39) Estrategias para la Integracion

Clase 39: Estrategias para la Integración

📚 Introducción

Hasta ahora hemos aprendido varias técnicas de integración: sustitución, integración por partes, integrales trigonométricas, sustitución trigonométrica y fracciones parciales. Sin embargo, al enfrentarse a una integral específica, la pregunta clave es: ¿qué técnica debo usar?

No existe una regla única y precisa que se aplique en cada situación. La elección de la técnica requiere experiencia, práctica y a menudo un poco de experimentación. Además, algunas integrales pueden resolverse por más de un camino, mientras que otras pueden no tener solución en términos de funciones elementales.

En esta clase desarrollaremos un enfoque estratégico para atacar problemas de integración, identificando patrones y señales que nos guían hacia la técnica más apropiada.

Objetivos de la Clase

• Desarrollar criterios para seleccionar la técnica de integración apropiada
• Practicar el reconocimiento de patrones en integrales
• Combinar múltiples técnicas en problemas complejos
• Entender cuándo simplificar antes de integrar
• Reconocer cuándo una integral no puede expresarse en términos elementales

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1. Estrategia General de Cuatro Pasos

1.1 Proceso de Decisión

Estrategia de Cuatro Pasos

1. Si es posible, simplifique el integrando

• Expansión algebraica o manipulaciones
• Identidades trigonométricas
• Racionalización de sustitución

2. Busque una sustitución obvia

• Intente encontrar alguna función $u=g(x)$ en el integrando cuya diferencial $du=g^{\prime }(x)dx$ también esté presente

3. Clasifique el integrando según su forma

• Funciones trigonométricas: Use las sustituciones recomendadas en la Sección 7.2
• Funciones racionales: Use fracciones parciales
• Integrales con $\sqrt{a^2-x^2}$, $\sqrt{a^2+x^2}$, o $\sqrt{x^2-a^2}$: Use sustitución trigonométrica
• Integrales de un producto: Use integración por partes

4. Intente una vez más

• Manipule el integrando: complete cuadrados, racionalice, use identidades
• Relacione con problemas previos
• Use varios métodos: una integral puede requerir 2 o más técnicas
• Consulte tabla de integrales (pero intente entender cómo llegó ahí)

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2. Si es Posible, Simplifique el Integrando

2.1 Ejemplo 1: Simplificación Algebraica

Problema

Evalúe $\int \frac{x+4}{x-1}dx$

Solución - Método 1: Sustitución Obvia

Paso 1: Podríamos intentar $u=x-1$, entonces $du=dx$ y $x=u+1$:

$\int \frac{x+4}{x-1}dx=\int \frac{(u+1)+4}{u}du=\int \frac{u+5}{u}du$ $=\int \left(1+\frac{5}{u}\right)du=u+5\ln |u|+C$ $=(x-1)+5\ln |x-1|+C=x+5\ln |x-1|+K$

Solución - Método 2: División Larga (Más Simple)

Paso 1: Como el grado del numerador no es menor que el del denominador, dividimos:

$\frac{x+4}{x-1}=1+\frac{5}{x-1}$

Paso 2: Integramos directamente:

$\int \frac{x+4}{x-1}dx=\int \left(1+\frac{5}{x-1}\right)dx$ $=x+5\ln |x-1|+C$

Comparación de Métodos

Ambos métodos funcionan, pero la división larga hace el problema trivial y es más eficiente.

2.2 Ejemplo 2: Identidades Trigonométricas

Problema

Evalúe $\int \tan \theta d\theta$

Solución

Paso 1: Reescribir usando identidad básica: $\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }$

Paso 2: Observar que el numerador es (casi) la derivada del denominador:

$\int \tan \theta d\theta =\int \frac{\sin \theta }{\cos \theta }d\theta$

Si $u=\cos \theta$, entonces $du=-\sin \theta d\theta$:

$=-\int \frac{du}{u}=-\ln |u|+C=-\ln |\cos \theta |+C$

Resultado alternativo: $=\ln |\sec \theta |+C$

2.3 Ejemplo 3: Manipulación Algebraica para Crear Sustitución

Problema

Evalúe $\int \frac{dx}{1-\cos x}$

Solución

Paso 1: Multiplicar numerador y denominador por $1+\cos x$:

$\int \frac{dx}{1-\cos x}=\int \frac{1+\cos x}{(1-\cos x)(1+\cos x)}dx$ $=\int \frac{1+\cos x}{1-{\cos }^{2}x}dx=\int \frac{1+\cos x}{{\sin }^{2}x}dx$

Paso 2: Separar en dos integrales:

$=\int \frac{1}{{\sin }^{2}x}dx+\int \frac{\cos x}{{\sin }^{2}x}dx$ $=\int {\csc }^{2}xdx+\int \frac{\cos x}{{\sin }^{2}x}dx$

Primera integral: Conocida: $\int {\csc }^{2}xdx=-\cot x$

Segunda integral: Sustitución $u=\sin x$, $du=\cos xdx$: $\int \frac{\cos x}{{\sin }^{2}x}dx=\int \frac{du}{u^2}=-\frac{1}{u}=-\frac{1}{\sin x}=-\csc x$

Resultado final: $=-\cot x-\csc x+C$

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3. Busque una Sustitución Obvia

3.1 Criterios para Identificar Sustituciones

Señales de Sustitución

Una sustitución $u=g(x)$ es apropiada cuando:

1. $g(x)$ aparece en el integrando
2. $g^{\prime }(x)$ también aparece (o puede crearse con una constante)
3. La sustitución simplifica el integrando

3.2 Ejemplo 4: Sustitución y Luego Integración por Partes

Problema

Encuentre $\int x\ln xdx$

Solución - Error Común: Sustitución Incorrecta

Intento fallido: Si hacemos $u=\ln x$, entonces $du=\frac{dx}{x}$: $\int x\ln xdx=\int x\cdot u\cdot xdu$

¡Esto complica más el problema!

Solución Correcta: Integración por Partes

Para este producto, usamos integración por partes con:

• $u=\ln x$ (se simplifica al derivar)
• $dv=xdx$

Entonces:

• $du=\frac{1}{x}dx$
• $v=\frac{x^2}{2}$

$\int x\ln xdx=\frac{x^2}{2}\ln x-\int \frac{x^2}{2}\cdot \frac{1}{x}dx$ $=\frac{x^2}{2}\ln x-\int \frac{x}{2}dx$ $=\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{x^2}{4}+C$

3.3 Ejemplo 5: Sustitución Seguida de Otra Técnica

Problema

Evalúe $\int e^{\sqrt{x}}dx$

Solución

Paso 1: Sustitución obvia - $u=\sqrt{x}$

Entonces $x=u^2$ y $dx=2udu$:

$\int e^{\sqrt{x}}dx=\int e^u\cdot 2udu=2\int u{e}^{u}du$

Paso 2: Ahora tenemos un producto - usar integración por partes

Sea $w=u$, $dz=e^{u}du$, entonces $dw=du$, $z=e^u$:

$2\int u{e}^{u}du=2(u{e}^u-\int e^{u}du)$ $=2u{e}^u-2e^u+C$

Paso 3: Regresar a $x$: $=2\sqrt{x}{e}^{\sqrt{x}}-2e^{\sqrt{x}}+C=2e^{\sqrt{x}}(\sqrt{x}-1)+C$

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4. Clasifique el Integrando Según su Forma

4.1 Tabla de Clasificación

Tipos de Integrales y Técnicas

Forma del Integrando	Técnica Recomendada	Sección
Potencias de $\sin x$ y $\cos x$	Sustituciones trigonométricas	7.2
Potencias de $\tan x$ y $\sec x$	Sustituciones trigonométricas	7.2
$\frac{P(x)}{Q(x)}$ (función racional)	Fracciones parciales	7.4
$\sqrt{a^2-x^2}$, $\sqrt{a^2+x^2}$, $\sqrt{x^2-a^2}$	Sustitución trigonométrica	7.3
Productos de diferentes tipos	Integración por partes	7.1
$f(g(x))g^{\prime }(x)$	Sustitución simple	5.5
$\sqrt[n]{ax+b}$	Racionalización: $u=\sqrt[n]{ax+b}$	7.5

4.2 Ejemplo 6: Múltiples Técnicas

Problema

Evalúe $\int \frac{{\tan }^{3}x}{{\cos }^{3}x}dx$

Solución

Paso 1: Simplificar primero $\frac{{\tan }^{3}x}{{\cos }^{3}x}=\frac{{\sin }^{3}x}{{\cos }^{3}x}\cdot \frac{1}{{\cos }^{3}x}=\frac{{\sin }^{3}x}{{\cos }^{6}x}={\tan }^{3}x{\sec }^{3}x$

Paso 2: Reescribir estratégicamente ${\tan }^{3}x{\sec }^{3}x={\tan }^{2}x{\sec }^{2}x\cdot \tan x\sec x$ $=({\sec }^{2}x-1){\sec }^{2}x\cdot \tan x\sec x$

Paso 3: Sustitución $u=\sec x$, $du=\sec x\tan xdx$ $\int {\tan }^{3}x{\sec }^{3}xdx=\int (u^2-1)u^{2}du$ $=\int (u^4-u^2)du=\frac{u^5}{5}-\frac{u^3}{3}+C$ $=\frac{{\sec }^{5}x}{5}-\frac{{\sec }^{3}x}{3}+C$

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5. Intente una Vez Más

5.1 Ejemplo 7: Racionalización de Sustitución

Problema

Encuentre $\int \frac{\sqrt{x+4}}{x}dx$

Solución

Paso 1: Racionalizar con sustitución $u=\sqrt{x+4}$

Entonces $u^2=x+4$, así que $x=u^2-4$ y $dx=2udu$:

$\int \frac{\sqrt{x+4}}{x}dx=\int \frac{u}{u^2-4}\cdot 2udu=2\int \frac{u^2}{u^2-4}du$

Paso 2: División larga (grados iguales) $\frac{u^2}{u^2-4}=1+\frac{4}{u^2-4}$

Paso 3: Fracciones parciales para $\frac{4}{u^2-4}$ $\frac{4}{u^2-4}=\frac{4}{(u-2)(u+2)}=\frac{A}{u-2}+\frac{B}{u+2}$

Resolviendo: $A=1$, $B=-1$

Paso 4: Integrar $2\int \left(1+\frac{1}{u-2}-\frac{1}{u+2}\right)du$ $=2u+2\ln |u-2|-2\ln |u+2|+C$ $=2\sqrt{x+4}+2\ln \left|\frac{\sqrt{x+4}-2}{\sqrt{x+4}+2}\right|+C$

5.2 Ejemplo 8: Completación de Cuadrados

Problema

Evalúe $\int \frac{x^2+1}{x(x^2+2x+2)}dx$

Solución

Paso 1: Verificar si la cuadrática es irreducible $x^2+2x+2$: discriminante $=4-8=-4<0$ ✓ Irreducible

Paso 2: Fracciones parciales $\frac{x^2+1}{x(x^2+2x+2)}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2+2x+2}$

Multiplicando por $x(x^2+2x+2)$: $x^2+1=A(x^2+2x+2)+(Bx+C)x$

Resolviendo: $A=\frac{1}{2}$, $B=\frac{1}{2}$, $C=-1$

Paso 3: Integrar el primer término $\int \frac{1/2}{x}dx=\frac{1}{2}\ln |x|$

Paso 4: Completar cuadrado para el segundo término $x^2+2x+2=(x+1{)}^2+1$

$\int \frac{\frac{1}{2}x-1}{x^2+2x+2}dx=\int \frac{\frac{1}{2}x-1}{(x+1{)}^2+1}dx$

Sustitución $u=x+1$, $x=u-1$, $dx=du$: $=\int \frac{\frac{1}{2}(u-1)-1}{u^2+1}du=\int \frac{\frac{1}{2}u-\frac{3}{2}}{u^2+1}du$ $=\frac{1}{4}\ln (u^2+1)-\frac{3}{2}\arctan (u)+C$

Resultado final: $=\frac{1}{2}\ln |x|+\frac{1}{4}\ln (x^2+2x+2)-\frac{3}{2}\arctan (x+1)+C$

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6. ¿Pueden Integrarse Todas las Funciones Continuas?

6.1 Funciones Elementales vs No Elementales

Teorema Fundamental

Toda función continua tiene una antiderivada. Sin embargo, no todas las antiderivadas pueden expresarse en términos de funciones elementales.

Definición: Funciones Elementales

Las funciones elementales son:

• Polinomios
• Funciones racionales
• Potencias ($x^n$)
• Exponenciales ($a^x$)
• Logarítmicas (${\log }_{a}x$)
• Trigonométricas (sin, cos, tan, etc.) y sus inversas
• Todas las funciones que pueden obtenerse por las cinco operaciones: suma, resta, multiplicación, división y composición

6.2 Integrales No Elementales Famosas

Ejemplos de Integrales Sin Forma Cerrada

Las siguientes integrales NO pueden expresarse en términos de funciones elementales:

1. $\int e^{x^2}dx$ (función error de Gauss)
2. $\int \frac{e^x}{x}dx$ (integral exponencial)
3. $\int \frac{\sin x}{x}dx$ (seno integral)
4. $\int \cos (x^2)dx$ (integral de Fresnel)
5. $\int \frac{1}{\ln x}dx$ (logaritmo integral)
6. $\int \sqrt{x^3+1}dx$

¿Qué Hacemos?

Cuando encontramos estas integrales:

• Se definen como nuevas funciones (ej: $\text{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}{\int }_0^x{e}^{-t^2}dt$)
• Se aproximan numéricamente
• Se expresan como series infinitas

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7. Tabla de Estrategias Resumida

7.1 Guía Rápida de Decisión

Diagrama de Flujo Mental

¿Hay un producto de diferentes tipos de funciones?
    → SÍ: Integración por partes (regla ILATE)
    → NO: Continuar

¿Es una función racional P(x)/Q(x)?
    → SÍ: División larga (si impropia) → Fracciones parciales
    → NO: Continuar

¿Hay radicales √(a² ± x²) o √(x² - a²)?
    → SÍ: Sustitución trigonométrica
    → NO: Continuar

¿Es trigonométrica con potencias?
    → SÍ: Estrategias de Sección 7.2
    → NO: Continuar

¿Se ve f(g(x))·g'(x)?
    → SÍ: Sustitución simple u = g(x)
    → NO: Simplificar y reintentar

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🎯 Conceptos Clave para Repasar

Resumen de Estrategias

1. Simplificación primero: A menudo reduce el problema dramáticamente
2. Sustitución obvia: Buscar $u$ cuya derivada también aparezca
3. Clasificación por forma: Cada tipo de función sugiere una técnica
4. Combinación de técnicas: Problemas complejos requieren múltiples pasos
5. Experiencia y práctica: No hay receta única, se desarrolla intuición
6. Funciones no elementales: Algunas integrales no tienen forma cerrada

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🚨 Errores Comunes

Error 1: No simplificar antes de integrar

• Problema: Saltar directo a técnicas complejas
• Ejemplo: $\int \frac{x^2-1}{x-1}dx$ → usar fracciones parciales
• Correcto: Factorizar primero: $\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1$

Error 2: Elegir la sustitución equivocada

• Problema: En $\int x\sin (x^2)dx$, hacer $u=x$
• Correcto: Hacer $u=x^2$ porque $du=2xdx$ está presente

Error 3: Rendirse demasiado pronto

• Recordar: Muchas integrales requieren 2-3 técnicas en secuencia
• Estrategia: Si un método no funciona, intenta manipular y reintentar

Error 4: No reconocer cuándo completar cuadrados

• Señal: Cuadráticas de la forma $a{x}^2+bx+c$ con $b\ne 0$
• Acción: Completar cuadrado antes de sustituir

Error 5: Olvidar verificar el resultado

• Siempre: Deriva tu respuesta para verificar
• Especialmente: Después de usar múltiples técnicas

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📝 Ejercicios Propuestos

Ejercicios Nivel Básico (1-10)

Identifique la técnica apropiada Y evalúe:

1. $\int \cos x(1+{\sin }^{2}x)dx$
2. $\int \frac{x}{x^2+x-2}dx$
3. $\int x^2\ln xdx$
4. $\int \frac{t}{\sqrt{1+t}}dt$
5. $\int \frac{1}{x^2+4x+5}dx$
6. $\int e^x\sin xdx$
7. $\int {\tan }^2\theta d\theta$
8. $\int \frac{x^2+1}{x}dx$
9. $\int \frac{\sin x}{1+\cos x}dx$
10. ${\int }_0^{\pi /2}\sin x{\cos }^{3}xdx$

Ejercicios Nivel Intermedio (11-25)

11. $\int \frac{x}{\sqrt{x^2+2x}}dx$
12. $\int {\sec }^{4}x\tan xdx$
13. $\int \frac{e^{\arctan x}}{1+x^2}dx$
14. $\int x\sqrt{1-x}dx$
15. $\int \frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}dx$
16. $\int \frac{\ln (\ln x)}{x}dx$
17. $\int \frac{dx}{(2x+1)(x-1{)}^2}$
18. $\int \frac{x^3}{\sqrt{x^2+1}}dx$
19. $\int e^{2x}\cos 3xdx$
20. $\int \frac{x+1}{x^2+2x+5}dx$
21. $\int \frac{t}{1+\cos t}dt$
22. $\int \frac{1-\tan x}{1+\tan x}dx$
23. $\int x^3\sqrt{1+x^2}dx$
24. $\int \frac{\sqrt{1+\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}dx$
25. $\int {\sin }^{3}x{\cos }^{2}xdx$

Ejercicios Nivel Avanzado (26-35)

26. $\int \frac{dx}{x\sqrt{1-x^2}}$ (dos métodos)
27. $\int \frac{x^2-2x+1}{x^3-x^2-x+1}dx$
28. $\int e^{\sqrt[3]{x}}dx$
29. $\int \frac{x^3+4}{x^2+4}dx$
30. $\int \frac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x}dx$
31. $\int \sqrt{\frac{x}{a-x}}dx$ (sugerencia: $u^2=\frac{x}{a-x}$)
32. $\int \frac{dx}{1+e^x}$
33. $\int \frac{x^2}{(x\sin x+\cos x{)}^2}dx$ (integración por partes especial)
34. Demuestre dos métodos diferentes para $\int \sec xdx$
35. Encuentre el error: Alguien afirma que $\int \frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}dx={\sec }^{-1}x+C$ y también $=-{\csc }^{-1}x+C$. ¿Ambos son correctos?

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📚 Referencias

Lectura Principal

• Sección 7.5: Estrategias para la integración, págs. 494-499

Enlaces Relacionados

• 32) Regla de Sustitucion - Indefinidas - Técnica fundamental
• 34) Integracion por Partes - Para productos
• 35) Integrales Trigonometricas - Patrones trigonométricos
• 36) Sustitucion Trigonometrica - Para radicales
• 37) Fracciones Parciales - Caso I - Funciones racionales
• 38) Fracciones Parciales - Casos II y III - Casos avanzados

Conexión con Temas Futuros

Anticipando Aplicaciones

En las próximas clases aplicaremos estas técnicas de integración para calcular áreas entre curvas y volúmenes de sólidos de revolución. La habilidad para elegir y combinar técnicas será esencial para resolver problemas geométricos complejos.

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Sugerencia de Estudio

La integración es tanto arte como ciencia. No te desanimes si no ves inmediatamente qué técnica usar. Con práctica, desarrollarás intuición para reconocer patrones. Algunos consejos: (1) siempre intenta simplificar primero, (2) busca señales de sustitución, (3) clasifica el tipo de función, y (4) no temas combinar técnicas. Recuerda: incluso los matemáticos experimentados a veces necesitan varios intentos. ¡La clave es practicar mucho y aprender de cada problema!

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✅ Checklist de Estudio

Lista de Verificación

• Puedo identificar cuándo simplificar antes de integrar
• Reconozco cuándo hay una sustitución obvia presente
• Puedo clasificar integrales por tipo de función
• Sé cuándo usar integración por partes (productos)
• Identifico cuándo usar fracciones parciales (funciones racionales)
• Reconozco cuándo usar sustitución trigonométrica (radicales específicos)
• Puedo combinar múltiples técnicas en secuencia
• Sé cuándo completar cuadrados
• Entiendo que algunas integrales no son elementales
• Verifico mis respuestas derivando

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Navegación

• ⬅️ 38) Fracciones Parciales - Casos II y III
• ➡️ 40) Area entre Curvas