37) Fracciones Parciales - Caso I

Clase 37: Fracciones Parciales - Caso I

📚 Introducción

La integración de funciones racionales (cocientes de polinomios) es una técnica fundamental en cálculo. Cuando el grado del numerador es menor que el del denominador, podemos usar el método de fracciones parciales para descomponer la función racional en una suma de fracciones más simples que son fáciles de integrar.

Esta técnica es análoga a descomponer números racionales en sus factores primos, pero aplicada a funciones. Es especialmente útil en transformadas de Laplace, ecuaciones diferenciales, y muchas aplicaciones en ingeniería.

Objetivos de la Clase

• Comprender el concepto de funciones racionales propias e impropias
• Dominar el método de fracciones parciales para el Caso I (factores lineales distintos)
• Determinar coeficientes usando el método de igualar coeficientes
• Determinar coeficientes usando el método de valores convenientes
• Aplicar fracciones parciales a integrales indefinidas y definidas

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1. Funciones Racionales y el Método de Fracciones Parciales

1.1 Definiciones Básicas

Definición: Función Racional

Una función racional es una función de la forma: $f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$ donde $P$ y $Q$ son funciones polinomiales.

Definición: Función Racional Propia

Una función racional es propia si el grado de $P$ es menor que el grado de $Q$: $\text{gr}(P)<\text{gr}(Q)$

Si $\text{gr}(P)\ge \text{gr}(Q)$, la función es impropia.

1.2 División Larga Preliminar

Paso Preliminar para Funciones Impropias

Si $f$ es impropia, debemos primero realizar división larga para escribir: $f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}=S(x)+\frac{R(x)}{Q(x)}$

donde $S(x)$ es el cociente y $R(x)$ es el residuo tal que $\text{gr}(R)<\text{gr}(Q)$.

1.3 Ejemplo Preliminar: División Larga

Problema

Encuentre $\int \frac{x^3+x}{x-1}dx$

Solución

Paso 1: Verificar si es propia El grado del numerador (3) es mayor que el del denominador (1), así que es impropia.

Paso 2: División larga

           x² + x + 2
      ________________
x - 1 | x³ + 0x² + x + 0
        x³ - x²
        ________
            x² + x
            x² - x
            ______
                2x + 0
                2x - 2
                ______
                    2

Por lo tanto: $\frac{x^3+x}{x-1}=x^2+x+2+\frac{2}{x-1}$

Paso 3: Integrar $\int \frac{x^3+x}{x-1}dx=\int \left(x^2+x+2+\frac{2}{x-1}\right)dx$ $=\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+2x+2\ln |x-1|+C$

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2. El Método de Fracciones Parciales: Caso I

2.1 Caso I: Factores Lineales Distintos

Caso I: Q(x) es producto de factores lineales distintos

Esto significa que podemos escribir: $Q(x)=(a_{1}x+b_1)(a_{2}x+b_2)\cdots (a_{k}x+b_k)$

donde no hay factores repetidos (y ningún factor es un múltiplo constante de otro). En este caso, el teorema de fracciones parciales establece que existen constantes $A_1,A_2,\dots ,A_k$ tales que:

$\frac{R(x)}{Q(x)}=\frac{A_1}{a_{1}x+b_1}+\frac{A_2}{a_{2}x+b_2}+\cdots +\frac{A_k}{a_{k}x+b_k}$

2.2 Estrategia General

Para determinar las constantes $A_1,A_2,\dots ,A_k$, existen dos métodos principales:

1. Método de igualar coeficientes: Multiplicar ambos lados por $Q(x)$ y comparar coeficientes
2. Método de valores convenientes: Sustituir valores específicos de $x$ que simplifiquen la ecuación

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3. Ejemplos del Caso I

3.1 Ejemplo 1: Descomposición Básica

Problema

Evalúe $\int \frac{x+5}{x^2+x-2}dx$

Solución

Paso 1: Factorizar el denominador $x^2+x-2=(x+2)(x-1)$

Paso 2: Plantear la descomposición Dado que el denominador tiene tres factores lineales diferentes, la descomposición en fracciones parciales del integrando tiene la forma: $\frac{x+5}{(x+2)(x-1)}=\frac{A}{x+2}+\frac{B}{x-1}$

Paso 3: Determinar $A$ y $B$ (Método de valores convenientes)

Multiplicamos ambos lados por $(x+2)(x-1)$: $x+5=A(x-1)+B(x+2)$

Esta ecuación es una identidad, válida para todo valor de $x$.

• Elegimos $x=1$ (anula el factor $(x-1)$): $1+5=A(1-1)+B(1+2)$ $6=3B$ $B=2$

• Elegimos $x=-2$ (anula el factor $(x+2)$): $-2+5=A(-2-1)+B(-2+2)$ $3=-3A$ $A=-1$

Paso 4: Reescribir la integral $\int \frac{x+5}{x^2+x-2}dx=\int \left(\frac{-1}{x+2}+\frac{2}{x-1}\right)dx$ $=-\ln |x+2|+2\ln |x-1|+C$ $=\ln \frac{|x-1{|}^2}{|x+2|}+C$

Verificación

Podemos verificar derivando: $\frac{d}{dx}\left[\ln \frac{|x-1{|}^2}{|x+2|}\right]=\frac{2}{x-1}-\frac{1}{x+2}=\frac{x+5}{x^2+x-2}✓$

3.2 Ejemplo 2: Método Alternativo (Igualar Coeficientes)

Problema

Evalúe $\int \frac{x^2+2x-1}{2x^3+3x^2-2x}dx$

Solución

Paso 1: Factorizar el denominador $2x^3+3x^2-2x=x(2x^2+3x-2)=x(2x-1)(x+2)$

Paso 2: Plantear la descomposición $\frac{x^2+2x-1}{x(2x-1)(x+2)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{2x-1}+\frac{C}{x+2}$

Paso 3: Determinar $A$, $B$ y $C$ (Método de igualar coeficientes)

Multiplicamos ambos lados por $x(2x-1)(x+2)$: $x^2+2x-1=A(2x-1)(x+2)+Bx(x+2)+Cx(2x-1)$

Al desarrollar el lado derecho: $x^2+2x-1=A(2x^2+3x-2)+B(x^2+2x)+C(2x^2-x)$ $x^2+2x-1=(2A+B+2C)x^2+(3A+2B-C)x-2A$

Las formas polinomiales de la ecuación son idénticas, así que sus coeficientes deben ser iguales:

• Coeficiente de $x^2$: $2A+B+2C=1$
• Coeficiente de $x$: $3A+2B-C=2$
• Término constante: $-2A=-1$

De la tercera ecuación: $A=\frac{1}{2}$

Sustituyendo en las primeras dos:

• $1+B+2C=1\Rightarrow B+2C=0$
• $\frac{3}{2}+2B-C=2\Rightarrow 2B-C=\frac{1}{2}$

Resolviendo este sistema: $B=-\frac{1}{10},C=\frac{1}{20}$

Paso 4: Integrar $\int \frac{x^2+2x-1}{2x^3+3x^2-2x}dx=\int \left(\frac{1/2}{x}+\frac{-1/10}{2x-1}+\frac{1/20}{x+2}\right)dx$ $=\frac{1}{2}\ln |x|-\frac{1}{10}\cdot \frac{1}{2}\ln |2x-1|+\frac{1}{20}\ln |x+2|+C$ $=\frac{1}{2}\ln |x|-\frac{1}{20}\ln |2x-1|+\frac{1}{20}\ln |x+2|+C$

3.3 Ejemplo 3: Integral Definida

Problema

Evalúe ${\int }_0^1\frac{x-1}{(x+1)(x-2)}dx$

Solución

Paso 1: Descomposición en fracciones parciales $\frac{x-1}{(x+1)(x-2)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-2}$

Multiplicando por $(x+1)(x-2)$: $x-1=A(x-2)+B(x+1)$

• Para $x=2$: $2-1=B(2+1)\Rightarrow B=\frac{1}{3}$
• Para $x=-1$: $-1-1=A(-1-2)\Rightarrow A=\frac{2}{3}$

Paso 2: Integrar ${\int }_0^1\frac{x-1}{(x+1)(x-2)}dx={\int }_0^1\left(\frac{2/3}{x+1}+\frac{1/3}{x-2}\right)dx$ $={\left[\frac{2}{3}\ln |x+1|+\frac{1}{3}\ln |x-2|\right]}_0^1$ $=\left(\frac{2}{3}\ln 2+\frac{1}{3}\ln 1\right)-\left(\frac{2}{3}\ln 1+\frac{1}{3}\ln 2\right)$ $=\frac{2}{3}\ln 2-\frac{1}{3}\ln 2=\frac{1}{3}\ln 2$

Nota sobre Integrales Definidas

Dado que la del ejemplo 3 es una integral definida, cambiamos los límites de integración, y no tuvimos que regresar a la variable original.

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4. Estrategia para Resolver Problemas

4.1 Pasos Generales

Procedimiento para Fracciones Parciales (Caso I)

1. Verificar si es propia: Si no, realizar división larga primero
2. Factorizar $Q(x)$ completamente: Encontrar todos los factores lineales
3. Plantear la descomposición: Una fracción $\frac{A_i}{a_{i}x+b_i}$ por cada factor
4. Determinar los coeficientes:
   • Método 1: Valores convenientes (más rápido cuando es posible)
   • Método 2: Igualar coeficientes (siempre funciona)
5. Integrar: Usar $\int \frac{A}{ax+b}dx=\frac{A}{a}\ln |ax+b|+C$
6. Verificar: Derivar el resultado para comprobar

4.2 Comparación de Métodos

Método	Ventajas	Desventajas	Cuándo usar
Valores convenientes	Rápido, menos álgebra	Solo funciona para factores lineales	Siempre que sea posible en Caso I
Igualar coeficientes	Siempre funciona, sistemático	Más álgebra, sistemas de ecuaciones	Cuando valores convenientes no funcionan

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🎯 Conceptos Clave para Repasar

Resumen de Conceptos

1. Función racional propia: $\text{gr}(P)<\text{gr}(Q)$
2. División larga: Necesaria cuando la función es impropia
3. Caso I: Denominador con factores lineales distintos
4. Descomposición: $\frac{R(x)}{Q(x)}=\sum \frac{A_i}{a_{i}x+b_i}$
5. Método de valores convenientes: Elegir $x$ que anule factores
6. Método de igualar coeficientes: Comparar coeficientes de potencias de $x$
7. Integración: $\int \frac{A}{ax+b}dx=\frac{A}{a}\ln |ax+b|+C$

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🚨 Errores Comunes

Error 1: No hacer división larga cuando es necesaria

• Problema: Intentar fracciones parciales con función impropia
• Solución: Siempre verificar si $\text{gr}(P)<\text{gr}(Q)$ primero
• Ejemplo: Para $\frac{x^3+x}{x-1}$, dividir primero

Error 2: Factorizar incorrectamente el denominador

• Incorrecto: No factorizar completamente $x^2-1=x^2-1$
• Correcto: $x^2-1=(x-1)(x+1)$
• Solución: Usar todas las técnicas de factorización: factor común, diferencia de cuadrados, etc.

Error 3: Plantear mal la descomposición

• Incorrecto: Para $(x-1)(x+2)$, escribir $\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-1}$
• Correcto: $\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+2}$ (cada factor diferente tiene su propia fracción)

Error 4: Errores al elegir valores convenientes

• Problema: Elegir $x$ que no simplifique efectivamente
• Solución: Elegir $x$ igual a las raíces del denominador para anular factores

Error 5: Olvidar el valor absoluto en logaritmos

• Incorrecto: $\int \frac{1}{x}dx=\ln x+C$
• Correcto: $\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+C$
• Por qué: El dominio de $\ln x$ solo incluye $x>0$, pero queremos integrar para todo $x\ne 0$

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📝 Ejercicios Propuestos

Ejercicios Nivel Básico (1-8)

Evalúe las siguientes integrales usando fracciones parciales:

1. $\int \frac{1}{x^2-1}dx$
2. $\int \frac{x}{(x-1)(x+2)}dx$
3. $\int \frac{2x+1}{x^2+x-2}dx$
4. $\int \frac{1}{x^2+x}dx$
5. $\int \frac{x+1}{x^2-4}dx$
6. $\int \frac{3}{(x+1)(x-2)}dx$
7. ${\int }_0^1\frac{x}{x^2+3x+2}dx$
8. ${\int }_1^2\frac{1}{x^2-3x+2}dx$

Ejercicios Nivel Intermedio (9-18)

9. $\int \frac{x^2}{x^2-1}dx$ (impropia - hacer división larga primero)
10. $\int \frac{x^2+2x-1}{(x-1)(x+1)(x+2)}dx$
11. $\int \frac{2x^2+3x+1}{x^3+x^2}dx$
12. $\int \frac{x^3}{x^2-4}dx$ (impropia)
13. $\int \frac{1}{x^3-x}dx$
14. $\int \frac{x+4}{x^2+5x+6}dx$
15. $\int \frac{x^2-1}{x^3+x}dx$
16. $\int \frac{2x+3}{(x-1{)}^2(x+2)}dx$ (¡Cuidado! Esto no es Caso I puro)
17. ${\int }_0^1\frac{x-1}{x^2+x}dx$
18. $\int \frac{x^2+x+1}{x^3+x^2+x}dx$

Ejercicios Nivel Avanzado (19-24)

19. Demuestre que para $a\ne b$: $\int \frac{dx}{(x-a)(x-b)}=\frac{1}{b-a}\ln \left|\frac{x-b}{x-a}\right|+C$
20. $\int \frac{x^3+4x^2+x-1}{x^2+x-2}dx$ (impropia)
21. $\int \frac{x^2+1}{x^3-x^2-x+1}dx$ (factorizar por agrupación)
22. ${\int }_2^3\frac{x^2+x+1}{x^3-x}dx$
23. Calcule $\int \frac{dx}{x(x^2-1)}$ de dos formas diferentes y muestre que son equivalentes
24. Encuentre el área bajo $y=\frac{1}{x^2-1}$ desde $x=2$ hasta $x=3$

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📚 Referencias

Lectura Principal

• Sección 7.4: Fracciones parciales, págs. 485-487 (Caso I)

Enlaces Relacionados

• 36) Sustitucion Trigonometrica - Clase anterior
• 38) Fracciones Parciales - Casos II y III - Próxima clase
• 32) Regla de Sustitucion - Integrales Indefinidas - Técnica fundamental
• Factorización de Polinomios - Habilidad necesaria
• División Larga de Polinomios - Para funciones impropias

Conexión con Temas Futuros

Anticipando Casos II y III

En la próxima clase estudiaremos los casos donde el denominador tiene factores lineales repetidos (Caso II) o factores cuadráticos irreducibles (Caso III). El Caso I es la base fundamental que necesitamos dominar primero.

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Sugerencia de Estudio

Las fracciones parciales son como desarmar un rompecabezas: tomamos una fracción complicada y la descomponemos en piezas simples que sabemos integrar. La clave es dominar la factorización y ser sistemático al determinar los coeficientes. El método de valores convenientes es tu mejor amigo para el Caso I - elige las raíces del denominador como valores de $x$ para simplificar enormemente los cálculos. ¡Practica mucho la factorización!

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✅ Checklist de Estudio

Lista de Verificación

• Puedo distinguir entre funciones racionales propias e impropias
• Sé realizar división larga de polinomios cuando es necesaria
• Puedo factorizar completamente denominadores (común, agrupación, cuadráticas)
• Entiendo cuándo aplica el Caso I (factores lineales distintos)
• Domino el método de valores convenientes para encontrar coeficientes
• Puedo usar el método de igualar coeficientes cuando es necesario
• Sé integrar $\int \frac{A}{ax+b}dx=\frac{A}{a}\ln |ax+b|+C$
• Verifico mis respuestas derivando el resultado
• Reconozco cuándo una fracción ya está en su forma más simple
• Puedo aplicar la técnica a integrales definidas

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