Teorema del Valor Medio

Enunciado

Teorema del Valor Medio (TVM)

Sea $f$ una funcion que satisface:

1. $f$ es continua en $[a,b]$
2. $f$ es derivable en $(a,b)$

Entonces existe al menos un numero $c$ en $(a,b)$ tal que:

$f^{\prime }(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

Interpretacion Geometrica

Visualizacion

Existe un punto $c$ donde la tangente es paralela a la recta secante que une $(a,f(a))$ con $(b,f(b))$.

En otras palabras: la razon de cambio instantanea en $c$ es igual a la razon de cambio promedio en $[a,b]$.

Forma Alternativa

Otra Forma del TVM

$f(b)-f(a)=f^{\prime }(c)(b-a)$

para algun $c\in (a,b)$.

Relacion con Teorema de Rolle

Generalizacion

El Teorema-Rolle es un caso especial del TVM cuando $f(a)=f(b)$.

En ese caso: $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0$, entonces $f^{\prime }(c)=0$.

Consecuencias Importantes

Corolario 1: Funcion Constante

Si $f^{\prime }(x)=0$ para todo $x$ en $(a,b)$, entonces $f$ es constante en $[a,b]$.

Corolario 2: Funciones con Misma Derivada

Si $f^{\prime }(x)=g^{\prime }(x)$ para todo $x$ en $(a,b)$, entonces $f$ y $g$ difieren por una constante:

$f(x)=g(x)+C$

Corolario 3: Crecimiento y Decrecimiento

• Si $f^{\prime }(x)>0$ en $(a,b)$, entonces $f$ es creciente en $[a,b]$
• Si $f^{\prime }(x)<0$ en $(a,b)$, entonces $f$ es decreciente en $[a,b]$

Ejemplos

Ejemplo 1: Verificacion Directa

Para $f(x)=x^2$ en $[1,3]$:

• $\frac{f(3)-f(1)}{3-1}=\frac{9-1}{2}=4$
• $f^{\prime }(x)=2x$, entonces $f^{\prime }(c)=4⟹c=2$
• Efectivamente, $c=2\in (1,3)$ ✓

Ejemplo 2: Aplicacion a Desigualdades

Demostrar que $\sin x<x$ para $x>0$.

Demostracion:

• Aplicar TVM a $f(t)=\sin t$ en $[0,x]$
• Existe $c\in (0,x)$ tal que $\frac{\sin x-\sin 0}{x-0}=\cos c$
• Como $\cos c<1$, entonces $\frac{\sin x}{x}<1$
• Por lo tanto, $\sin x<x$

Aplicaciones

Usos del TVM

1. Demostrar que una funcion es constante
2. Probar desigualdades
3. Establecer limites para valores de funciones
4. Fundamentar la Prueba-Primera-Derivada
5. Justificar que antiderivadas difieren por constantes

Hipotesis Necesarias

Condiciones Esenciales

Ambas hipotesis son necesarias:

• Continuidad en $[a,b]$: Sin ella puede haber saltos
• Derivabilidad en $(a,b)$: Sin ella puede no haber tangente

Clases Relacionadas

• 22) Teorema del Valor Medio
• Teorema-Rolle
• 23) Como Afecta Derivada Forma Grafica

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