Valor-Promedio

Valor Promedio de una Funcion

Definicion

Valor Promedio

El valor promedio de una funcion $f$ en el intervalo $[a,b]$ es:

$f_{\text{prom}}=\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)dx$

Motivacion

Intuicion

Para valores discretos $y_1,y_2,\dots ,y_n$, el promedio es:

$\bar{y}=\frac{y_1+y_2+\cdots +y_n}{n}$

El valor promedio de una funcion continua es la extension natural de este concepto.

Interpretacion Geometrica

Visualizacion

El valor promedio $f_{\text{prom}}$ es la altura del rectangulo cuya area es igual al area bajo la curva de $f$ en $[a,b]$.

$\text{Area del rectangulo}=f_{\text{prom}}\cdot (b-a)={\int }_a^{b}f(x)dx$

Teorema del Valor Medio para Integrales

Teorema

Si $f$ es continua en $[a,b]$, entonces existe un numero $c$ en $[a,b]$ tal que:

$f(c)=f_{\text{prom}}=\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)dx$

Es decir:

${\int }_a^{b}f(x)dx=f(c)(b-a)$

Interpretacion

La funcion alcanza su valor promedio en algun punto del intervalo.

Ejemplos

Ejemplo 1: Funcion Cuadratica

Encontrar el valor promedio de $f(x)=x^2$ en $[0,2]$.

Solucion: $f_{\text{prom}}=\frac{1}{2-0}{\int }_0^2{x}^{2}dx=\frac{1}{2}\cdot \frac{x^3}{3}{|}_0^2=\frac{1}{2}\cdot \frac{8}{3}=\frac{4}{3}$

Ejemplo 2: Temperatura Promedio

Si la temperatura durante un dia esta dada por $T(t)=20+5\sin \left(\frac{\pi t}{12}\right)$ °C, donde $t$ es el tiempo en horas desde medianoche, encontrar la temperatura promedio en las primeras 12 horas.

Solucion: $T_{\text{prom}}=\frac{1}{12}{\int }_0^{12}\left[20+5\sin \left(\frac{\pi t}{12}\right)\right]dt$

Ejemplo 3: Velocidad Promedio

Si $v(t)=3t^2$ m/s, encontrar la velocidad promedio entre $t=1$ y $t=3$ segundos.

Solucion: $v_{\text{prom}}=\frac{1}{3-1}{\int }_1^{3}3t^{2}dt=\frac{1}{2}\cdot t^3{|}_1^3=\frac{1}{2}(27-1)=13\text{ m/s}$

Aplicaciones

Usos Practicos

• Calcular temperatura promedio en un periodo
• Encontrar velocidad promedio en un intervalo
• Determinar costo promedio de produccion
• Calcular densidad promedio de un objeto
• Analizar valores promedio en economia y ciencias

Relacion con Teorema-del-Valor-Medio

Conexion

El Teorema del Valor Medio para Integrales es analogo al Teorema-del-Valor-Medio para derivadas:

• TVM para derivadas: Existe $c$ donde $f^{\prime }(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$
• TVM para integrales: Existe $c$ donde $f(c)=\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)dx$

Clases Relacionadas

• 30) Teorema Fundamental del Calculo
• 29) Sumas de Riemann e Integral Definida
• Teorema-del-Valor-Medio

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