Teorema-Fermat

Teorema de Fermat

Enunciado

Teorema de Fermat

Si $f$ tiene un maximo o minimo local en $c$, y si $f^{\prime }(c)$ existe, entonces:

$f^{\prime }(c)=0$

Interpretacion Geometrica

Intuicion

En un extremo local (maximo o minimo), la recta tangente es horizontal.

Importancia

Consecuencia

Este teorema nos dice que los extremos locales (donde la derivada existe) solo pueden ocurrir en Numeros-Criticos donde $f^{\prime }(c)=0$.

Observaciones Criticas

Cuidado: No es Bicondicional

El teorema establece:

Extremo local $⟹$ $f^{\prime }(c)=0$

Pero el reciproco es FALSO:

$f^{\prime }(c)=0$ $/⟹$ Extremo local

Contraejemplo

Para $f(x)=x^3$:

• $f^{\prime }(x)=3x^2$
• $f^{\prime }(0)=0$

Pero $f$ no tiene extremo en $x=0$ (la funcion es estrictamente creciente).

Limitaciones

Casos No Cubiertos

El teorema no se aplica cuando:

1. La derivada no existe en $c$
2. El extremo esta en un extremo del dominio

Ejemplo: Derivada No Existe

Para $f(x)=|x|$:

• Tiene un minimo en $x=0$
• Pero $f^{\prime }(0)$ no existe
• El teorema no se aplica

Uso en la Practica

Aplicacion

Para encontrar extremos:

1. Encontrar todos los puntos donde $f^{\prime }(c)=0$ (por Teorema de Fermat)
2. Encontrar puntos donde $f^{\prime }(c)$ no existe
3. Verificar extremos del dominio
4. Evaluar $f$ en todos estos Numeros-Criticos

Relacion con Otros Conceptos

Contexto

• Es la base teorica para buscar Valores-Extremos
• Se complementa con la Prueba-Primera-Derivada y Prueba-Segunda-Derivada
• Es un caso especial del Teorema-Valor-Medio

Clases Relacionadas

• 21) Valores Maximos y Minimos
• Numeros-Criticos
• Valores-Extremos

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