35) Integrales Trigonometricas

Clase 35: Integrales Trigonométricas

📚 Introducción

Las integrales trigonométricas son aquellas que involucran potencias y productos de funciones trigonométricas (seno, coseno, tangente, secante, etc.). Estas integrales aparecen frecuentemente en aplicaciones físicas y geométricas.

Para resolver estas integrales, combinaremos las técnicas que ya conocemos (sustitución e integración por partes) con identidades trigonométricas estratégicas que nos permitan transformar el integrando en formas más manejables.

Objetivos de la Clase

• Dominar estrategias para integrar potencias de seno y coseno
• Aplicar identidades trigonométricas para simplificar integrandos
• Resolver integrales que combinan potencias pares e impares de funciones trigonométricas
• Utilizar identidades de ángulo doble y medio para reducir potencias
• Integrar productos de funciones trigonométricas con diferentes argumentos

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1. Integrales de Potencias de Seno y Coseno

1.1 Estrategia General

Para integrales de la forma $\int {\sin }^{m}x{\cos }^{n}xdx$:

Estrategia para

$\int {\sin }^{m}x{\cos }^{n}xdx$

a) Si la potencia del coseno es impar ($n=2k+1$), extraemos un factor coseno y convertimos el factor restante ${\cos }^{2k}x$ en términos del seno usando ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$:

$\int {\sin }^{m}x{\cos }^{2k+1}xdx=\int {\sin }^{m}x({\cos }^{2}x{)}^k\cos xdx$ $=\int {\sin }^{m}x(1-{\sin }^{2}x{)}^k\cos xdx$

Después sustituimos $u=\sin x$.

b) Si la potencia del seno es impar ($m=2k+1$), extraemos un factor seno y convertimos el factor restante ${\sin }^{2k}x$ en términos del coseno usando ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$:

$\int {\sin }^{2k+1}x{\cos }^{n}xdx=\int ({\sin }^{2}x{)}^k{\cos }^{n}x\sin xdx$ $=\int (1-{\cos }^{2}x{)}^k{\cos }^{n}x\sin xdx$

Después sustituimos $u=\cos x$.

c) Si ambas potencias son pares, utilizamos las identidades del ángulo doble:

${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}\text{y}{\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$

1.2 Ejemplo 1: Potencia Impar del Coseno

Problema

Evalúe $\int {\cos }^{3}xdx$

Solución

Dado que el grado del coseno es impar, escribimos: $\int {\cos }^{3}xdx=\int {\cos }^{2}x\cos xdx=\int (1-{\sin }^{2}x)\cos xdx$

Sustitución: $u=\sin x$, entonces $du=\cos xdx$

$\int (1-{\sin }^{2}x)\cos xdx=\int (1-u^2)du$ $=u-\frac{u^3}{3}+C$ $=\sin x-\frac{{\sin }^{3}x}{3}+C$

1.3 Ejemplo 2: Potencia Impar del Seno

Problema

Evalúe $\int {\sin }^{5}x{\cos }^{2}xdx$

Solución

Como la potencia del seno es impar, extraemos un factor $\sin x$:

$\int {\sin }^{5}x{\cos }^{2}xdx=\int {\sin }^{4}x{\cos }^{2}x\sin xdx$ $=\int ({\sin }^{2}x{)}^2{\cos }^{2}x\sin xdx$ $=\int (1-{\cos }^{2}x{)}^2{\cos }^{2}x\sin xdx$

Sustitución: $u=\cos x$, entonces $du=-\sin xdx$

$=-\int (1-u^2{)}^2{u}^{2}du$ $=-\int (1-2u^2+u^4)u^{2}du$ $=-\int (u^2-2u^4+u^6)du$ $=-\left(\frac{u^3}{3}-\frac{2u^5}{5}+\frac{u^7}{7}\right)+C$ $=-\frac{{\cos }^{3}x}{3}+\frac{2{\cos }^{5}x}{5}-\frac{{\cos }^{7}x}{7}+C$

1.4 Ejemplo 3: Ambas Potencias Pares

Problema

Evalúe $\int {\sin }^{2}x{\cos }^{2}xdx$

Solución

Usamos las identidades del ángulo doble: ${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2},{\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$

Entonces: $\int {\sin }^{2}x{\cos }^{2}xdx=\int \frac{1-\cos 2x}{2}\cdot \frac{1+\cos 2x}{2}dx$ $=\frac{1}{4}\int (1-{\cos }^{2}2x)dx$ $=\frac{1}{4}\int {\sin }^{2}2xdx$

Aplicamos nuevamente la identidad del ángulo doble: $=\frac{1}{4}\int \frac{1-\cos 4x}{2}dx$ $=\frac{1}{8}\int (1-\cos 4x)dx$ $=\frac{1}{8}\left(x-\frac{\sin 4x}{4}\right)+C$ $=\frac{x}{8}-\frac{\sin 4x}{32}+C$

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2. Integrales de Potencias de Tangente y Secante

2.1 Estrategia para Tangentes y Secantes

Estrategia para

$\int {\tan }^{m}x{\sec }^{n}xdx$

a) Si la potencia de la secante es par ($n=2k$, $k\ge 2$), extraemos un factor ${\sec }^{2}x$ y usamos ${\sec }^{2}x=1+{\tan }^{2}x$:

$\int {\tan }^{m}x{\sec }^{2k}xdx=\int {\tan }^{m}x({\sec }^{2}x{)}^{k-1}{\sec }^{2}xdx$ $=\int {\tan }^{m}x(1+{\tan }^{2}x{)}^{k-1}{\sec }^{2}xdx$

Después sustituimos $u=\tan x$.

b) Si la potencia de la tangente es impar ($m=2k+1$), extraemos un factor $\sec x\tan x$ y usamos ${\tan }^{2}x={\sec }^{2}x-1$:

$\int {\tan }^{2k+1}x{\sec }^{n}xdx=\int ({\tan }^{2}x{)}^k{\sec }^{n-1}x\sec x\tan xdx$ $=\int ({\sec }^{2}x-1{)}^k{\sec }^{n-1}x\sec x\tan xdx$

Después sustituimos $u=\sec x$.

2.2 Ejemplo 4: Potencia Par de la Secante

Problema

Evalúe $\int {\tan }^{3}x{\sec }^{4}xdx$

Solución

Como la potencia de la secante es par, escribimos: $\int {\tan }^{3}x{\sec }^{4}xdx=\int {\tan }^{3}x{\sec }^{2}x{\sec }^{2}xdx$ $=\int {\tan }^{3}x(1+{\tan }^{2}x){\sec }^{2}xdx$

Sustitución: $u=\tan x$, entonces $du={\sec }^{2}xdx$

$=\int u^3(1+u^2)du=\int (u^3+u^5)du$ $=\frac{u^4}{4}+\frac{u^6}{6}+C$ $=\frac{{\tan }^{4}x}{4}+\frac{{\tan }^{6}x}{6}+C$

2.3 Ejemplo 5: Potencia Impar de la Tangente

Problema

Evalúe $\int {\tan }^{3}xdx$

Solución

Aquí podría usar la estrategia para potencia impar de tangente, pero es más simple usar ${\tan }^{2}x={\sec }^{2}x-1$:

$\int {\tan }^{3}xdx=\int \tan x{\tan }^{2}xdx$ $=\int \tan x({\sec }^{2}x-1)dx$ $=\int \tan x{\sec }^{2}xdx-\int \tan xdx$

Para la primera integral: $u=\tan x$, $du={\sec }^{2}xdx$ $\int \tan x{\sec }^{2}xdx=\int udu=\frac{u^2}{2}=\frac{{\tan }^{2}x}{2}$

Para la segunda integral: $\int \tan xdx=\int \frac{\sin x}{\cos x}dx=-\ln |\cos x|=\ln |\sec x|$

Resultado: $\int {\tan }^{3}xdx=\frac{{\tan }^{2}x}{2}-\ln |\sec x|+C$

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3. Fórmulas de Reducción

3.1 Concepto

Las fórmulas de reducción expresan una integral con exponente $n$ en términos de una integral con exponente $n-2$ (o menor). Son útiles para potencias altas.

Fórmula de Reducción para

$\int {\sin }^{n}xdx$ $\int {\sin }^{n}xdx=-\frac{1}{n}\cos x{\sin }^{n-1}x+\frac{n-1}{n}\int {\sin }^{n-2}xdx$

3.2 Ejemplo 6: Usando Fórmula de Reducción

Problema

Demuestre la siguiente fórmula de reducción: $\int {\sin }^{n}xdx=-\frac{1}{n}\cos x{\sin }^{n-1}x+\frac{n-1}{n}\int {\sin }^{n-2}xdx$

Solución (Usando Integración por Partes)

Escribimos ${\sin }^{n}x={\sin }^{n-1}x\cdot \sin x$ y aplicamos integración por partes:

$u={\sin }^{n-1}x,dv=\sin xdx$ $du=(n-1){\sin }^{n-2}x\cos xdx,v=-\cos x$

$\int {\sin }^{n}xdx=-\cos x{\sin }^{n-1}x+\int (n-1){\sin }^{n-2}x{\cos }^{2}xdx$ $=-\cos x{\sin }^{n-1}x+(n-1)\int {\sin }^{n-2}x(1-{\sin }^{2}x)dx$ $=-\cos x{\sin }^{n-1}x+(n-1)\int {\sin }^{n-2}xdx-(n-1)\int {\sin }^{n}xdx$

Sumando $(n-1)\int {\sin }^{n}xdx$ a ambos lados: $n\int {\sin }^{n}xdx=-\cos x{\sin }^{n-1}x+(n-1)\int {\sin }^{n-2}xdx$

Dividiendo entre $n$: $\int {\sin }^{n}xdx=-\frac{1}{n}\cos x{\sin }^{n-1}x+\frac{n-1}{n}\int {\sin }^{n-2}xdx$

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4. Productos de Senos y Cosenos con Diferentes Argumentos

4.1 Identidades Producto-Suma

Identidades para Evaluar

$\int \sin mx\cos nxdx$

Para evaluar integrales de productos de funciones trigonométricas con diferentes argumentos, usamos las identidades:

$\sin A\cos B=\frac{1}{2}[\sin (A-B)+\sin (A+B)]$ $\sin A\sin B=\frac{1}{2}[\cos (A-B)-\cos (A+B)]$ $\cos A\cos B=\frac{1}{2}[\cos (A-B)+\cos (A+B)]$

4.2 Ejemplo 7: Producto con Diferentes Argumentos

Problema

Evalúe $\int \sin 4x\cos 5xdx$

Solución

Usando la identidad $\sin A\cos B=\frac{1}{2}[\sin (A-B)+\sin (A+B)]$:

$\int \sin 4x\cos 5xdx=\int \frac{1}{2}[\sin (-x)+\sin 9x]dx$ $=\frac{1}{2}\int (-\sin x+\sin 9x)dx$ $=\frac{1}{2}\left(\cos x-\frac{\cos 9x}{9}\right)+C$ $=\frac{\cos x}{2}-\frac{\cos 9x}{18}+C$

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5. Integrales Trigonométricas Definidas

5.3 Ejemplo 8: Integral Definida

Problema

Calcule ${\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{4}xdx$

Solución

Primero encontramos la antiderivada. Usando la identidad ${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$:

${\sin }^{4}x=({\sin }^{2}x{)}^2={\left(\frac{1-\cos 2x}{2}\right)}^2=\frac{1-2\cos 2x+{\cos }^{2}2x}{4}$

Para ${\cos }^{2}2x$, usamos ${\cos }^{2}2x=\frac{1+\cos 4x}{2}$:

${\sin }^{4}x=\frac{1}{4}\left(1-2\cos 2x+\frac{1+\cos 4x}{2}\right)$ $=\frac{1}{4}\left(\frac{3}{2}-2\cos 2x+\frac{\cos 4x}{2}\right)$ $=\frac{3}{8}-\frac{\cos 2x}{2}+\frac{\cos 4x}{8}$

Integrando: ${\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{4}xdx={\left[\frac{3x}{8}-\frac{\sin 2x}{4}+\frac{\sin 4x}{32}\right]}_0^{\pi /2}$ $=\frac{3\pi }{16}-0+0-0=\frac{3\pi }{16}$

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🎯 Conceptos Clave para Repasar

Resumen de Conceptos

1. Potencia impar de cos/sen: Separar un factor y usar ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$
2. Potencias pares: Usar identidades de ángulo doble para reducir potencias
3. Identidades clave: ${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$, ${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$
4. Tangente y secante: Similar al seno/coseno, usar ${\tan }^{2}x={\sec }^{2}x-1$
5. Fórmulas de reducción: Útiles para potencias altas, derivadas por integración por partes
6. Productos con diferentes argumentos: Usar identidades producto-suma

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🚨 Errores Comunes

Error 1: No reconocer cuándo usar identidades

• Problema: Intentar integrar $\int {\sin }^{2}xdx$ directamente
• Correcto: Usar ${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$ primero
• Por qué: Sin la identidad, no podemos integrar potencias pares directamente

Error 2: Elegir la sustitución incorrecta

• Incorrecto: Para $\int {\sin }^{3}x{\cos }^{2}xdx$, sustituir $u=\cos x$ sin separar $\sin x$
• Correcto: Escribir como $\int {\sin }^{2}x{\cos }^{2}x\sin xdx$ y luego sustituir
• Por qué: Necesitamos $\sin xdx=-d(\cos x)$ para la sustitución

Error 3: Olvidar simplificar después de aplicar identidades

• Problema: Dejar expresiones como $\frac{1-\cos 2x}{2}\cdot \frac{1+\cos 2x}{2}$ sin multiplicar
• Solución: Siempre simplificar: $(1-\cos 2x)(1+\cos 2x)=1-{\cos }^{2}2x={\sin }^{2}2x$

Error 4: Confundir las identidades del ángulo doble

• Incorrecto: Usar ${\sin }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$
• Correcto: ${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$ y ${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$
• Recordatorio: El seno tiene el signo menos

Error 5: No verificar límites en integrales definidas

• Problema: Olvidar evaluar todas las funciones trigonométricas en los límites
• Solución: Sustituir cuidadosamente ambos límites y simplificar

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📝 Ejercicios Propuestos

Ejercicios Nivel Básico (1-8)

Evalúe las siguientes integrales:

1. $\int {\sin }^{2}xdx$
2. $\int {\cos }^{3}xdx$
3. $\int {\sin }^{3}x{\cos }^{2}xdx$
4. $\int {\sin }^{2}x{\cos }^{2}xdx$
5. $\int {\tan }^{2}xdx$
6. $\int {\sec }^{4}xdx$
7. $\int \sin 2x\cos 3xdx$
8. ${\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{2}xdx$

Ejercicios Nivel Intermedio (9-20)

9. $\int {\sin }^{5}xdx$
10. $\int {\cos }^{4}xdx$
11. $\int {\sin }^{2}x{\cos }^{3}xdx$
12. $\int {\sin }^{4}x{\cos }^{2}xdx$
13. $\int {\tan }^{3}x{\sec }^{2}xdx$
14. $\int {\tan }^{2}x{\sec }^{4}xdx$
15. $\int {\sec }^{3}xdx$ (Sugerencia: integración por partes)
16. $\int {\cot }^{3}xdx$
17. ${\int }_0^{\pi }{\sin }^2(3x)dx$
18. ${\int }_0^{\pi /4}{\tan }^{4}xdx$
19. $\int \sin 3x\sin 5xdx$
20. $\int \cos 2x\cos 4xdx$

Ejercicios Nivel Avanzado (21-28)

21. Demuestre la fórmula de reducción: $\int {\cos }^{n}xdx=\frac{1}{n}\sin x{\cos }^{n-1}x+\frac{n-1}{n}\int {\cos }^{n-2}xdx$
22. Use la fórmula de reducción para calcular $\int {\sin }^{6}xdx$
23. Calcule $\int {\sin }^{4}x{\cos }^{3}xdx$
24. Evalúe ${\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{3}x{\cos }^{3}xdx$
25. Demuestre: ${\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{n}xdx={\int }_0^{\pi /2}{\cos }^{n}xdx$
26. Calcule $\int t{\sin }^{2}tdt$ (combinación de partes y trigonométricas)
27. Evalúe $\int e^x{\sin }^{2}xdx$
28. Calcule ${\int }_0^{2\pi }x{\cos }^{2}xdx$

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📚 Referencias

Lectura Principal

• Sección 7.2: Integrales trigonométricas, págs. 471-476

Enlaces Relacionados

• 34) Integracion por Partes - Clase anterior
• 36) Sustitucion Trigonometrica - Próxima clase
• 32) Regla de Sustitucion - Integrales Indefinidas - Técnica fundamental
• Identidades Trigonométricas - Referencia de identidades
• 29) Teorema Fundamental del Calculo - Base teórica

Conexión con Temas Futuros

Anticipando Sustitución Trigonométrica

En la próxima clase aprenderemos la sustitución trigonométrica, donde usaremos funciones trigonométricas para transformar integrales con radicales en integrales trigonométricas como las que hemos estudiado hoy.

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Sugerencia de Estudio

Las integrales trigonométricas requieren familiaridad con identidades trigonométricas. Antes de resolver ejercicios, repasa las identidades fundamentales. La clave es reconocer patrones: potencias impares sugieren sustitución, potencias pares sugieren identidades de ángulo doble. Con práctica, desarrollarás intuición para elegir la estrategia correcta rápidamente.

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✅ Checklist de Estudio

Lista de Verificación

• Conozco las estrategias para potencias impares de seno/coseno
• Sé cuándo usar identidades del ángulo doble (${\sin }^{2}x$, ${\cos }^{2}x$)
• Puedo resolver integrales de tangentes y secantes
• Entiendo las fórmulas de reducción y puedo derivarlas
• Conozco las identidades producto-suma
• Puedo identificar qué identidad usar según el integrando
• Sé integrar productos con diferentes argumentos ($\sin mx\cos nx$)
• Puedo combinar integración por partes con integrales trigonométricas
• Verifico mis respuestas derivando
• Practico hasta reconocer patrones automáticamente

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