Puntos-Inflexion

Puntos de Inflexion

Definicion

Punto de Inflexion

Un punto $(c,f(c))$ en la curva $y=f(x)$ es un punto de inflexion si:

• $f$ es continua en $c$
• La curva cambia de Concavidad en ese punto

Condicion Necesaria

Criterio para Encontrar Candidatos

Si $(c,f(c))$ es un punto de inflexion de $f$, entonces:

• $f^{\prime \prime }(c)=0$, o
• $f^{\prime \prime }(c)$ no existe

Atencion

Esta es una condicion necesaria, no suficiente. No todo punto donde $f^{\prime \prime }(c)=0$ es un punto de inflexion.

Como Encontrar Puntos de Inflexion

Procedimiento

1. Calcular $f^{\prime \prime }(x)$
2. Encontrar donde $f^{\prime \prime }(x)=0$ o $f^{\prime \prime }(x)$ no existe
3. Verificar que $f$ sea continua en esos puntos
4. Verificar que $f^{\prime \prime }$ cambie de signo en esos puntos

Interpretacion Geometrica

Visualizacion

En un punto de inflexion, la curva:

• Cambia de concava hacia arriba a concava hacia abajo, o viceversa
• La tangente “cruza” la curva

Ejemplos

Ejemplo 1: Funcion Cubica

Para $f(x)=x^3$:

• $f^{\prime }(x)=3x^2$
• $f^{\prime \prime }(x)=6x$
• $f^{\prime \prime }(x)=0⟹x=0$

Verificacion:

• $f^{\prime \prime }(x)<0$ si $x<0$ (concava hacia abajo)
• $f^{\prime \prime }(x)>0$ si $x>0$ (concava hacia arriba)
• Hay cambio de concavidad → $(0,0)$ es punto de inflexion

Ejemplo 2: Cuando No Hay Punto de Inflexion

Para $f(x)=x^4$:

• $f^{\prime \prime }(x)=12x^2$
• $f^{\prime \prime }(0)=0$

Pero: $f^{\prime \prime }(x)\ge 0$ para todo $x$ → no hay cambio de concavidad

Conclusion: $(0,0)$ NO es punto de inflexion

Ejemplo 3: Con Segunda Derivada No Definida

Para $f(x)=x^{1/3}$:

• $f^{\prime }(x)=\frac{1}{3}{x}^{-2/3}$
• $f^{\prime \prime }(x)=-\frac{2}{9}{x}^{-5/3}$
• $f^{\prime \prime }(0)$ no existe

Verificacion:

• $f^{\prime \prime }(x)<0$ si $x>0$ (concava hacia abajo)
• $f^{\prime \prime }(x)>0$ si $x<0$ (concava hacia arriba)
• Hay cambio de concavidad → $(0,0)$ es punto de inflexion

Tabla de Concavidad

Organizacion

Es util hacer una tabla:

Intervalo	$f^{\prime \prime }(x)$	Concavidad
$x<c$	$+$	Hacia arriba
$x>c$	$-$	Hacia abajo

Clases Relacionadas

• Concavidad
• 23) Como Afecta Derivada Forma Grafica
• 26) Resumen de Trazado de Curvas y Asintotas Oblicuas

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punto-inflexion concavidad segunda-derivada concepto