26) Resumen de Trazado de Curvas y Asintotas Oblicuas

Clase 26: Resumen de Trazado de Curvas y Asíntotas Oblicuas

📚 Introducción

Hasta este momento hemos estudiado diversos aspectos del trazado de curvas: dominio, rango, simetría, límites, continuidad, asíntotas, derivadas, rectas tangentes, valores extremos, intervalos de crecimiento y decrecimiento, concavidad, puntos de inflexión y la regla de L’Hôpital. Ha llegado el momento de reunir toda esta información para elaborar gráficas completas y precisas que revelen las características más importantes de las funciones. En esta clase aprenderemos una guía sistemática para el trazado de curvas y estudiaremos un nuevo tipo de asíntota: las asíntotas oblicuas.

Objetivos de la Clase

• Comprender el concepto de asíntota oblicua
• Determinar asíntotas oblicuas de funciones
• Esbozar la gráfica completa de una función utilizando toda la información disponible
• Identificar sistemáticamente: dominio, intersecciones, simetría y asíntotas
• Aplicar derivadas para encontrar intervalos de crecimiento/decrecimiento y concavidad
• Integrar todos los conceptos aprendidos en un procedimiento organizado

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1. ¿Por Qué Necesitamos una Guía Sistemática?

1.1 La Importancia del Cálculo en el Trazado de Curvas

Pregunta Motivadora

¿Por qué no usar sólo una calculadora o computadora para dibujar una curva? ¿Por qué necesitamos aplicar el cálculo?

Respuesta: Es cierto que los instrumentos modernos son capaces de generar gráficas muy exactas. Pero incluso el mejor instrumento para graficar tiene que ser utilizado en forma inteligente.

Como se establece en la sección anterior del libro, es muy importante elegir un rectángulo de vista adecuado para evitar obtener una gráfica engañosa. La aplicación del cálculo permite:

1. Descubrir los aspectos más interesantes de las gráficas
2. Calcular exactamente los puntos máximos y mínimos
3. Encontrar los puntos de inflexión con precisión
4. Determinar el comportamiento asintótico

1.2 Ejemplo Motivador

Consideremos la función $f(x)=8x^3-21x^2+18x+2$. A primera vista, parece razonable esperar que la gráfica tenga la misma forma que las curvas cúbicas como $y=x^3$, y parece no tener máximo ni mínimo.

Pero si calculamos la derivada, nos damos cuenta de que hay un máximo cuando $x=0.75$ y un mínimo cuando $x=1$. De hecho, si hacemos un acercamiento a esta parte de la gráfica, vemos el comportamiento que se ilustra en la figura correspondiente.

Sin la herramienta del cálculo, podríamos fácilmente pasarlas por alto

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2. Guía para el Trazado de Curvas

En la siguiente lista se intenta proponer directrices que sirvan de guía para dibujar una curva $y=f(x)$ a mano. No todos los elementos de la lista son relevantes para cada función, pero las directrices proporcionan toda la información que usted necesita para hacer un trazo que muestre los aspectos más importantes de la función.

Guía Paso a Paso para el Trazado de Curvas

A. Dominio

A menudo resulta útil comenzar por determinar el dominio $D$ de $f$; es decir, el conjunto de valores de $x$ para los cuales $f(x)$ está definida.

B. Intersección

La intersección en $y$ es $f(0)$ y esto nos indica dónde la curva cruza con el eje $y$. Para encontrar las intersecciones con el eje $x$, hacemos $y=0$ y resolvemos para $x$. (Puede omitirse este paso si la ecuación es difícil de resolver.)

C. Simetría

i) Simetría respecto al eje $y$ (Función Par)

• Si $f(-x)=f(x)$ para toda $x$ en $D$, entonces $f$ es una función par y la curva es simétrica respecto al eje $y$
• Esto significa que nuestro trabajo se reduce a la mitad. Si conocemos la parte de la curva donde $x\ge 0$, entonces sólo necesitamos reflejar respecto al eje $y$ para obtener la curva completa
• Ejemplos: $y=x^2$, $y=x^4$, $y=|x|$, $y=\cos x$

ii) Simetría respecto al origen (Función Impar)

• Si $f(-x)=-f(x)$ para todo $x$ en $D$, entonces $f$ es una función impar y la curva es simétrica respecto al origen
• Una vez más, podemos obtener la curva completa si conocemos la parte de la curva donde $x\ge 0$ [Girar 180° alrededor del origen; véase la figura]
• Ejemplos: $y=x$, $y=x^3$, $y=x^5$, $y=\sin x$

iii) Simetría por traslación (Función Periódica)

• Si $f(x+p)=f(x)$ para toda $x$ en $D$, donde $p$ es una constante positiva, entonces $f$ se llama función periódica y el número $p$ más pequeño se llama período
• Ejemplos: $y=\sin x$ tiene período $2\pi$, $y=\tan x$ tiene período $\pi$
• Si sabemos cómo es la gráfica en un intervalo de longitud $p$, entonces podemos utilizar una traslación para esbozar toda la gráfica

D. Asíntotas

i) Asíntotas horizontales

• Recuerde de la sección 2.6 que si ${\lim }_{x\to \infty }f(x)=L$ o ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=L$, entonces la recta $y=L$ es una asíntota horizontal de la curva $y=f(x)$
• Si resulta que ${\lim }_{x\to \infty }f(x)=\infty$ (o $-\infty$), entonces no tenemos una asíntota a la derecha, pero sigue siendo información útil para trazar la curva

ii) Asíntotas verticales

• Recuerde de la sección 2.2 que la recta $x=a$ es una asíntota vertical si al menos una de las siguientes afirmaciones es verdadera:

  ${\lim }_{x\to a^{+}}f(x)=\infty {\lim }_{x\to a^{-}}f(x)=\infty$ ${\lim }_{x\to a^{+}}f(x)=-\infty {\lim }_{x\to a^{-}}f(x)=-\infty$

• Para funciones racionales, puede localizar las asíntotas verticales igualando el denominador a 0 después de cancelar los factores comunes. Pero para otras funciones no se aplica este método.

• Además, en el trazado de la curva es muy útil saber exactamente cuál de las afirmaciones es verdadera

• Si $f(a)$ no está definida, pero $a$ es un extremo del dominio de $f$, entonces debe calcular ${\lim }_{x\to a^{+}}f(x)$ o ${\lim }_{x\to a^{-}}f(x)$, sea este límite infinito o no

iii) Asíntotas oblicuas (o inclinadas)

• Estas se discuten al final de esta sección

E. Intervalos donde la función es creciente o decreciente

Utilice la prueba del apartado C y D. Obtenga $f^{\prime }(x)$ y encuentre los intervalos en los que $f^{\prime }(x)$ es positiva ($f$ es creciente) y los intervalos en los que $f^{\prime }(x)$ es negativa ($f$ es decreciente).

F. Valores mínimo y máximo locales

Encuentre los números críticos de $f$ [los números $c$ donde $f^{\prime }(c)=0$ o $f^{\prime }(c)$ no existen]. Después utilice la prueba de la primera derivada. Si $f^{\prime }$ cambia de positiva a negativa en un número crítico $c$, entonces $f(c)$ es un máximo local. Si $f^{\prime }$ cambia de negativa a positiva en $c$, entonces $f(c)$ es un mínimo local. Aunque es generalmente preferible utilizar la prueba de la primera derivada, puede utilizar la prueba de la segunda derivada si $f^{\prime }(c)=0$ y $f^{\prime \prime }(c)\ne 0$. Entonces $f^{\prime \prime }(c)>0$ implica que $f(c)$ es un mínimo local, mientras que $f^{\prime \prime }(c)<0$ implica que $f(c)$ es un máximo local.

G. Concavidad y puntos de inflexión

Obtenga $f^{\prime \prime }(x)$ y utilice la prueba de la concavidad. La curva es cóncava hacia arriba donde $f^{\prime \prime }(x)>0$ y cóncava hacia abajo donde $f^{\prime \prime }(x)<0$. Los puntos de inflexión se localizan donde cambia de dirección la concavidad.

H. Trace la curva

Utilizando la información de los apartados A-G, trace la gráfica. Dibuje las asíntotas como rectas discontinuas. Ubique las intersecciones, puntos máximos y mínimos y puntos de inflexión. Después, haga que la curva pase por estos puntos, creciendo y decreciendo de acuerdo con E, con concavidades de acuerdo con G y acercándose a las asíntotas. Si se desea precisión adicional cerca de cualquier punto, puede calcular el valor de la derivada allí. La recta tangente indica la dirección en que avanza la curva.

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3. Ejemplos Resueltos de Trazado de Curvas

3.1 Ejemplo 1: Función Racional Simple

Ejemplo 1

Utilice la guía para trazar la gráfica de $y=\frac{2x^2}{x^2-1}$

Solución:

A. El dominio es: $\{x\mid x^2-1\ne 0\}=\{x\mid x\ne \pm 1\}=(-\infty ,-1)\cup (-1,1)\cup (1,\infty )$

B. Las intersecciones en $x$ y en $y$ son, ambas, 0.

C. Ya que $f(-x)=f(x)$, la función $f$ es par. La curva es simétrica respecto al eje $y$.

D. Ya que $x^2-1\to 0$ cuando $x\to \pm 1$, obtenemos los siguientes límites:

${\lim }_{x\to 1^{+}}\frac{2x^2}{x^2-1}=\infty {\lim }_{x\to 1^{-}}\frac{2x^2}{x^2-1}=-\infty$

${\lim }_{x\to -1^{+}}\frac{2x^2}{x^2-1}=-\infty {\lim }_{x\to -1^{-}}\frac{2x^2}{x^2-1}=\infty$

Por ende, las rectas $x=1$ y $x=-1$ son asíntotas verticales. Esta información relacionada con los límites y asíntotas nos permite dibujar la curva preliminar.

Puesto que el denominador es 0 cuando $x=\pm 1$, obtenemos los siguientes límites:

${\lim }_{x\to \infty }\frac{2x^2}{x^2-1}={\lim }_{x\to \infty }\frac{2}{1-1/x^2}=2$

Por tanto, la recta $y=2$ es una asíntota horizontal.

E. $f^{\prime }(x)=\frac{4x(x^2-1)-2x^2\cdot 2x}{(x^2-1{)}^2}=\frac{-4x}{(x^2-1{)}^2}$

Ya que $f^{\prime }(x)>0$ cuando $x<0$ ($x\ne -1$) y $f^{\prime }(x)<0$ cuando $x>0$ ($x\ne 1$), $f$ es creciente sobre $(-\infty ,-1)$ y $(-1,0)$ y decreciente sobre $(0,1)$ y $(1,\infty )$.

F. El único número crítico es $x=0$. Dado que $f^{\prime }$ cambia de positiva a negativa en $0$, $f(0)=0$ es un máximo local (y absoluto) por la prueba de la primera derivada.

G. $f^{\prime \prime }(x)=\frac{-4(x^2-1{)}^2-(-4x)\cdot 2(x^2-1)\cdot 2x}{(x^2-1{)}^4}=\frac{12x^2+4}{(x^2-1{)}^3}$

Puesto que $12x^2+4>0$ para toda $x$, tenemos:

$f^{\prime \prime }(x)>0⟺x^2-1>0⟺|x|>1$

y $f^{\prime \prime }(x)<0⟺|x|<1$. Así, la curva es cóncava hacia arriba sobre los intervalos $(-\infty ,-1)$ y $(1,\infty )$ y cóncava hacia abajo sobre $(-1,1)$. No hay puntos de inflexión ya que $x=1$ y $x=-1$ no están en el dominio de $f$.

H. Utilizando la información de E-G, terminamos el trazo de la curva.

3.2 Ejemplo 2: Función con Raíz Cuadrada

Ejemplo 2

Trace la gráfica de $f(x)=\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}$

Solución:

A. Dominio: $\{x\mid x+1>0\}=\{x\mid x>-1\}=(-1,\infty )$

B. Las intersecciones en $x$ y en $y$ son ambas 0.

C. Simetría: ninguna

D. Dado que: ${\lim }_{x\to \infty }\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}=\infty$

no hay asíntotas horizontales. Ya que $\sqrt{x+1}\to 0$ conforme $x\to -1^{+}$ y $f(x)$ es siempre positiva, tenemos:

${\lim }_{x\to -1^{+}}\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}=\infty$

y, por tanto, la recta $x=-1$ es una asíntota vertical.

E. $f^{\prime }(x)=\frac{2x\cdot \sqrt{x+1}-x^2\cdot \frac{1}{2\sqrt{x+1}}}{x+1}=\frac{x(3x+4)}{2(x+1{)}^{3/2}}$

Vemos que $f^{\prime }(x)=0$ cuando $x=0$ (note que $-\frac{4}{3}$ no está en el dominio de $f$), así que el único número crítico es $x=0$. Ya que $f^{\prime }(x)<0$ cuando $-1<x<0$ y $f^{\prime }(x)>0$ cuando $x>0$, $f$ es decreciente sobre $(-1,0)$ y decreciente sobre $(0,\infty )$.

F. Puesto que $f^{\prime }(0)=0$ y $f^{\prime }$ cambia de negativa a positiva en $0$, $f(0)=0$ es un mínimo local (y absoluto) por la prueba de la primera derivada.

G. $f^{\prime \prime }(x)=\frac{2(x+1{)}^{3/2}(6x+4)-(3x^2+4x)\cdot 2\cdot \frac{3}{2}(x+1{)}^{1/2}}{4(x+1{)}^3}=\frac{3x^2+8x+8}{4(x+1{)}^{5/2}}$

Note que el denominador siempre es positivo. El numerador es la cuadrática $3x^2+8x+8$, que siempre es positiva porque su discriminante es $b^2-4ac=-32$, que es negativo, y el coeficiente de $x^2$ es positivo. Así $f^{\prime \prime }(x)>0$ para toda $x$ en el dominio de $f$, lo que significa que $f$ es cóncava hacia arriba sobre $(-1,\infty )$ y no hay punto de inflexión.

H. El trazo de la curva aparece en la figura correspondiente.

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4. Asíntotas Oblicuas (Inclinadas)

4.1 Definición y Concepto

Algunas curvas tienen asíntotas que son oblicuas; esto es, no son horizontales ni verticales. Si:

${\lim }_{x\to \infty }[f(x)-(mx+b)]=0$

entonces la recta $y=mx+b$ se llama asíntota oblicua (oblicua) porque la distancia vertical entre la curva $y=f(x)$ y la recta $y=mx+b$ tiende a cero.

Nota sobre Asíntotas Oblicuas

Una función puede tener asíntota oblicua en $-\infty$ así como en $\infty$, pudiendo ser estas iguales o diferentes. De este modo, una función puede tener 0, 1 o 2 asíntotas oblicuas.

4.2 Cómo Encontrar Asíntotas Oblicuas

Para funciones racionales, se pueden localizar las asíntotas oblicuas cuando el grado del numerador es uno más que el grado del denominador. En tal caso, la ecuación de la asíntota oblicua puede encontrarse por división larga.

Método de División Larga

Si $f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$ donde el grado de $P$ es uno más que el grado de $Q$, entonces al hacer la división larga obtenemos:

$f(x)=mx+b+\frac{R(x)}{Q(x)}$

donde el grado de $R$ es menor que el grado de $Q$. Entonces:

$f(x)-(mx+b)=\frac{R(x)}{Q(x)}\to 0\text{conforme }x\to \pm \infty$

Así que la recta $y=mx+b$ es una asíntota oblicua.

4.3 Ejemplos de Asíntotas Oblicuas

Ejemplo: Asíntota Oblicua Simple

Encuentre la asíntota oblicua de $f(x)=\frac{x^2+x+1}{|x|+1}$

Solución:

Necesitamos considerar $x\to \infty$ y $x\to -\infty$ por separado debido al valor absoluto.

Para $x>0$: $|x|=x$, entonces:

$f(x)=\frac{x^2+x+1}{x+1}$

Por división larga:

$\frac{x^2+x+1}{x+1}=x+\frac{1}{x+1}$

Cuando $x\to \infty$: $\frac{1}{x+1}\to 0$, entonces la asíntota es $y=x$

Para $x<0$: $|x|=-x$, entonces:

$f(x)=\frac{x^2+x+1}{-x+1}=\frac{x^2+x+1}{1-x}$

Por división larga:

$\frac{x^2+x+1}{1-x}=-x-2+\frac{3}{1-x}$

Cuando $x\to -\infty$: $\frac{3}{1-x}\to 0$, entonces la asíntota es $y=-x-2$

Por lo tanto, esta función tiene dos asíntotas oblicuas diferentes: $y=x$ cuando $x\to \infty$ y $y=-x-2$ cuando $x\to -\infty$.

4.4 Ejemplo del Libro: Ejemplo 6, pág. 316

Ejemplo 6 (del libro)

Trace la curva $y=\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}$

Análisis de asíntota oblicua:

Para $x$ grande, tenemos:

$\sqrt{x^2+1}=\sqrt{x^2\left(1+\frac{1}{x^2}\right)}=|x|\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}\approx |x|$

Entonces:

$f(x)=\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}\approx \frac{x^2}{|x|}=|x|$

Para $x\to \infty$: $f(x)\approx x$ (asíntota $y=x$)

Para $x\to -\infty$: $f(x)\approx -x$ (asíntota $y=-x$)

Esta función tiene dos asíntotas oblicuas: $y=x$ y $y=-x$

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5. Estrategias de Trazado

5.1 Orden de Trabajo Recomendado

Orden Sugerido para Trazar Curvas

1. Dominio e intersecciones (rápido de determinar)
2. Simetría (puede reducir el trabajo a la mitad)
3. Asíntotas (estructura general de la curva)
4. Primera derivada (crecimiento y valores extremos)
5. Segunda derivada (concavidad y puntos de inflexión)
6. Dibujar (unir toda la información)

5.2 Errores Comunes

Errores Frecuentes al Trazar Curvas

1. No verificar el dominio primero → puede llevar a dibujar partes inexistentes
2. Olvidar verificar simetría → más trabajo innecesario
3. No calcular límites en los extremos del dominio → asíntotas perdidas
4. Confiar solo en puntos críticos sin verificar concavidad → forma incorrecta
5. No considerar el comportamiento cerca de discontinuidades → gráfica incompleta

5.3 Verificación con Tecnología

Uso Apropiado de la Tecnología

Después de trazar la curva a mano usando cálculo:

• Usa una calculadora gráfica o software para verificar tu trabajo
• La tecnología complementa, no reemplaza, el análisis con cálculo
• El cálculo te dice exactamente dónde ocurren los fenómenos importantes
• La tecnología puede confirmar tu análisis y revelar detalles finos

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6. Resumen de Conceptos Clave

Puntos Principales de la Clase 26

1. Guía sistemática de 8 pasos (A-H) para trazar curvas completas

2. Asíntotas oblicuas: Ocurren cuando:

   • ${\lim }_{x\to \infty }[f(x)-(mx+b)]=0$
   • Comúnmente en funciones racionales donde grado(numerador) = grado(denominador) + 1

3. Una función puede tener 0, 1 o 2 asíntotas oblicuas (en $+\infty$ y $-\infty$)

4. División larga es el método principal para encontrar asíntotas oblicuas

5. Integración de conceptos: Esta clase une TODO lo aprendido sobre derivadas

6. El cálculo es esencial incluso con tecnología disponible

7. Orden importa: Dominio → Simetría → Asíntotas → Derivadas → Dibujo

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7. Ejercicios Propuestos

Ejercicios para Practicar

Trazado completo de curvas:

1. $f(x)=\frac{x^3}{x^2-1}$

2. $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}$

3. $f(x)=\frac{x^2-1}{x}$

4. $f(x)=x+\cos x$ (en $[0,2\pi ]$)

5. $f(x)=x{e}^{-x}$

Asíntotas oblicuas (Sugeridos por la planificación):

6. $f(x)=\frac{x^2+x+1}{|x|+1}$ ⭐

7. $f(x)=\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}$ (Ejemplo 6, pág. 316) ⭐

8. Determine si las siguientes funciones tienen asíntotas oblicuas:

   • $f(x)=\frac{2x^3+x}{x^2+1}$
   • $f(x)=\frac{x^4}{x^3-1}$
   • $f(x)=x+\frac{1}{x}$

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8. Checklist de Estudio

• ¿Puedo seguir la guía de 8 pasos (A-H) sistemáticamente?
• ¿Entiendo qué es una asíntota oblicua y cómo se define?
• ¿Sé usar división larga para encontrar asíntotas oblicuas?
• ¿Comprendo que una función puede tener 0, 1 o 2 asíntotas oblicuas?
• ¿Puedo identificar cuándo buscar asíntotas oblicuas (grado del numerador)?
• ¿He practicado al menos 3 trazados completos de curvas usando todos los pasos?
• ¿Entiendo la importancia de verificar simetría antes de hacer cálculos?
• ¿Puedo distinguir entre asíntotas horizontales, verticales y oblicuas?

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9. Conexiones con Otros Temas

• Clases 10-14: Derivadas y reglas de derivación (necesarias para E, F, G)
• Clase 21: Valores máximos y mínimos (paso F)
• Clase 22: Teorema del Valor Medio (teoría detrás del comportamiento)
• Clase 23: Primera y segunda derivada (pasos E, F, G)
• Clases 24-25: L’Hôpital (útil para asíntotas oblicuas y límites)
• Clase 27: Optimización (aplicación práctica del trazado)

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10. Tabla Resumen: Tipos de Asíntotas

Tipo de Asíntota	Definición	Cómo encontrarla	Ejemplo
Horizontal	${\lim }_{x\to \infty }f(x)=L$ o ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=L$	Calcular límites al infinito	$y=2$ para $f(x)=\frac{2x^2}{x^2-1}$
Vertical	${\lim }_{x\to a}f(x)=\pm \infty$	Encontrar dónde denominador = 0	$x=1$ para $f(x)=\frac{1}{x-1}$
Oblicua	${\lim }_{x\to \infty }[f(x)-(mx+b)]=0$	División larga (si grado numerador = grado denominador + 1)	$y=x$ para $f(x)=\frac{x^2+1}{x}$

Nota Clave

Una función NO puede tener asíntota horizontal Y oblicua en la misma dirección ($x\to \infty$ o $x\to -\infty$). Son mutuamente excluyentes en cada dirección.

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Referencias y Material Adicional

• Stewart, Sección 4.5: Resumen de trazado de curvas, págs. 311-316
• Énfasis especial en asíntotas oblicuas (pág. 315)
• Ejercicios recomendados: 1-31 (impares), especialmente los que involucran asíntotas oblicuas

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