40) Area entre Curvas

Clase 40: Área entre Curvas

📚 Introducción

En el capítulo 5 definimos y calculamos áreas de regiones que están bajo las gráficas de funciones. Aquí usamos integrales para calcular áreas de regiones que quedan entre las gráficas de dos funciones.

Este concepto tiene numerosas aplicaciones prácticas: calcular el área de terrenos irregulares, determinar el excedente del consumidor en economía, calcular el trabajo realizado por fuerzas variables, y en general, encontrar la diferencia acumulada entre dos cantidades que varían.

La clave está en reconocer que el área entre dos curvas puede expresarse como la diferencia de dos áreas bajo curvas, lo cual nos permite usar las técnicas de integración que ya dominamos.

Objetivos de la Clase

• Calcular el área entre dos curvas usando integración respecto a $x$
• Determinar el área entre curvas integrando respecto a $y$
• Identificar los límites de integración a partir de puntos de intersección
• Aplicar propiedades de simetría para simplificar cálculos de área
• Resolver problemas donde las curvas se intersectan múltiples veces

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1. Área entre Dos Curvas

1.1 Motivación y Desarrollo Intuitivo

Contexto

Considere la región $S$ que se ubica entre dos curvas $y=f(x)$ y $y=g(x)$ y entre las rectas verticales $x=a$ y $x=b$, donde $f$ y $g$ son funciones continuas y $f(x)\ge g(x)$ para toda $x$ en $[a,b]$.

Al igual que hicimos para áreas bajo curvas en la sección 5.1, dividimos $S$ en $n$ franjas con igual anchura, y luego calculamos el valor aproximado de la $i$-ésima franja mediante un rectángulo de base $\Delta x$ y altura $f(x_i^{\ast })-g(x_i^{\ast })$.

Idea Clave

El área de cada rectángulo aproximado es: $\text{Aˊrea}=[\text{altura}]\times [\text{base}]=[f(x_i^{\ast })-g(x_i^{\ast })]\Delta x$

La suma de Riemann ${\sum }_{i=1}^n[f(x_i^{\ast })-g(x_i^{\ast })]\Delta x$

es una aproximación a lo que intuimos que es el área de $S$.

1.2 Definición Formal

Fórmula del Área entre Curvas (respecto a x)

El área $A$ de la región limitada por las curvas $y=f(x)$, $y=g(x)$ y las rectas $x=a$, $x=b$, donde $f$ y $g$ son continuas y $f(x)\ge g(x)$ para toda $x$ en $[a,b]$, es:

$A={\lim }_{n\to \infty }{\sum }_{i=1}^n[f(x_i^{\ast })-g(x_i^{\ast })]\Delta x$

Identificamos el límite en esta definición como la integral definida de $f-g$, por tanto:

$\boxed{A={\int }_a^b[f(x)-g(x)]dx}$

Observación

En el caso especial donde $g(x)=0$, $S$ es la región bajo la gráfica de $f$, y nuestra definición general del área se reduce a la definición anterior (definición 2 de la sección 5.1).

1.3 Interpretación Geométrica

El área entre dos curvas puede pensarse como:

$A=\text{[aˊrea bajo }f\text{]}-\text{[aˊrea bajo }g\text{]}$

$A={\int }_a^{b}f(x)dx-{\int }_a^{b}g(x)dx={\int }_a^b[f(x)-g(x)]dx$

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2. Ejemplos Básicos

2.1 Ejemplo 1: Área Simple entre Curvas

Problema

Determine el área de la región acotada por arriba por $y=e^x$, por abajo por $y=x$ y a los lados por $x=0$ y $x=1$.

Solución

Paso 1: Identificar las curvas

• Curva superior: $f(x)=e^x$
• Curva inferior: $g(x)=x$
• Límites: $a=0$ y $b=1$

Paso 2: Aplicar la fórmula

$A={\int }_0^1[e^x-x]dx$

Paso 3: Integrar

$={\left[e^x-\frac{x^2}{2}\right]}_0^1$

$=\left(e^1-\frac{1}{2}\right)-\left(e^0-0\right)$

$=e-\frac{1}{2}-1=e-\frac{3}{2}$

Respuesta: $A=e-\frac{3}{2}\approx 1.218$

2.2 Ejemplo 2: Curvas que se Intersectan

Problema

Encuentre el área de la región encerrada por las parábolas $y=x^2$ y $y=2x-x^2$.

Solución

Paso 1: Encontrar los puntos de intersección

Resolvemos $x^2=2x-x^2$: $2x^2-2x=0$ $2x(x-1)=0$

Por tanto, $x=0$ o $x=1$. Los puntos de intersección son $(0,0)$ y $(1,1)$.

Paso 2: Determinar cuál curva está arriba

Al resolver las dos ecuaciones, observamos que las curvas que limitan la parte superior es $y=2x-x^2$, y la curva del límite inferior es $y=x^2$.

Podemos verificar eligiendo un punto de prueba, por ejemplo $x=\frac{1}{2}$:

• $y_S=2(\frac{1}{2})-(\frac{1}{2}{)}^2=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$
• $y_I=(\frac{1}{2}{)}^2=\frac{1}{4}$

Como $\frac{3}{4}>\frac{1}{4}$, efectivamente $y_S\ge y_I$ en $[0,1]$.

Paso 3: Aplicar la fórmula

$A={\int }_0^1[(2x-x^2)-x^2]dx={\int }_0^1(2x-2x^2)dx$

Paso 4: Integrar

$={\left[x^2-\frac{2x^3}{3}\right]}_0^1=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$

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3. Casos Especiales

3.1 Cuando $f$ y $g$ son Positivas

Observación Importante

En el caso donde $f(x)\ge g(x)\ge 0$, podemos ver que el área entre $f$ y $g$ es:

$A={\int }_a^b[f(x)-g(x)]dx$

puede interpretarse como:

• Área bajo $f$: ${\int }_a^{b}f(x)dx$
• Menos área bajo $g$: ${\int }_a^{b}g(x)dx$

3.2 Cuando las Curvas Cambian de Posición

Si las curvas $y=f(x)$ y $y=g(x)$ se cortan en algún punto de $[a,b]$, entonces $f(x)\ge g(x)$ para algunos valores de $x$ pero $g(x)\ge f(x)$ para otros valores de $x$.

Estrategia para Curvas que se Intersectan

Si pedimos determinar el área de la región entre $y=f(x)$ y $y=g(x)$ y las rectas $x=a$, $x=b$, donde $f$ y $g$ son continuas, entonces dividimos la región $S$ en varias regiones $S_1,S_2,\dots$ con áreas $A_1,A_2,\dots$ como se ilustra.

Después definimos el área de la región $S$ como la suma de las áreas de las regiones más pequeñas $S_1,S_2,\dots$, es decir, $A=A_1+A_2+\cdots$

3.3 Ejemplo 3: Múltiples Intersecciones

Problema

Encuentre el área de la región acotada por las curvas $y=\sin x$, $y=\cos x$, $x=0$ y $x=\frac{\pi }{2}$.

Solución

Paso 1: Encontrar puntos de intersección en $[0,\frac{\pi }{2}]$

$\sin x=\cos x$ cuando $\tan x=1$, es decir, $x=\frac{\pi }{4}$

Paso 2: Determinar cuál curva está arriba en cada intervalo

• Para $0\le x<\frac{\pi }{4}$: $\cos x>\sin x$
• Para $\frac{\pi }{4}<x\le \frac{\pi }{2}$: $\sin x>\cos x$

Paso 3: Dividir la región y calcular

$A=A_1+A_2$

$={\int }_0^{\pi /4}(\cos x-\sin x)dx+{\int }_{\pi /4}^{\pi /2}(\sin x-\cos x)dx$

Paso 4: Integrar cada parte

$=[\sin x+\cos x{]}_0^{\pi /4}+[-\cos x-\sin x{]}_{\pi /4}^{\pi /2}$

$=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)-(0+1)+\left(0-1\right)-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

$=\sqrt{2}-1-1+\sqrt{2}=2\sqrt{2}-2$

Método Alternativo usando Valor Absoluto

También podríamos escribir: $A={\int }_0^{\pi /2}|\cos x-\sin x|dx$

pero esto requiere dividir la integral donde cambia el signo.

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4. Integración Respecto a $y$

4.1 Cuándo Integrar Respecto a $y$

Algunas regiones se manejan mejor si se considera a $x$ como una función de $y$. Si una región está acotada con curvas de ecuaciones $x=f(y)$, $x=g(y)$, $y=c$ y $y=d$, donde $f$ y $g$ son continuas y $f(y)\ge g(y)$ para $c\le y\le d$, entonces su área es:

Fórmula del Área (respecto a y)

$A={\int }_c^d[f(y)-g(y)]dy$

4.2 Ejemplo 4: Integración Respecto a $y$

Problema

Determine el área encerrada por la recta $y=x-1$ y la parábola $y^2=2x+6$.

Solución

Método 1: Integrar respecto a $x$ (más complicado)

Tendríamos que dividir la región en dos partes y usar dos integrales diferentes.

Método 2: Integrar respecto a $y$ (más simple)

Paso 1: Expresar ambas curvas en términos de $y$

• De la recta: $x=y+1$ → $x_D=y+1$
• De la parábola: $y^2=2x+6$ → $x=\frac{y^2-6}{2}$ → $x_I=\frac{y^2-6}{2}$

Paso 2: Encontrar límites de integración

Igualamos: $y+1=\frac{y^2-6}{2}$ $2(y+1)=y^2-6$ $2y+2=y^2-6$ $y^2-2y-8=0$ $(y-4)(y+2)=0$

Por tanto, $y=-2$ o $y=4$.

Paso 3: Determinar cuál curva está a la derecha

La recta $x=y+1$ está a la derecha, y la parábola a la izquierda.

Paso 4: Calcular el área

$A={\int }_{-2}^4\left[(y+1)-\frac{y^2-6}{2}\right]dy$

$={\int }_{-2}^4\left[y+1-\frac{y^2}{2}+3\right]dy$

$={\int }_{-2}^4\left[-\frac{y^2}{2}+y+4\right]dy$

$={\left[-\frac{y^3}{6}+\frac{y^2}{2}+4y\right]}_{-2}^4$

$=\left(-\frac{64}{6}+\frac{16}{2}+16\right)-\left(-\frac{-8}{6}+\frac{4}{2}-8\right)$

$=\left(-\frac{32}{3}+8+16\right)-\left(\frac{4}{3}+2-8\right)$

$=\frac{-32+24+48}{3}-\frac{4+6-24}{3}=\frac{40-(-14)}{3}=\frac{54}{3}=18$

Decisión: ¿Integrar respecto a x o y?

Integrar respecto a $x$ cuando:

• Las curvas están expresadas como $y=f(x)$
• Los límites horizontales son naturales
• La región no requiere dividirse en varias partes

Integrar respecto a $y$ cuando:

• Las curvas son más fáciles de expresar como $x=f(y)$
• Los límites verticales son complicados
• Integrar respecto a $x$ requeriría múltiples integrales

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5. Uso de Simetría

5.1 Propiedad de Simetría

Aprovechar la Simetría

Si la región es simétrica respecto al eje $x$ (o eje $y$, o el origen), podemos calcular el área de la mitad y multiplicar por 2.

5.2 Ejemplo 5: Simetría

Problema

Calcule el área de la región acotada por las curvas $y=\cos x$ y $y=\sin x$, $x=0$ y $x=\frac{\pi }{2}$.

Solución usando Simetría

La región es simétrica respecto a $x=\frac{\pi }{4}$, así que:

$A=2A_1=2{\int }_0^{\pi /4}(\cos x-\sin x)dx$

(Este resultado ya lo calculamos en el Ejemplo 3)

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6. Estrategia General para Área entre Curvas

Procedimiento Paso a Paso

1. Graficar la región (aunque sea aproximadamente) para visualizar
2. Decidir la variable de integración ($x$ o $y$)
3. Encontrar puntos de intersección resolviendo las ecuaciones simultáneamente
4. Determinar los límites de integración ($a$ y $b$, o $c$ y $d$)
5. Identificar cuál curva está “arriba” o “a la derecha” en cada intervalo
6. Plantear la integral usando la fórmula apropiada
7. Evaluar la integral usando técnicas aprendidas
8. Verificar que el resultado tenga sentido (área positiva, magnitud razonable)

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🎯 Conceptos Clave para Repasar

Resumen de Conceptos

1. Fórmula básica (respecto a $x$): $A={\int }_a^b[f(x)-g(x)]dx$ donde $f(x)\ge g(x)$
2. Fórmula básica (respecto a $y$): $A={\int }_c^d[f(y)-g(y)]dy$ donde $f(y)\ge g(y)$
3. Puntos de intersección: Siempre resolver las ecuaciones simultáneamente para encontrar límites
4. Determinar curva superior/derecha: Usar puntos de prueba o análisis gráfico
5. Múltiples regiones: Si las curvas se intersectan, dividir en regiones y sumar áreas
6. Elección de variable: Elegir la que simplifique el problema y minimice el número de integrales

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🚨 Errores Comunes

Error 1: No determinar correctamente cuál curva está arriba

• Problema: Asumir sin verificar cuál curva es mayor
• Consecuencia: Área negativa o incorrecta
• Solución: Siempre verificar con un punto de prueba o graficar

Error 2: Olvidar encontrar todos los puntos de intersección

• Incorrecto: Usar límites arbitrarios sin verificar intersecciones
• Correcto: Resolver $f(x)=g(x)$ completamente en el intervalo relevante
• Por qué: Las curvas pueden intersectarse múltiples veces

Error 3: No dividir la región cuando es necesario

• Problema: Intentar usar una sola integral cuando las curvas cambian de posición
• Solución: Dividir en $[a,c]$ y $[c,b]$ donde $c$ es el punto de intersección

Error 4: Confundir integración respecto a x y respecto a y

• Recordar: Respecto a $x$ → curvas de la forma $y=f(x)$, límites verticales
• Recordar: Respecto a $y$ → curvas de la forma $x=g(y)$, límites horizontales

Error 5: Errores algebraicos al encontrar intersecciones

• Consejo: Verificar las intersecciones sustituyendo en ambas ecuaciones originales
• Común: Errores de signo, factorización incorrecta

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📝 Ejercicios Propuestos

Ejercicios Nivel Básico (1-8)

Grafique la región y calcule su área:

1. $y=2-\frac{1}{2}x$, $y=0$, $x=1$, $x=2$
2. $y=-x^2$, $y=0$
3. $y=x-1$, $y=0$, $x=-1$, $x=2$
4. $y=1-x^2$, $y=0$, $x=-1$, $x=1$
5. $y=x^2$, $y=4x$
6. $y=\ln x$, $y=x-2$, $x=3$
7. $y=x^3$, $y=x$, $x\ge 0$
8. $y=\frac{1}{x^2}$, $y=5-x^2$

Ejercicios Nivel Intermedio (9-20)

9. $y=x^2+1$, $y=2x-2$
10. $y=x^4$, $y=2-|x|$
11. $y=\sin x$, $y=\cos x$, $0\le x\le \frac{\pi }{4}$
12. $y=\sqrt{x}$, $y=x-2$
13. $y=x^2-2x$, $y=x+4$
14. $x=y^2$, $x=y+2$
15. $x=2y^2$, $x=4+y^2$
16. $y=\cos x$, $y=\sin 2x$, $0\le x\le \frac{\pi }{2}$
17. $y=e^x$, $y=x{e}^x$, $x=1$
18. $y=x^3-x$, $y=3x$
19. $x=y^4$, $y=\sqrt{2-x}$, $y=0$
20. $y=x^2+2x-1$, $y=-x^2+4x+1$

Ejercicios Nivel Avanzado (21-28)

21. Encuentre el área de la región encerrada por $y=x^2$ y $y=2x-x^2$. Verifique usando ambos métodos (respecto a $x$ y respecto a $y$).
22. Las curvas de velocidad para dos automóviles se muestran (datos tabulados). Estime la distancia entre los vehículos después de 16 segundos.
23. Calcule el área aproximada de la región acotada por las curvas $y=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ y $y=\frac{x^4}{x+1}$ usando calculadora gráfica.
24. Encuentre el área de la región $\mathcal{R}$ encerrada por las parábolas $y=x^2$ y $x=y^2$. ¿Qué representa esta área?
25. Una región $\mathcal{R}$ tiene un área $A$ que se localiza por arriba del eje $x$. Cuando $\mathcal{R}$ gira alrededor del eje $x$, genera un sólido de volumen $V_1$. Cuando $\mathcal{R}$ gira alrededor de la recta $y=k$ (donde $k$ es un número positivo), genera un sólido de volumen $V_2$. Exprese $V_2$ en función de $V_1$, $k$ y $A$.
26. Calcule el área entre $y=x$ y $y=x^2$ desde $x=0$ hasta $x=2$
27. Encuentre el área del triángulo cuyos vértices son $(-1,-2)$, $(1,0)$ y $(5,4)$ usando integración
28. La región $\mathcal{R}$ encerrada por las curvas $y=x$ y $y=x^2$ gira alrededor del eje $x$. Calcule el volumen del sólido resultante (anticipa la próxima clase)

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📚 Referencias

Lectura Principal

• Sección 6.1: Áreas entre curvas, págs. 422-426

Enlaces Relacionados

• 32) Regla de Sustitucion - Indefinidas - Para evaluar integrales
• 33) Regla de Sustitucion - Definidas - Técnica fundamental
• 39) Estrategias para la Integracion - Elegir técnica apropiada
• 41) Volumenes por Secciones Transversales - Próxima clase
• Teorema Fundamental del Cálculo - Base teórica

Conexión con Temas Futuros

Anticipando Volúmenes

En las próximas clases extenderemos esta idea de “rebanadas” y suma de áreas para calcular volúmenes de sólidos de revolución. El método de las secciones transversales y los cascarones cilíndricos son extensiones directas de los conceptos que hemos aprendido aquí.

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Sugerencia de Estudio

El área entre curvas es conceptualmente simple: es la diferencia entre dos áreas. La clave del éxito está en: (1) graficar la región para visualizar, (2) encontrar TODOS los puntos de intersección, (3) determinar correctamente cuál curva está “arriba” o “a la derecha”, y (4) elegir sabiamente si integrar respecto a $x$ o $y$. ¡Practica mucho identificando estos elementos antes de calcular!

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✅ Checklist de Estudio

Lista de Verificación

• Entiendo la fórmula básica $A={\int }_a^b[f(x)-g(x)]dx$
• Puedo encontrar puntos de intersección resolviendo ecuaciones simultáneas
• Sé determinar cuál curva está arriba usando puntos de prueba
• Puedo decidir cuándo integrar respecto a $x$ y cuándo respecto a $y$
• Sé dividir regiones cuando las curvas se intersectan múltiples veces
• Puedo aplicar la fórmula respecto a $y$: $A={\int }_c^d[f(y)-g(y)]dy$
• Reconozco cuándo usar simetría para simplificar cálculos
• Verifico mis respuestas (área positiva, magnitud razonable)
• Puedo graficar regiones para visualizar el problema
• Domino las técnicas de integración necesarias para evaluar las integrales

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