{\ln (\sin x)}{\frac{1}{x}}\text{[Forma }\frac{-\infty }{\infty }\text{]}$

Aplicamos L’Hôpital:

$={\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{\frac{\cos x}{\sin x}}{-\frac{1}{x^2}}={\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{\frac{\cos x}{\sin x}\cdot (-x^2)}{1}={\lim }_{x\to 0^{+}}\left(-x^2\cdot \frac{\cos x}{\sin x}\right)$

$={\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{-x^2\cos x}{\sin x}={\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{-x\cos x}{\frac{\sin x}{x}}$

Como ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$:

$=\frac{0\cdot 1}{1}=0$

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2. Diferencias Indeterminadas - Forma $\infty -\infty$

2.1 ¿Qué es una Diferencia Indeterminada?

Si tenemos:

${\lim }_{x\to a}[f(x)-g(x)]$

donde $f(x)\to \infty$ y $g(x)\to \infty$ cuando $x\to a$, obtenemos la forma indeterminada $\infty -\infty$.

¿Por qué es indeterminada?

No podemos decir que $\infty -\infty =0$ porque el resultado depende de qué tan rápido crecen $f$ y $g$. Una puede dominar a la otra, o pueden cancelarse exactamente, o dar cualquier valor finito.

2.2 Estrategias de Conversión

Estrategias para \infty - \infty

Opción 1: Usar un común denominador para combinar en una fracción

$f(x)-g(x)=\frac{1}{h(x)}-\frac{1}{k(x)}=\frac{k(x)-h(x)}{h(x)k(x)}$

Opción 2: Factorizar un término común

$f(x)-g(x)=\text{(algo comuˊn)}\times \text{(diferencia)}$

Opción 3: Racionalizar (multiplicar por el conjugado)

2.3 Ejemplo Resuelto 3

Ejemplo 3: \infty - \infty con común denominador

Calcule $\underset{x\to 1}{\lim }\left(\frac{x}{x-1}-\frac{1}{\ln x}\right)$

Análisis: Cuando $x\to 1$:

• $\frac{x}{x-1}\to \frac{1}{0^{+}}=+\infty$
• $\frac{1}{\ln x}\to \frac{1}{0}=\pm \infty$

Forma: $\infty -\infty$

Solución: Usamos común denominador:

${\lim }_{x\to 1}\left(\frac{x}{x-1}-\frac{1}{\ln x}\right)={\lim }_{x\to 1}\frac{x\ln x-(x-1)}{(x-1)\ln x}$

$={\lim }_{x\to 1}\frac{x\ln x-x+1}{(x-1)\ln x}\text{[Forma }\frac{0}{0}\text{]}$

Aplicamos L’Hôpital:

$={\lim }_{x\to 1}\frac{\ln x+x\cdot \frac{1}{x}-1}{\ln x+(x-1)\cdot \frac{1}{x}}={\lim }_{x\to 1}\frac{\ln x+1-1}{\ln x+\frac{x-1}{x}}$

$={\lim }_{x\to 1}\frac{\ln x}{\ln x+\frac{x-1}{x}}\text{[Auˊn }\frac{0}{0}\text{]}$

Aplicamos L’Hôpital nuevamente:

$={\lim }_{x\to 1}\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}+\frac{x-(x-1)}{x^2}}={\lim }_{x\to 1}\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}$

$={\lim }_{x\to 1}\frac{\frac{1}{x}}{\frac{x+1}{x^2}}={\lim }_{x\to 1}\frac{x}{x+1}=\frac{1}{2}$

2.4 Ejemplo Resuelto 4

Ejemplo 4: \infty - \infty con racionalización

Calcule $\underset{x\to \infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+x}-x\right)$

Análisis: Cuando $x\to \infty$:

• $\sqrt{x^2+x}\to \infty$
• $x\to \infty$

Forma: $\infty -\infty$

Solución: Racionalizamos multiplicando por el conjugado:

${\lim }_{x\to \infty }\left(\sqrt{x^2+x}-x\right)={\lim }_{x\to \infty }\frac{(\sqrt{x^2+x}-x)(\sqrt{x^2+x}+x)}{\sqrt{x^2+x}+x}$

$={\lim }_{x\to \infty }\frac{(x^2+x)-x^2}{\sqrt{x^2+x}+x}={\lim }_{x\to \infty }\frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}$

Dividimos numerador y denominador por $x$:

$={\lim }_{x\to \infty }\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1}=\frac{1}{\sqrt{1+0}+1}=\frac{1}{2}$

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3. Potencias Indeterminadas - Formas $0^0$, ${\infty }^0$, $1^{\infty }$

3.1 Tres Tipos de Potencias Indeterminadas

Consideremos límites de la forma:

${\lim }_{x\to a}[f(x){]}^{g(x)}$

Tenemos formas indeterminadas cuando:

Potencias Indeterminadas

1. Tipo $0^0$: $f(x)\to 0^{+}$ y $g(x)\to 0$

2. Tipo ${\infty }^0$: $f(x)\to \infty$ y $g(x)\to 0$

3. Tipo $1^{\infty }$: $f(x)\to 1$ y $g(x)\to \pm \infty$

3.2 Estrategia: Usar Logaritmos

Estrategia para Potencias Indeterminadas

Para evaluar ${\lim }_{x\to a}[f(x){]}^{g(x)}$ cuando es una potencia indeterminada:

1. Sea $y=[f(x){]}^{g(x)}$
2. Tomamos logaritmo natural: $\ln y=g(x)\ln f(x)$
3. Evaluamos ${\lim }_{x\to a}\ln y={\lim }_{x\to a}g(x)\ln f(x)$
4. Si ${\lim }_{x\to a}\ln y=L$, entonces ${\lim }_{x\to a}y=e^L$

¿Por qué funciona?

Esto convierte el producto indeterminado $g(x)\ln f(x)$ en algo manejable, y luego usamos la continuidad de $e^x$ para obtener el límite original.

3.3 Ejemplo Resuelto 5 - Forma $0^0$

Ejemplo 5: Límite tipo 0^0

Obtenga $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{x}^x$

Análisis: $x\to 0^{+}$ implica $x^x$ tiene la forma $0^0$

Solución: Sea $y=x^x$, entonces:

$\ln y=\ln (x^x)=x\ln x$

Necesitamos:

${\lim }_{x\to 0^{+}}\ln y={\lim }_{x\to 0^{+}}x\ln x$

Este es un producto indeterminado $0\cdot (-\infty )$ que ya resolvimos en el Ejemplo 1:

${\lim }_{x\to 0^{+}}x\ln x=0$

Por lo tanto:

${\lim }_{x\to 0^{+}}y=e^0=1$

Respuesta: $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{x}^x=1$

3.4 Ejemplo Resuelto 6 - Forma ${\infty }^0$

Ejemplo 6: Límite tipo \infty^0

Calcule $\underset{x\to \infty }{\lim }{x}^{1/x}$

Análisis: $x\to \infty$ y $\frac{1}{x}\to 0$, forma ${\infty }^0$

Solución: Sea $y=x^{1/x}$, entonces:

$\ln y=\frac{1}{x}\ln x=\frac{\ln x}{x}$

Evaluamos:

${\lim }_{x\to \infty }\ln y={\lim }_{x\to \infty }\frac{\ln x}{x}\text{[Forma }\frac{\infty }{\infty }\text{]}$

Por L’Hôpital:

$={\lim }_{x\to \infty }\frac{\frac{1}{x}}{1}={\lim }_{x\to \infty }\frac{1}{x}=0$

Por lo tanto:

${\lim }_{x\to \infty }y=e^0=1$

Respuesta: $\underset{x\to \infty }{\lim }{x}^{1/x}=1$

3.5 Ejemplo Resuelto 7 - Forma $1^{\infty }$

Ejemplo 7: Límite tipo 1^{\infty}

Obtenga $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }(1+\sin 4x{)}^{\cot x}$

Análisis:

• $x\to 0^{+}$ implica $\sin 4x\to 0$, entonces $(1+\sin 4x)\to 1$
• $\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}\to \frac{1}{0^{+}}=+\infty$
• Forma: $1^{\infty }$

Solución: Sea $y=(1+\sin 4x{)}^{\cot x}$, entonces:

$\ln y=\cot x\cdot \ln (1+\sin 4x)=\frac{\ln (1+\sin 4x)}{\tan x}$

Evaluamos:

${\lim }_{x\to 0^{+}}\ln y={\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{\ln (1+\sin 4x)}{\tan x}\text{[Forma }\frac{0}{0}\text{]}$

Por L’Hôpital:

$={\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{\frac{4\cos 4x}{1+\sin 4x}}{{\sec }^{2}x}={\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{4\cos 4x{\cos }^{2}x}{1+\sin 4x}$

$=\frac{4\cdot 1\cdot 1}{1+0}=4$

Por lo tanto:

${\lim }_{x\to 0^{+}}y=e^4$

Respuesta: $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }(1+\sin 4x{)}^{\cot x}=e^4$

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4. Tabla Resumen de Formas Indeterminadas

Tabla de Formas Indeterminadas y Estrategias

Forma	Estrategia de Conversión	Resultado
$\frac{0}{0}$	Aplicar L’Hôpital directamente	$\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$
$\frac{\infty }{\infty }$	Aplicar L’Hôpital directamente	$\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$
$0\cdot \infty$	Reescribir como $\frac{f(x)}{1/g(x)}$ o $\frac{g(x)}{1/f(x)}$	Forma $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty }{\infty }$
$\infty -\infty$	Común denominador, factorizar, o racionalizar	Forma $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty }{\infty }$
$0^0$	$y=[f(x){]}^{g(x)}$, calcular $\lim \ln y=\lim g(x)\ln f(x)$	$e^L$ donde $L=\lim \ln y$
${\infty }^0$	$y=[f(x){]}^{g(x)}$, calcular $\lim \ln y=\lim g(x)\ln f(x)$	$e^L$ donde $L=\lim \ln y$
$1^{\infty }$	$y=[f(x){]}^{g(x)}$, calcular $\lim \ln y=\lim g(x)\ln f(x)$	$e^L$ donde $L=\lim \ln y$

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5. Ejemplos Adicionales Sugeridos por la Planificación

La planificación de la clase sugiere revisar al menos los siguientes casos:

5.1 Caso $\infty -\infty$

Sugerencia de la Planificación

${\lim }_{x\to 1}\left(\frac{x}{x-1}-\frac{1}{\ln (x)}\right)$

Ya resuelto en el Ejemplo 3 de esta clase.

5.2 Caso $0^0$

Sugerencia de la Planificación

${\lim }_{x\to 0^{+}}{x}^x$

Ya resuelto en el Ejemplo 5 de esta clase.

5.3 Caso ${\infty }^0$

Sugerencia de la Planificación

${\lim }_{x\to \infty }(1+x{)}^{1/x}$

Solución: Sea $y=(1+x{)}^{1/x}$

$\ln y=\frac{\ln (1+x)}{x}\text{[Forma }\frac{\infty }{\infty }\text{]}$

Por L’Hôpital:

${\lim }_{x\to \infty }\ln y={\lim }_{x\to \infty }\frac{\frac{1}{1+x}}{1}={\lim }_{x\to \infty }\frac{1}{1+x}=0$

Por lo tanto: ${\lim }_{x\to \infty }(1+x{)}^{1/x}=e^0=1$

5.4 Caso $1^{\infty }$

Sugerencia de la Planificación

${\lim }_{x\to 0^{+}}(1+\sin (4x){)}^{\cot (x)}$

Ya resuelto en el Ejemplo 7 de esta clase: Respuesta = $e^4$

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6. Errores Comunes y Precauciones

Errores Frecuentes

Error 1: Olvidar que $0^0$, ${\infty }^0$ y $1^{\infty }$ son formas indeterminadas

• No asuma que $0^0=0$ o $1^{\infty }=1$

Error 2: No verificar que realmente es una forma indeterminada

• Siempre evalúa los límites de base y exponente por separado

Error 3: Olvidar tomar $e^L$ al final cuando se usan logaritmos

• Si encontraste $\lim \ln y=L$, entonces $\lim y=e^L$, no $L$

Error 4: No simplificar antes de aplicar L’Hôpital

• Para $\infty -\infty$, siempre intenta simplificar algebraicamente primero

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7. Estrategia General de Resolución

Algoritmo para Formas Indeterminadas

1. IDENTIFICAR la forma del límite
   ↓
2. ¿Es una forma indeterminada?
   ├─ NO → Evaluar directamente
   └─ SÍ → Continuar
        ↓
3. ¿Qué tipo de forma indeterminada es?
   ├─ 0/0 o ∞/∞ → Aplicar L'Hôpital directamente
   ├─ 0·∞ → Convertir a 0/0 o ∞/∞
   ├─ ∞-∞ → Común denominador/factorizar/racionalizar
   └─ 0^0, ∞^0, 1^∞ → Usar logaritmos
        ↓
4. Aplicar L'Hôpital (si es necesario repetir, hazlo)
   ↓
5. Evaluar el límite final
   ↓
6. Si usaste logaritmos: Aplicar e^L

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8. Resumen de Conceptos Clave

Puntos Principales de la Clase 25

1. Productos indeterminados ($0\cdot \infty$):

   • Convertir a $\frac{f(x)}{1/g(x)}$ o $\frac{g(x)}{1/f(x)}$

2. Diferencias indeterminadas ($\infty -\infty$):

   • Usar común denominador, factorizar, o racionalizar

3. Potencias indeterminadas ($0^0$, ${\infty }^0$, $1^{\infty }$):

   • Usar logaritmos: $y=f^g\Rightarrow \ln y=g\ln f$
   • Si $\lim \ln y=L$, entonces $\lim y=e^L$

4. Todas estas formas se reducen eventualmente a $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty }{\infty }$

5. Siempre verificar que realmente tienes una forma indeterminada antes de aplicar las técnicas

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9. Ejercicios Propuestos

Ejercicios para Practicar

Productos $0\cdot \infty$:

1. $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{x}^2\ln x$

2. $\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x}{\ln x}\cdot \frac{1}{x^2}$

3. $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }(\cot x)(\ln x)$

Diferencias $\infty -\infty$:

4. $\underset{x\to 0}{\lim }\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{\sin x}\right)$

5. $\underset{x\to \infty }{\lim }(x-\sqrt{x^2-1})$

6. $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{e^x-1}\right)$

Potencias $0^0$:

7. $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }(\sin x{)}^x$

8. $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }(1-\cos x{)}^x$

Potencias ${\infty }^0$:

9. $\underset{x\to \infty }{\lim }{x}^{1/\sqrt{x}}$

10. $\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x$ (Este es el famoso límite que define $e$!)

Potencias $1^{\infty }$:

11. $\underset{x\to 0}{\lim }(1+x{)}^{1/x}$

12. $\underset{x\to 0}{\lim }(1+3x{)}^{2/x}$

13. $\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{2}{x}\right)}^x$

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10. Checklist de Estudio

• ¿Puedo identificar las 7 formas indeterminadas principales?
• ¿Entiendo cómo convertir $0\cdot \infty$ en un cociente?
• ¿Sé usar común denominador, factorización o racionalización para $\infty -\infty$?
• ¿Puedo explicar por qué usamos logaritmos para potencias indeterminadas?
• ¿Recuerdo aplicar $e^L$ al final cuando uso logaritmos?
• ¿He practicado al menos 2 ejemplos de cada tipo de forma indeterminada?
• ¿Puedo decidir rápidamente qué estrategia usar para cada forma?

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11. Conexiones con Otros Temas

• Clase 24: Formas básicas $\frac{0}{0}$ y $\frac{\infty }{\infty }$ con Regla de L’Hôpital
• Clase 10-14: Derivadas (necesarias para aplicar L’Hôpital)
• Clase 28: Integrales (veremos más aplicaciones de límites)
• Cálculo Avanzado: Estas técnicas son fundamentales para series y sucesiones

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12. El Número $e$ como Límite

Una aplicación importante de las formas indeterminadas tipo $1^{\infty }$ es la definición alternativa del número $e$:

Definición de e como Límite

$e={\lim }_{x\to \infty }{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x={\lim }_{x\to 0}(1+x{)}^{1/x}$

Demostración (usando logaritmos):

Sea $y={\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x$, entonces:

$\ln y=x\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)=\frac{\ln (1+1/x)}{1/x}\text{[Forma }\frac{0}{0}\text{ cuando }x\to \infty \text{]}$

Aplicando L’Hôpital (con sustitución $u=1/x$, $u\to 0$):

${\lim }_{x\to \infty }\ln y={\lim }_{u\to 0}\frac{\ln (1+u)}{u}={\lim }_{u\to 0}\frac{\frac{1}{1+u}}{1}=1$

Por lo tanto: $e=e^1={\lim }_{x\to \infty }y$

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Referencias y Material Adicional

• Stewart, Sección 4.4: Formas Indeterminadas y Regla de L’Hôpital, págs. 301-307
• Ejercicios recomendados: 36-70 (impares)
• Ver especialmente los ejercicios sobre productos indeterminados y potencias

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