Teorema-Valor-Extremo

Teorema del Valor Extremo

Enunciado

Teorema del Valor Extremo

Si $f$ es continua en un intervalo cerrado $[a,b]$, entonces $f$ alcanza:

• Un valor maximo absoluto $f(c)$
• Un valor minimo absoluto $f(d)$

en algunos numeros $c$ y $d$ en $[a,b]$.

Importancia

Garantia de Existencia

Este teorema garantiza que los extremos absolutos existen, pero no dice como encontrarlos ni donde estan.

Condiciones Necesarias

Hipotesis Criticas

Ambas condiciones son esenciales:

1. Continuidad: La funcion debe ser continua
2. Intervalo cerrado y acotado: Debe ser $[a,b]$, no $(a,b)$ o $[a,\infty )$

Contraejemplos

Ejemplo 1: Sin Continuidad

$f(x)=\{\begin{array}{ll}x& \text{si }0\le x<1\\ 0& \text{si }x=1\end{array}$ en $[0,1]$

• Discontinua en $x=1$
• No alcanza maximo (se acerca a 1 pero no llega)

Ejemplo 2: Intervalo Abierto

$f(x)=x$ en $(0,1)$:

• Continua ✓
• Pero intervalo abierto ✗
• No hay maximo ni minimo en $(0,1)$

Ejemplo 3: Intervalo No Acotado

$f(x)=x$ en $[0,\infty )$:

• Continua ✓
• Pero intervalo no acotado ✗
• No hay maximo

Como Encontrar Extremos Absolutos

Metodo del Intervalo Cerrado

Para encontrar extremos absolutos de $f$ continua en $[a,b]$:

1. Encontrar Numeros-Criticos $c_1,c_2,\dots ,c_n$ en $(a,b)$
2. Evaluar $f$ en:
   • Todos los numeros criticos
   • Los extremos $a$ y $b$
3. El mayor valor es el maximo absoluto
4. El menor valor es el minimo absoluto

Ejemplo Completo

Aplicacion

Encontrar extremos absolutos de $f(x)=x^3-3x+1$ en $[-2,2]$.

Paso 1: Numeros criticos

• $f^{\prime }(x)=3x^2-3=0⟹x=\pm 1$

Paso 2: Evaluar

• $f(-2)=-8+6+1=-1$
• $f(-1)=-1+3+1=3$
• $f(1)=1-3+1=-1$
• $f(2)=8-6+1=3$

Paso 3: Conclusion

• Maximo absoluto: $3$ (en $x=-1$ y $x=2$)
• Minimo absoluto: $-1$ (en $x=-2$ y $x=1$)

Extremos Locales vs Absolutos

Diferencia

• Extremo local: Es el mayor/menor en un intervalo pequeno alrededor del punto
• Extremo absoluto: Es el mayor/menor en todo el dominio

Todo extremo absoluto es local, pero no todo extremo local es absoluto.

Clases Relacionadas

• 21) Valores Maximos y Minimos
• Valores-Extremos
• Numeros-Criticos
• Teorema-Fermat

---

teorema-valor-extremo extremos-absolutos maximos-minimos concepto