42) Volumenes por Cascarones Cilindricos

Clase 42: Volúmenes por Cascarones Cilíndricos

📚 Introducción

Algunos problemas relacionados con volúmenes son muy difíciles de manejar con los métodos de las secciones anteriores. Por ejemplo, consideremos el problema de determinar el volumen del sólido que se obtiene al hacer girar la región limitada por $y=2x^2-x^3$ y $y=0$ alrededor del eje $y$. Si cortamos en forma perpendicular al eje $y$, obtendremos una rondana. Pero para calcular los radios interior y exterior de la rondana, tenemos que resolver la ecuación cúbica $y=2x^2-x^3$ para encontrar $x$ en función de $y$, y esto no es fácil.

Por fortuna, hay un sistema llamado método de los cascarones cilíndricos, que es más fácil de usar en tal caso. En la figura 2 se ilustra un cascarón cilíndrico de radio interior $r_1$, radio exterior $r_2$ y altura $h$. Su volumen $V$ se calcula restando el volumen $V_1$ del cilindro interior del volumen $V_2$ que corresponde al cilindro exterior:

$V=V_2-V_1=\pi r_2^{2}h-\pi r_1^{2}h=\pi (r_2^2-r_1^2)h=\pi (r_2+r_1)(r_2-r_1)h$

Si hacemos $\Delta r=r_2-r_1$ (el espesor del cascarón) y $r=\frac{r_2+r_1}{2}$ (el radio promedio del cascarón), entonces esta fórmula del volumen de un cascarón cilíndrico se transforma en:

Fórmula del Cascarón Cilíndrico

$V=2\pi rh\Delta r$

que puede recordarse como: $V=[\text{circunferencia}][\text{altura}][\text{espesor}]$

Objetivos de la Clase

• Comprender el concepto de cascarón cilíndrico y su volumen
• Aplicar la fórmula $V={\int }_a^{b}2\pi xf(x)dx$ para calcular volúmenes
• Distinguir cuándo usar cascarones cilíndricos vs. secciones transversales
• Resolver problemas de revolución alrededor de diferentes ejes
• Comparar los dos métodos en problemas específicos

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1. Desarrollo del Método

1.1 Construcción por Cascarones

Idea Principal

Ahora, sea $S$ el sólido que se obtiene al hacer girar alrededor del eje $y$ a la región limitada por $y=f(x)$ [donde $f(x)\ge 0$], $y=0$, $x=a$ y $x=b$, donde $b>a\ge 0$.

Dividimos el intervalo $[a,b]$ en $n$ subintervalos $[x_{i-1},x_i]$ de igual anchura $\Delta x$ y sea ${\bar{x}}_i$ el punto medio del $i$-ésimo subintervalo. Si el rectángulo de base $[x_{i-1},x_i]$ y altura $f({\bar{x}}_i)$ se hace girar alrededor del eje $y$, entonces el resultado es un cascarón cilíndrico cuyo radio promedio es ${\bar{x}}_i$, altura $f({\bar{x}}_i)$ y espesor $\Delta x$.

Por tanto, por la fórmula del volumen de un cascarón cilíndrico, tenemos:

$V_i\approx 2\pi {\bar{x}}_{i}f({\bar{x}}_i)\Delta x$

1.2 Definición Formal

Un valor aproximado al volumen $V$ de $S$ se obtiene mediante la suma de los volúmenes de estos cascarones:

$V\approx {\sum }_{i=1}^{n}2\pi {\bar{x}}_{i}f({\bar{x}}_i)\Delta x$

Esta aproximación mejora cuando $n\to \infty$. Por tanto, de acuerdo con la definición de integral, sabemos que:

${\lim }_{n\to \infty }{\sum }_{i=1}^{n}2\pi {\bar{x}}_{i}f({\bar{x}}_i)\Delta x={\int }_a^{b}2\pi xf(x)dx$

Fórmula del Volumen por Cascarones Cilíndricos

El volumen del sólido de la figura 3, que se obtiene al hacer girar alrededor del eje $y$ la región bajo la curva $y=f(x)$ desde $a$ hasta $b$, es:

$\boxed{V={\int }_a^{b}2\pi xf(x)dx}$

donde $0\le a<b$.

El argumento de usar cascarones cilíndricos hace que la fórmula parezca razonable, pero posteriormente podremos comprobarla (véase el ejercicio 67 de la sección 7.1).

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2. Recordatorio del Método

Cómo Recordar la Fórmula

La mejor manera de recordar la fórmula es pensar en el cascarón cilíndrico representativo, cortado y aplanado como en la figura, con radio $x$, circunferencia $2\pi x$, altura $f(x)$ y espesor $\Delta x$ o $dx$:

${\int }_a^b(2\pi x)[f(x)]dx$

Componentes:

• $(2\pi x)$ = circunferencia
• $[f(x)]$ = altura
• $dx$ = espesor

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3. Ejemplos Resueltos

3.1 Ejemplo 1: Problema Introductorio

Problema

Determine el volumen del sólido que se obtiene al hacer girar alrededor del eje $y$ la región limitada por $y=2x^2-x^3$ y $y=0$.

Solución

Paso 1: Identificar los límites

De acuerdo con el dibujo de la figura, un cascarón cilíndrico representativo tiene radio $x$, circunferencia $2\pi x$ y altura $f(x)=2x^2-x^3$.

El sólido está entre $x=0$ y $x=2$ (donde $y=0$), por lo que el volumen es:

$V={\int }_0^{2}2\pi x(2x^2-x^3)dx$

Paso 2: Simplificar y expandir

$=2\pi {\int }_0^2(2x^3-x^4)dx$

Paso 3: Integrar

$=2\pi {\left[\frac{2x^4}{4}-\frac{x^5}{5}\right]}_0^2$

$=2\pi {\left[\frac{x^4}{2}-\frac{x^5}{5}\right]}_0^2$

$=2\pi \left(\frac{16}{2}-\frac{32}{5}\right)=2\pi \left(8-\frac{32}{5}\right)$

$=2\pi \cdot \frac{40-32}{5}=2\pi \cdot \frac{8}{5}=\frac{16\pi }{5}$

Comparación con Discos/Arandelas

Puede verificarse que el método del cascarón cilíndrico proporciona la misma respuesta que las “rebanadas”. Note que el método del cascarón cilíndrico fue mucho más simple.

3.2 Ejemplo 2: Revolución Alrededor de una Recta

Problema

Calcule el volumen del sólido obtenido al girar alrededor del eje $y$ la región entre $y=x-x^2$ y $y=0$.

Solución

Paso 1: Encontrar los límites

La región se muestra en la figura. Rótese alrededor del eje $y$. Cuando cortamos a través del punto $x$ obtenemos un cascarón cilíndrico con radio $x$, circunferencia $2\pi x$ y altura $x-x^2$.

La región se sitúa entre $x=0$ y $x=1$, de modo que el volumen es:

$V={\int }_0^{1}2\pi x(x-x^2)dx$

Paso 2: Simplificar

$=2\pi {\int }_0^1(x^2-x^3)dx$

Paso 3: Integrar

$=2\pi {\left[\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}\right]}_0^1$

$=2\pi \left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)=2\pi \cdot \frac{4-3}{12}=\frac{\pi }{6}$

3.3 Ejemplo 3: Región entre Dos Curvas

Problema

Calcule el volumen del sólido generado al rotar la región del ejemplo 2 alrededor de la recta $x=2$.

Solución

Paso 1: Identificar el radio del cascarón

La región y un cascarón representativo se ilustran en la figura. El cascarón tiene radio $2-x$, circunferencia $2\pi (2-x)$ y altura $x-x^2$.

Paso 2: Plantear la integral

$V={\int }_0^{1}2\pi (2-x)(x-x^2)dx$

Paso 3: Expandir el producto

$=2\pi {\int }_0^1(2x-2x^2-x^2+x^3)dx$

$=2\pi {\int }_0^1(2x-3x^2+x^3)dx$

Paso 4: Integrar

$=2\pi {\left[x^2-x^3+\frac{x^4}{4}\right]}_0^1$

$=2\pi \left(1-1+\frac{1}{4}\right)=2\pi \cdot \frac{1}{4}=\frac{\pi }{2}$

3.4 Ejemplo 4: Rotación Alrededor del Eje $x$

Problema

Determine el volumen del sólido que se obtiene al girar alrededor de la recta $x=2$ la región delimitada por $y=x-x^2$ y $y=0$.

Solución (Método Alternativo)

Este problema se resolvió usando el método del cascarón en el Ejemplo 3. Para usar el método del disco tendríamos que expresar $x$ en términos de $y$, que es más complicado.

En este caso, los cascarones son el método preferido.

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4. Comparación de Métodos

4.1 ¿Cuándo Usar Cada Método?

Guía de Decisión: Cascarones vs. Discos/Arandelas

Usar CASCARONES CILÍNDRICOS cuando:

• Se gira alrededor de un eje paralelo al eje de la variable “independiente”
• Expresar la curva en términos de la otra variable es difícil
• El método del disco requeriría resolver ecuaciones complicadas
• La región tiene límites naturales perpendiculares al eje de rotación

Usar DISCOS/ARANDELAS cuando:

• Se gira alrededor del eje de la variable de integración
• Las secciones transversales son círculos o anillos simples
• Los radios son fáciles de expresar
• El método de cascarones requeriría integrales complicadas

4.2 Tabla Comparativa

Aspecto	Cascarones Cilíndricos	Discos/Arandelas
Eje perpendicular a	Variable de integración	Eje de rotación
Fórmula básica	$V=\int 2\pi (\text{radio})(\text{altura})dx$	$V=\int \pi [\text{radio}{]}^{2}dx$
Mejor para	Revolución alrededor de eje $y$ con $y=f(x)$	Revolución alrededor de eje $x$ con $y=f(x)$
Ventaja	Evita resolver para la otra variable	Conceptualmente más simple

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5. Ejemplo 5: Comparación Directa

Problema

Calcule el área de la región encerrada por las parábolas $y=x^2$ y $y=2x-x^2$ rotando alrededor del eje $y$. Compare ambos métodos.

Solución Método 1: Cascarones Cilíndricos

Paso 1: Encontrar intersecciones

$x^2=2x-x^2\Rightarrow 2x^2-2x=0\Rightarrow x=0$ o $x=1$

Paso 2: Identificar altura del cascarón

Altura = $(2x-x^2)-x^2=2x-2x^2$

Paso 3: Aplicar fórmula de cascarones

$V={\int }_0^{1}2\pi x(2x-2x^2)dx=2\pi {\int }_0^1(2x^2-2x^3)dx$

$=2\pi {\left[\frac{2x^3}{3}-\frac{2x^4}{4}\right]}_0^1=2\pi \left(\frac{2}{3}-\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi }{3}$

Solución Método 2: Arandelas

Paso 1: Expresar $x$ en términos de $y$

De $y=x^2$: $x=\sqrt{y}$ (radio exterior)

De $y=2x-x^2$: $x^2-2x+y=0$, resolviendo: $x=1\pm \sqrt{1-y}$

Tomamos $x=1-\sqrt{1-y}$ (radio interior)

Paso 2: Aplicar fórmula de arandelas

$V={\int }_0^1\pi [(\sqrt{y}{)}^2-(1-\sqrt{1-y}{)}^2]dy$

(Esta integral es mucho más complicada de evaluar)

Conclusión

En este problema, el método de los cascarones cilíndricos fue mucho más sencillo.

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6. Estrategia General

Procedimiento para Cascarones Cilíndricos

1. Graficar la región a rotar
2. Identificar el eje de rotación
3. Dibujar un cascarón representativo perpendicular al eje de rotación
4. Determinar:
   • Radio del cascarón: distancia desde el eje de rotación hasta el cascarón
   • Altura del cascarón: longitud del cascarón (diferencia entre curvas)
   • Espesor: $dx$ o $dy$
5. Expresar el volumen del cascarón: $dV=2\pi (\text{radio})(\text{altura})(\text{espesor})$
6. Identificar límites de integración
7. Integrar: $V={\int }_a^{b}2\pi (\text{radio})(\text{altura})dx$
8. Evaluar y verificar

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🎯 Conceptos Clave para Repasar

Resumen de Conceptos

1. Fórmula del cascarón: $V=2\pi rh\Delta r$ donde $r$ = radio promedio, $h$ = altura, $\Delta r$ = espesor
2. Fórmula integral básica: $V={\int }_a^{b}2\pi xf(x)dx$ (rotación alrededor del eje $y$)
3. Componentes: Circunferencia × Altura × Espesor
4. Radio del cascarón: Distancia perpendicular desde el eje de rotación
5. Altura del cascarón: Diferencia entre curvas superior e inferior
6. Cuándo usar: Especialmente útil cuando el eje de rotación es perpendicular a la variable natural
7. Ventaja principal: Evita resolver ecuaciones para la otra variable

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🚨 Errores Comunes

Error 1: Confundir radio con altura

• Problema: Invertir el radio y la altura del cascarón
• Recordar: Radio = distancia al eje de rotación; Altura = diferencia entre curvas

Error 2: Olvidar el factor 2\pi

• Incorrecto: $V=\int xf(x)dx$
• Correcto: $V=\int 2\pi xf(x)dx$

Error 3: Radio incorrecto al rotar alrededor de x = k

• Problema: Usar $x$ como radio cuando el eje es $x=2$
• Correcto: Radio = $|x-k|$ o $|k-x|$ dependiendo de la geometría

Error 4: No identificar correctamente los límites

• Recordar: Los límites son los valores de la variable de integración donde empieza y termina la región

Error 5: Elegir el método equivocado

• Consejo: Si encuentras que necesitas resolver ecuaciones complicadas, considera cambiar de método

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📝 Ejercicios Propuestos

Ejercicios Nivel Básico (1-8)

Use el método de los cascarones cilíndricos para calcular el volumen generado al girar la región acotada por las curvas dadas alrededor del eje especificado:

1. $y=x^3$, $y=0$, $x=1$, $x=2$; alrededor del eje $y$
2. $y=\sqrt{x}$, $x=0$, $y=1$; alrededor del eje $y$
3. $y=x^2$, $y=6x-2x^2$; alrededor del eje $y$
4. $y=4x-x^2$, $y=3$; alrededor del eje $y$
5. $y=\sqrt{x}$, $y=0$, $x=1$; alrededor de $x=2$
6. $y=4x-x^2$, $y=x$; alrededor de $x=1$
7. $x=1+y^2$, $x=0$, $y=1$, $y=2$; alrededor del eje $x$
8. $x=\sqrt{y}$, $x=0$, $y=1$; alrededor del eje $x$

Ejercicios Nivel Intermedio (9-20)

9. $y=x^2$, $x=y^2$; alrededor de $y=-1$
10. $y=x^2$, $y=2-x^2$; alrededor de $x=2$
11. $x=-3y^2+12y-9$, $x=0$; alrededor del eje $x$
12. Sea $S$ el sólido que se genera al girar alrededor del eje $y$ la región delimitada por las curvas dadas. Explique por qué es incómodo usar los cortes por rebanadas para determinar el volumen $V$ de $S$. Dibuje un cascarón cilíndrico representativo de aproximación. Mediante cascarones calcule el volumen de $S$:
    • $y=x(x-1{)}^2$, $y=0$ 13-20. [Más problemas comparando métodos]

Ejercicios Nivel Avanzado (21-28)

21. Use el método de los cascarones cilíndricos para calcular el volumen del sólido obtenido al hacer girar la región bajo la curva $y=\sqrt{x}$ desde 0 hasta 1 alrededor del eje $y$. Compare con el resultado usando discos.

22. La región $\mathcal{R}$ encerrada por las curvas $y=x$ y $y=x^2$ gira alrededor del eje $x$. Calcule el volumen mediante: a) Cascarones cilíndricos (integrar respecto a $y$) b) Arandelas (integrar respecto a $x$) c) Compare ambos métodos

23. Suponga que una región $\mathcal{R}$ tiene un área $A$ que se localiza por arriba del eje $x$. Cuando $\mathcal{R}$ gira alrededor del eje $x$, genera un sólido de volumen $V_1$. Cuando $\mathcal{R}$ gira alrededor de la recta $y=-k$ (donde $k$ es un número positivo), genera un sólido de volumen $V_2$. Exprese $V_2$ en función de $V_1$, $k$ y $A$.

24-28. [Problemas teóricos y demostraciones]

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📚 Referencias

Lectura Principal

• Sección 6.3: Volúmenes por cascarones cilíndricos, págs. 441-444

Enlaces Relacionados

• 40) Area entre Curvas - Fundamento para identificar regiones
• 41) Volumenes por Secciones Transversales - Método alternativo
• 33) Regla de Sustitucion - Definidas - Para evaluar integrales
• 34) Integracion por Partes - Puede ser necesaria en algunos problemas
• Teorema Fundamental del Cálculo - Base teórica

Conexión con Temas Futuros

Aplicaciones Adicionales

Los métodos que hemos aprendido en estas tres clases (áreas entre curvas, volúmenes por secciones transversales, y volúmenes por cascarones cilíndricos) forman la base para muchas otras aplicaciones del cálculo integral: trabajo, centros de masa, presión hidrostática, y más. La estrategia fundamental de “dividir, aproximar, sumar, y tomar el límite” se repite en todas estas aplicaciones.

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Sugerencia de Estudio

El método de cascarones cilíndricos es una herramienta poderosa que a menudo simplifica problemas que serían muy difíciles con discos o arandelas. La clave está en: (1) visualizar el cascarón cilíndrico cortado y aplanado, (2) identificar correctamente el radio (distancia al eje), (3) determinar la altura (diferencia entre curvas), y (4) recordar la fórmula como [circunferencia][altura][espesor]. ¡Con práctica, sabrás intuitivamente cuándo usar cascarones y cuándo usar discos!

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✅ Checklist de Estudio

Lista de Verificación

• Entiendo la fórmula del cascarón: $V=2\pi rh\Delta r$
• Puedo visualizar un cascarón cilíndrico cortado y aplanado
• Sé identificar el radio del cascarón (distancia al eje de rotación)
• Puedo determinar la altura del cascarón (diferencia entre curvas)
• Comprendo cuándo usar cascarones vs. discos/arandelas
• Domino la fórmula integral: $V={\int }_a^{b}2\pi xf(x)dx$
• Puedo adaptar la fórmula para ejes de rotación no estándar
• Sé evaluar las integrales que resultan del método
• Puedo comparar resultados usando ambos métodos
• Reconozco cuándo un método simplifica significativamente el problema

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🎓 Reflexión Final

Completando la Serie de Aplicaciones

Con esta clase completamos nuestra exploración de las aplicaciones fundamentales de la integral definida:

1. Clase 40: Aprendimos a calcular áreas entre curvas
2. Clase 41: Extendimos la idea a volúmenes mediante secciones transversales
3. Clase 42: Agregamos el método de cascarones cilíndricos como herramienta alternativa

Estos tres temas ilustran el poder unificador del cálculo integral: la misma idea fundamental (dividir, aproximar, sumar, límite) se aplica a problemas geométricos muy diferentes. Esta estrategia se extenderá a muchas otras aplicaciones en física, ingeniería, y ciencias.

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Navegación

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📊 Comparación Final: Tres Métodos de Volumen

Método	Cuándo Usar	Fórmula	Complejidad
Disco	Revolución alrededor del eje de integración	$V=\int \pi [R(x){]}^{2}dx$	⭐ Simple
Arandela	Región entre dos curvas, revolución alrededor del eje	$V=\int \pi [R(x{)}^2-r(x{)}^2]dx$	⭐⭐ Media
Cascarón	Revolución alrededor de eje perpendicular	$V=\int 2\pi xf(x)dx$	⭐⭐ Media

Regla de Oro

Si el problema parece complicado con un método, ¡intenta el otro! A menudo uno de los métodos hace el problema trivial mientras el otro lo hace casi imposible.