41) Volumenes por Secciones Transversales

Clase 41: Volúmenes por Secciones Transversales

📚 Introducción

Cuando tratamos de calcular el volumen de un sólido, enfrentamos el mismo tipo de problema que al determinar áreas. Intuitivamente sabemos lo que significa un volumen, pero es necesario precisar la idea usando el cálculo, a fin de dar una definición exacta de volumen.

La estrategia general es la misma que usamos para áreas: dividir el sólido en piezas más pequeñas, aproximar cada pieza con un cilindro simple, sumar los volúmenes de estos cilindros, y luego tomar el límite cuando el número de piezas se hace cada vez más grande.

Este método es extraordinariamente poderoso: nos permite calcular vol

úmenes de formas irregulares que serían imposibles de determinar con geometría elemental.

Objetivos de la Clase

• Comprender la definición de volumen mediante secciones transversales
• Aplicar la fórmula $V={\int }_a^{b}A(x)dx$ para calcular volúmenes
• Identificar y calcular áreas de diferentes formas de secciones transversales
• Resolver problemas con sólidos de revolución usando el método del disco
• Distinguir cuándo usar secciones transversales vs otros métodos

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1. Concepto de Volumen

1.1 Cilindros y Definición Básica

Cilindro

Un cilindro es un sólido limitado por una región plana $B_1$ (llamada base) y una región congruente $B_2$ en un plano paralelo. El cilindro consiste en todos los puntos sobre los segmentos de recta que son perpendiculares a la base y unen $B_1$ con $B_2$.

Si el área de la base es $A$ y la altura del cilindro (la distancia desde $B_1$ hasta $B_2$) es $h$, entonces el volumen $V$ del cilindro se define como:

$V=Ah$

Casos particulares:

• Si la base es un círculo de radio $r$: $V=\pi r^{2}h$ (cilindro circular)
• Si la base es un rectángulo de largo $l$ y ancho $w$: $V=lwh$ (caja rectangular o paralelepípedo)

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2. Método de las Secciones Transversales

2.1 Desarrollo del Método

En el caso de un sólido $S$ que no es un cilindro, primero “cortamos” a $S$ en piezas y hacemos que cada pieza se aproxime a un cilindro, para después sumarlos.

Definición: Sección Transversal

Sea $S$ un sólido que está entre $x=a$ y $x=b$. Si el área de la sección transversal de $S$ en el plano $P_x$ a través de $x$ y perpendicular al eje $x$, es $A(x)$, donde $A$ es una función continua, entonces el volumen de $S$ es:

$V={\lim }_{n\to \infty }{\sum }_{i=1}^{n}A(x_i^{\ast })\Delta x={\int }_a^{b}A(x)dx$

2.2 Interpretación

Dividimos el intervalo $[a,b]$ en $n$ subintervalos $[x_{i-1},x_i]$ de igual anchura $\Delta x$. Si el rectángulo de base $[x_{i-1},x_i]$ y altura $f(x_i^{\ast })$ se hace girar alrededor del eje $y$, entonces el resultado es un cascarón cilíndrico cuyo radio promedio es $x_i^{\ast }$, altura $f(x_i^{\ast })$ y espesor $\Delta x$ (véase la figura).

Fórmula del Volumen por Secciones Transversales

$\boxed{V={\int }_a^{b}A(x)dx}$

donde $A(x)$ es el área de una sección transversal que se obtiene al cortar a través de $x$ con un plano perpendicular al eje $x$.

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3. Ejemplo 1: Volumen de una Esfera

3.1 Demostración Clásica

Problema

Demuestre que el volumen de una esfera de radio $r$ es $V=\frac{4}{3}\pi r^3$.

Solución

Paso 1: Configuración del problema

Si colocamos la esfera de modo que su centro esté en el origen (véase la figura), entonces el plano $P_x$ corta la esfera en un círculo cuyo radio (según el teorema de Pitágoras) es:

$y=\sqrt{r^2-x^2}$

Paso 2: Área de la sección transversal

$A(x)=\pi y^2=\pi (r^2-x^2)$

Paso 3: Aplicar la definición del volumen con $a=-r$ y $b=r$

$V={\int }_{-r}^{r}A(x)dx={\int }_{-r}^r\pi (r^2-x^2)dx$

(El integrando es una función par)

$=2\pi {\int }_0^r(r^2-x^2)dx$

Paso 4: Integrar

$=2\pi {\left[r^{2}x-\frac{x^3}{3}\right]}_0^r$

$=2\pi \left(r^3-\frac{r^3}{3}\right)=2\pi \cdot \frac{2r^3}{3}=\frac{4\pi r^3}{3}$

Verificación

De acuerdo con el resultado del ejemplo 1, sabemos que el volumen de la esfera es $\frac{4}{3}\pi r^3$, que es aproximadamente $4.19$ cuando $r=1$. En este caso, las rebanadas son cilindros circulares, o discos, y las tres partes de la figura muestran las interpretaciones geométricas de las sumas de Riemann.

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4. Sólidos de Revolución: Método del Disco

4.1 Concepto Fundamental

Los sólidos de los ejemplos 1 a 3 reciben el nombre de sólidos de revolución porque se generan haciendo girar una región alrededor de una recta.

Método del Disco

Cuando usamos el método de las secciones transversales para calcular el volumen de un sólido de revolución, las secciones transversales son discos circulares, por lo que este método se llama método del disco.

4.2 Ejemplo 2: Revolución Alrededor del Eje $y$

Problema

Determine el volumen del sólido que se obtiene al girar la región bajo la curva $y=\sqrt{x}$ desde $0$ hasta $1$ alrededor del eje $y$.

Solución

Paso 1: Expresar $x$ en función de $y$

La región se muestra en la figura. Si giramos alrededor del eje $y$, obtenemos el sólido que se ilustra. Cuando cortamos a través de punto $y$ obtenemos un disco de radio $x$. El área de esta sección transversal es:

$A(y)=\pi x^2=\pi (\sqrt{y}{)}^2=\pi y$

Paso 2: Límites de integración

El sólido está entre $y=0$ y $y=1$, de modo que el volumen es:

$V={\int }_0^{1}A(y)dy={\int }_0^1\pi ydy$

Paso 3: Integrar

$=\pi {\left[\frac{y^2}{2}\right]}_0^1=\frac{\pi }{2}$

4.3 Ejemplo 3: Rotación Alrededor de Recta Horizontal

Problema

Calcule el volumen del sólido generado al rotar la región del ejemplo 2 alrededor de la recta $y=2$.

Solución

Paso 1: Identificar el radio

La región y un cascarón representativo se ilustran en la figura. El cascarón tiene radio $x$, circunferencia $2\pi x$ y altura $2-\sqrt{x}$. Así que el volumen es:

(En realidad este ejemplo requiere el método del cascarón cilíndrico que veremos en la próxima clase. Aquí mostramos el método del disco):

Si cortamos perpendicular al eje $y$ a una altura $y$, obtenemos un disco (en realidad una arandela) con:

• Radio exterior: $2-y$
• Radio interior: $2-\sqrt{y}$…

(Este problema es más natural con cascarones cilíndricos)

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5. Ejemplo 4: Sólido con Base Circular

Problema

La base de un sólido $S$ es un disco con ecuación $x^2+y^2\le 1$. Las secciones transversales paralelas, pero perpendiculares al eje $x$ son semicírculos. Encuentre el volumen de $S$.

Solución

Paso 1: Analizar la geometría

El sólido $S$ y su base se muestran en la figura. Una sección transversal en un plano $P_x$ es un semicírculo con diámetro que va desde el punto $(x,\sqrt{1-x^2})$ hasta $(x,-\sqrt{1-x^2})$.

Paso 2: Determinar el radio del semicírculo

Diámetro: $2\sqrt{1-x^2}$

Radio: $\sqrt{1-x^2}$

Paso 3: Área de la sección transversal (semicírculo)

$A(x)=\frac{1}{2}\pi r^2=\frac{1}{2}\pi (1-x^2)$

Paso 4: Integrar de $-1$ a $1$

$V={\int }_{-1}^{1}A(x)dx={\int }_{-1}^1\frac{\pi }{2}(1-x^2)dx$

Paso 5: Usar simetría (función par)

$=2\cdot \frac{\pi }{2}{\int }_0^1(1-x^2)dx=\pi {\left[x-\frac{x^3}{3}\right]}_0^1$

$=\pi \left(1-\frac{1}{3}\right)=\frac{2\pi }{3}$

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6. Ejemplo 5: Pirámide

Problema

Calcule el volumen de una pirámide cuya base es un cuadrado de lado $L$ y cuya altura es $h$.

Solución

Paso 1: Configurar el sistema de coordenadas

Colocamos el origen $O$ en el vértice de la pirámide y el eje $x$ a lo largo de su eje central (véase la figura). Cualquier plano $P_x$ que pase por $x$ y sea perpendicular al eje $x$ corta a la pirámide en un cuadrado de lado $s$.

Paso 2: Determinar $s$ en función de $x$

Podemos expresar $s$ en función de $x$ observando por triángulos semejantes de la figura que:

$\frac{x}{h}=\frac{s/2}{L/2}=\frac{s}{L}$

Por lo que $s=\frac{Lx}{h}$.

Paso 3: Área de la sección transversal

$A(x)=s^2=\frac{L^2{x}^2}{h^2}$

Paso 4: Integrar de $0$ a $h$

La pirámide se ubica entre $x=0$ y $x=h$, por lo que su volumen es:

$V={\int }_0^{h}A(x)dx={\int }_0^h\frac{L^2{x}^2}{h^2}dx$

$=\frac{L^2}{h^2}\cdot {\left[\frac{x^3}{3}\right]}_0^h=\frac{L^2}{h^2}\cdot \frac{h^3}{3}=\frac{L^{2}h}{3}$

Fórmula Clásica

Esto concuerda con la fórmula del volumen de una pirámide de la geometría elemental: $V=\frac{1}{3}\times \text{(aˊrea de la base)}\times \text{(altura)}$

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7. Ejemplo 6: Cuña Cortada de un Cilindro

Problema

De un cilindro circular de radio 4, definido mediante dos planos, se corta una cuña. Un plano es perpendicular al eje del cilindro. El otro corta al primero en un ángulo de 30° a lo largo del diámetro del cilindro. Determine el volumen de la cuña.

Solución

Paso 1: Configuración

Si hacemos coincidir el eje $x$ con el diámetro en el lugar donde se encuentran los planos, entonces la base del sólido es un semicírculo delimitado por la ecuación:

$y=\sqrt{16-x^2},-4\le x\le 4$

Paso 2: Determinar el área de sección transversal

Una sección transversal perpendicular al eje $x$ a una distancia $x$ del origen es un triángulo $ABC$, cuya base es $y=\sqrt{16-x^2}$ y cuya altura es:

$|BC|=y\tan 30°=\frac{\sqrt{16-x^2}}{\sqrt{3}}$

Paso 3: Área del triángulo

$A(x)=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{16-x^2}\cdot \frac{\sqrt{16-x^2}}{\sqrt{3}}=\frac{16-x^2}{2\sqrt{3}}$

Paso 4: Integrar

$V={\int }_{-4}^{4}A(x)dx={\int }_{-4}^4\frac{16-x^2}{2\sqrt{3}}dx$

Paso 5: Usar simetría

$=\frac{2}{2\sqrt{3}}{\int }_0^4(16-x^2)dx=\frac{1}{\sqrt{3}}{\left[16x-\frac{x^3}{3}\right]}_0^4$

$=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(64-\frac{64}{3}\right)=\frac{128}{3\sqrt{3}}=\frac{128\sqrt{3}}{9}$

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8. Estrategia General

Procedimiento para Volúmenes por Secciones Transversales

1. Graficar la región y el sólido (o al menos visualizar)
2. Elegir el eje de integración (generalmente perpendicular a las secciones)
3. Dibujar una sección transversal representativa en un punto genérico
4. Determinar la forma de la sección transversal (círculo, semicírculo, cuadrado, triángulo, etc.)
5. Expresar el área $A(x)$ o $A(y)$ en términos de la variable de integración
6. Identificar los límites de integración $a$ y $b$
7. Aplicar la fórmula: $V={\int }_a^{b}A(x)dx$ o $V={\int }_c^{d}A(y)dy$
8. Evaluar la integral y verificar que el resultado tenga sentido

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🎯 Conceptos Clave para Repasar

Resumen de Conceptos

1. Fórmula fundamental: $V={\int }_a^{b}A(x)dx$ donde $A(x)$ es el área de sección transversal
2. Cilindro: $V=Ah$ (área de base × altura)
3. Esfera: $V=\frac{4}{3}\pi r^3$ (demostrado con secciones transversales)
4. Método del disco: Para sólidos de revolución, $A(x)=\pi [\text{radio}{]}^2$
5. Formas comunes de secciones:
   • Disco: $A=\pi r^2$
   • Semicírculo: $A=\frac{\pi r^2}{2}$
   • Cuadrado: $A=s^2$
   • Triángulo equilátero: $A=\frac{\sqrt{3}}{4}{s}^2$
   • Triángulo rectángulo: $A=\frac{1}{2}bh$
6. Simetría: Aprovechar funciones pares/impares para simplificar

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🚨 Errores Comunes

Error 1: Confundir área de sección con volumen total

• Problema: Calcular $A(x)$ pero olvidar integrar
• Recordar: $V=\int A(x)dx$, no solo $A(x)$

Error 2: Expresión incorrecta del área de sección transversal

• Incorrecto: Para semicírculo con diámetro $d$, usar $A=\frac{\pi d^2}{2}$
• Correcto: Radio es $r=d/2$, entonces $A=\frac{\pi r^2}{2}=\frac{\pi d^2}{8}$

Error 3: Límites de integración incorrectos

• Problema: No identificar correctamente dónde empieza y termina el sólido
• Solución: Graficar y determinar límites cuidadosamente

Error 4: Olvidar la geometría de las secciones

• Común: Confundir triángulo equilátero ($A=\frac{\sqrt{3}}{4}{s}^2$) con isósceles
• Consejo: Repasar fórmulas de áreas geométricas básicas

Error 5: No usar simetría cuando está disponible

• Ineficiente: Integrar de $-a$ a $a$ cuando la función es par
• Mejor: ${\int }_{-a}^{a}f(x)dx=2{\int }_0^{a}f(x)dx$ si $f$ es par

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📝 Ejercicios Propuestos

Ejercicios Nivel Básico (1-8)

1. Sea $S$ el sólido que se genera al girar alrededor del eje $x$ la región delimitada por las curvas dadas. Grafique la región, el sólido y un disco o arandela representativos. Mediante cascarones calcule el volumen de $S$. Encuentre $V$:

   • $y=x(x-1{)}^2$, $y=0$

2. La base de un sólido es un disco circular de radio 3. Encuentre el volumen del sólido si las secciones transversales perpendiculares a la base son triángulos equiláteros.

3. La base de $S$ es la región encerrada por la parábola $y=1-x^2$ y el eje $x$. Las secciones transversales perpendiculares al eje $y$ son cuadrados. Encuentre el volumen de $S$.

4-8. [Ejercicios similares con diferentes formas de secciones]

Ejercicios Nivel Intermedio (9-18)

9. Un sólido tiene base circular de radio 1. Las secciones transversales paralelas perpendiculares a la base son semicírculos. Encuentre el volumen.

10. La región encerrada por $y=x$ y $y=x^2$ gira alrededor del eje $x$. Calcule el volumen.

11-18. [Más problemas con sólidos de revolución y diferentes ejes]

Ejercicios Nivel Avanzado (19-24)

19. Una cuña se corta de un cilindro circular de radio 4 mediante dos planos. Un plano es perpendicular al eje del cilindro. El otro corta al primero en un ángulo de 45° a lo largo del diámetro. Calcule el volumen.

20. Pruebe que el volumen de un cono circular recto de altura $h$ y radio de base $r$ es $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$.

21-24. [Demostraciones y problemas más desafiantes]

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📚 Referencias

Lectura Principal

• Sección 6.2: Volúmenes por secciones transversales, págs. 430-438

Enlaces Relacionados

• 40) Area entre Curvas - Clase anterior
• 42) Volumenes por Cascarones Cilindricos - Próxima clase (método alternativo)
• 33) Regla de Sustitucion - Definidas - Para evaluar integrales
• Teorema Fundamental del Cálculo - Base teórica

Conexión con Temas Futuros

Anticipando Cascarones Cilíndricos

En la próxima clase aprenderemos el método del cascarón cilíndrico, que es una alternativa al método de secciones transversales. Algunos problemas son mucho más fáciles con cascarones, especialmente cuando giramos alrededor de rectas distintas del eje de la variable de integración.

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Sugerencia de Estudio

El método de secciones transversales es conceptualmente directo pero requiere visualización espacial. La clave está en: (1) graficar la región claramente, (2) dibujar UNA sección transversal representativa, (3) identificar su forma geométrica, y (4) expresar su área en términos de la variable de integración. ¡Practica mucho dibujando las secciones transversales!

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✅ Checklist de Estudio

Lista de Verificación

• Entiendo la fórmula fundamental $V={\int }_a^{b}A(x)dx$
• Puedo identificar la forma de secciones transversales (disco, semicírculo, cuadrado, triángulo)
• Conozco las fórmulas de área para formas geométricas comunes
• Sé cuándo usar el método del disco para sólidos de revolución
• Puedo determinar límites de integración correctamente
• Entiendo cómo expresar $A(x)$ en términos de las curvas dadas
• Puedo aplicar simetría para simplificar cálculos
• Domino la integración de funciones que resultan de $A(x)$
• Verifico que mis respuestas tengan magnitudes razonables
• Puedo visualizar sólidos en 3D a partir de descripciones

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