Valores Extremos

Definiciones

Valor Maximo Absoluto

Un numero $f(c)$ es el valor maximo absoluto de $f$ en un dominio $D$ si:

$f(c)\ge f(x)\text{ para todo }x\in D$

Valor Minimo Absoluto

Un numero $f(c)$ es el valor minimo absoluto de $f$ en un dominio $D$ si:

$f(c)\le f(x)\text{ para todo }x\in D$

Nomenclatura

Los maximos y minimos se llaman colectivamente valores extremos o extremos.

Extremos Locales vs Absolutos

Distincion

• Extremo local (o relativo): Es el mayor/menor en un intervalo pequeno alrededor del punto
• Extremo absoluto (o global): Es el mayor/menor en todo el dominio

Relacion

• Todo extremo absoluto es un extremo local
• No todo extremo local es un extremo absoluto

Teorema del Valor Extremo

Teorema-Valor-Extremo

Si $f$ es continua en $[a,b]$, entonces $f$ alcanza un valor maximo absoluto y un valor minimo absoluto en $[a,b]$.

Metodo para Encontrar Extremos Absolutos

Metodo del Intervalo Cerrado

Para encontrar extremos absolutos de $f$ continua en $[a,b]$:

1. Encontrar los Numeros-Criticos de $f$ en $(a,b)$
2. Calcular $f$ en cada numero critico
3. Calcular $f(a)$ y $f(b)$ (valores en los extremos)
4. El mayor de estos valores es el maximo absoluto
5. El menor de estos valores es el minimo absoluto

Ejemplos

Ejemplo 1: Con Numeros Criticos

Encontrar extremos de $f(x)=x^3-3x+1$ en $[-2,2]$.

Paso 1: $f^{\prime }(x)=3x^2-3=0⟹x=\pm 1$

Paso 2-3: Evaluar:

• $f(-2)=-1$
• $f(-1)=3$
• $f(1)=-1$
• $f(2)=3$

Paso 4-5:

• Maximo absoluto: $3$ (en $x=-1$ y $x=2$)
• Minimo absoluto: $-1$ (en $x=-2$ y $x=1$)

Ejemplo 2: Sin Numeros Criticos

Encontrar extremos de $f(x)=2x+1$ en $[0,3]$.

• $f^{\prime }(x)=2\ne 0$ (no hay numeros criticos)
• Evaluar en extremos:
  • $f(0)=1$
  • $f(3)=7$
• Maximo absoluto: $7$ (en $x=3$)
• Minimo absoluto: $1$ (en $x=0$)

Casos Especiales

Cuando No Hay Extremos

Los extremos absolutos pueden no existir si:

• El dominio no es cerrado (intervalo abierto)
• El dominio no es acotado (intervalo infinito)
• La funcion no es continua

Contraejemplos

• $f(x)=x$ en $(0,1)$: No tiene maximo ni minimo
• $f(x)=x$ en $[0,\infty )$: No tiene maximo
• $f(x)=\frac{1}{x}$ en $(0,1]$: No tiene maximo

Extremos Locales

Teorema-Fermat

Si $f$ tiene un extremo local en $c$ y $f^{\prime }(c)$ existe, entonces $f^{\prime }(c)=0$.

Para Clasificar Extremos Locales

• Usar Prueba-Primera-Derivada
• Usar Prueba-Segunda-Derivada

Clases Relacionadas

• 21) Valores Maximos y Minimos
• Teorema-Valor-Extremo
• Numeros-Criticos
• Teorema-Fermat
• Optimizacion

---

valores-extremos maximos-minimos optimizacion concepto