34) Integracion por Partes

Clase 34: Integración por Partes

📚 Introducción

La integración por partes es una técnica fundamental que surge directamente de la regla del producto para derivadas. Así como la regla de sustitución corresponde a la regla de la cadena “al revés”, la integración por partes corresponde a la regla del producto “al revés”.

Esta técnica es especialmente útil cuando el integrando es el producto de dos funciones de diferentes tipos (algebraicas, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas), donde la sustitución simple no funciona.

Objetivos de la Clase

• Comprender el origen de la fórmula de integración por partes desde la regla del producto
• Dominar la técnica de integración por partes para integrales indefinidas
• Aplicar integración por partes a integrales definidas
• Desarrollar criterios para elegir $u$ y $dv$ apropiadamente
• Resolver integrales que requieren múltiples aplicaciones de la técnica

---

1. Derivación de la Fórmula

1.1 Motivación desde la Regla del Producto

Recordemos que la regla del producto para derivadas establece que si $f$ y $g$ son funciones derivables, entonces:

$\frac{d}{dx}[f(x)g(x)]=f(x)g^{\prime }(x)+g(x)f^{\prime }(x)$

1.2 Conversión a Integral

Al integrar ambos lados de la ecuación anterior, obtenemos:

$\int [f(x)g^{\prime }(x)+g(x)f^{\prime }(x)]dx=f(x)g(x)$

Lo cual se puede escribir como:

$\int f(x)g^{\prime }(x)dx+\int g(x)f^{\prime }(x)dx=f(x)g(x)$

Reordenando términos:

$\int f(x)g^{\prime }(x)dx=f(x)g(x)-\int g(x)f^{\prime }(x)dx$

1.3 Notación Estándar

Fórmula de Integración por Partes (Forma 1)

$\int f(x)g^{\prime }(x)dx=f(x)g(x)-\int g(x)f^{\prime }(x)dx$

Es más común usar la siguiente notación: sea $u=f(x)$ y $v=g(x)$. Entonces $du=f^{\prime }(x)dx$ y $dv=g^{\prime }(x)dx$, y la fórmula se convierte en:

Fórmula de Integración por Partes (Forma 2)

$\int udv=uv-\int vdu$

Esta es la forma que usaremos típicamente.

---

2. Estrategia para Elegir $u$ y $dv$

2.1 El Patrón General

Al usar integración por partes, debemos:

1. Identificar $u$ y $dv$ del integrando
2. Calcular $du$ (derivando $u$) y $v$ (integrando $dv$)
3. Aplicar la fórmula: $\int udv=uv-\int vdu$

Regla ILATE para elegir u

Un criterio útil es el acrónimo ILATE (o LIATE en inglés):

• I: Funciones Inversas (arcsen, arctan, ln, etc.)
• L: Funciones Logarítmicas (ln x, log x)
• A: Funciones Algebraicas (x, x², x³, etc.)
• T: Funciones Trigonométricas (sen x, cos x, tan x, etc.)
• E: Funciones Exponenciales (e^x, a^x)

Se elige como $u$ la función que aparece primero en esta lista.

2.2 Objetivos al Elegir

• $u$ debe simplificarse al derivarlo (o al menos no complicarse)
• $dv$ debe ser fácil de integrar
• La integral resultante $\int vdu$ debe ser más simple que la original

---

3. Ejemplos Básicos

3.1 Ejemplo 1: Producto de Polinomio y Exponencial

Problema

Encuentre $\int x\sin xdx$

Solución

Paso 1: Identificar $u$ y $dv$

Usando ILATE: Algebraica (x) viene antes que Trigonométrica (sin x) $u=x\text{y}dv=\sin xdx$

Paso 2: Calcular $du$ y $v$ $du=dx\text{y}v=-\cos x$

Paso 3: Aplicar la fórmula $\int x\sin xdx=x(-\cos x)-\int (-\cos x)dx$ $=-x\cos x+\int \cos xdx$ $=-x\cos x+\sin x+C$

Verificación

Podemos verificar derivando: $\frac{d}{dx}[-x\cos x+\sin x]=-\cos x+x\sin x+\cos x=x\sin x✓$

3.2 Ejemplo 2: Función Logarítmica

Problema

Encuentre $\int \ln xdx$

Solución

Observación clave: Aunque parece que no hay producto, podemos escribir: $\int \ln xdx=\int (\ln x)\cdot 1dx$

Paso 1: Identificar $u$ y $dv$

Según ILATE, Logarítmica viene antes que Algebraica (constante): $u=\ln x\text{y}dv=dx$

Paso 2: Calcular $du$ y $v$ $du=\frac{1}{x}dx\text{y}v=x$

Paso 3: Aplicar la fórmula $\int \ln xdx=x\ln x-\int x\cdot \frac{1}{x}dx$ $=x\ln x-\int 1dx$ $=x\ln x-x+C$

3.3 Ejemplo 3: Exponencial por Trigonométrica

Problema

Encuentre $\int e^x\sin xdx$

Solución

Este es un caso especial donde necesitamos aplicar integración por partes dos veces.

Primera aplicación: $u=\sin x,dv=e^{x}dx$ $du=\cos xdx,v=e^x$

$\int e^x\sin xdx=e^x\sin x-\int e^x\cos xdx$

Segunda aplicación (a la integral resultante): $u=\cos x,dv=e^{x}dx$ $du=-\sin xdx,v=e^x$

$\int e^x\cos xdx=e^x\cos x-\int e^x(-\sin x)dx=e^x\cos x+\int e^x\sin xdx$

Sustituyendo en la primera ecuación: $\int e^x\sin xdx=e^x\sin x-\left[e^x\cos x+\int e^x\sin xdx\right]$ $\int e^x\sin xdx=e^x\sin x-e^x\cos x-\int e^x\sin xdx$

Resolviendo para la integral: $2\int e^x\sin xdx=e^x\sin x-e^x\cos x$ $\int e^x\sin xdx=\frac{1}{2}{e}^x(\sin x-\cos x)+C$

---

4. Integrales que Requieren Múltiples Aplicaciones

4.1 Ejemplo 4: Potencias Altas

Problema

Calcule $\int x^2{e}^{x}dx$

Solución

Primera aplicación: $u=x^2,dv=e^{x}dx$ $du=2xdx,v=e^x$

$\int x^2{e}^{x}dx=x^2{e}^x-\int 2x{e}^{x}dx=x^2{e}^x-2\int x{e}^{x}dx$

Segunda aplicación: $u=x,dv=e^{x}dx$ $du=dx,v=e^x$

$\int x{e}^{x}dx=x{e}^x-\int e^{x}dx=x{e}^x-e^x$

Resultado final: $\int x^2{e}^{x}dx=x^2{e}^x-2(x{e}^x-e^x)+C$ $=x^2{e}^x-2x{e}^x+2e^x+C$ $=e^x(x^2-2x+2)+C$

---

5. Integración por Partes para Integrales Definidas

Para integrales definidas, la fórmula se convierte en:

Fórmula para Integrales Definidas

${\int }_a^{b}udv=[uv{]}_a^b-{\int }_a^{b}vdu$

5.1 Ejemplo 5: Integral Definida

Problema

Calcule ${\int }_0^1{\tan }^{-1}xdx$

Solución

$u={\tan }^{-1}x,dv=dx$ $du=\frac{1}{1+x^2}dx,v=x$

${\int }_0^1{\tan }^{-1}xdx={\left[x{\tan }^{-1}x\right]}_0^1-{\int }_0^1\frac{x}{1+x^2}dx$

Para la segunda integral, usamos sustitución $u=1+x^2$: ${\int }_0^1\frac{x}{1+x^2}dx=\frac{1}{2}{\left[\ln (1+x^2)\right]}_0^1=\frac{1}{2}\ln 2$

Resultado: ${\int }_0^1{\tan }^{-1}xdx=1\cdot \frac{\pi }{4}-0-\frac{1}{2}\ln 2=\frac{\pi }{4}-\frac{\ln 2}{2}$

---

🎯 Conceptos Clave para Repasar

Resumen de Conceptos

1. Fórmula básica: $\int udv=uv-\int vdu$
2. Criterio ILATE: Para elegir $u$ (Inversa, Logarítmica, Algebraica, Trigonométrica, Exponencial)
3. Objetivo: La nueva integral $\int vdu$ debe ser más simple que la original
4. Casos especiales: Algunas integrales requieren aplicar la técnica dos veces
5. Integrales “circulares”: Como $\int e^x\sin xdx$, donde la integral original reaparece
6. Para integrales definidas: ${\int }_a^{b}udv=[uv{]}_a^b-{\int }_a^{b}vdu$

---

🚨 Errores Comunes

Error 1: Elegir u y dv incorrectamente

• Incorrecto: Para $\int x{e}^{x}dx$, elegir $u=e^x$ y $dv=xdx$
• Correcto: Elegir $u=x$ y $dv=e^{x}dx$ (ILATE: Algebraica antes que Exponencial)
• Por qué: Con la elección incorrecta, obtendríamos $\int \frac{x^2}{2}{e}^{x}dx$, que es más complicado

Error 2: Olvidar el signo negativo

• Problema: La fórmula tiene un signo menos: $uv-\int vdu$
• Solución: Prestar atención al signo al escribir la integral resultante

Error 3: No simplificar v al integrarlo

• Incorrecto: Olvidar agregar la constante al calcular $v$ desde $dv$
• Correcto: No agregamos constante en $v$ porque aparecerá en el resultado final
• Ejemplo: Si $dv=\sin xdx$, entonces $v=-\cos x$ (no $v=-\cos x+C$)

Error 4: No reconocer cuándo aplicar la técnica dos veces

• Problema: Detener prematuramente en integrales como $\int x^2{e}^{x}dx$
• Solución: Continuar aplicando integración por partes hasta que la integral sea elemental

Error 5: No resolver para la integral en casos circulares

• Incorrecto: En $\int e^x\sin xdx$, no reconocer que la integral reaparece
• Correcto: Sumar la integral original a ambos lados y despejar

---

📝 Ejercicios Propuestos

Ejercicios Nivel Básico (1-6)

Calcule las siguientes integrales usando integración por partes:

1. $\int x{e}^{x}dx$
2. $\int x\cos xdx$
3. $\int \theta \sin \theta d\theta$
4. $\int (x+1)e^{x}dx$
5. $\int t{\sec }^{2}tdt$
6. $\int x\ln xdx$ (Sugerencia: $u=\ln x$)

Ejercicios Nivel Intermedio (7-18)

7. $\int e^{-\theta }\sin 3\theta d\theta$
8. $\int \arctan xdx$
9. $\int \ln (2x+1)dx$
10. $\int x^2\sin xdx$
11. $\int e^{2x}\cos 5xdx$
12. $\int {\sec }^{3}xdx$ (Sugerencia: $u=\sec x$, $dv={\sec }^{2}xdx$)
13. ${\int }_0^{1}x{e}^{-x}dx$
14. ${\int }_0^{\pi /2}x\cos 2xdx$
15. ${\int }_1^2\frac{\ln x}{x^2}dx$
16. ${\int }_0^{1}x\arcsin xdx$
17. ${\int }_0^1(x^2+1)e^{-x}dx$
18. ${\int }_1^2\frac{(\ln x{)}^2}{x}dx$

Ejercicios Nivel Avanzado (19-24)

19. Demuestre que $\int x^n{e}^{x}dx=x^n{e}^x-n\int x^{n-1}{e}^{x}dx$ (fórmula de reducción)
20. Use integración por partes dos veces para calcular $\int x^2\cos xdx$
21. Calcule $\int e^x\sin x\cos xdx$ (Sugerencia: use identidad $\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x$)
22. Encuentre $\int \sin (\ln x)dx$ (Sugerencia: $u=\sin (\ln x)$)
23. Calcule el área bajo $y=x{e}^{-x}$ desde $x=0$ hasta $x=1$
24. Demuestre que ${\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{n}xdx=\frac{n-1}{n}{\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{n-2}xdx$

---

📚 Referencias

Lectura Principal

• Sección 7.1: Integración por partes, págs. 464-468

Enlaces Relacionados

• 32) Regla de Sustitucion - Integrales Indefinidas - Técnica previa
• 33) Regla de Sustitucion - Integrales Definidas - Técnica previa con límites
• 35) Integrales Trigonometricas - Próxima clase
• 28) Antiderivadas - Conceptos fundamentales

Conexión con Temas Futuros

Anticipando Integrales Trigonométricas

La integración por partes será fundamental en la próxima clase cuando trabajemos con integrales trigonométricas. Muchas de estas integrales requieren una combinación de sustitución y partes.

---

Sugerencia de Estudio

La clave para dominar la integración por partes es la práctica. Trabaja muchos ejemplos y desarrolla intuición para elegir $u$ y $dv$. El criterio ILATE es una guía, pero la experiencia te ayudará a reconocer patrones rápidamente. Presta especial atención a los casos donde la técnica debe aplicarse dos veces o donde la integral “regresa a sí misma”.

---

✅ Checklist de Estudio

Lista de Verificación

• Puedo derivar la fórmula de integración por partes desde la regla del producto
• Entiendo y puedo aplicar el criterio ILATE para elegir $u$
• Sé calcular $du$ derivando $u$ y $v$ integrando $dv$
• Puedo resolver integrales básicas como $\int x{e}^{x}dx$ o $\int x\sin xdx$
• Entiendo cuándo aplicar la técnica dos veces (como en $\int x^2{e}^{x}dx$)
• Puedo resolver integrales “circulares” como $\int e^x\sin xdx$
• Sé aplicar integración por partes a integrales definidas con límites
• Puedo identificar cuándo usar integración por partes vs. sustitución
• Verifico mis respuestas derivando el resultado
• Entiendo que no agregamos constante al calcular $v$ de $dv$

---

🏷️ Tags

calculo integrales integracion-por-partes tecnicas-integracion regla-producto clase-34

---

Navegación

• ⬅️ 33) Regla de Sustitución - Integrales Definidas
• ➡️ 35) Integrales Trigonométricas