29) Sumas de Riemann e Integral Definida

Clase 29: Sumas de Riemann e Integral Definida

📚 Introducción

En este capítulo iniciamos el estudio del cálculo integral, que es el segundo gran pilar del cálculo (junto con el cálculo diferencial estudiado hasta ahora). Mientras que la derivada surge del problema de encontrar la pendiente de la recta tangente a una curva, la integral surge del problema de calcular el área bajo una curva.

Veremos que existe una conexión profunda entre estos dos problemas aparentemente diferentes: el Teorema Fundamental del Cálculo (que estudiaremos en la próxima clase) relaciona la integral con la derivada, simplificando enormemente el cálculo de áreas.

Objetivos de la Clase

• Aproximar el área bajo una curva mediante sumas de Riemann
• Comprender el proceso de tomar el límite cuando el número de rectángulos tiende a infinito
• Comprender la definición formal de la integral definida como límite de sumas
• Calcular integrales interpretándolas como áreas (cuando la función es positiva)
• Aplicar las propiedades de la integral para simplificar cálculos
• Utilizar el criterio de comparación para estimar valores de integrales

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1. El Problema del Área

1.1 Motivación: ¿Por qué necesitamos un nuevo concepto?

Problema Fundamental

Encuentre el área de la región $S$ que está debajo de la curva $y=f(x)$, desde $a$ hasta $b$ (donde $f(x)\ge 0$).

Para regiones simples (rectángulos, triángulos), conocemos fórmulas geométricas. Pero, ¿qué hacer cuando la región está limitada por una curva?

Estrategia: Aproximar la región curva mediante figuras simples (rectángulos) cuyas áreas sí podemos calcular, y luego tomar el límite cuando aumentamos el número de rectángulos.

1.2 Aproximación mediante Rectángulos

Para una región $S$ bajo la curva $y=f(x)$ desde $x=a$ hasta $x=b$:

1. Dividimos el intervalo $[a,b]$ en $n$ subintervalos de igual ancho: $\Delta x=\frac{b-a}{n}$

2. En cada subintervalo construimos un rectángulo cuya altura es el valor de $f$ en algún punto del subintervalo.

3. Sumamos las áreas de todos los rectángulos para obtener una aproximación del área total.

Idea Clave

Mientras más rectángulos usemos (es decir, mientras mayor sea $n$), mejor será la aproximación al área real bajo la curva.

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2. Sumas de Riemann

2.1 Construcción de una Suma de Riemann

Sea $f$ una función definida en $[a,b]$.

Paso 1: Dividir el intervalo $[a,b]$ en $n$ subintervalos de igual ancho: $\Delta x=\frac{b-a}{n}$

Los puntos extremos de estos subintervalos son: $x_0=a,x_1=a+\Delta x,x_2=a+2\Delta x,\dots ,x_n=b$

Paso 2: En cada subintervalo $[x_{i-1},x_i]$, elegir un punto muestra $x_i^{\ast }$ cualquiera: $x_i^{\ast }\in [x_{i-1},x_i]$

Paso 3: Formar la suma de Riemann:

Suma de Riemann

$R_n={\sum }_{i=1}^{n}f(x_i^{\ast })\Delta x=f(x_1^{\ast })\Delta x+f(x_2^{\ast })\Delta x+\cdots +f(x_n^{\ast })\Delta x$

Interpretación geométrica:

• $f(x_i^{\ast })$ es la altura del $i$-ésimo rectángulo
• $\Delta x$ es el ancho de cada rectángulo
• $f(x_i^{\ast })\Delta x$ es el área del $i$-ésimo rectángulo
• $R_n$ es la suma de las áreas de todos los rectángulos

2.2 Diferentes Elecciones de Puntos Muestra

Existen varias opciones comunes para elegir los puntos muestra $x_i^{\ast }$:

Tipos de Sumas de Riemann

1. Suma con puntos extremos derechos: $x_i^{\ast }=x_i$ $R_n={\sum }_{i=1}^{n}f(x_i)\Delta x$

2. Suma con puntos extremos izquierdos: $x_i^{\ast }=x_{i-1}$ $L_n={\sum }_{i=1}^{n}f(x_{i-1})\Delta x$

3. Suma con puntos medios: $x_i^{\ast }=\frac{x_{i-1}+x_i}{2}$ $M_n={\sum }_{i=1}^{n}f\left(\frac{x_{i-1}+x_i}{2}\right)\Delta x$

2.3 Comportamiento de las Sumas de Riemann

Propiedad Fundamental

Para funciones crecientes: $L_n\le \text{Aˊrea verdadera}\le R_n$

Para funciones decrecientes: $R_n\le \text{Aˊrea verdadera}\le L_n$

Las sumas con puntos medios $M_n$ generalmente dan mejores aproximaciones que las sumas con extremos.

Observación: A medida que $n$ aumenta:

• Todas las sumas de Riemann se acercan al área verdadera
• La diferencia entre $L_n$ y $R_n$ disminuye

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3. La Integral Definida

3.1 Definición Formal

Definición - Integral Definida

Si $f$ es una función definida para $a\le x\le b$, dividimos el intervalo $[a,b]$ en $n$ subintervalos de igual ancho $\Delta x=\frac{b-a}{n}$. Sean $x_0=a$, $x_1$, $x_2$, …, $x_n=b$ los puntos extremos de estos subintervalos, y sean $x_1^{\ast }$, $x_2^{\ast }$, …, $x_n^{\ast }$ los puntos muestra en estos subintervalos, de modo que $x_i^{\ast }$ se encuentra en el $i$-ésimo subintervalo $[x_{i-1},x_i]$. Entonces la integral definida de $f$ desde $a$ hasta $b$ es:

$\boxed{{\int }_a^{b}f(x)dx=\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{i=1}^{n}f(x_i^{\ast })\Delta x}$

siempre que este límite exista y dé el mismo valor para todas las posibles elecciones de los puntos muestra.

Notación y terminología:

• $\int$ es el símbolo de integral (una “S” alargada, de “suma”)
• $a$ es el límite inferior de integración
• $b$ es el límite superior de integración
• $f(x)$ es el integrando
• $dx$ indica que la variable independiente es $x$

Nota Histórica

Esta definición de integral se debe al matemático alemán Bernhard Riemann (1826-1866). Por eso se llama suma de Riemann a la suma $\sum f(x_i^{\ast })\Delta x$.

3.2 Significado del Límite

Interpretación del Límite

${\lim }_{n\to \infty }{\sum }_{i=1}^{n}f(x_i^{\ast })\Delta x$

significa que podemos hacer que la suma de Riemann $\sum f(x_i^{\ast })\Delta x$ esté tan cerca como queramos del valor de la integral ${\int }_a^{b}f(x)dx$, tomando $n$ suficientemente grande (y por tanto $\Delta x$ suficientemente pequeño).

Criterio preciso: Para cualquier número $\epsilon >0$, existe un entero $N$ tal que: $\left|{\int }_a^{b}f(x)dx-{\sum }_{i=1}^{n}f(x_i^{\ast })\Delta x\right|<\epsilon$ para cualquier entero $n>N$ y para cualquier elección de $x_i^{\ast }$ en $[x_{i-1},x_i]$.

3.3 Funciones Integrables

Teorema - Integrabilidad

Si $f$ es continua sobre $[a,b]$, o si $f$ tiene sólo un número finito de discontinuidades de salto, entonces $f$ es integrable sobre $[a,b]$; es decir, la integral definida ${\int }_a^{b}f(x)dx$ existe.

Nota

No todas las funciones son integrables. Existen funciones con discontinuidades muy “malas” cuyas integrales definidas no existen.

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4. Evaluación de Integrales mediante Sumas

4.1 Usando la Definición Directamente

Para evaluar ${\int }_a^{b}f(x)dx$ usando la definición:

Paso 1: Escribir $\Delta x=\frac{b-a}{n}$ y los puntos extremos derechos $x_i=a+i\Delta x$.

Paso 2: Formar la suma de Riemann: ${\sum }_{i=1}^{n}f(x_i)\Delta x$

Paso 3: Simplificar la suma usando fórmulas conocidas para sumas:

Fórmulas Útiles para Sumas

${\sum }_{i=1}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2}$

${\sum }_{i=1}^n{i}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

${\sum }_{i=1}^n{i}^3={\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]}^2$

Paso 4: Evaluar el límite cuando $n\to \infty$.

Ejemplo 1: Evaluar \int_0^1 x^2\,dx

Solución:

Paso 1: $\Delta x=\frac{1-0}{n}=\frac{1}{n}$, y $x_i=0+i\cdot \frac{1}{n}=\frac{i}{n}$.

Paso 2: La suma de Riemann con puntos extremos derechos es: $R_n={\sum }_{i=1}^{n}f(x_i)\Delta x={\sum }_{i=1}^n{\left(\frac{i}{n}\right)}^2\cdot \frac{1}{n}={\sum }_{i=1}^n\frac{i^2}{n^3}$

Paso 3: Simplificar: $R_n=\frac{1}{n^3}{\sum }_{i=1}^n{i}^2=\frac{1}{n^3}\cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}$

$=\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}=\frac{2n^2+3n+1}{6n^2}=\frac{1}{3}+\frac{1}{2n}+\frac{1}{6n^2}$

Paso 4: Tomar el límite: ${\int }_0^1{x}^{2}dx={\lim }_{n\to \infty }{R}_n={\lim }_{n\to \infty }\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{2n}+\frac{1}{6n^2}\right)=\frac{1}{3}$

Interpretación geométrica: El área bajo la parábola $y=x^2$ desde $x=0$ hasta $x=1$ es exactamente $\frac{1}{3}$.

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5. Interpretación de la Integral como Área

5.1 Cuando $f(x)\ge 0$

Interpretación como Área

Si $f(x)\ge 0$ para todo $x$ en $[a,b]$, entonces:

${\int }_a^{b}f(x)dx=\text{Aˊrea de la regioˊn bajo la curva }y=f(x)\text{ desde }a\text{ hasta }b$

Esta es la interpretación geométrica más directa de la integral definida.

5.2 Cuando $f$ Toma Valores Positivos y Negativos

Si $f$ toma valores tanto positivos como negativos, entonces ${\int }_a^{b}f(x)dx$ es un área neta:

Área Neta

${\int }_a^{b}f(x)dx=A_1-A_2$

donde:

• $A_1$ = área de la región arriba del eje $x$ y debajo de la gráfica de $f$
• $A_2$ = área de la región debajo del eje $x$ y arriba de la gráfica de $f$

Observación: Si la función es completamente negativa en $[a,b]$, entonces: ${\int }_a^{b}f(x)dx<0$

5.3 Propiedad de Cambio de Signo

Propiedad de Signo

${\int }_a^{b}f(x)dx=-{\int }_b^{a}f(x)dx$

Invertir los límites de integración cambia el signo de la integral.

Caso especial: ${\int }_a^{a}f(x)dx=0$

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6. Propiedades de la Integral Definida

6.1 Propiedades Básicas

Propiedades Fundamentales de la Integral

Sean $f$ y $g$ funciones integrables en $[a,b]$ y $c$ una constante:

1. Aditividad respecto a la función: ${\int }_a^b[f(x)+g(x)]dx={\int }_a^{b}f(x)dx+{\int }_a^{b}g(x)dx$

2. Homogeneidad (constante multiplicativa): ${\int }_a^{b}c\cdot f(x)dx=c\cdot {\int }_a^{b}f(x)dx$

3. Diferencia de funciones: ${\int }_a^b[f(x)-g(x)]dx={\int }_a^{b}f(x)dx-{\int }_a^{b}g(x)dx$

4. Integral de una constante: ${\int }_a^{b}cdx=c(b-a)$

5. Aditividad respecto al intervalo: ${\int }_a^{c}f(x)dx={\int }_a^{b}f(x)dx+{\int }_b^{c}f(x)dx$ (donde $a<b<c$)

6.2 Propiedades de Comparación

Propiedades de Comparación

6. Si $f(x)\ge 0$ para $a\le x\le b$, entonces: ${\int }_a^{b}f(x)dx\ge 0$

7. Si $f(x)\ge g(x)$ para $a\le x\le b$, entonces: ${\int }_a^{b}f(x)dx\ge {\int }_a^{b}g(x)dx$

8. Si $m\le f(x)\le M$ para $a\le x\le b$, entonces: $m(b-a)\le {\int }_a^{b}f(x)dx\le M(b-a)$

6.3 Aplicación: Estimación de Integrales

La propiedad 8 es especialmente útil para estimar el valor de una integral sin calcularla exactamente:

Ejemplo 2: Estimar \int_1^4 \sqrt{x}\,dx

Solución:

Para $1\le x\le 4$, sabemos que: $1\le \sqrt{x}\le 2$

Por la propiedad 8: $1\cdot (4-1)\le {\int }_1^4\sqrt{x}dx\le 2\cdot (4-1)$

$3\le {\int }_1^4\sqrt{x}dx\le 6$

Conclusión: El área bajo la curva $y=\sqrt{x}$ de 1 a 4 está entre 3 y 6.

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7. La Regla del Punto Medio

7.1 Aproximación más Precisa

Entre todas las sumas de Riemann, las que usan puntos medios suelen dar las mejores aproximaciones:

Regla del Punto Medio

${\int }_a^{b}f(x)dx\approx {\sum }_{i=1}^{n}f({\bar{x}}_i)\Delta x=\Delta x[f({\bar{x}}_1)+f({\bar{x}}_2)+\cdots +f({\bar{x}}_n)]$

donde:

• $\Delta x=\frac{b-a}{n}$
• ${\bar{x}}_i=\frac{1}{2}(x_{i-1}+x_i)=$ punto medio de $[x_{i-1},x_i]$

Ventaja: La regla del punto medio es generalmente más precisa que usar extremos derechos o izquierdos.

Ejemplo 3: Usar la regla del punto medio con n=5 para aproximar \int_1^2 \frac{1}{x}\,dx

Solución:

$\Delta x=\frac{2-1}{5}=0.2$

Los puntos medios son: ${\bar{x}}_1=1.1$, ${\bar{x}}_2=1.3$, ${\bar{x}}_3=1.5$, ${\bar{x}}_4=1.7$, ${\bar{x}}_5=1.9$

$M_5=0.2\left[\frac{1}{1.1}+\frac{1}{1.3}+\frac{1}{1.5}+\frac{1}{1.7}+\frac{1}{1.9}\right]$

$\approx 0.2[0.9091+0.7692+0.6667+0.5882+0.5263]\approx 0.6919$

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🎯 Conceptos Clave para Repasar

Resumen de Conceptos

1. Área bajo una curva: Se aproxima mediante sumas de áreas de rectángulos
2. Suma de Riemann: $R_n={\sum }_{i=1}^{n}f(x_i^{\ast })\Delta x$ donde $\Delta x=\frac{b-a}{n}$
3. Integral definida: ${\int }_a^{b}f(x)dx={\lim }_{n\to \infty }{\sum }_{i=1}^{n}f(x_i^{\ast })\Delta x$
4. Interpretación: Si $f(x)\ge 0$, la integral es el área bajo la curva
5. Área neta: Si $f$ es negativa en partes, la integral representa área neta (positiva menos negativa)
6. Propiedades: Linealidad, aditividad en intervalos, comparación
7. Regla del punto medio: Aproximación eficiente usando puntos medios de subintervalos
8. Fórmulas de sumas: Necesarias para evaluar integrales usando la definición

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🚨 Errores Comunes

Error 1: Confundir suma de Riemann con integral definida

• Incorrecto: Pensar que una suma de Riemann ES una integral
• Correcto: La integral es el límite de las sumas de Riemann cuando $n\to \infty$

Error 2: Olvidar el \Delta x en la suma de Riemann

• Incorrecto: $R_n={\sum }_{i=1}^{n}f(x_i)$ (falta el ancho de los rectángulos)
• Correcto: $R_n={\sum }_{i=1}^{n}f(x_i)\Delta x$

Error 3: Pensar que la integral siempre es positiva

• Incorrecto: Asumir que ${\int }_a^{b}f(x)dx>0$ siempre
• Correcto: La integral puede ser negativa si $f(x)<0$ en parte o todo el intervalo

Error 4: Errores al aplicar las propiedades de la integral

• Incorrecto: ${\int }_a^b[f(x)\cdot g(x)]dx={\int }_a^{b}f(x)dx\cdot {\int }_a^{b}g(x)dx$
• Correcto: NO existe una propiedad de producto para integrales

Error 5: Confundir límites de integración

• Incorrecto: No prestar atención al orden de $a$ y $b$
• Correcto: Recordar que ${\int }_a^{b}f(x)dx=-{\int }_b^{a}f(x)dx$

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📝 Ejercicios Propuestos

Ejercicios de Práctica

Nivel Básico:

1. Evalúe la suma de Riemann para $f(x)=3-\frac{1}{2}x$, $2\le x\le 14$, con seis subintervalos, tomando los puntos muestra como los puntos extremos de la izquierda. Explique con un diagrama qué representa la suma de Riemann.

2. Si $f(x)=x^2-2x$, $0\le x\le 3$, evalúe la suma de Riemann con $n=6$, tomando los puntos muestra como los puntos extremos de la derecha. ¿Qué representa la suma de Riemann? Ilustre con un diagrama.

3. Si $f(x)=e^x-2$, $0\le x\le 2$, encuentre la suma de Riemann con $n=4$ correcta hasta seis cifras decimales, tomando los puntos muestra como los puntos medios. ¿Qué representa la suma de Riemann? Ilustre con un diagrama.

Nivel Intermedio (sugeridos en clase):

4. Use la definición de integral como límite de sumas de Riemann para evaluar ${\int }_0^3(x^2+2x)dx$. (Pág. 376, ejercicios)

5. Exprese ${\lim }_{n\to \infty }{\sum }_{i=1}^n\left[5{\left(\frac{2i}{n}\right)}^3+\frac{2i}{n}\right]\cdot \frac{2}{n}$ como una integral sobre el intervalo $[0,2]$. (Ejemplo 2, pág. 374)

6. Use la definición de integral definida para demostrar que ${\int }_0^b{x}^{2}dx=\frac{b^3}{3}$. (Ejemplo 3, pág. 374-375)

Nivel Avanzado:

7. Evalúe ${\int }_0^3(x^2-6x)dx$ interpretándola como área neta (dibuje la gráfica y calcule áreas de triángulos).

8. Si se sabe que ${\int }_0^{10}f(x)dx=17$ y ${\int }_0^{8}f(x)dx=12$, encuentre ${\int }_8^{10}f(x)dx$.

9. Use las propiedades de la integral para verificar que: $\frac{2}{3}\le {\int }_1^4\sqrt{x^2+3}dx\le 6$

Ejercicio de Síntesis

Problema desafiante:

Si $f(x)$ es una función par (es decir, $f(-x)=f(x)$), demuestre que: ${\int }_{-a}^{a}f(x)dx=2{\int }_0^{a}f(x)dx$

Si $f(x)$ es una función impar (es decir, $f(-x)=-f(x)$), demuestre que: ${\int }_{-a}^{a}f(x)dx=0$

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🔗 Conexiones con Otras Clases

Relación con Clases Anteriores

• Clase 10-11: La derivada surgió del problema de la recta tangente. Ahora la integral surge del problema del área.
• Clase 28: Las antiderivadas serán cruciales para calcular integrales (próxima clase).

Preparación para Clases Futuras

• Clase 30: El Teorema Fundamental del Cálculo conectará integrales con derivadas, ¡revolucionando el cálculo de áreas!
• Clase 31: Aprenderemos a calcular integrales sin usar sumas de Riemann.

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📖 Referencias del Libro

Stewart, Cálculo, 9ª Edición

• Sección 5.1: Áreas y distancias (pág. 360-369)
• Sección 5.2: La integral definida (pág. 371-382)
• Ver ejemplos 1-3 de la sección 5.2 para evaluación directa usando la definición
• Ver ejemplos 4-7 de la sección 5.2 para interpretación como áreas y propiedades

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Tags: calculo integrales suma-riemann integral-definida area limites aproximacion

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💡 Reflexión Final

Cita Inspiradora

“La integral definida es uno de los conceptos más importantes en toda la matemática. Surgió del problema geométrico de calcular áreas, pero su utilidad se extiende mucho más allá de la geometría, apareciendo en física, ingeniería, probabilidad, economía, y prácticamente todas las ciencias cuantitativas.”

— Concepto fundamental del cálculo integral

La belleza de la integral reside en que, mediante un proceso de aproximación (rectángulos) seguido de un refinamiento infinito (tomar el límite), podemos calcular con exactitud cantidades que parecerían imposibles de medir, como el área bajo una curva arbitraria. Y pronto veremos que el Teorema Fundamental del Cálculo hará este proceso aún más poderoso al conectarlo con las derivadas que ya conocemos. ¡El cálculo integral apenas comienza!