Antiderivadas

Definicion

Antiderivada

Una funcion $F$ es una antiderivada de $f$ sobre un intervalo $I$ si:

$F^{\prime }(x)=f(x)\text{para toda }x\in I$

En Palabras

$F$ es antiderivada de $f$ si al derivar $F$ obtenemos $f$.

Teorema de la Antiderivada General

Teorema

Si $F$ es una antiderivada de $f$ sobre un intervalo $I$, entonces la antiderivada mas general de $f$ es:

$F(x)+C$

donde $C$ es una constante arbitraria.

Tabla de Antiderivadas Basicas

Formulas Fundamentales

Funcion $f(x)$	Antiderivada $F(x)$
$x^n$ $(n\ne -1)$	$\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$
$\frac{1}{x}$	$\ln \Vert x\Vert +C$
$e^x$	$e^x+C$
$\sin x$	$-\cos x+C$
$\cos x$	$\sin x+C$
${\sec }^{2}x$	$\tan x+C$

Ejemplos

Ejemplo 1: Polinomio

Encontrar antiderivada de $f(x)=3x^2-4x+5$

$F(x)=x^3-2x^2+5x+C$

Ejemplo 2: Con Condicion Inicial

Encontrar $F$ si $F^{\prime }(x)=2x+3$ y $F(0)=5$

Antiderivada general: $F(x)=x^2+3x+C$

Usar condicion: $F(0)=0+0+C=5⟹C=5$

Solucion: $F(x)=x^2+3x+5$

Aplicacion: Movimiento Rectilineo

Relacion con Fisica

• Si conocemos aceleracion $a(t)$, podemos encontrar velocidad $v(t)$ (antiderivada)
• Si conocemos velocidad $v(t)$, podemos encontrar posicion $s(t)$ (antiderivada)

$a(t)\stackrel{\text{antiderivada}}{\to }v(t)\stackrel{\text{antiderivada}}{\to }s(t)$

Clases Relacionadas

• 28) Antiderivadas
• 31) Integrales Indefinidas y Teorema del Cambio Neto

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