33) Regla de Sustitucion - Integrales Definidas

Clase 33: Regla de Sustitución - Integrales Definidas

📚 Introducción

En la clase anterior aprendimos a usar la Regla de Sustitución para calcular integrales indefinidas. Ahora extenderemos esta técnica a las integrales definidas. Cuando evaluamos una integral definida por sustitución, tenemos dos opciones importantes, y aprenderemos cuándo usar cada una.

Además, estudiaremos las propiedades de simetría de las integrales definidas, que nos permitirán simplificar significativamente el cálculo de ciertas integrales cuando la función integrando tiene propiedades especiales.

Objetivos de la Clase

• Aplicar la Regla de Sustitución a integrales definidas
• Comprender dos métodos para evaluar integrales definidas con sustitución
• Dominar el cambio de límites de integración al sustituir
• Aplicar el Teorema de Integrales de Funciones Simétricas
• Simplificar integrales usando propiedades de paridad (funciones pares e impares)

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1. Integrales Definidas con Sustitución

1.1 Dos Métodos Disponibles

Cuando se evalúa una integral definida por sustitución, pueden aplicarse dos métodos:

Método 1: Integral Indefinida Primero

Procedimiento:

1. Evaluar primero la integral indefinida
2. Luego aplicar el Teorema Fundamental del Cálculo

Ejemplo: Para evaluar ${\int }_0^4\sqrt{2x+1}dx$

Primero encontramos: $\int \sqrt{2x+1}dx=\frac{1}{3}(2x+1{)}^{3/2}+C$

Luego evaluamos: ${\left[\int \sqrt{2x+1}dx\right]}_0^4=\frac{1}{3}(2x+1{)}^{3/2}{|}_0^4$

$=\frac{1}{3}(9{)}^{3/2}-\frac{1}{3}(1{)}^{3/2}=\frac{1}{3}(27-1)=\frac{26}{3}$

Método 2: Cambiar Límites (Preferible)

El otro método, que suele ser preferible, es cambiar los límites de integración cuando se cambia la variable.

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2. Teorema: Regla de Sustitución para Integrales Definidas

2.1 Enunciado del Teorema

Teorema 6 - Regla de Sustitución para Integrales Definidas

Si $g^{\prime }$ es continua sobre $[a,b]$ y $f$ es continua sobre el rango de $u=g(x)$, entonces:

${\int }_a^{b}f(g(x))g^{\prime }(x)dx={\int }_{g(a)}^{g(b)}f(u)du$

Observación Crucial

En esta regla se afirma que, cuando se usa una sustitución en una integral definida, debe poner todo en términos de la nueva variable $u$, no sólo $x$ y $dx$, sino también los límites de integración.

Los nuevos límites de integración son los valores de $u$ que corresponden a $x=a$ y $x=b$.

2.2 Demostración del Teorema

Demostración

Sea $F$ una antiderivada de $f$. Entonces, por la Regla de la Cadena, $F(g(x))$ es una antiderivada de $f(g(x))g^{\prime }(x)$, de modo que, de acuerdo con la parte 2 del Teorema Fundamental, tenemos:

${\int }_a^{b}f(g(x))g^{\prime }(x)dx=F(g(x)){|}_a^b=F(g(b))-F(g(a))$

Pero, si se aplica el TFC una segunda vez, también resulta:

${\int }_{g(a)}^{g(b)}f(u)du=F(u){|}_{g(a)}^{g(b)}=F(g(b))-F(g(a))$

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3. Ejemplos con Cambio de Límites

3.1 Ejemplo 7: Aplicación Directa

Problema

Evalúe ${\int }_0^4\sqrt{2x+1}dx$ usando el Teorema 6.

Solución

Si usamos la sustitución a partir de la solución del ejemplo 2 de la clase anterior, se tiene:

$u=2x+1\text{y}dx=\frac{1}{2}du$

Para encontrar los nuevos límites de integración, notamos que:

• Cuando $x=0$: $u=2(0)+1=1$
• Cuando $x=4$: $u=2(4)+1=9$

Por tanto,

${\int }_0^4\sqrt{2x+1}dx={\int }_1^9\sqrt{u}\cdot \frac{1}{2}du$

$=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}{u}^{3/2}{|}_1^9$

$=\frac{1}{3}(9^{3/2}-1^{3/2})=\frac{26}{3}$

Importante

Observe que al usar el Teorema 6, no se regresa a la variable $x$ después de integrar. Sencillamente evaluamos la expresión en $u$ en los valores apropiados de $u$.

3.2 Ejemplo 8: Con Denominador

Problema

Evalúe ${\int }_1^2\frac{dx}{(3-5x{)}^2}$

Solución

Sea $u=3-5x$. Entonces $du=-5dx$, de modo que $dx=-\frac{1}{5}du$.

Cuando $x=1$: $u=-2$
Cuando $x=2$: $u=-7$

Así que:

${\int }_1^2\frac{dx}{(3-5x{)}^2}=-\frac{1}{5}{\int }_{-2}^{-7}\frac{du}{u^2}$

$=-\frac{1}{5}{\left[-\frac{1}{u}\right]}_{-2}^{-7}$

$=-\frac{1}{5}\left(\frac{1}{7}-\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{5}\left(\frac{2-7}{14}\right)$

$=-\frac{1}{5}\cdot \frac{-5}{14}=\frac{1}{14}$

3.3 Ejemplo 9: Logaritmo Natural

Problema

Calcule ${\int }_1^e\frac{\ln x}{x}dx$

Solución

Sea $u=\ln x$ porque su diferencial $du=dx/x$ se presenta en la integral.

Cuando $x=1$: $u=\ln 1=0$
Cuando $x=e$: $u=\ln e=1$

De modo que:

${\int }_1^e\frac{\ln x}{x}dx={\int }_0^{1}udu=\frac{u^2}{2}{|}_0^1=\frac{1}{2}$

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4. Simetría en Integrales Definidas

4.1 Motivación Geométrica

La integral dada en el ejemplo 8 es una abreviación para:

${\int }_1^2\frac{dx}{(3-5x{)}^2}$

Puesto que la función $f(x)=(\ln x)/x$ en el ejemplo 9 es positiva para $x>1$, la integral representa el área de la región sombreada en la figura.

4.2 Teorema de Integrales de Funciones Simétricas

En el teorema siguiente se usa la regla de sustitución para las integrales definidas, con el fin de simplificar el cálculo de integrales de funciones que poseen propiedades de simetría.

Teorema 7 - Integrales de Funciones Simétricas

Suponga que $f$ es continua sobre $[-a,a]$.

a) Si $f$ es par $[f(-x)=f(x)]$, entonces:

${\int }_{-a}^{a}f(x)dx=2{\int }_0^{a}f(x)dx$

b) Si $f$ es impar $[f(-x)=-f(x)]$, entonces:

${\int }_{-a}^{a}f(x)dx=0$

4.3 Demostración

Demostración

Separamos la integral en dos:

${\int }_{-a}^{a}f(x)dx={\int }_{-a}^{0}f(x)dx+{\int }_0^{a}f(x)dx$

En la primera integral de la extrema derecha hacemos la sustitución $u=-x$. Entonces $du=-dx$, y cuando $x=-a$, $u=a$. Por consiguiente,

${\int }_{-a}^{0}f(x)dx=-{\int }_a^{0}f(-u)(-du)={\int }_0^{a}f(-u)du$

con lo que la ecuación resulta:

${\int }_{-a}^{a}f(x)dx={\int }_0^{a}f(-u)du+{\int }_0^{a}f(x)dx$

**a) Si $f$ es par, entonces $f(-u)=f(u)$, así que la ecuación da:

${\int }_{-a}^{a}f(x)dx={\int }_0^{a}f(u)du+{\int }_0^{a}f(x)dx=2{\int }_0^{a}f(x)dx$

**b) Si $f$ es impar, entonces $f(-u)=-f(u)$, por lo que la ecuación da:

${\int }_{-a}^{a}f(x)dx=-{\int }_0^{a}f(u)du+{\int }_0^{a}f(x)dx=0$

4.4 Interpretación Geométrica

La figura ilustra el teorema 7. Para el caso en que $f$ es positiva y par, en el inciso a) se hace ver que el área bajo $y=f(x)$ desde $x=-a$ hasta $x=a$ es el doble del área desde $x=0$ hasta $x=a$, debido a la simetría.

Recuerde que una integral ${\int }_a^{b}f(x)dx$ puede expresarse como el área arriba del eje $x$ y bajo $y=f(x)$ menos el área bajo el eje $x$ y arriba de la curva. Por esto, en el inciso b) se evidencia que el área es 0 porque las áreas se cancelan.

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5. Ejemplos con Simetría

5.1 Ejemplo 10: Función Par

Problema

Dado que $f(x)=x^6+1$ satisface $f(-x)=f(x)$, es par y, por consiguiente:

${\int }_{-2}^2(x^6+1)dx=2{\int }_0^2(x^6+1)dx$

Solución

$=2{\left[\frac{1}{7}{x}^7+x\right]}_0^2=2\left(\frac{128}{7}+2\right)=\frac{284}{7}$

5.2 Ejemplo 11: Función Impar

Problema

Dado que $f(x)=(\tan x)/(1+x^2+x^4)$ satisface $f(-x)=-f(x)$, es impar y, entonces:

${\int }_{-1}^1\frac{\tan x}{1+x^2+x^4}dx=0$

Sin Necesidad de Cálculo

No necesitamos calcular la integral explícitamente; el teorema nos dice directamente que el resultado es 0 por simetría.

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🎯 Conceptos Clave para Repasar

Resumen de Conceptos

1. Dos métodos para integrales definidas con sustitución:
   • Calcular indefinida primero, luego evaluar
   • Cambiar límites de integración (preferible)
2. Cambio de límites: Si $u=g(x)$, nuevos límites son $u(a)$ y $u(b)$
3. No regresar a $x$: Al cambiar límites, evaluar directamente en $u$
4. Función par: $f(-x)=f(x)$ implica ${\int }_{-a}^{a}f(x)dx=2{\int }_0^{a}f(x)dx$
5. Función impar: $f(-x)=-f(x)$ implica ${\int }_{-a}^{a}f(x)dx=0$
6. Simetría: Verificar paridad antes de integrar puede ahorrar mucho trabajo

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🚨 Errores Comunes

Error 1: No cambiar los límites de integración

• Incorrecto: Cambiar variable pero mantener límites en términos de $x$
• Correcto: Si $u=2x+1$ y $x$ va de 0 a 4, entonces $u$ va de 1 a 9

Error 2: Cambiar límites pero regresar a x

• Incorrecto: Cambiar límites a $u$ pero luego expresar la antiderivada en $x$
• Correcto: Si cambiaste límites, evalúa directamente en $u$

Error 3: Confundir el orden de los límites

• Problema: Si $u=3-5x$, cuando $x$ aumenta, $u$ disminuye
• Solución: Calcular cuidadosamente $u(a)$ y $u(b)$, el orden puede invertirse

Error 4: No verificar simetría antes de integrar

• Pérdida de tiempo: Calcular ${\int }_{-2}^2{x}^3\sin xdx$ sin notar que es 0
• Eficiente: Reconocer que la función es impar y concluir que la integral es 0

Error 5: Mal aplicar el teorema de simetría

• Incorrecto: Aplicar ${\int }_{-a}^{a}f(x)dx=2{\int }_0^{a}f(x)dx$ a funciones impares
• Correcto: Este resultado solo aplica a funciones pares

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📝 Ejercicios Propuestos

Ejercicios Nivel Básico (1-6)

Evalúe cada una de las siguientes integrales efectuando la sustitución dada:

1. ${\int }_0^1{e}^{-x}dx$, $u=-x$
2. ${\int }_0^1{x}^3(1+x^4{)}^{3}dx$, $u=1+x^4$
3. ${\int }_0^1{x}^2\sqrt{x^3+1}dx$, $u=x^3+1$
4. ${\int }_0^1\frac{dt}{(1-6t{)}^3}$, $u=1-6t$
5. ${\int }_0^{\pi /2}{\cos }^3\theta \sin \theta d\theta$, $u=\cos \theta$
6. ${\int }_0^{\pi /4}\frac{{\sec }^2(1/x)}{x^2}dx$, $u=1/x$

Ejercicios Nivel Intermedio (7-22)

Evalúe cada una de las siguientes integrales indefinidas:

7. ${\int }_1^{2}x\sin (x^2)dx$
8. ${\int }_0^1{x}^2{e}^{x^3}dx$
9. ${\int }_0^2\frac{dx}{(3x+5{)}^2}$
10. ${\int }_0^a(3t+2{)}^{2.4}dt$
11. ${\int }_0^1(x+1)\sqrt{2x+x^2}dx$
12. ${\int }_0^{\pi /4}{\sec }^{2}2\theta d\theta$
13. ${\int }_1^2\frac{dx}{5-3x}$
14. ${\int }_0^{1}u\sqrt{1-u^2}du$
15. ${\int }_0^1\sin \pi tdt$
16. ${\int }_0^1{e}^x\cos (e^x)dx$
17. ${\int }_{\pi /6}^{\pi /3}\frac{e^u}{(1-e^u{)}^2}du$
18. ${\int }_0^1\frac{\sin x}{x}dx$
19. ${\int }_0^{\pi /2}\frac{a+b{x}^2}{3ax+b{x}^3}dx$
20. ${\int }_1^2\frac{z}{z+1}dz$
21. ${\int }_0^1\frac{(\ln x{)}^2}{x}dx$
22. ${\int }_0^{\pi /2}{\cos }^4\theta \sin \theta d\theta$

Ejercicios con Simetría (23-24)

23. ${\int }_0^1{\sec }^2\theta {\tan }^3\theta d\theta$
24. ${\int }_{-\pi /4}^{\pi /4}x\sin (1+x^{3/2})dx$

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📚 Referencias

Lectura Principal

• Sección 5.5: Regla de sustitución, págs. 411-413

Enlaces Relacionados

• 32) Regla de Sustitucion - Integrales Indefinidas - Tema previo
• 30) Teorema Fundamental del Calculo - Base teórica
• 34) Integracion por Partes - Próxima técnica
• Teorema-Fundamental-del-Calculo
• Funciones-Pares-Impares

Conexión con Temas Futuros

Integración y Simetría

Las propiedades de simetría que estudiamos aquí son extremadamente útiles no solo para integrales definidas simples, sino también para problemas más complejos como el cálculo de áreas, volúmenes, y en aplicaciones de la física donde las simetrías naturales de los problemas pueden simplificar enormemente los cálculos.

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Sugerencia de Estudio

Cuando enfrentes una integral definida con sustitución, siempre considera cambiar los límites de integración en lugar de regresar a la variable original: es más directo y menos propenso a errores. Además, antes de comenzar cualquier cálculo, verifica si la función tiene propiedades de simetría (par o impar) sobre un intervalo simétrico $[-a,a]$. Esta verificación toma solo unos segundos pero puede ahorrarte minutos de cálculo innecesario.

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✅ Checklist de Estudio

Lista de Verificación

• Comprendo los dos métodos para evaluar integrales definidas con sustitución
• Sé cómo cambiar los límites de integración correctamente
• Puedo calcular los nuevos límites $u(a)$ y $u(b)$ cuando hago una sustitución
• Entiendo que al cambiar límites NO debo regresar a la variable original
• Sé identificar funciones pares: $f(-x)=f(x)$
• Sé identificar funciones impares: $f(-x)=-f(x)$
• Puedo aplicar el Teorema 7 para simplificar integrales sobre $[-a,a]$
• Reconozco cuándo una integral es 0 por simetría (función impar)
• Puedo simplificar integrales de funciones pares usando $2{\int }_0^{a}f(x)dx$
• Siempre verifico simetría antes de empezar a integrar

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