Teorema-Rolle

Teorema de Rolle

Enunciado

Teorema de Rolle

Sea $f$ una funcion que satisface:

1. $f$ es continua en $[a,b]$
2. $f$ es derivable en $(a,b)$
3. $f(a)=f(b)$

Entonces existe al menos un numero $c$ en $(a,b)$ tal que:

$f^{\prime }(c)=0$

Interpretacion Geometrica

Visualizacion

Si una curva continua y derivable comienza y termina en la misma altura, entonces en algun punto intermedio la tangente debe ser horizontal.

Hipotesis del Teorema

Condiciones Necesarias

Las tres condiciones son esenciales:

1. Continuidad en $[a,b]$: Sin esto, puede haber saltos
2. Derivabilidad en $(a,b)$: Sin esto, puede no haber tangente
3. $f(a)=f(b)$: Los valores en los extremos deben coincidir

Ejemplos

Ejemplo 1: Aplicacion Directa

Sea $f(x)=x^2-4x+3$ en $[1,3]$:

• $f(1)=0$ y $f(3)=0$ ✓
• $f$ es continua y derivable ✓

Por Rolle, existe $c$ tal que $f^{\prime }(c)=0$:

• $f^{\prime }(x)=2x-4=0$
• $c=2\in (1,3)$ ✓

Contraejemplo 1: Sin Derivabilidad

$f(x)=|x|$ en $[-1,1]$:

• $f(-1)=f(1)=1$ ✓
• Continua ✓
• Pero no derivable en $x=0$ ✗

De hecho, no existe $c$ donde $f^{\prime }(c)=0$.

Contraejemplo 2: Sin f(a) = f(b)

$f(x)=x$ en $[0,1]$:

• Continua y derivable ✓
• Pero $f(0)=0\ne 1=f(1)$ ✗

No hay $c$ donde $f^{\prime }(c)=0$ (de hecho, $f^{\prime }(x)=1$ siempre).

Relacion con Otros Teoremas

Conexion

• El Teorema de Rolle es un caso especial del Teorema-Valor-Medio
• Es una herramienta para demostrar la existencia de Numeros-Criticos
• Se relaciona con el Teorema-Fermat

Aplicaciones

Usos

• Demostrar que una ecuacion tiene una raiz
• Demostrar que entre dos raices de $f$ hay al menos una raiz de $f^{\prime }$
• Fundamental en la prueba del Teorema del Valor Medio

Aplicacion: Raices de la Derivada

Si $f$ tiene dos raices en $[a,b]$ (digamos en $x_1$ y $x_2$), entonces por Rolle, $f^{\prime }$ tiene al menos una raiz entre $x_1$ y $x_2$.

Clases Relacionadas

• 22) Teorema del Valor Medio
• Teorema-Valor-Medio
• Numeros-Criticos

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