30) Teorema Fundamental del Calculo

Clase 30: Teorema Fundamental del Cálculo

📚 Introducción

El Teorema Fundamental del Cálculo (TFC) es uno de los resultados más importantes de toda la matemática. Establece una conexión profunda entre las dos ramas principales del cálculo: el cálculo diferencial (derivadas) y el cálculo integral (integrales). Newton y Leibniz descubrieron que estos dos problemas aparentemente no relacionados estaban íntimamente conectados, y esta relación permite calcular áreas e integrales con gran facilidad.

Objetivos de la Clase

• Calcular derivadas de integrales usando el TFC Parte I
• Calcular integrales usando el TFC Parte II
• Conocer integrales de funciones conocidas
• Comprender la relación entre derivación e integración como procesos inversos
• Aplicar el TFC para resolver problemas prácticos

Sección del Texto

Sección 5.3: Teorema fundamental del cálculo, pág 386-394

---

1. Contexto Histórico y Motivación

1.1 Los Dos Problemas del Cálculo

El cálculo surgió del estudio de dos problemas clásicos:

1. Problema de la recta tangente: Encontrar la pendiente de una curva en un punto (derivadas)
2. Problema del área: Calcular el área bajo una curva (integrales)

Descubrimiento de Newton y Barrow

Isaac Barrow (1630-1677), profesor de Newton en Cambridge, descubrió que estos dos problemas aparentemente no relacionados estaban íntimamente conectados. De hecho, la derivación y la integración son procesos inversos.

1.2 La Integral como Función

Consideremos la integral definida:

$g(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$

donde $f$ es continua sobre $[a,b]$ y $x$ varía entre $a$ y $b$.

Interpretación Geométrica

Si $f$ es positiva, $g(x)$ puede interpretarse como el área bajo la gráfica de $f$ desde $a$ hasta $x$, donde $x$ puede variar de $a$ a $b$.

Pregunta clave: ¿Qué relación existe entre la gráfica de $g$ y la de $f$?

---

2. El Teorema Fundamental del Cálculo - Parte 1

2.1 Enunciado del TFC1

Teorema Fundamental del Cálculo - Parte 1 (TFC1)

Si $f$ es continua sobre $[a,b]$, entonces la función $g$ definida por

$g(x)={\int }_a^{x}f(t)dta\le x\le b$

es continua sobre $[a,b]$ y derivable sobre $(a,b)$, y

$g^{\prime }(x)=f(x)$

Interpretación

El TFC1 establece que:

• La derivada de una integral recupera la función original
• En notación de Leibniz: $\frac{d}{dx}{\int }_a^{x}f(t)dt=f(x)$
• “La derivada de la integral es el integrando evaluado en el límite superior”

2.2 Demostración del TFC1

Demostración

Si $x$ y $x+h$ están en $(a,b)$, entonces:

$g(x+h)-g(x)={\int }_a^{x+h}f(t)dt-{\int }_a^{x}f(t)dt={\int }_x^{x+h}f(t)dt$

Por lo tanto:

$\frac{g(x+h)-g(x)}{h}=\frac{1}{h}{\int }_x^{x+h}f(t)dt$

Para $h>0$, el área bajo $f$ de $x$ a $x+h$ es aproximadamente igual al área del rectángulo con altura $f(x)$ y ancho $h$:

$f(x)\cdot h\approx {\int }_x^{x+h}f(t)dt$

Por lo tanto:

$\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\approx f(x)$

En consecuencia, por intuición, esperamos que:

$g^{\prime }(x)={\lim }_{h\to 0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}=f(x)$

2.3 Ejemplos del TFC1

Ejemplo 1: Derivada de una Integral Básica

Problema: Encuentre la derivada de la función $g(x)={\int }_0^x\sqrt{1+t^2}dt$

Solución

Puesto que $f(t)=\sqrt{1+t^2}$ es continua, la Parte 1 del teorema fundamental del cálculo da:

$g^{\prime }(x)=\sqrt{1+x^2}$

Ejemplo 2: Derivada con Regla de la Cadena

Problema: Encuentre $\frac{d}{dx}{\int }_1^{x^3}\sec tdt$

Solución

En este caso debe ser cuidadoso al usar la regla de la cadena junto con el TFC1. Sea $u=x^3$. Por tanto:

$\frac{d}{dx}{\int }_1^{x^3}\sec tdt=\frac{d}{du}\left[{\int }_1^u\sec tdt\right]\cdot \frac{du}{dx}$

Por el TFC1:

$=\sec (u)\cdot \frac{du}{dx}=\sec (x^3)\cdot 3x^2$

Ejemplo 3: Usando Propiedades de la Integral

Problema: Encuentre $\frac{d}{dx}{\int }_{x^2}^0\frac{1}{t^2+1}dt$

Solución

Primero usamos la propiedad 5 de las integrales para invertir los límites:

$\frac{d}{dx}{\int }_{x^2}^0\frac{1}{t^2+1}dt=\frac{d}{dx}\left[-{\int }_0^{x^2}\frac{1}{t^2+1}dt\right]$

$=-\frac{d}{dx}{\int }_0^{x^2}\frac{1}{t^2+1}dt$

Aplicamos TFC1 con regla de la cadena ($u=x^2$):

$=-\frac{1}{(x^2{)}^2+1}\cdot 2x=-\frac{2x}{x^4+1}$

---

3. El Teorema Fundamental del Cálculo - Parte 2

3.1 Enunciado del TFC2

Teorema Fundamental del Cálculo - Parte 2 (TFC2)

Si $f$ es continua sobre $[a,b]$, entonces:

${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$

donde $F$ es cualquier antiderivada de $f$; es decir, una función tal que $F^{\prime }=f$.

Notación

A menudo se recurre a la notación:

$F(x){|}_a^b=F(b)-F(a)$

o también:

$[F(x){]}_a^b=F(b)-F(a)$

3.2 ¿Por Qué es Importante el TFC2?

Ventaja del TFC2

El TFC2 proporciona un método mucho más simple para evaluar integrales que calcularlas como límite de sumas de Riemann (como hicimos en las secciones 5.1 y 5.2).

Antes del TFC:

• Calcular ${\int }_a^{b}f(x)dx$ requería evaluar ${\lim }_{n\to \infty }{\sum }_{i=1}^{n}f(x_i^{\ast })\Delta x$

Con el TFC:

• Solo necesitamos encontrar una antiderivada $F$ de $f$
• Luego evaluamos $F(b)-F(a)$

3.3 Ejemplos del TFC2

Ejemplo 4: Integral de una Potencia

Problema: Evalúe ${\int }_2^5(x^2-6x)dx$

Solución

Una antiderivada de $f(x)=x^2-6x$ es $F(x)=\frac{x^3}{3}-6\frac{x^2}{2}=\frac{x^3}{3}-3x^2$

Por el TFC2:

${\int }_2^5(x^2-6x)dx={\left[\frac{x^3}{3}-3x^2\right]}_2^5$

$=\left(\frac{5^3}{3}-3\cdot 5^2\right)-\left(\frac{2^3}{3}-3\cdot 2^2\right)$

$=\left(\frac{125}{3}-75\right)-\left(\frac{8}{3}-12\right)$

$=\frac{125}{3}-75-\frac{8}{3}+12=\frac{117}{3}-63=39-63=-24$

Comparación

Compare este cálculo con el del ejemplo 2(b) de la sección 5.2, donde usamos sumas de Riemann. El TFC es mucho más eficiente.

Ejemplo 5: Integral con Función Exponencial

Problema: Evalúe ${\int }_1^3{e}^{x}dx$

Solución

La función $f(x)=e^x$ es continua en todo su dominio, y sabemos que una antiderivada es $F(x)=e^x$, de modo que la parte 2 del teorema fundamental da:

${\int }_1^3{e}^{x}dx=e^x{|}_1^3=e^3-e^1=e^3-e$

Observación

Observe que el TFC2 establece que podemos utilizar cualquier antiderivada $F$ de $f$. De este modo podríamos usar $F(x)=e^x$, en lugar de $e^x+7$ o $e^x+C$.

Ejemplo 6: Integral Trigonométrica

Problema: Evalúe la integral ${\int }_0^{\pi /2}\cos \theta d\theta$

Solución

Puesto que una antiderivada de $\cos \theta$ es $\sin \theta$, tenemos:

${\int }_0^{\pi /2}\cos \theta d\theta =\sin \theta {|}_0^{\pi /2}=\sin \left(\frac{\pi }{2}\right)-\sin (0)=1-0=1$

En particular, al hacer $b=\pi /2$, hemos comprobado que el área bajo la curva coseno desde 0 hasta $\pi /2$ es $\sin (\pi /2)=1$.

Ejemplo 7: Integral de Valor Absoluto

Problema: ¿Cuál es el error en el cálculo siguiente?

${\int }_{-1}^3\frac{1}{x^2}dx={\left[-\frac{1}{x}\right]}_{-1}^3=-\frac{1}{3}-1=-\frac{4}{3}$

Solución

Para empezar, observe que este cálculo es erróneo porque la respuesta es negativa, ya que $f(x)=1/x^2\ge 0$ y la propiedad 6 de las integrales establece que ${\int }_a^{b}f(x)dx\ge 0$ cuando $f\ge 0$.

El TFC2 se aplica a funciones continuas. En este caso no puede aplicarse porque $f(x)=1/x^2$ no es continua en $[-1,3]$. De hecho, $f$ tiene una discontinuidad infinita en $x=0$, de modo que:

${\int }_{-1}^3\frac{1}{x^2}dx\text{no existe}$

---

4. Integrales Conocidas

4.1 Tabla de Integrales de Funciones Conocidas

A partir del conocimiento de las derivadas, podemos construir una tabla de antiderivadas:

Tabla de Integrales Básicas

Función	Integral
$\int kdx$	$kx+C$
$\int x^{n}dx$	$\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ (para $n\ne -1$)
$\int \frac{1}{x}dx$	$\ln \Vert x\Vert +C$
$\int e^{x}dx$	$e^x+C$
$\int a^{x}dx$	$\frac{a^x}{\ln a}+C$
$\int \sin xdx$	$-\cos x+C$
$\int \cos xdx$	$\sin x+C$
$\int {\sec }^{2}xdx$	$\tan x+C$
$\int {\csc }^{2}xdx$	$-\cot x+C$
$\int \sec x\tan xdx$	$\sec x+C$
$\int \csc x\cot xdx$	$-\csc x+C$
$\int \frac{1}{x^2+1}dx$	$\arctan x+C$
$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx$	$\arcsin x+C$
$\int \sinh xdx$	$\cosh x+C$
$\int \cosh xdx$	$\sinh x+C$

4.2 Propiedades de las Integrales Indefinidas

Propiedades Importantes

1. Linealidad: $\int [cf(x)+g(x)]dx=c\int f(x)dx+\int g(x)dx$

2. Potencia: $\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ (para $n\ne -1$)

3. Verificación: Para verificar una integral, derivamos el resultado y debemos obtener el integrando

Ejemplo 8: Aplicando Propiedades

Problema: Evalúe $\int (10x^4-2{\sec }^{2}x)dx$

Solución

Si usamos nuestra convención y la tabla 1, tenemos:

$\int (10x^4-2{\sec }^{2}x)dx=10\int x^{4}dx-2\int {\sec }^{2}xdx$

$=10\cdot \frac{x^5}{5}-2\tan x+C=2x^5-2\tan x+C$

---

5. La Función de Fresnel

5.1 Definición

Una aplicación interesante del TFC1 es la función de Fresnel:

$S(x)={\int }_0^x\sin (\pi t^2/2)dt$

Esta función apareció por primera vez en la teoría de Fresnel de la difracción de la luz, pero a últimas fechas se ha aplicado al diseño de autopistas.

5.2 Derivada de la Función de Fresnel

Por el TFC1:

$S^{\prime }(x)=\sin (\pi x^2/2)$

Esto significa que podemos aplicar todos los métodos del cálculo diferencial para analizar $S$ (véase el ejercicio 65).

Aplicaciones

Aunque no podemos expresar $S(x)$ en forma explícita con funciones elementales, podemos:

• Graficar $S$ calculando la integral para muchos valores de $x$
• Analizar su comportamiento usando derivadas

---

🎯 Conceptos Clave para Repasar

Resumen de Conceptos

1. TFC Parte 1: La derivada de una integral es el integrando: $\frac{d}{dx}{\int }_a^{x}f(t)dt=f(x)$
2. TFC Parte 2: Para evaluar integrales definidas: ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$
3. Antiderivada: Función $F$ tal que $F^{\prime }=f$
4. Procesos inversos: Derivación e integración son operaciones inversas
5. Continuidad: El TFC requiere que $f$ sea continua en el intervalo
6. Notación: $F(x){|}_a^b=[F(x){]}_a^b=F(b)-F(a)$
7. Regla de la cadena: Al aplicar TFC1 con límites variables, usar la regla de la cadena

---

🚨 Errores Comunes

Error 1: Aplicar TFC2 a funciones discontinuas

• Incorrecto: ${\int }_{-1}^1\frac{1}{x^2}dx=[-1/x{]}_{-1}^1=-2$
• Correcto: Esta integral no existe porque $f(x)=1/x^2$ tiene discontinuidad infinita en $x=0$
• Reconocer: Siempre verificar continuidad antes de aplicar el TFC

Error 2: Olvidar la regla de la cadena en TFC1

• Incorrecto: $\frac{d}{dx}{\int }_0^{x^2}f(t)dt=f(x^2)$
• Correcto: $\frac{d}{dx}{\int }_0^{x^2}f(t)dt=f(x^2)\cdot 2x$
• Recordar: Cuando el límite superior es una función de $x$, aplicar la regla de la cadena

Error 3: Confundir constante de integración

• Incorrecto: ${\int }_1^3{x}^{2}dx=\frac{x^3}{3}+C{|}_1^3$
• Correcto: ${\int }_1^3{x}^{2}dx=\frac{x^3}{3}{|}_1^3$ (sin $+C$ en integrales definidas)
• Nota: La constante $C$ se cancela al calcular $F(b)-F(a)$

Error 4: Evaluar mal los límites

• Incorrecto: $[x^2{]}_1^3=3^2+1^2=10$
• Correcto: $[x^2{]}_1^3=3^2-1^2=9-1=8$
• Recordar: Es $F(b)-F(a)$, no $F(b)+F(a)$

Error 5: No considerar límites invertidos

• Problema: ${\int }_{x^2}^{0}f(t)dt$
• Solución: Primero invertir los límites: ${\int }_{x^2}^{0}f(t)dt=-{\int }_0^{x^2}f(t)dt$

---

📝 Ejercicios Propuestos

Ejercicios de Práctica - TFC Parte 1

1. Encuentre $\frac{d}{dx}{\int }_0^x{t}^{3}dt$
2. Calcule $\frac{d}{dx}{\int }_1^{x^4}\sqrt{1+t^2}dt$
3. Si $g(x)={\int }_2^x\frac{1}{t^2+1}dt$, encuentre $g^{\prime }(3)$
4. Derive ${\int }_{\cos x}^{\sin x}{t}^{2}dt$

Ejercicios de Práctica - TFC Parte 2

5. Evalúe ${\int }_0^2(x^2+2x-1)dx$
6. Calcule ${\int }_1^4\frac{2+x^2}{\sqrt{x}}dx$
7. Encuentre ${\int }_0^{\pi /3}(1+\cos \theta )d\theta$
8. Evalúe ${\int }_{-2}^3|x|dx$ (sugerencia: dividir en dos integrales)

Ejercicios Conceptuales

9. Si ${\int }_0^{9}f(x)dx=37$ y ${\int }_0^{9}g(x)dx=16$, encuentre ${\int }_0^9[2f(x)+3g(x)]dx$
10. Demuestre que ${\int }_a^{b}f(x)dx=-{\int }_b^{a}f(x)dx$
11. Si $f$ es continua y ${\int }_0^{4}f(x)dx=10$, encuentre ${\int }_0^{2}f(2x)dx$

---

📚 Referencias

Lectura Principal

• Sección 5.3: Teorema fundamental del cálculo, págs. 386-394
• Ejemplos 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8
• Ejercicios recomendados: 1-8, 11-16, 19-40, 63-66

Enlaces Relacionados

• 29) Sumas de Riemann e Integral Definida
• Antiderivadas
• Regla-de-la-Cadena

Ejemplos Importantes del Libro

• Ejemplo 1, pág. 387: Derivada de integral básica
• Ejemplo 2, pág. 389: TFC1 con regla de la cadena
• Ejemplo 4, pág. 391: Integral definida de polinomio
• Ejemplo 7, pág. 392: Error común con discontinuidades

---

✅ Checklist de Estudio

Lista de Verificación

TFC Parte 1:

• Puedo explicar qué significa $\frac{d}{dx}{\int }_a^{x}f(t)dt=f(x)$
• Entiendo por qué la derivada y la integral son procesos inversos
• Sé aplicar TFC1 con regla de la cadena cuando el límite superior es una función
• Puedo manejar integrales con límites invertidos

TFC Parte 2:

• Puedo evaluar integrales definidas usando antiderivadas
• Sé calcular $F(b)-F(a)$ correctamente
• Entiendo por qué el TFC2 es más eficiente que sumas de Riemann
• Reconozco cuándo NO puedo aplicar el TFC (funciones discontinuas)

Antiderivadas:

• Conozco las antiderivadas de funciones básicas (potencias, exponenciales, trigonométricas)
• Puedo verificar una antiderivada por derivación
• Entiendo cuándo usar $+C$ (indefinidas) y cuándo no (definidas)

Aplicaciones:

• Puedo interpretar geométricamente $g(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$
• Sé usar el TFC para resolver problemas de áreas
• Comprendo la importancia histórica del TFC

---

💡 Estrategias de Estudio

Cómo Dominar el TFC

1. Practica ambas partes por separado: Primero domina TFC1, luego TFC2
2. Memoriza las antiderivadas básicas: Crea flashcards con la tabla de integrales
3. Verifica siempre: Deriva tu resultado para comprobar que obtienes el integrando
4. Visualiza geométricamente: Dibuja áreas para entender qué estás calculando
5. Ojo con la continuidad: Antes de aplicar TFC, verifica que no haya discontinuidades

---

🔄 Conexión con Otras Clases

Temas Relacionados

Prerrequisitos:

• Clase 28: Sumas de Riemann e Integral Definida
• Clase 29: Propiedades de la Integral
• Clases 10-18: Derivadas y reglas de derivación

Próximas clases:

• Clase 31: Integrales indefinidas y Teorema del Cambio Neto
• Clase 32: Técnicas de integración

---

🏷️ Tags

calculo integral-definida tfc teorema-fundamental antiderivadas integracion derivacion clase-30 clase evaluacion-integrales funciones-conocidas