23) Como Afecta Derivada Forma Grafica

Clase 23: Cómo Afecta la Derivada la Forma de una Gráfica

📚 Introducción

Muchas de las aplicaciones del cálculo dependen de nuestra capacidad para deducir hechos acerca de una función $f$ a partir de la información que se obtiene de sus derivadas. Ya que $f^{\prime }(x)$ representa la pendiente de la curva $y=f(x)$ en el punto $(x,f(x))$, nos indica la dirección de la curva en cada punto. Así, es razonable esperar que la información relacionada con $f^{\prime }(x)$ nos proporcione información asociada con $f(x)$.

Objetivos de la Clase

• Comprender cómo la derivada indica dónde una función es creciente o decreciente
• Utilizar la Prueba de la Primera Derivada para identificar máximos y mínimos locales
• Comprender el concepto de concavidad y su relación con la segunda derivada
• Identificar puntos de inflexión de una función
• Aplicar la Prueba de la Segunda Derivada para clasificar extremos locales
• Utilizar toda la información de derivadas para graficar funciones de manera precisa

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1. ¿Qué Indica $f^{\prime }$ Respecto a $f$?

1.1 Función Creciente vs Decreciente

Para ver cómo la derivada de $f$ puede decirnos dónde una función es creciente o decreciente, miremos la figura del texto. Las funciones crecientes y las decrecientes fueron definidas en la sección 1.1.

Entre $A$ y $B$ y entre $C$ y $D$, las rectas tangentes tienen pendiente positiva, por lo que $f^{\prime }(x)>0$. Entre $B$ y $C$, las rectas tangentes tienen pendiente negativa, así que $f^{\prime }(x)<0$. Así, parece que $f$ crece cuando $f^{\prime }(x)$ es positiva y decrece cuando $f^{\prime }(x)$ es negativa.

Para demostrar que esto siempre es el caso, usamos el Teorema del Valor Medio.

1.2 Prueba Creciente/Decreciente

Prueba Creciente/Decreciente

a) Si $f^{\prime }(x)>0$ sobre un intervalo, entonces $f$ es creciente sobre ese intervalo.

b) Si $f^{\prime }(x)<0$ sobre un intervalo, entonces $f$ es decreciente sobre ese intervalo.

Demostración

a) Sean $x_1$ y $x_2$ dos números cualesquiera en el intervalo con $x_1<x_2$. Según la definición de una función creciente (página 19), tenemos que demostrar que $f(x_1)<f(x_2)$.

Sabemos que $f^{\prime }(x)>0$ y que $f$ es derivable sobre $(x_1,x_2)$, así que, por el Teorema del Valor Medio, existe un número $c$ entre $x_1$ y $x_2$ tal que:

$f(x_2)-f(x_1)=f^{\prime }(c)(x_2-x_1)$

Ahora $f^{\prime }(c)>0$ por el supuesto de que $x_2-x_1>0$ ya que $x_1<x_2$. Así, el lado derecho de la ecuación 1 es positivo, por lo que:

$f(x_2)-f(x_1)>0\text{o}f(x_1)<f(x_2)$

lo que demuestra que $f$ es creciente.

El inciso b) se demuestra de manera similar.

1.3 Ejemplo de Aplicación

Ejemplo 1: Encuentre dónde la función f(x) = 3x^4 - 4x^3 - 12x^2 + 5 es creciente y dónde es decreciente.

Solución: $f^{\prime }(x)=12x^3-12x^2-24x=12x(x^2-x-2)=12x(x-2)(x+1)$

Para utilizar la prueba C/D tenemos que investigar dónde $f^{\prime }(x)>0$ y dónde $f^{\prime }(x)<0$. Esto depende de los signos de los tres factores de $f^{\prime }(x)$, es decir, $12x$, $(x-2)$ y $(x+1)$.

Para esto, dividimos la recta real en intervalos cuyos extremos son los números críticos: $-1$, $0$ y $2$, y organizamos nuestro trabajo en una gráfica. Un signo más indica que la expresión dada es positiva, y un signo menos indica que es negativa. La última columna de la tabla da la conclusión basada en la prueba C/D. Por ejemplo, $f^{\prime }(x)<0$ para $0<x<2$, por lo que $f$ es decreciente sobre $(0,2)$. (También sería correcto decir que $f$ es decreciente sobre el intervalo cerrado $[0,2]$.)

Intervalo	$12x$	$x-2$	$x+1$	$f^{\prime }(x)$	$f$
$x<-1$	$-$	$-$	$-$	$-$	Decreciente sobre $(-\infty ,-1)$
$-1<x<0$	$-$	$-$	$+$	$+$	Creciente sobre $(-1,0)$
$0<x<2$	$+$	$-$	$+$	$-$	Decreciente sobre $(0,2)$
$x>2$	$+$	$+$	$+$	$+$	Creciente sobre $(2,\infty )$

La gráfica de $f$ que se muestra en la figura confirma la información de la tabla.

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2. La Prueba de la Primera Derivada

2.1 Motivación

Recuerde de la sección 4.1 que si $f$ tiene un máximo o mínimo locales en $c$, entonces $c$ debe ser un número crítico de $f$ (por el Teorema de Fermat), pero no todo número crítico da lugar a un máximo o mínimo. Por tanto, necesitamos una prueba que nos diga si $f$ tiene o no máximos o mínimos locales en un número crítico.

Puede observarse en la figura que $f(0)=5$ es un valor máximo local de $f$ porque crece sobre $(-1,0)$ y disminuye sobre $(0,2)$. O bien, en términos de derivadas, $f^{\prime }(x)>0$ para $-1<x<0$ y $f^{\prime }(x)<0$ para $0<x<2$. En otras palabras, el signo de $f^{\prime }(x)$ cambia de positivo a negativo en $x=0$. Esta observación es la base de la siguiente prueba.

2.2 Enunciado de la Prueba

Prueba de la Primera Derivada

Supongamos que $x=c$ es un número crítico de una función continua $f$.

a) Si $f^{\prime }$ cambia de positiva a negativa en $c$, entonces $f$ tiene un máximo local en $c$.

b) Si $f^{\prime }$ cambia de negativa a positiva en $c$, entonces $f$ tiene un mínimo local en $c$.

c) Si $f^{\prime }$ no cambia de signo en $c$ (p. ej., si $f^{\prime }$ es positiva por ambos lados de $c$ o negativa por ambos lados), entonces $f$ no tiene ningún máximo o mínimo local en $c$.

2.3 Interpretación Gráfica

La prueba de la primera derivada es una consecuencia de la prueba C/D. En el inciso a), por ejemplo, puesto que el signo de $f^{\prime }(x)$ cambia de positivo a negativo en $c$, $f$ es creciente por la izquierda de $c$ y decreciente por la derecha de $c$. Se deduce entonces que $f$ tiene un máximo local en $c$.

Es fácil recordar la prueba de la primera derivada al ver el comportamiento de gráficas como las de la figura.

2.4 Ejemplo de Aplicación

Ejemplo 2: Encuentre los valores máximo y mínimo locales de la función f en el ejemplo 1.

Solución: De la tabla en la solución del ejemplo 1 vemos que $f^{\prime }(x)$ cambia de negativa a positiva en $x=-1$, así que $f(-1)=0$ es un valor mínimo local por la prueba de la primera derivada. Del mismo modo, $f^{\prime }$ cambia de negativa a positiva en $x=2$, por lo que $f(2)=-27$ también es un valor mínimo local. Como se ha señalado anteriormente, $f(0)=5$ es un valor máximo local porque $f^{\prime }(x)$ cambia de positiva a negativa en $x=0$.

Ejemplo 3: Encuentre los valores mínimos y máximos locales de la función g(x) = x + 2\sin x para 0 \leq x \leq 2\pi.

Solución: Para encontrar los números críticos de $g$, derivamos:

$g^{\prime }(x)=1+2\cos x$

Así que $g^{\prime }(x)=0$ cuando $\cos x=-\frac{1}{2}$. Las soluciones de esta ecuación son $2\pi /3$ y $4\pi /3$. Debido a que $g$ es derivable para toda $x$, los únicos números críticos son $2\pi /3$ y $4\pi /3$, así que podemos analizar a $g$ en la siguiente tabla.

Intervalo	$g^{\prime }(x)=1+2\cos x$	$g$
$0<x<2\pi /3$	$+$	creciente sobre $(0,2\pi /3)$
$2\pi /3<x<4\pi /3$	$-$	decreciente sobre $(2\pi /3,4\pi /3)$
$4\pi /3<x<2\pi$	$+$	creciente sobre $(4\pi /3,2\pi )$

Ya que $g^{\prime }(x)$ cambia de positivo a negativo en $2\pi /3$, la prueba de la primera derivada nos indica que existe un máximo local en $x=2\pi /3$ y el máximo valor local es:

$g(2\pi /3)=\frac{2\pi }{3}+2\sin \frac{2\pi }{3}=\frac{2\pi }{3}+2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{2\pi }{3}+\sqrt{3}\approx 3.83$

Por otro lado, $g^{\prime }(x)$ cambia de negativa a positiva en $x=4\pi /3$ y, por tanto,

$g(4\pi /3)=\frac{4\pi }{3}+2\sin \frac{4\pi }{3}=\frac{4\pi }{3}+2\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{4\pi }{3}-\sqrt{3}\approx 2.46$

es un valor mínimo local. La gráfica de $g$ en la figura apoya nuestra conclusión.

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3. ¿Qué Dice $f^{\prime \prime }$ Respecto a $f$?

3.1 Concepto de Concavidad

La figura muestra las gráficas de dos funciones crecientes sobre $(a,b)$. Ambas gráficas unen el punto $A$ al punto $B$, pero parecen diferentes porque se doblan en diferentes direcciones.

¿Cómo podemos distinguir entre estos dos tipos de comportamiento? En la figura a) sobre la curva queda por arriba de las rectas tangentes y se dice que $f$ es cóncava hacia arriba sobre $(a,b)$. En b), la curva se encuentra por debajo de las rectas tangentes y $g$ se llama cóncava hacia abajo sobre $(a,b)$.

3.2 Definición Formal

Definición - Concavidad

Si la gráfica de $f$ queda por arriba de todas sus rectas tangentes sobre un intervalo $I$, entonces se dice que es cóncava hacia arriba sobre $I$. Si la gráfica de $f$ queda por abajo de todas sus rectas tangentes, se dice que es cóncava hacia abajo sobre $I$.

3.3 Prueba de Concavidad

La figura muestra la gráfica de una función que es cóncava hacia arriba (abreviado CA) sobre los intervalos $(b,c)$, $(d,e)$ y $(e,p)$, y cóncava hacia abajo (CD) sobre los intervalos $(a,b)$, $(c,d)$ y $(p,q)$.

Veamos cómo la segunda derivada ayuda a determinar los intervalos de concavidad. Al observar la figura, se puede ver que, de izquierda a derecha, la pendiente de la recta tangente es creciente. Esto significa que la derivada $f^{\prime }$ es una función creciente y, por tanto, su derivada $f^{\prime \prime }$ es positiva. Asimismo, en la figura 6b la pendiente de la recta tangente decrece de izquierda a derecha, así que $f^{\prime }$ decrece y, por ende, $f^{\prime \prime }$ es negativa. Este razonamiento puede invertirse y sugiere que el siguiente teorema es verdadero. En el apéndice F se da una demostración con la ayuda del Teorema del Valor Medio.

Prueba de Concavidad

a) Si $f^{\prime \prime }(x)>0$ para toda $x$ en $I$, entonces la gráfica de $f$ es cóncava hacia arriba sobre $I$.

b) Si $f^{\prime \prime }(x)<0$ para toda $x$ en $I$, entonces la gráfica de $f$ es cóncava hacia abajo sobre $I$.

3.4 Ejemplo de Aplicación

Ejemplo 4: Discuta la curva y = x^4 - 4x^3 respecto a la concavidad, puntos de inflexión y máximos y mínimos locales. Utilice esta información para esbozar la curva.

Solución: Si $f(x)=x^4-4x^3$, entonces:

$f^{\prime }(x)=4x^3-12x^2=4x^2(x-3)$ $f^{\prime \prime }(x)=12x^2-24x=12x(x-2)$

Para encontrar los números críticos establecemos $f^{\prime }(x)=0$ para obtener $x=0$ y $x=3$. Para utilizar la prueba C/D tenemos que investigar dónde $f^{\prime }(x)>0$ y dónde $f^{\prime }(x)<0$. Esto depende de los signos de los tres factores de $f^{\prime }(x)$, es decir, $12x^2$, $x$ y $(x-3)$.

Para esto, dividimos la recta real en intervalos cuyos extremos son los números críticos: $0$ y $3$, y organizamos nuestro trabajo en una gráfica. Un signo más indica que la expresión dada es positiva, y un signo menos indica que es negativa. La última columna de la tabla da la conclusión basada en la prueba C/D. Por ejemplo, $f^{\prime }(x)<0$ para $0<x<3$, por lo que $f$ es decreciente sobre $(0,3)$.

Intervalo	$12x^2$	$x$	$x-3$	$f^{\prime }(x)$	$f$
$x<0$	$+$	$-$	$-$	$+$	Creciente sobre $(-\infty ,0)$
$0<x<3$	$+$	$+$	$-$	$-$	Decreciente sobre $(0,3)$
$x>3$	$+$	$+$	$+$	$+$	Creciente sobre $(3,\infty )$

Puesto que $f^{\prime }$ cambia de positiva a negativa en $0$, $f(0)=0$ es un valor máximo local por la prueba de la primera derivada. Del mismo modo, $f^{\prime }$ cambia de negativa a positiva en $3$, por lo que $f(3)=-27$ también es un valor mínimo local.

Puesto que $f^{\prime \prime }(x)=0$ cuando $x=0$ o $2$, dividimos la recta real en intervalos con estos números como extremos y completamos la siguiente tabla.

Intervalo	$f^{\prime \prime }(x)=12x(x-2)$	Concavidad
$(-\infty ,0)$	$+$	hacia arriba
$(0,2)$	$-$	hacia abajo
$(2,\infty )$	$+$	hacia arriba

El punto $(0,0)$ es un punto de inflexión, ya que la curva cambia de cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo. También $(2,-16)$ es un punto de inflexión, ya que allí la curva cambia de cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba.

Utilizando el mínimo local, los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión, esbozamos la curva en la figura.

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4. Puntos de Inflexión

4.1 Definición

Definición - Punto de Inflexión

Un punto $P$ sobre una curva $y=f(x)$ se llama punto de inflexión si $f$ es allí continua y la curva cambia de cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo o de cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba en $P$.

Por ejemplo, en la figura del texto, $B$, $C$, $D$ y $P$ son los puntos de inflexión. Observe que si una curva tiene una recta tangente en un punto de inflexión, entonces la curva corta a la recta tangente en ese punto.

4.2 Criterio para Encontrar Puntos de Inflexión

De acuerdo con la prueba de concavidad, existe un punto de inflexión en cualquier punto donde la segunda derivada cambia de signo.

Criterio para Puntos de Inflexión

Si $f$ tiene un punto de inflexión en $x=c$, entonces existe un punto de inflexión en cualquier punto donde $f^{\prime \prime }$ cambia de signo. Esto puede ocurrir cuando:

• $f^{\prime \prime }(c)=0$, o
• $f^{\prime \prime }(c)$ no existe

De este modo, el siguiente procedimiento de tres pasos siempre funciona:

4.3 Método para Hallar Puntos de Inflexión

Método del intervalo cerrado Para hallar los valores máximo y mínimo absolutos de una función continua $f$ sobre un intervalo cerrado $[a,b]$:

1. Encuentre los valores de $f$ en los números críticos de $f$ en $(a,b)$
2. Halle los valores de $f$ en los puntos extremos del intervalo
3. El más grande de los valores de los pasos 1 y 2 es el valor máximo absoluto; el más pequeño, el valor mínimo absoluto

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5. La Prueba de la Segunda Derivada

5.1 Enunciado de la Prueba

Otra aplicación de la segunda derivada es la siguiente prueba para los valores máximos y mínimos, que no es más que una consecuencia de la prueba de concavidad.

Prueba de la Segunda Derivada

Supongamos que $f^{\prime \prime }$ es continua cerca de $x=c$.

a) Si $f^{\prime }(c)=0$ y $f^{\prime \prime }(c)>0$, entonces $f$ tiene un mínimo local en $x=c$.

b) Si $f^{\prime }(c)=0$ y $f^{\prime \prime }(c)<0$, entonces $f$ tiene un máximo local en $x=c$.

5.2 Interpretación

Por ejemplo, el inciso a) es cierto porque $f^{\prime }(c)=0$ y, por tanto, $f$ es cóncava hacia arriba cerca de $c$. Esto significa que la gráfica está sobre su recta tangente horizontal en $c$ y, por tanto, $f$ tiene un mínimo local en $c$. (Véase la figura.)

5.3 Ejemplo de Aplicación

Ejemplo 5: Discuta la curva y = x^4 - 4x^3 respecto a la concavidad, puntos de inflexión y máximos y mínimos locales. Utilice esta información para esbozar la curva.

Solución: Si $f(x)=x^4-4x^3$, entonces:

$f^{\prime }(x)=4x^3-12x^2=4x^2(x-3)$ $f^{\prime \prime }(x)=12x^2-24x=12x(x-2)$

Puesto que $f^{\prime }(x)=0$ cuando $x=0$ o $x=3$, los únicos números críticos son 0 y 3. Para utilizar la prueba de la segunda derivada evaluamos $f^{\prime \prime }$ en estos números críticos:

$f^{\prime \prime }(0)=0f^{\prime \prime }(3)=36>0$

Ya que $f^{\prime }(3)=0$ y $f^{\prime \prime }(3)>0$, $f(3)=-27$ es un mínimo local. Dado que $f^{\prime \prime }(0)=0$, la prueba de la segunda derivada no aporta información sobre el número crítico $x=0$. Pero ya que $f^{\prime }(x)<0$ para $x<0$ y también para $0<x<3$, la prueba de la primera derivada nos dice que $f$ no tiene máximo o mínimo local en 0. [De hecho, la expresión para $f^{\prime }(x)$ muestra que $f$ decrece a la izquierda de 3 y crece a la derecha de 3.]

Puesto que $f^{\prime \prime }(x)=0$ cuando $x=0$ o $2$, dividimos la recta real en intervalos con estos números como extremos y completamos la siguiente tabla.

Intervalo	$f^{\prime \prime }(x)$	Concavidad
$(-\infty ,0)$	$+$	hacia arriba
$(0,2)$	$-$	hacia abajo
$(2,\infty )$	$+$	hacia arriba

El punto $(0,0)$ es un punto de inflexión ya que la curva cambia de cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo. También $(2,-16)$ es un punto de inflexión, ya que la curva cambia de cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba.

NOTA

La prueba de la segunda derivada es incierta cuando $f^{\prime \prime }(c)=0$. En otras palabras, en tal punto puede haber un máximo, puede haber un mínimo, o podría no haber máximo o mínimo (como en el ejemplo 6). Esta prueba también falla cuando $f^{\prime \prime }(c)$ no existe. En tales casos, debe utilizarse la prueba de la primera derivada. De hecho, aun cuando se aplican ambas pruebas, la prueba de la primera derivada es a menudo más fácil de utilizar.

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🎯 Conceptos Clave para Repasar

Resumen de Conceptos

1. Si $f^{\prime }(x)>0$ → $f$ es creciente; si $f^{\prime }(x)<0$ → $f$ es decreciente
2. Prueba de la Primera Derivada: Cambios de signo de $f^{\prime }$ indican extremos locales
3. Si $f^{\prime \prime }(x)>0$ → cóncava hacia arriba; si $f^{\prime \prime }(x)<0$ → cóncava hacia abajo
4. Punto de inflexión: Donde cambia la concavidad (y $f^{\prime \prime }$ cambia de signo)
5. Prueba de la Segunda Derivada: Si $f^{\prime }(c)=0$ y $f^{\prime \prime }(c)>0$ → mínimo local
6. Tabla de signos: Herramienta esencial para analizar intervalos
7. La primera derivada falla cuando $f^{\prime \prime }(c)=0$ o no existe
8. Graficar requiere: crecimiento/decrecimiento + concavidad + puntos críticos

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🚨 Errores Comunes

Error 1: Confundir creciente con cóncava hacia arriba

• Incorrecto: Pensar que creciente = cóncava hacia arriba
• Correcto: Una función puede ser creciente y cóncava hacia abajo, o decreciente y cóncava hacia arriba

Error 2: Olvidar verificar cambios de signo

• Incorrecto: Asumir que $f^{\prime \prime }(c)=0$ implica punto de inflexión
• Correcto: Verificar que $f^{\prime \prime }$ cambia de signo en $c$

Error 3: Aplicar mal la segunda derivada

• Incorrecto: Si $f^{\prime \prime }(c)=0$, entonces hay un extremo en $c$
• Correcto: Si $f^{\prime \prime }(c)=0$, la prueba de la segunda derivada no es concluyente

Error 4: No considerar todos los números críticos

• Incorrecto: Solo buscar donde $f^{\prime }(x)=0$
• Correcto: También considerar donde $f^{\prime }(x)$ no existe

Error 5: Confundir puntos críticos con puntos de inflexión

• Incorrecto: Pensar que los números críticos son puntos de inflexión
• Correcto: Puntos críticos relacionados con $f^{\prime }$; puntos de inflexión con $f^{\prime \prime }$

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📝 Ejercicios Propuestos

Ejercicios de Práctica

Del libro (Sección 4.3):

1. Utilice la gráfica de $f$ para encontrar lo siguiente:

   • Los intervalos abiertos sobre los que $f$ es creciente
   • Los intervalos abiertos sobre los que $f$ es decreciente
   • Los intervalos abiertos sobre los que $f$ es cóncava hacia arriba
   • Los intervalos abiertos sobre los que $f$ es cóncava hacia abajo
   • Las coordenadas de los puntos de inflexión

2. a) Establezca la prueba de la primera derivada b) Establezca la prueba de la segunda derivada. ¿Bajo qué circunstancias no son concluyentes? ¿Qué haría si no es válida?

3. Encuentre dónde la función $f(x)=3x^4-4x^3-12x^2+5$ es creciente y dónde es decreciente.

4. a) Encuentre los intervalos sobre los que $f$ crece o decrece b) Encuentre los valores máximos y mínimos locales de $f$ c) Encuentre los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión

   Para las funciones:

   • $f(x)=x^3-3x^2-9x+4$
   • $f(x)=x+2\sin x$ en $[0,2\pi ]$

5. Esboce la gráfica de una función $f$ que cumpla con las condiciones siguientes:

   • ${\lim }_{x\to \infty }f(x)=0$, ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=0$
   • $f^{\prime }(x)>0$ sobre $(-\infty ,-1)$ y $(1,\infty )$, $f^{\prime }(x)<0$ sobre $(-1,1)$
   • $f^{\prime \prime }(x)>0$ sobre $(-\infty ,0)$ y $(2,\infty )$, $f^{\prime \prime }(x)<0$ sobre $(0,2)$

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📚 Referencias

Lectura Principal

• Sección 4.3: Cómo afecta la derivada la forma de una gráfica, págs. 290-297
• Stewart, James. “Cálculo de una Variable: Trascendentes Tempranas”, 7ª edición

Enlaces Relacionados

• 22) Teorema del Valor Medio - Conceptos prerequisito
• Prueba-Primera-Derivada
• Prueba-Segunda-Derivada
• Concavidad
• Puntos-Inflexion

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Sugerencia de Estudio

Esta clase es fundamental para poder graficar funciones de manera precisa. La clave está en organizar la información usando tablas de signos para $f^{\prime }$ y $f^{\prime \prime }$. Practica identificando intervalos de crecimiento/decrecimiento y concavidad. Los ejemplos 1, 3 y 4 son esenciales. Recuerda que la prueba de la primera derivada siempre funciona, mientras que la segunda puede no ser concluyente.

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✅ Checklist de Estudio

Lista de Verificación

• Puedo determinar dónde una función crece o decrece usando $f^{\prime }$
• Sé aplicar la Prueba de la Primera Derivada para encontrar extremos
• Comprendo el concepto de concavidad hacia arriba y hacia abajo
• Puedo determinar la concavidad usando $f^{\prime \prime }$
• Sé identificar puntos de inflexión verificando cambios de signo de $f^{\prime \prime }$
• Puedo aplicar la Prueba de la Segunda Derivada para clasificar extremos
• Entiendo cuándo la segunda derivada no es concluyente
• Puedo organizar información en tablas de signos
• Sé graficar funciones usando toda la información de derivadas
• Comprendo que una función puede ser creciente y cóncava hacia abajo

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