Prueba-Primera-Derivada

Prueba de la Primera Derivada

Teorema

Prueba de la Primera Derivada

Sea $c$ un numero critico de una funcion continua $f$.

• Si $f^{\prime }$ cambia de positiva a negativa en $c$, entonces $f$ tiene un maximo local en $c$
• Si $f^{\prime }$ cambia de negativa a positiva en $c$, entonces $f$ tiene un minimo local en $c$
• Si $f^{\prime }$ no cambia de signo en $c$, entonces $f$ no tiene extremo local en $c$

Interpretacion Grafica

Visualizacion

• Maximo local: La funcion sube ($f^{\prime }>0$) antes de $c$ y baja ($f^{\prime }<0$) despues
• Minimo local: La funcion baja ($f^{\prime }<0$) antes de $c$ y sube ($f^{\prime }>0$) despues

Procedimiento

Pasos para Aplicar la Prueba

1. Encontrar los Numeros-Criticos de $f$
2. Dividir el dominio en intervalos usando los numeros criticos
3. Determinar el signo de $f^{\prime }$ en cada intervalo (usar valores de prueba)
4. Aplicar el criterio para clasificar cada numero critico

Tabla de Signos

Organizacion

Es util hacer una tabla:

Intervalo	$f^{\prime }(x)$	Comportamiento de $f$
$x<c_1$	$+$	Creciente
$c_1<x<c_2$	$-$	Decreciente
$x>c_2$	$+$	Creciente

Ejemplo

Aplicacion

Para $f(x)=x^3-3x+1$:

Paso 1: $f^{\prime }(x)=3x^2-3=0⟹x=\pm 1$

Paso 2: Intervalos: $(-\infty ,-1)$, $(-1,1)$, $(1,\infty )$

Paso 3: Signos de $f^{\prime }$:

• En $x=-2$: $f^{\prime }(-2)=9>0$ → $f^{\prime }$ positiva en $(-\infty ,-1)$
• En $x=0$: $f^{\prime }(0)=-3<0$ → $f^{\prime }$ negativa en $(-1,1)$
• En $x=2$: $f^{\prime }(2)=9>0$ → $f^{\prime }$ positiva en $(1,\infty )$

Paso 4: Conclusion:

• En $x=-1$: $f^{\prime }$ cambia de $+$ a $-$ → maximo local
• En $x=1$: $f^{\prime }$ cambia de $-$ a $+$ → minimo local

Ventajas

Utilidad

• Funciona incluso cuando $f^{\prime \prime }$ no existe
• Proporciona informacion sobre intervalos de crecimiento/decrecimiento
• Mas general que la prueba de la segunda derivada

Clases Relacionadas

• 23) Como Afecta Derivada Forma Grafica
• 21) Valores Maximos y Minimos
• Numeros-Criticos

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primera-derivada extremos-locales pruebas concepto