38) Fracciones Parciales - Casos II y III

Clase 38: Fracciones Parciales - Casos II y III

📚 Introducción

En la clase anterior estudiamos el Caso I de fracciones parciales, donde el denominador tenía únicamente factores lineales distintos. Sin embargo, muchas funciones racionales tienen denominadores más complejos: factores lineales repetidos (Caso II) o factores cuadráticos irreducibles (Caso III).

Estos casos requieren descomposiciones más elaboradas, pero una vez dominados, nos permiten integrar una amplia variedad de funciones racionales que aparecen en aplicaciones de ingeniería, física y matemáticas aplicadas.

Objetivos de la Clase

• Dominar el método de fracciones parciales para el Caso II (factores lineales repetidos)
• Comprender la descomposición cuando hay factores cuadráticos irreducibles (Caso III)
• Integrar funciones racionales con factores repetidos
• Aplicar sustitución trigonométrica a términos con cuadráticas irreducibles
• Distinguir cuándo usar cada caso según la factorización del denominador

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1. Caso II: Factores Lineales Repetidos

1.1 Teorema y Descomposición

Caso II: Q(x) contiene factores lineales repetidos

Suponga que el primer factor lineal $(a_{1}x+b_1)$ se repite $r$ veces; esto es, $(a_{1}x+b_1{)}^r$ aparece en la factorización de $Q(x)$. Entonces, en lugar del término simple $\frac{A_1}{a_{1}x+b_1}$ de la ecuación del Caso I, usaríamos:

$\frac{A_1}{a_{1}x+b_1}+\frac{A_2}{(a_{1}x+b_1{)}^2}+\frac{A_3}{(a_{1}x+b_1{)}^3}+\cdots +\frac{A_r}{(a_{1}x+b_1{)}^r}$

1.2 Ejemplo Ilustrativo

Por ejemplo, si el denominador es $(x-1{)}^2(x+2)$, la descomposición sería:

$\frac{R(x)}{(x-1{)}^2(x+2)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1{)}^2}+\frac{C}{x+2}$

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2. Ejemplos del Caso II

2.1 Ejemplo 4: Factor Lineal Repetido

Problema

Encuentre $\int \frac{x^4-2x^2+4x+1}{x^3-x^2-x+1}dx$

Solución

Paso 1: División larga (el grado del numerador es mayor)

$\frac{x^4-2x^2+4x+1}{x^3-x^2-x+1}=x+1+\frac{4x}{x^3-x^2-x+1}$

Paso 2: Factorizar el denominador

$x^3-x^2-x+1=x^2(x-1)-(x-1)=(x-1)(x^2-1)=(x-1)(x-1)(x+1)$ $=(x-1{)}^2(x+1)$

Paso 3: Plantear la descomposición

Puesto que el factor lineal $x-1$ se presenta dos veces, la descomposición en fracciones parciales es:

$\frac{4x}{(x-1{)}^2(x+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1{)}^2}+\frac{C}{x+1}$

Paso 4: Determinar los coeficientes

Multiplicando por el mínimo común denominador $(x-1{)}^2(x+1)$:

$4x=A(x-1)(x+1)+B(x+1)+C(x-1{)}^2$

Método de valores convenientes:

• Para $x=1$: $4(1)=B(2)\Rightarrow B=2$
• Para $x=-1$: $4(-1)=C(-2{)}^2=4C\Rightarrow C=-1$
• Para $x=0$: $0=A(-1)(1)+B(1)+C(1)=-A+2-1\Rightarrow A=1$

(También podemos usar el método de igualar coeficientes)

Paso 5: Integrar

$\int \frac{x^4-2x^2+4x+1}{x^3-x^2-x+1}dx=\int \left(x+1+\frac{1}{x-1}+\frac{2}{(x-1{)}^2}-\frac{1}{x+1}\right)dx$

$=\frac{x^2}{2}+x+\ln |x-1|-\frac{2}{x-1}-\ln |x+1|+K$

$=\frac{x^2}{2}+x-\frac{2}{x-1}+\ln \left|\frac{x-1}{x+1}\right|+K$

Observación sobre la integración

En la integración del término de en medio hicimos mentalmente la sustitución $u=x-1$, lo cual da $du=dx$ y $\frac{1}{2}\int \frac{du}{u^2}=-\frac{1}{2u}+C$

2.2 Ejemplo Adicional: Método Alternativo

Problema

Evalúe $\int \frac{2x-1}{(x-1{)}^3}dx$

Solución

Descomposición: $\frac{2x-1}{(x-1{)}^3}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1{)}^2}+\frac{C}{(x-1{)}^3}$

Multiplicando por $(x-1{)}^3$: $2x-1=A(x-1{)}^2+B(x-1)+C$

• Para $x=1$: $2(1)-1=C\Rightarrow C=1$
• Para $x=0$: $-1=A+(-B)+1\Rightarrow A-B=-2$
• Para $x=2$: $3=A+B+1\Rightarrow A+B=2$

Resolviendo: $A=0$, $B=2$, $C=1$

$\int \frac{2x-1}{(x-1{)}^3}dx=\int \left(\frac{2}{(x-1{)}^2}+\frac{1}{(x-1{)}^3}\right)dx$ $=-\frac{2}{x-1}-\frac{1}{2(x-1{)}^2}+C$

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3. Caso III: Factores Cuadráticos Irreducibles

3.1 Teorema y Descomposición

Caso III: Q(x) contiene factores cuadráticos irreducibles

Si $Q(x)$ tiene el factor $a{x}^2+bx+c$ donde $b^2-4ac<0$, entonces además de las fracciones parciales de las ecuaciones del Caso I y II, la expresión para $R(x)/Q(x)$ tendrá un término de la forma:

$\frac{Ax+B}{a{x}^2+bx+c}$

donde $A$ y $B$ son constantes que han de determinarse.

Definición: Cuadrática Irreducible

Una expresión cuadrática $a{x}^2+bx+c$ es irreducible si no puede factorizarse con coeficientes reales. Esto ocurre cuando su discriminante es negativo: $b^2-4ac<0$.

3.2 Ejemplo 5: Con Factor Cuadrático Irreducible

Problema

Evalúe $\int \frac{2x^2-x+4}{x^3+4x}dx$

Solución

Paso 1: Factorizar el denominador $x^3+4x=x(x^2+4)$

Paso 2: Verificar que $x^2+4$ es irreducible El discriminante es $b^2-4ac=0-4(1)(4)=-16<0$, así que no puede factorizarse más.

Paso 3: Plantear la descomposición Dado que $x^2+4$ es irreducible: $\frac{2x^2-x+4}{x(x^2+4)}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2+4}$

Paso 4: Determinar coeficientes

Multiplicando por $x(x^2+4)$: $2x^2-x+4=A(x^2+4)+(Bx+C)x$ $=A{x}^2+4A+B{x}^2+Cx$ $=(A+B)x^2+Cx+4A$

Igualando coeficientes:

• Coeficiente de $x^2$: $A+B=2$
• Coeficiente de $x$: $C=-1$
• Término constante: $4A=4\Rightarrow A=1$

De la primera ecuación: $B=2-1=1$

Paso 5: Integrar $\int \frac{2x^2-x+4}{x^3+4x}dx=\int \left(\frac{1}{x}+\frac{x-1}{x^2+4}\right)dx$

Para el segundo término, lo repartimos en dos: $\frac{x-1}{x^2+4}=\frac{x}{x^2+4}-\frac{1}{x^2+4}$

Primera integral: $\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|$

Segunda integral: Hacemos $u=x^2+4$, entonces $du=2xdx$: $\int \frac{x}{x^2+4}dx=\frac{1}{2}\ln (x^2+4)$

Tercera integral: Usamos la fórmula con $a=2$: $\int \frac{1}{x^2+4}dx=\frac{1}{2}\arctan \left(\frac{x}{2}\right)$

Resultado final: $=\ln |x|+\frac{1}{2}\ln (x^2+4)-\frac{1}{2}\arctan \left(\frac{x}{2}\right)+K$

Fórmula Clave para Cuadráticas

$\int \frac{dx}{x^2+a^2}=\frac{1}{a}\arctan \left(\frac{x}{a}\right)+C$

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4. Caso III con Completación de Cuadrados

4.1 Ejemplo 6: Cuadrática que Requiere Completación

Problema

Evalúe $\int \frac{4x^2-3x+2}{4x^2-4x+3}dx$

Solución

Paso 1: División larga (grados iguales) $\frac{4x^2-3x+2}{4x^2-4x+3}=1+\frac{x-1}{4x^2-4x+3}$

Paso 2: Completar el cuadrado en el denominador $4x^2-4x+3=4(x^2-x)+3=4\left(x^2-x+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\right)+3$ $=4\left[{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2-\frac{1}{4}\right]+3=4{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2-1+3$ $=4{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+2=(2x-1{)}^2+2$

Paso 3: Sustitución Sea $u=2x-1$, entonces $x=\frac{1}{2}(u+1)$ y $dx=\frac{1}{2}du$:

$\int \frac{x-1}{4x^2-4x+3}dx=\int \frac{\frac{1}{2}(u+1)-1}{u^2+2}\cdot \frac{1}{2}du$ $=\frac{1}{4}\int \frac{u-1}{u^2+2}du$

Paso 4: Separar e integrar $=\frac{1}{4}\int \frac{u}{u^2+2}du-\frac{1}{4}\int \frac{1}{u^2+2}du$ $=\frac{1}{8}\ln (u^2+2)-\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\arctan \left(\frac{u}{\sqrt{2}}\right)+C$

Paso 5: Regresar a $x$ $\int \frac{4x^2-3x+2}{4x^2-4x+3}dx=x+\frac{1}{8}\ln (4x^2-4x+3)-\frac{1}{4\sqrt{2}}\arctan \left(\frac{2x-1}{\sqrt{2}}\right)+K$

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5. Caso IV: Factores Cuadráticos Repetidos (No abordado en el curso)

Nota sobre el Caso IV

Si $Q(x)$ tiene el factor $(a{x}^2+bx+c{)}^r$ donde $b^2-4ac<0$, entonces en lugar de una única fracción parcial, la suma:

$\frac{A_{1}x+B_1}{a{x}^2+bx+c}+\frac{A_{2}x+B_2}{(a{x}^2+bx+c{)}^2}+\cdots +\frac{A_{r}x+B_r}{(a{x}^2+bx+c{)}^r}$

Este caso NO se aborda en el curso, según indica el resumen de la clase.

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6. Estrategia General para Fracciones Parciales

6.1 Diagrama de Decisión

Proceso Completo para Fracciones Parciales

1. Verificar si es propia: Si $\text{gr}(P)\ge \text{gr}(Q)$, hacer división larga
2. Factorizar $Q(x)$ completamente
3. Identificar el caso:
   • Caso I: Solo factores lineales distintos → $\frac{A}{ax+b}$
   • Caso II: Factores lineales repetidos → ${\sum }_{i=1}^r\frac{A_i}{(ax+b{)}^i}$
   • Caso III: Factores cuadráticos irreducibles → $\frac{Ax+B}{a{x}^2+bx+c}$
4. Plantear la descomposición completa
5. Determinar coeficientes (valores convenientes o igualar coeficientes)
6. Integrar término por término
7. Verificar derivando el resultado

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🎯 Conceptos Clave para Repasar

Resumen de Conceptos

1. Caso II: Para $(ax+b{)}^r$, usar ${\sum }_{i=1}^r\frac{A_i}{(ax+b{)}^i}$
2. Integración de potencias: $\int \frac{1}{(ax+b{)}^n}dx=\frac{-1}{(n-1)a(ax+b{)}^{n-1}}+C$ (para $n\ne 1$)
3. Cuadrática irreducible: $b^2-4ac<0$ implica que no factoriza con reales
4. Caso III: Para $a{x}^2+bx+c$ irreducible, usar $\frac{Ax+B}{a{x}^2+bx+c}$
5. Completación de cuadrados: Necesaria cuando la cuadrática no está en forma estándar
6. Separar numeradores: En Caso III, separar $\frac{Ax+B}{a{x}^2+bx+c}$ en dos integrales

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🚨 Errores Comunes

Error 1: No incluir todos los términos en Caso II

• Incorrecto: Para $(x-1{)}^3$, escribir solo $\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1{)}^3}$
• Correcto: Incluir TODOS los términos: $\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1{)}^2}+\frac{C}{(x-1{)}^3}$
• Por qué: Necesitamos un término por cada potencia desde 1 hasta $r$

Error 2: Confundir factores cuadráticos con factorizables

• Problema: Intentar factorizar $x^2+4$ como $(x+2i)(x-2i)$
• Correcto: Si $b^2-4ac<0$, es irreducible y se usa Caso III
• Verificación: Siempre calcular el discriminante

Error 3: Plantear mal la forma para factores cuadráticos

• Incorrecto: Para $x^2+4$, escribir $\frac{A}{x^2+4}$
• Correcto: Escribir $\frac{Ax+B}{x^2+4}$ (numerador lineal)
• Recordatorio: Cuadráticas irreducibles necesitan numerador de grado 1

Error 4: No completar el cuadrado cuando es necesario

• Problema: Intentar integrar directamente $\frac{1}{x^2+2x+5}$
• Solución: Completar cuadrado: $x^2+2x+5=(x+1{)}^2+4$

Error 5: Olvidar la constante a en la fórmula de arctan

• Incorrecto: $\int \frac{dx}{x^2+4}=\arctan \left(\frac{x}{2}\right)$
• Correcto: $\int \frac{dx}{x^2+4}=\frac{1}{2}\arctan \left(\frac{x}{2}\right)+C$
• Fórmula: $\int \frac{dx}{x^2+a^2}=\frac{1}{a}\arctan \left(\frac{x}{a}\right)+C$

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📝 Ejercicios Propuestos

Ejercicios Nivel Básico (1-8)

Evalúe usando fracciones parciales:

1. $\int \frac{1}{x^2(x-1)}dx$
2. $\int \frac{x}{(x+1{)}^2}dx$
3. $\int \frac{2x+3}{(x-1{)}^3}dx$
4. $\int \frac{x^2}{x^2+1}dx$
5. $\int \frac{1}{(x-2)(x^2+1)}dx$
6. $\int \frac{x+1}{x^2(x+1)}dx$
7. $\int \frac{x^2+1}{x^3-x}dx$
8. ${\int }_0^1\frac{x}{(x+1{)}^2}dx$

Ejercicios Nivel Intermedio (9-20)

9. $\int \frac{x^3+3x+1}{(x-1{)}^2(x+2)}dx$
10. $\int \frac{x^2+1}{x(x^2+4)}dx$
11. $\int \frac{2x-1}{x^3+x}dx$
12. $\int \frac{x^3}{(x-1{)}^3}dx$
13. $\int \frac{5x+1}{(2x+1)(x-1{)}^2}dx$
14. $\int \frac{x^2-1}{x^3+4x}dx$
15. $\int \frac{3x^2-2}{x^2-2x-8}dx$ (completar cuadrado)
16. $\int \frac{dx}{(x^2+1)(x^2+2x+2)}$ (dos cuadráticas irreducibles)
17. $\int \frac{x^3+4x^2+x-1}{x^2+x-2}dx$ (impropia)
18. $\int \frac{dx}{x^3-1}$ (factorizar con diferencia de cubos)
19. ${\int }_1^2\frac{x^2+x+1}{x^3-x}dx$
20. $\int \frac{x+4}{x^2+2x+5}dx$ (completar cuadrado)

Ejercicios Nivel Avanzado (21-28)

21. $\int \frac{x^2}{(x^2+1{)}^2}dx$ (cuadrática elevada - reducción)
22. $\int \frac{x^3-x+6}{x^2+2}dx$
23. $\int \frac{dx}{x(x^4+1)}$ (factorizar $x^4+1$)
24. Demuestre que si $a\ne 0$: $\int \frac{dx}{(x-a{)}^n}=\frac{-1}{(n-1)(x-a{)}^{n-1}}+C$ para $n>1$
25. $\int \frac{x^5}{(x^2+1{)}^2}dx$
26. $\int \frac{x^2+1}{x^4-1}dx$
27. Calcule el área bajo $y=\frac{1}{x^2-1}$ desde $x=2$ hasta $x=3$ usando fracciones parciales
28. $\int \frac{10x^2+2}{(x^2-1)(x^2+9)}dx$

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📚 Referencias

Lectura Principal

• Sección 7.4: Fracciones parciales, págs. 487-490 y 492 (Casos II y III)

Enlaces Relacionados

• 37) Fracciones Parciales - Caso I - Clase anterior
• 39) Estrategias para la Integracion - Próxima clase
• 36) Sustitucion Trigonometrica - Para integrales con cuadráticas
• Completación de Cuadrados - Técnica necesaria
• Factorización de Polinomios - Habilidad fundamental

Conexión con Temas Futuros

Anticipando Estrategias de Integración

En la próxima clase aprenderemos a combinar todas las técnicas que hemos estudiado (sustitución, partes, trigonométricas, fracciones parciales) para resolver integrales complejas que requieren múltiples pasos.

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Sugerencia de Estudio

Los Casos II y III de fracciones parciales son más desafiantes que el Caso I, pero la clave es seguir el procedimiento sistemáticamente. Para el Caso II, recuerda incluir TODOS los términos desde potencia 1 hasta $r$. Para el Caso III, verifica siempre que la cuadrática sea realmente irreducible calculando el discriminante. La completación de cuadrados es tu aliada cuando la cuadrática no está en forma estándar. ¡Practica mucho estos casos!

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✅ Checklist de Estudio

Lista de Verificación

• Entiendo cuándo usar Caso II (factores lineales repetidos)
• Sé plantear la descomposición completa para $(ax+b{)}^r$
• Puedo integrar términos de la forma $\frac{A}{(ax+b{)}^n}$ para $n>1$
• Sé verificar si una cuadrática es irreducible (discriminante negativo)
• Entiendo el Caso III y la forma $\frac{Ax+B}{a{x}^2+bx+c}$
• Puedo completar cuadrados cuando es necesario
• Sé separar $\frac{Ax+B}{a{x}^2+bx+c}$ en dos integrales
• Conozco la fórmula: $\int \frac{dx}{x^2+a^2}=\frac{1}{a}\arctan \left(\frac{x}{a}\right)+C$
• Puedo determinar qué caso usar según la factorización
• Verifico mis respuestas derivando

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