31) Integrales Indefinidas y Teorema del Cambio Neto

Clase 31: Integrales Indefinidas y el Teorema del Cambio Neto

📚 Introducción

En esta clase profundizamos en el estudio de las integrales indefinidas y presentamos el Teorema del Cambio Neto, que es una reformulación del TFC Parte 2 en términos de razones de cambio. Este teorema facilita enormemente la aplicación del cálculo integral a problemas de ciencias e ingeniería, permitiéndonos relacionar la razón de cambio de una cantidad con el cambio total en esa cantidad. También estudiaremos integrales de funciones discontinuas y el concepto fundamental de valor promedio de una función.

Objetivos de la Clase

• Calcular integrales usando el teorema del cambio neto
• Aplicar propiedades de la integral a problemas prácticos
• Calcular integrales de funciones conocidas
• Evaluar integrales de funciones discontinuas
• Calcular el valor promedio de una función
• Comprender la relación entre razón de cambio y cambio total

Sección del Texto

Sección 5.4: Integrales indefinidas y el teorema del cambio neto, pág 397-403

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1. Integrales Indefinidas

1.1 Definición y Notación

Ambas partes del teorema fundamental establecen relaciones entre antiderivadas e integrales definidas. La Parte 1 establece que si $f$ es continua, entonces ${\int }_a^{x}f(t)dt$ es una antiderivada de $f$. La Parte 2 plantea que ${\int }_a^{b}f(x)dx$ puede determinarse evaluando $F(b)-F(a)$, donde $F$ es una antiderivada de $f$.

Definición - Integral Indefinida

Debido a la relación dada por el teorema fundamental entre las antiderivadas y las integrales, por tradición se usa la notación $\int f(x)dx$ para una antiderivada de $f$ y se llama integral indefinida. Así,

$\int f(x)dx=F(x)\text{significa que}{F}^{\prime }(x)=f(x)$

Distinga con Cuidado

• Una integral definida ${\int }_a^{b}f(x)dx$ es un número
• Una integral indefinida $\int f(x)dx$ es una función (o familia de funciones)

La relación entre ellas la proporciona la Parte 2 del teorema fundamental: si $f$ es continua sobre $[a,b]$, entonces

${\int }_a^{b}f(x)dx={\left[\int f(x)dx\right]}_a^b$

1.2 Notación para Integrales Definidas

A menudo se recurre a la notación:

$F(x){|}_a^b=F(b)-F(a)$

Otras notaciones comunes son:

• $[F(x){]}_a^b=F(b)-F(a)$
• $F(x){|}_{x=a}^{x=b}=F(b)-F(a)$

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2. Tabla de Integrales Indefinidas

2.1 Tabla Principal

A partir del TFC, si conocemos las derivadas podemos construir una tabla de antiderivadas:

Tabla de Integrales Indefinidas

Función	Integral Indefinida
$\int cf(x)dx$	$c\int f(x)dx$
$\int [f(x)+g(x)]dx$	$\int f(x)dx+\int g(x)dx$
$\int kdx$	$kx+C$
$\int x^{n}dx$	$\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ (para $n\ne -1$)
$\int \frac{1}{x}dx$	$\ln \Vert x\Vert +C$
$\int e^{x}dx$	$e^x+C$
$\int a^{x}dx$	$\frac{a^x}{\ln a}+C$
$\int \sin xdx$	$-\cos x+C$
$\int \cos xdx$	$\sin x+C$
$\int {\sec }^{2}xdx$	$\tan x+C$
$\int {\csc }^{2}xdx$	$-\cot x+C$
$\int \sec x\tan xdx$	$\sec x+C$
$\int \csc x\cot xdx$	$-\csc x+C$
$\int \frac{1}{x^2+1}dx$	$\arctan x+C$
$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx$	$\arcsin x+C$
$\int \sinh xdx$	$\cosh x+C$
$\int \cosh xdx$	$\sinh x+C$

Cómo Usar la Tabla

Al aplicar el teorema fundamental se usa una antiderivada particular $F$ de $f$. No es necesario usar la antiderivada más general, ya que al aplicar el TFC2:

${\int }_a^{b}f(x)dx=[F(x)+C{]}_a^b=F(b)+C-[F(a)+C]=F(b)-F(a)$

La constante $C$ se cancela, por lo que podemos usar cualquier antiderivada conveniente.

2.2 Ejemplos de Integrales Indefinidas

Ejemplo 1: Integral de un Polinomio

Problema: Encuentre la integral indefinida general $\int (10x^4-2{\sec }^{2}x)dx$

Solución

Usando la tabla de integrales:

$\int (10x^4-2{\sec }^{2}x)dx=10\int x^{4}dx-2\int {\sec }^{2}xdx$

$=10\cdot \frac{x^5}{5}-2\tan x+C=2x^5-2\tan x+C$

Ejemplo 2: Integral Trigonométrica con Identidades

Problema: Evalúe $\int \frac{\cos \theta }{{\sin }^2\theta }d\theta$

Solución

Esta integral indefinida no es inmediata utilizando la tabla 1, por lo que debemos aplicar las identidades trigonométricas para reescribir la función antes de integrar:

$\int \frac{\cos \theta }{{\sin }^2\theta }d\theta =\int \frac{\cos \theta }{\sin \theta }\cdot \frac{1}{\sin \theta }d\theta$

$=\int \cot \theta \csc \theta d\theta =-\csc \theta +C$

Verificación: Derivamos para comprobar:

$\frac{d}{d\theta }[-\csc \theta +C]=-(-\csc \theta \cot \theta )=\csc \theta \cot \theta =\frac{1}{\sin \theta }\cdot \frac{\cos \theta }{\sin \theta }=\frac{\cos \theta }{{\sin }^2\theta }$ ✓

Ejemplo 3: Integral con Valor Absoluto

Problema: Evalúe ${\int }_0^3(x^2-6x)dx$ e interprete el resultado en términos de áreas.

Solución

Por el TFC Parte 2:

${\int }_0^3(x^2-6x)dx={\left[\frac{x^3}{3}-6\frac{x^2}{2}\right]}_0^3={\left[\frac{x^3}{3}-3x^2\right]}_0^3$

$=\left(\frac{3^3}{3}-3\cdot 3^2\right)-(0-0)=(9-27)-0=-18$

Interpretación geométrica:

Estimamos que el área bajo $f$ de 2 a 3 es alrededor de 1.3, de manera que:

$g(3)=g(2)+{\int }_2^{3}f(t)dt\approx 3+1.3=4.3$

Observe que $f(t)$ es negativa y, por tanto, empezamos a restar áreas para $t>3$:

$g(4)=g(3)+{\int }_3^{4}f(t)dt\approx 4.3+(-1.3)=3.0$

El resultado $-18$ significa que el área bajo el eje $x$ (negativa) es mayor que el área sobre el eje $x$ en 18 unidades cuadradas.

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3. El Teorema del Cambio Neto

3.1 Enunciado del Teorema

Teorema del Cambio Neto

La integral de una razón de cambio es el cambio neto:

${\int }_a^b{F}^{\prime }(x)dx=F(b)-F(a)$

Interpretación

Si $F^{\prime }(x)$ representa la razón de cambio de alguna cantidad $F(x)$, entonces:

• ${\int }_a^b{F}^{\prime }(x)dx$ = cambio total en $F$ cuando $x$ cambia de $a$ a $b$
• Es decir: (razón de cambio integrada) = (cambio neto)

3.2 Interpretación Física

Si $v(t)$ es la velocidad de un objeto y $s(t)$ es su posición en el tiempo $t$, entonces $v(t)=s^{\prime }(t)$. Por consiguiente:

${\int }_{t_1}^{t_2}v(t)dt={\int }_{t_1}^{t_2}{s}^{\prime }(t)dt=s(t_2)-s(t_1)$

es el cambio neto de la posición, o desplazamiento, de la partícula durante el periodo de tiempo desde $t_1$ hasta $t_2$.

Desplazamiento vs Distancia

• Desplazamiento: ${\int }_{t_1}^{t_2}v(t)dt=s(t_2)-s(t_1)$
• Distancia total recorrida: ${\int }_{t_1}^{t_2}|v(t)|dt$

Si queremos calcular la distancia recorrida durante el intervalo, tenemos que considerar los intervalos cuando $v(t)\ge 0$ (la partícula se mueve hacia la derecha) y también los intervalos cuando $v(t)\le 0$ (la partícula se mueve hacia la izquierda).

3.3 Fórmula para Distancia Total

Distancia Total Recorrida

${\int }_{t_1}^{t_2}|v(t)|dt=\text{distancia total recorrida}$

Esto equivale a:

• Sumar las áreas cuando $v(t)>0$ (movimiento a la derecha)
• Sumar las áreas cuando $v(t)<0$ (movimiento a la izquierda, pero tomando valor absoluto)

3.4 Ejemplos del Teorema del Cambio Neto

Ejemplo 4: Movimiento de una Partícula

Problema: Una partícula se mueve a lo largo de una recta de modo que su velocidad en el instante $t$ es $v(t)=t^2-t-6$ (medida en metros por segundo).

a) Encuentre el desplazamiento de la partícula durante el periodo $1\le t\le 4$. b) Halle la distancia recorrida durante este periodo de tiempo.

Solución

Parte a): Por el Teorema del Cambio Neto, el desplazamiento es:

$s(4)-s(1)={\int }_1^{4}v(t)dt={\int }_1^4(t^2-t-6)dt$

$={\left[\frac{t^3}{3}-\frac{t^2}{2}-6t\right]}_1^4$

$=\left(\frac{64}{3}-8-24\right)-\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{2}-6\right)$

$=\frac{64}{3}-32-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}+6=\frac{63}{3}-26+\frac{1}{2}=21-26+0.5=-4.5\text{ m}$

Esto significa que la partícula se desplazó 4.5 m hacia la izquierda.

Parte b): Observe que $v(t)=t^2-t-6=(t-3)(t+2)$ y, por eso, $v(t)\le 0$ sobre el intervalo $[1,3]$ y $v(t)\ge 0$ sobre $[3,4]$.

Así que, a partir de la ecuación 3, la distancia recorrida es:

${\int }_1^4|v(t)|dt={\int }_1^3[-v(t)]dt+{\int }_3^{4}v(t)dt$

$=-{\int }_1^3(t^2-t-6)dt+{\int }_3^4(t^2-t-6)dt$

$=-{\left[\frac{t^3}{3}-\frac{t^2}{2}-6t\right]}_1^3+{\left[\frac{t^3}{3}-\frac{t^2}{2}-6t\right]}_3^4$

$=-\left[\left(9-\frac{9}{2}-18\right)-\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{2}-6\right)\right]+\left[\left(\frac{64}{3}-8-24\right)-\left(9-\frac{9}{2}-18\right)\right]$

$=\frac{61}{6}\approx 10.17\text{ m}$

Ejemplo 5: Consumo de Energía

Problema: La figura muestra el consumo de energía eléctrica (potencia) en la ciudad de San Francisco un día del mes de septiembre ($P$ se mide en megavatios y $t$ en horas, a partir de la medianoche). Estime la energía que se utilizó ese día.

Solución

La potencia es la razón de cambio de la energía: $P(t)=E^{\prime }(t)$. De modo que, por el teorema del cambio neto,

${\int }_0^{24}P(t)dt={\int }_0^{24}{E}^{\prime }(t)dt=E(24)-E(0)$

es la cantidad total de energía que se usó ese día.

Hacemos una aproximación de la integral con la regla del punto medio con 12 subintervalos y $\Delta t=2$:

${\int }_0^{24}P(t)dt\approx [P(1)+P(3)+P(5)+\cdots +P(21)+P(23)]\Delta t$

$\approx (440+400+420+620+790+840+850+840+810+690+670+550)(2)$

$=15840\text{ megavatio-horas}$

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4. Integrales de Funciones Discontinuas

4.1 ¿Cuándo No Aplicar el TFC?

Requisito de Continuidad

El TFC requiere que $f$ sea continua sobre $[a,b]$. Si $f$ tiene una discontinuidad en algún punto del intervalo, el TFC2 no se aplica.

Ejemplo 6: Error Común con Discontinuidades

Problema: ¿Cuál es el error en el cálculo siguiente?

${\int }_{-1}^3\frac{1}{x^2}dx={\left[-\frac{1}{x}\right]}_{-1}^3=-\frac{1}{3}-(-1)=-\frac{1}{3}+1=\frac{2}{3}$

Solución - Análisis del Error

Para empezar, observe que este cálculo es erróneo porque la respuesta es positiva, pero:

• $f(x)=1/x^2\ge 0$ para todo $x\ne 0$
• La propiedad 6 de las integrales establece que ${\int }_a^{b}f(x)dx\ge 0$ cuando $f\ge 0$
• Por lo tanto, el resultado debería ser positivo si existiera

El verdadero problema: El TFC se aplica a funciones continuas. En este caso, $f(x)=1/x^2$ no es continua en $[-1,3]$ porque tiene una discontinuidad infinita en $x=0$.

Por lo tanto:

${\int }_{-1}^3\frac{1}{x^2}dx\text{**NO EXISTE**}$

Cómo Evitar Este Error

Siempre verifica que la función sea continua en todo el intervalo de integración antes de aplicar el TFC. Si hay discontinuidades, la integral definida puede no existir.

4.2 Integrales con Discontinuidades Removibles

En algunos casos, podemos manejar discontinuidades de cierto tipo, pero este es un tema más avanzado que se estudia en cursos superiores (integrales impropias).

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5. Valor Promedio de una Función

5.1 Motivación: Promedio de Datos Discretos

Si tenemos $n$ valores $y_1,y_2,\dots ,y_n$, su promedio es:

$y_{\text{prom}}=\frac{y_1+y_2+\cdots +y_n}{n}=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{y}_i$

¿Cómo extendemos esta idea a una función continua $f$ sobre un intervalo $[a,b]$?

5.2 Definición del Valor Promedio

Definición - Valor Promedio de una Función

El valor promedio de una función $f$ sobre el intervalo $[a,b]$ es:

$f_{\text{prom}}=\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)dx$

Interpretación Geométrica

El valor promedio de $f$ en $[a,b]$ es la altura del rectángulo cuya base es $[a,b]$ y cuya área es igual a la integral de $f$:

$\text{aˊrea del rectaˊngulo}=f_{\text{prom}}\cdot (b-a)={\int }_a^{b}f(x)dx$

5.3 Teorema del Valor Medio para Integrales

Teorema del Valor Medio para Integrales

Si $f$ es continua sobre $[a,b]$, entonces existe un número $c$ en $[a,b]$ tal que:

$f(c)=f_{\text{prom}}=\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)dx$

es decir,

${\int }_a^{b}f(x)dx=f(c)(b-a)$

Interpretación

Este teorema garantiza que existe al menos un punto $c$ donde la función toma exactamente su valor promedio.

5.4 Ejemplos de Valor Promedio

Ejemplo 7: Valor Promedio de una Función Cuadrática

Problema: Encuentre el valor promedio de la función $f(x)=1+x^2$ en el intervalo $[-1,2]$.

Solución

Por la definición de valor promedio:

$f_{\text{prom}}=\frac{1}{2-(-1)}{\int }_{-1}^2(1+x^2)dx$

$=\frac{1}{3}{\left[x+\frac{x^3}{3}\right]}_{-1}^2$

$=\frac{1}{3}\left[\left(2+\frac{8}{3}\right)-\left(-1+\frac{-1}{3}\right)\right]$

$=\frac{1}{3}\left[\frac{14}{3}+\frac{4}{3}\right]=\frac{1}{3}\cdot \frac{18}{3}=2$

El valor promedio de $f(x)=1+x^2$ sobre $[-1,2]$ es 2.

Ejemplo 8: Temperatura Promedio

Problema: La temperatura (en °C) en cierta ciudad $t$ horas después de las 9 a.m. estuvo modelada por la función:

$T(t)=50-\frac{1}{2}{t}^2+8t$

Encuentre la temperatura promedio durante el período desde las 9 a.m. hasta las 9 p.m. (12 horas).

Solución

El valor promedio de $T$ sobre el intervalo $[0,12]$ es:

$T_{\text{prom}}=\frac{1}{12-0}{\int }_0^{12}\left(50-\frac{1}{2}{t}^2+8t\right)dt$

$=\frac{1}{12}{\left[50t-\frac{t^3}{6}+4t^2\right]}_0^{12}$

$=\frac{1}{12}\left[\left(50\cdot 12-\frac{12^3}{6}+4\cdot 12^2\right)-0\right]$

$=\frac{1}{12}\left[600-288+576\right]=\frac{888}{12}=74\text{ °C}$

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🎯 Conceptos Clave para Repasar

Resumen de Conceptos

1. Integral indefinida: $\int f(x)dx=F(x)+C$ es una familia de funciones
2. Integral definida: ${\int }_a^{b}f(x)dx$ es un número
3. Teorema del Cambio Neto: ${\int }_a^b{F}^{\prime }(x)dx=F(b)-F(a)$ (razón de cambio → cambio total)
4. Desplazamiento: ${\int }_{t_1}^{t_2}v(t)dt=s(t_2)-s(t_1)$
5. Distancia total: ${\int }_{t_1}^{t_2}|v(t)|dt$
6. Valor promedio: $f_{\text{prom}}=\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)dx$
7. Continuidad: Siempre verificar que $f$ sea continua antes de aplicar el TFC
8. Funciones discontinuas: Si $f$ tiene discontinuidad infinita en $[a,b]$, la integral puede no existir

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🚨 Errores Comunes

Error 1: Confundir desplazamiento con distancia

• Incorrecto: Pensar que ${\int }_a^{b}v(t)dt$ siempre da la distancia recorrida
• Correcto:
  • ${\int }_a^{b}v(t)dt$ = desplazamiento (cambio neto de posición, puede ser negativo)
  • ${\int }_a^b|v(t)|dt$ = distancia total recorrida (siempre positiva)

Error 2: Aplicar TFC a funciones discontinuas

• Incorrecto: ${\int }_{-1}^2\frac{1}{x}dx=[\ln |x|{]}_{-1}^2$
• Correcto: Esta integral no existe porque $f(x)=1/x$ es discontinua en $x=0\in [-1,2]$
• Regla: Siempre verificar continuidad en todo $[a,b]$

Error 3: Olvidar el factor \frac{1}{b-a} en valor promedio

• Incorrecto: $f_{\text{prom}}={\int }_a^{b}f(x)dx$
• Correcto: $f_{\text{prom}}=\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)dx$
• Recordar: Dividir por la longitud del intervalo

Error 4: No dividir integrales cuando hay cambio de signo

• Problema: Calcular ${\int }_a^b|f(x)|dx$ cuando $f$ cambia de signo
• Incorrecto: Integrar directamente
• Correcto: Encontrar los ceros de $f$, dividir el intervalo, y calcular por partes tomando valor absoluto

Error 5: Confundir constante de integración

• En indefinidas: $\int x^{2}dx=\frac{x^3}{3}+C$ (necesita $+C$)
• En definidas: ${\int }_1^3{x}^{2}dx=\frac{x^3}{3}{|}_1^3$ (sin $+C$, se cancela)

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📝 Ejercicios Propuestos

Ejercicios de Práctica - Integrales Indefinidas

1. Calcule $\int (x^3-2x+3)dx$
2. Encuentre $\int \frac{1+x+x^2}{\sqrt{x}}dx$
3. Evalúe $\int (2\sin x-3\cos x)dx$
4. Calcule $\int \frac{{\sec }^2\theta }{1+{\tan }^2\theta }d\theta$

Ejercicios de Práctica - Teorema del Cambio Neto

5. Una partícula se mueve con velocidad $v(t)=t^2-4t+3$ m/s. Encuentre: a) El desplazamiento entre $t=0$ y $t=5$ b) La distancia total recorrida en ese intervalo

6. La razón de crecimiento de una población es $\frac{dP}{dt}=2000e^{0.05t}$ personas/año. Si la población inicial es $P(0)=50000$, ¿cuál es la población después de 10 años?

7. El costo marginal de producir $x$ unidades es $C^{\prime }(x)=5+0.1x$ dólares. Si el costo de producir 100 unidades es $800, encuentre el costo de producir 200 unidades.

Ejercicios de Práctica - Valor Promedio

8. Encuentre el valor promedio de $f(x)=x^2$ sobre $[0,3]$
9. La temperatura en un día está dada por $T(t)=10+4\sin \left(\frac{\pi t}{12}\right)$ °C, donde $t$ es el tiempo en horas desde medianoche. Encuentre la temperatura promedio durante las primeras 12 horas.
10. Halle el valor promedio de $f(x)=\frac{1}{x}$ sobre $[1,e]$

Ejercicios Conceptuales

11. Si $f$ es continua y ${\int }_0^{4}f(x)dx=10$, encuentre ${\int }_0^{2}f(2x)dx$
12. Explique por qué ${\int }_{-2}^2\frac{1}{x^4}dx$ no existe
13. Una función satisface $f^{\prime }(x)=3x^2-4x+1$ y $f(1)=5$. Encuentre $f(3)$

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📚 Referencias

Lectura Principal

• Sección 5.4: Integrales indefinidas y el teorema del cambio neto, págs. 397-403
• Ejemplos importantes: 1, 2, 4, 5, 7, 8
• Ejercicios recomendados: 1-10, 15-30, 35-40, 45-50, 55-60

Enlaces Relacionados

• 30) Teorema Fundamental del Calculo
• Teorema-del-Cambio-Neto
• Valor-Promedio
• Integrales-Indefinidas

Ejemplos Importantes del Libro

• Ejemplo 1, pág. 397: Integral indefinida con propiedades
• Ejemplo 2, pág. 398: Identidades trigonométricas
• Ejemplo 3, pág. 399: Interpretación de áreas
• Ejemplo 4, pág. 401: Desplazamiento vs distancia
• Ejemplo 6, pág. 402: Error con discontinuidades

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✅ Checklist de Estudio

Lista de Verificación

Integrales Indefinidas:

• Entiendo la diferencia entre integral definida e indefinida
• Conozco las integrales básicas de la tabla
• Puedo aplicar propiedades de linealidad
• Sé cuándo usar $+C$ y cuándo no
• Puedo verificar una integral derivando el resultado

Teorema del Cambio Neto:

• Comprendo que ${\int }_a^b{F}^{\prime }(x)dx=F(b)-F(a)$
• Puedo aplicarlo a problemas de velocidad/posición
• Distingo entre desplazamiento y distancia total
• Sé dividir integrales cuando la velocidad cambia de signo
• Puedo aplicarlo a otros contextos (población, costo, etc.)

Funciones Discontinuas:

• Reconozco cuándo una función es discontinua en un intervalo
• Sé que no puedo aplicar TFC si hay discontinuidad infinita
• Puedo identificar errores comunes con discontinuidades

Valor Promedio:

• Puedo calcular $f_{\text{prom}}=\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)dx$
• Entiendo la interpretación geométrica del valor promedio
• Conozco el Teorema del Valor Medio para Integrales
• Puedo aplicar valor promedio a problemas reales (temperatura, etc.)

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💡 Estrategias de Estudio

Cómo Dominar Esta Clase

1. Practica la distinción: Indefinida (función + C) vs Definida (número)
2. Memoriza la tabla: Crea flashcards con las integrales básicas
3. Verifica siempre: Deriva tu antiderivada para comprobar
4. Visualiza el cambio neto: Dibuja gráficas de velocidad para entender desplazamiento vs distancia
5. Ojo con discontinuidades: Antes de integrar, verifica continuidad
6. Practica valor promedio: Resuelve varios ejercicios de aplicaciones reales
7. Conecta con derivadas: Recuerda que integración es el proceso inverso de derivación

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🔄 Conexión con Otras Clases

Temas Relacionados

Prerrequisitos:

• Clase 30: Teorema Fundamental del Cálculo (TFC Partes 1 y 2)
• Clase 29: Propiedades de la Integral
• Clase 10-11: Derivada como razón de cambio y velocidad

Próximas clases:

• Clase 32: Regla de sustitución
• Clase 33: Integración por partes
• Aplicaciones de integrales: áreas, volúmenes, trabajo

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