28) Antiderivadas

Clase 28: Antiderivadas

📚 Introducción

Hasta ahora hemos estudiado el cálculo diferencial: dada una función $f$, encontramos su derivada $f^{\prime }$. Pero en muchas situaciones prácticas enfrentamos el problema inverso: conocemos la derivada de una función y necesitamos encontrar la función original. Por ejemplo:

• Un físico que conoce la velocidad de una partícula podría desear conocer su posición
• Un ingeniero que puede medir la cantidad variable a la cual se fuga el agua de un tanque quiere conocer la cantidad que se ha fugado durante cierto periodo
• Un biólogo que conoce la rapidez a la que crece una población de bacterias puede interesarse en deducir el tamaño de la población en algún momento futuro

En cada caso, el problema es encontrar una función $F$ cuya derivada es la función conocida $f$. Si tal función $F$ existe, se llama antiderivada de $f$.

Objetivos de la Clase

• Comprender el concepto de antiderivada como operación inversa a la derivación
• Dominar las fórmulas básicas de antiderivación
• Aplicar el Teorema de la Antiderivada General para encontrar familias de funciones
• Resolver ecuaciones diferenciales simples con condiciones iniciales
• Aplicar antiderivadas al análisis de movimiento rectilíneo
• Relacionar posición, velocidad y aceleración mediante antiderivación

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1. Definición de Antiderivada

1.1 Concepto Fundamental

Definición - Antiderivada

Una función $F$ recibe el nombre de antiderivada de $f$ sobre un intervalo $I$ si

$F^{\prime }(x)=f(x)\text{para toda }x\in I$

En otras palabras: $F$ es una antiderivada de $f$ si al derivar $F$ obtenemos $f$.

1.2 Ejemplos Básicos

Ejemplo Inicial

1. Sea $f(x)=x^2$. Una antiderivada de $f$ es $F(x)=\frac{1}{3}{x}^3$ porque: $F^{\prime }(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{3}{x}^3\right)=\frac{1}{3}\cdot 3x^2=x^2=f(x)$

2. Pero también $G(x)=\frac{1}{3}{x}^3+100$ es antiderivada de $f(x)=x^2$ porque: $G^{\prime }(x)=x^2+0=x^2=f(x)$

3. De hecho, cualquier función de la forma $H(x)=\frac{1}{3}{x}^3+C$ (donde $C$ es una constante) es antiderivada de $f$.

Pregunta Natural

¿Hay otras antiderivadas de $f(x)=x^2$ además de las de la forma $\frac{1}{3}{x}^3+C$?

1.3 El Teorema Fundamental sobre Antiderivadas

Para contestar la pregunta, recordemos el Teorema del Valor Medio (Corolario 4.2.7): si dos funciones tienen derivadas idénticas sobre un intervalo, entonces éstas deben diferir en una constante.

Teorema 1 - Antiderivada General

Si $F$ es una antiderivada de $f$ sobre un intervalo $I$, entonces la antiderivada más general de $f$ sobre $I$ es

$F(x)+C$

donde $C$ es una constante arbitraria.

Implicación: Si conocemos UNA antiderivada particular de $f$, entonces conocemos TODAS las antiderivadas de $f$ (simplemente agregando todas las constantes posibles).

1.4 Representación Gráfica

La familia de funciones $F(x)+C$ forma una familia de curvas cuyas gráficas son traslaciones verticales una de otra. Esto tiene sentido porque cada curva debe tener la misma pendiente en cualquier valor conocido de $x$.

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2. Tabla de Fórmulas de Antiderivación

2.1 Tabla Fundamental

Para obtener la antiderivada más general a partir de las particulares de la tabla, tenemos que sumar una constante (o constantes), como en el ejemplo 1.

Tabla de Fórmulas de Antiderivación

Función	Antiderivada particular	Función	Antiderivada particular
$cf(x)$	$cF(x)$	${\sec }^{2}x$	$\tan x$
$f(x)+g(x)$	$F(x)+G(x)$	$\sec x\tan x$	$\sec x$
$x^n$ $(n\ne -1)$	$\frac{x^{n+1}}{n+1}$	$\frac{1}{1-x^2}$	${\sin }^{-1}x$
$\frac{1}{x}$	$\ln |x|$	$\frac{1}{1+x^2}$	${\tan }^{-1}x$
$e^x$	$e^x$	$\cosh x$	$\sinh x$
$\cos x$	$\sin x$	$\sinh x$	$\cosh x$
$\sin x$	$-\cos x$

Observaciones Clave

1. Constante múltiple: La antiderivada de una constante multiplicada por una función es la constante multiplicada por la antiderivada de la función

2. Suma de funciones: La antiderivada de una suma es la suma de las antiderivadas (Se usa la notación $F^{\prime }=f$, $G^{\prime }=g$)

3. Caso especial $n=-1$: Para $f(x)=\frac{1}{x}$, la antiderivada es $\ln |x|$ (no $\frac{x^0}{0}$!)

2.2 Notación Alternativa

Como en el ejemplo 1, toda fórmula de derivación leída de derecha a izquierda da lugar a una fórmula de antiderivación. En la tabla 2 se enlistan algunas antiderivadas. Cada fórmula de la tabla es verdadera porque la derivada de la función de la columna de la derecha aparece en la columna izquierda.

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3. Ejemplos de Cálculo de Antiderivadas

3.1 Ejemplo 1: Funciones Trigonométricas y Exponenciales

Problema

Encuentre la antiderivada más general de cada una de las funciones siguientes:

a) $f(x)=\sin x$ b) $f(x)=\frac{1}{x}$ c) $f(x)=x^n$, $n\ne -1$

Solución

a) Si $F(x)=-\cos x$, entonces $F^{\prime }(x)=\sin x$, de manera que una antiderivada de $\sin x$ es $-\cos x$. Por el teorema 1, la antiderivada más general es $G(x)=-\cos x+C$

b) Con base en lo que se vio en la sección 3.6, recuerde que $\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}$

Por consiguiente, en el intervalo $(0,\infty )$ la antiderivada general de $\frac{1}{x}$ es $\ln x+C$. También aprendimos que $\frac{d}{dx}(\ln |x|)=\frac{1}{x}$

para todo $x\ne 0$. Entonces, el teorema 1 afirma que la antiderivada general de $f$ es $\ln |x|+C$ sobre cualquier intervalo que no contenga $x=0$. En particular, esto es verdadero sobre cada uno de los intervalos $(-\infty ,0)$ y $(0,\infty )$. Por consiguiente, la antiderivada general de $f$ es:

$F(x)=\{\begin{array}{ll}\ln x+C_1& \text{si }x>0\\ \ln (-x)+C_2& \text{si }x<0\end{array}$

c) Utilice la regla de la potencia para descubrir una antiderivada de $x^n$. De hecho, si $n\ne -1$, entonces

$\frac{d}{dx}\left(\frac{x^{n+1}}{n+1}\right)=\frac{(n+1)x^n}{n+1}=x^n$

Así, la antiderivada general de $f(x)=x^n$ es:

$F(x)=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$

Esto es válido para $n\ge 0$, ya que $f(x)=x^n$ está definida sobre el intervalo. Si $n$ es negativo (pero $n\ne -1$), sólo es válida sobre cualquier intervalo que no contenga $x=0$.

3.2 Ejemplo 2: Reescribir Funciones

Problema

Encuentre todas las funciones $g$ tales que $g^{\prime }(x)=4\sin x+\frac{2x^5-\sqrt{x}}{x}$

Solución

Primero, escriba de nuevo la función dada en la forma siguiente:

$g^{\prime }(x)=4\sin x+\frac{2x^5}{x}-\frac{\sqrt{x}}{x}=4\sin x+2x^4-\frac{1}{\sqrt{x}}$

$=4\sin x+2x^4-x^{-1/2}$

De esta manera, deseamos hallar una antiderivada de:

$g^{\prime }(x)=4\sin x+2x^4-x^{-1/2}$

Utilizando las fórmulas de la tabla 2 con el teorema 1, obtenemos:

$g(x)=4(-\cos x)+2\cdot \frac{x^5}{5}-\frac{x^{1/2}}{1/2}+C$

$=-4\cos x+\frac{2x^5}{5}-2\sqrt{x}+C$

En las aplicaciones del cálculo es muy común tener una situación como la del ejemplo 2, donde se requiere hallar una función, dado el conocimiento acerca de sus derivadas.

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4. Ecuaciones Diferenciales

4.1 Concepto de Ecuación Diferencial

Una ecuación que involucra las derivadas de una función se llama ecuación diferencial. Estas ecuaciones se estudian en cierto detalle en el capítulo 9; pero, por el momento, es posible resolver algunas ecuaciones diferenciales elementales.

Definición - Solución General

La solución general de una ecuación diferencial contiene una constante arbitraria (o varias constantes arbitrarias), como en el ejemplo 2. Sin embargo, puede haber algunas condiciones adicionales que determinen las constantes y, por tanto, especifiquen de manera única la solución.

4.2 Ejemplo 3: Problema de Valor Inicial

Problema

Encuentre $f$ si $f^{\prime }(x)=e^x+20(1+x^2{)}^{-1}$ y $f(0)=-2$.

Solución

La antiderivada general de: $f^{\prime }(x)=e^x+\frac{20}{1+x^2}$

es: $f(x)=e^x+20{\tan }^{-1}x+C$

Para determinar $C$, utilizamos el hecho de que $f(0)=-2$:

$f(0)=e^0+20{\tan }^{-1}(0)+C=-2$ $1+0+C=-2$ $C=-3$

En estos términos, tenemos $C=-2-1=-3$, de modo que la solución particular es:

$f(x)=e^x+20{\tan }^{-1}x-3$

4.3 Ejemplo 4: Segunda Derivada

Problema

Encuentre $f$ si $f^{\prime \prime }(x)=12x^2+6x-4$, $f(0)=4$ y $f(1)=2$.

Solución

La antiderivada general de $f^{\prime \prime }(x)=12x^2+6x-4$ es:

$f^{\prime }(x)=12\cdot \frac{x^3}{3}+6\cdot \frac{x^2}{2}-4x+C=4x^3+3x^2-4x+C$

Si usamos una vez más las reglas de antiderivación, encontramos que:

$f(x)=4\cdot \frac{x^4}{4}+3\cdot \frac{x^3}{3}-4\cdot \frac{x^2}{2}+Cx+D$ $=x^4+x^3-2x^2+Cx+D$

Para determinar $C$ y $D$, utilizamos las condiciones dadas: $f(0)=4$ y $f(1)=2$. Ya que:

$f(0)=0+D=4$

tenemos que $D=4$. Puesto que:

$f(1)=1+1-2+C+4=2$

tenemos que $C=-2$. Por tanto, la función requerida es:

$f(x)=x^4+x^3-2x^2-2x+4$

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5. Movimiento Rectilíneo

5.1 Aplicación Física Fundamental

La antiderivación es en particular útil al analizar el movimiento de un objeto que se mueve en línea recta. Recuerde que si el objeto tiene la función posición $s=f(t)$, entonces:

• La función velocidad es: $v(t)=s^{\prime }(t)$

Esto significa que la función posición es una antiderivada de la función velocidad.

Del mismo modo:

• La función aceleración es: $a(t)=v^{\prime }(t)$

de manera que la función velocidad es una antiderivada de la aceleración.

Relaciones de Antiderivación

Si se conocen la aceleración y los valores iniciales $s(0)$ y $v(0)$, entonces puede hallarse la función posición aplicando dos veces la antiderivada:

$a(t)\stackrel{\text{antiderivada}}{\to }v(t)\stackrel{\text{antiderivada}}{\to }s(t)$

5.2 Ejemplo 6: Pelota que Cae

Problema

Una partícula se mueve en línea recta y con una aceleración dada por $a(t)=6t+4$. Su velocidad inicial es $v(0)=-6$ cm/s y su desplazamiento inicial es $s(0)=9$ cm. Encuentre su función posición $s(t)$.

Solución

Dado que $v^{\prime }(t)=a(t)=6t+4$, la antiderivada da:

$v(t)=6\cdot \frac{t^2}{2}+4t+C=3t^2+4t+C$

Observe que $v(0)=C$. Pero $v(0)=-6$, así que $C=-6$ y:

$v(t)=3t^2+4t-6$

Puesto que $v(t)=s^{\prime }(t)$, $s$ es la antiderivada de $v$:

$s(t)=3\cdot \frac{t^3}{3}+4\cdot \frac{t^2}{2}-6t+D=t^3+2t^2-6t+D$

Esto da $s(0)=D$. Dado que $s(0)=9$, tenemos que $D=9$, y la función posición requerida es:

$s(t)=t^3+2t^2-6t+9$

5.3 Ejemplo 7: Pelota Lanzada Verticalmente

Problema

Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba con una rapidez de 48 pies/s desde el borde de un acantilado a 432 pies por encima del nivel del suelo. Encuentre su altura sobre el nivel del suelo $t$ segundos más tarde. ¿Cuándo alcanza su altura máxima? ¿Cuándo choca contra el suelo?

Solución

El movimiento es vertical y se elige la dirección positiva como la correspondiente hacia arriba. En un instante $t$, la distancia arriba del nivel del suelo $s(t)$ y la velocidad $v(t)$ es decreciente. Por consiguiente, la aceleración debe ser negativa y:

$a(t)=\frac{dv}{dt}=-32$

Tomando antiderivadas, tenemos:

$v(t)=-32t+C$

Para determinar $C$, usamos la información dada $v(0)=48$. Esto da $48=0+C$, de manera que:

$v(t)=-32t+48$

La altura máxima se alcanza cuando $v(t)=0$; es decir, después de 1.5 s. Como $s^{\prime }(t)=v(t)$, la nueva antiderivada da:

$s(t)=-16t^2+48t+D$

Utilizamos el hecho de que $s(0)=432$, tenemos $432=0+D$; por consiguiente:

$s(t)=-16t^2+48t+432$

La expresión para $s(t)$ es válida hasta que la pelota choca contra el suelo. Esto sucede cuando $s(t)=0$; o sea, cuando:

$-16t^2+48t+432=0$

o, equivalentemente,

$t^2-3t-27=0$

Con la fórmula cuadrática, resolvemos esta ecuación para obtener:

$t=\frac{3\pm 3\sqrt{13}}{2}$

No consideramos la solución con el signo menos, ya que da un valor negativo para $t$. En consecuencia, la pelota choca contra el nivel del suelo después de:

$\frac{3(1+\sqrt{13})}{2}\approx 6.9\text{ s}$

Un objeto cerca de la superficie de la Tierra está sujeto a una fuerza gravitacional que produce una aceleración hacia abajo denotada por $g$. Para un movimiento cercano a la Tierra, suponemos que $g$ es constante y su valor es de unos $9.8$ m/s² (o $32$ pies/s²).

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6. Gráfica de una Antiderivada

6.1 Ejemplo 5: Bosquejar Antiderivada

Si conocemos la gráfica de una función $f$, razonablemente debemos ser capaces de dibujar la gráfica de una antiderivada $F$.

Problema

La gráfica de una función $f$ se muestra en la figura 3. Trace un esbozo de una antiderivada $F$, dado que $F(0)=2$.

Solución

Nos guía el hecho de que la pendiente de $y=F(x)$ es $f(x)$. Partimos del punto $(0,2)$ y dibujamos $F$ como una función:

• Inicialmente decreciente, ya que $f(x)$ es negativa cuando $0<x<1$
• Observe que $f(1)=f(3)=0$, de modo que $F$ tiene rectas tangentes horizontales cuando $x=1$ y $x=3$
• En el caso de $1<x<3$, $f(x)$ es positiva, y de este modo $F$ es creciente
• Observe que $F$ tiene un mínimo local cuando $x=1$ y un máximo local cuando $x=3$
• Para $x>3$, $f(x)$ es negativa y $F$ es decreciente en $(3,\infty )$
• Ya que $f(x)\to 0$ conforme $x\to \infty$, la gráfica de $F$ se vuelve más plana a medida que $x\to \infty$

Note también que $F^{\prime \prime }(x)=f^{\prime }(x)$ cambia de positiva a negativa en $x=2$, y de negativa a positiva en $x=4$; así $F$ tiene puntos de inflexión cuando $x=2$ y $x=4$.

Utilizamos esta información para trazar la gráfica de la antiderivada en la figura 4.

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🎯 Conceptos Clave para Repasar

Resumen de Conceptos

1. Antiderivada: Función $F$ tal que $F^{\prime }(x)=f(x)$
2. Teorema de la antiderivada general: Si $F^{\prime }(x)=f(x)$, entonces todas las antiderivadas son $F(x)+C$
3. Tabla de antiderivadas: Memorizar las fórmulas fundamentales
4. Ecuación diferencial: Ecuación que involucra derivadas de una función
5. Condiciones iniciales: Permiten determinar la constante $C$
6. Movimiento rectilíneo: $a(t)\to v(t)\to s(t)$ mediante antiderivación
7. Interpretación gráfica: La antiderivada acumula el área bajo la curva (veremos esto mejor en integrales)

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🚨 Errores Comunes

Error 1: Olvidar la constante +C

• Incorrecto: La antiderivada de $x^2$ es $\frac{x^3}{3}$
• Correcto: La antiderivada de $x^2$ es $\frac{x^3}{3}+C$

Error 2: Aplicar mal la regla de la potencia para n = -1

• Incorrecto: La antiderivada de $\frac{1}{x}$ es $\frac{x^0}{0}$ (indefinido!)
• Correcto: La antiderivada de $\frac{1}{x}$ es $\ln |x|+C$

Error 3: No simplificar antes de antiderivar

• Incorrecto: Intentar antiderivar $\frac{2x^5-\sqrt{x}}{x}$ directamente
• Correcto: Simplificar primero a $2x^4-x^{-1/2}$, luego antiderivar

Error 4: Confundir signo en funciones trigonométricas

• Incorrecto: La antiderivada de $\sin x$ es $\cos x+C$
• Correcto: La antiderivada de $\sin x$ es $-\cos x+C$

Error 5: No usar condiciones iniciales para determinar C

• Incorrecto: Dejar $f(x)=x^2+C$ cuando se da $f(1)=3$
• Correcto: Usar $f(1)=1+C=3$ para obtener $C=2$, entonces $f(x)=x^2+2$

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📝 Ejercicios Propuestos

Ejercicios de Práctica

Nivel Básico (1-12):

1. $f(x)=x-3$
2. $f(x)=\frac{1}{2}{x}^2-2x+6$
3. $f(x)=\frac{1}{2}+\frac{3}{4}{x}^2-\frac{4}{5}{x}^3$
4. $f(x)=8x^9-3x^6+12x^3$
5. $f(x)=(x+1)(2x-1)$
6. $f(x)=x(2-x{)}^2$
7. $f(x)=7x^{2/5}+8x^{-4/5}$
8. $f(x)=x^{4/3}-2x^{-1/3}$
9. $f(x)=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x}}$
10. $f(x)=e^z$
11. $f(x)=3\sqrt{x}-2\sqrt[3]{x}$
12. $f(x)=\sqrt{x^2}+x\sqrt{x}$

Nivel Intermedio (13-22): 13. $f(x)=\frac{1}{5}-\frac{2}{x^5}$ 14. $f(t)=\frac{3t^4-t^3+6t^2}{t^4}$ 15. $g(t)=\frac{1+t+t^2}{t}$ 16. $r(\theta )=\sec \theta \tan \theta -2e^{\theta }$ 17. $h(\theta )=2\sin \theta -{\sec }^2\theta$ 18. $f(t)=\sin t+2\sinh t$ 19. $f(x)=5e^x-3\cosh x$ 20. $f(x)=2\sqrt{x}+6\cos x$ 21. $f(x)=\frac{x^5-x^3+2x}{x^4}$ 22. $f(x)=\frac{2+x^2}{1+x^2}$

Nivel Avanzado (23-27): 23-24. Encuentre la antiderivada $F$ de $f$ que satisfaga la condición dada. Compruebe su respuesta comparando las gráficas de $f$ y $F$

25. $f^{\prime \prime }(x)=20x^3-12x^2+6x$
26. $f^{\prime \prime }(x)=x^6-4x^4+x+1$
27. $f^{\prime \prime }(x)=\frac{2}{3}{x}^{2/3}$
28. $f^{\prime \prime }(x)=6x+\sin x$

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📚 Referencias

Lectura Principal

• Sección 4.9: Antiderivadas, págs. 344-348

Enlaces Relacionados

• 27) Problemas de Optimizacion] - Aplicación previa de derivadas
• 29) Sumas de Riemann e Integral Definida - Siguiente tema (conexión con áreas)
• Derivada - Operación inversa
• Teorema-del-Valor-Medio - Base teórica del Teorema 1
• Ecuaciones-Diferenciales
• Movimiento-Rectilineo

Conexión con Temas Futuros

Anticipando la Integral

Las antiderivadas son el concepto fundamental que nos preparará para estudiar las integrales en el próximo capítulo. La integral definida formalizará la idea de “acumulación” que ya vemos implícita en las antiderivadas.

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Sugerencia de Estudio

Las antiderivadas son el inverso de la derivación, así que dominar la tabla de derivadas es esencial. Memoriza las fórmulas de la Tabla 2 y practica reconocer cuándo simplificar una expresión antes de antiderivar. Los ejemplos 3, 4 y 7 son fundamentales para entender problemas con condiciones iniciales. Recuerda siempre: ¡no olvides el $+C$!

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✅ Checklist de Estudio

Lista de Verificación

• Comprendo qué es una antiderivada y por qué es la operación inversa de derivar
• Entiendo el Teorema 1: todas las antiderivadas difieren en una constante
• Memoricé las fórmulas básicas de la Tabla 2 de antiderivación
• Sé que la antiderivada de $\frac{1}{x}$ es $\ln |x|+C$ (caso especial)
• Puedo antiderivar sumas, productos por constantes y potencias de $x$
• Sé simplificar expresiones algebraicas antes de antiderivar
• Comprendo cómo usar condiciones iniciales para determinar $C$
• Puedo resolver ecuaciones diferenciales simples con condiciones iniciales
• Entiendo la relación $a(t)\to v(t)\to s(t)$ en movimiento rectilíneo
• Puedo bosquejar la gráfica de una antiderivada dada la gráfica de $f$
• Siempre recuerdo agregar $+C$ en la antiderivada general

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