22) Teorema del Valor Medio

Clase 22: Teorema del Valor Medio

📚 Introducción

El Teorema del Valor Medio es uno de los resultados más importantes del cálculo diferencial. Este teorema establece una conexión profunda entre la razón de cambio promedio de una función (representada por la pendiente de una recta secante) y la razón de cambio instantánea (representada por la derivada). Aunque su demostración puede parecer técnica, sus aplicaciones son fundamentales para comprender el comportamiento de las funciones.

Objetivos de la Clase

• Comprender el Teorema de Rolle como caso especial del Teorema del Valor Medio
• Enunciar y demostrar el Teorema del Valor Medio
• Interpretar geométricamente el Teorema del Valor Medio
• Aplicar el teorema para obtener información sobre funciones a partir de sus derivadas
• Utilizar el teorema para demostrar propiedades importantes de funciones

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1. El Teorema de Rolle

1.1 Motivación

Vamos a ver que muchos de los resultados de este capítulo dependen de un hecho central, llamado Teorema del Valor Medio. Para llegar a este teorema, veremos primero el siguiente resultado preliminar.

1.2 Enunciado del Teorema

Teorema de Rolle

Si $f$ es una función que satisface las siguientes tres hipótesis:

1. $f$ es continua sobre el intervalo cerrado $[a,b]$
2. $f$ es derivable sobre el intervalo abierto $(a,b)$
3. $f(a)=f(b)$

entonces hay un número $c$ en $(a,b)$ tal que $f^{\prime }(c)=0$.

1.3 Interpretación Geométrica

El Teorema de Rolle tiene una interpretación geométrica muy intuitiva:

Interpretación Geométrica

Si una función continua sobre $[a,b]$ tiene derivada en $(a,b)$ y además los valores en los extremos son iguales, entonces existe al menos un punto interior donde la recta tangente es horizontal.

Las gráficas de la figura del texto muestran cuatro funciones típicas que satisfacen las tres hipótesis. En cada caso parece que hay al menos un punto $(c,f(c))$ en la gráfica donde la recta tangente es horizontal y, por consiguiente, $f^{\prime }(c)=0$. Por consiguiente, el Teorema de Rolle es verosímil.

1.4 Análisis de Casos

El Teorema de Rolle se demuestra considerando tres casos posibles:

CASO I: $f(x)=k$ (una constante)

• Entonces $f^{\prime }(x)=0$, por lo que el número $c$ puede tomar cualquier número en $(a,b)$

CASO II: $f(x)>f(a)$ para algún $x$ en $(a,b)$ [como en las figuras b) o c)]

• Por el Teorema del Valor Extremo (que podemos aplicar por la hipótesis 1), $f$ tiene un valor máximo en algún lugar de $[a,b]$. Ya que $f(a)=f(b)$, debe alcanzar este valor máximo en un número $c$ en el intervalo abierto $(a,b)$, entonces $f$ tiene un máximo local en $c$ y, por la hipótesis 2, $f$ es derivable en $c$. Por tanto, $f^{\prime }(c)=0$ por el Teorema de Fermat.

CASO III: $f(x)<f(a)$ para algún $x$ en $(a,b)$ [como en la figura d)]

• Por el Teorema del Valor Extremo, $f$ tiene un valor mínimo en $[a,b]$ y, como $f(a)=f(b)$, alcanza este valor mínimo en un número $c$ en $(a,b)$. Otra vez, $f^{\prime }(c)=0$ por el Teorema de Fermat.

1.5 Ejemplos de Aplicación

Ejemplo 1: Aplicación básica del Teorema de Rolle

Vamos a aplicar el Teorema de Rolle a la función posición $s=f(t)$ de un objeto en movimiento. Si el objeto está en el mismo lugar en dos instantes diferentes $t=a$ y $t=b$, entonces $f(a)=f(b)$. El Teorema de Rolle señala que hay algún instante de tiempo $t=c$ entre $a$ y $b$ cuando $f^{\prime }(c)=0$; es decir, la velocidad es 0. (En particular, puede verse que esto es cierto cuando se lanza una bola directamente hacia arriba.)

Ejemplo 2: Demostración usando el Teorema de Rolle

Demuestre que la ecuación $x^3+x-1=0$ tiene exactamente una raíz real.

Solución: Primero utilizamos el Teorema del Valor Intermedio (2.5.10) para demostrar que existe una raíz. Sea $f(x)=x^3+x-1$. Entonces $f(0)=-1<0$ y $f(1)=1>0$.

Dado que $f$ es una función polinomial, es continua, por lo que el Teorema del Valor Intermedio establece que existe un número $c$ en $(0,1)$ tal que $f(c)=0$; de lo que se deduce que la ecuación dada tiene una raíz.

Para demostrar que la ecuación no tiene otras raíces reales, utilizamos el Teorema de Rolle y argumentamos por contradicción. Supongamos que tenemos dos raíces $a$ y $b$. Entonces $f(a)=0=f(b)$ y, dado que $f$ es una función polinomial, es derivable en $(a,b)$ y continua sobre $[a,b]$. Por tanto, por el Teorema de Rolle, existe un número $c$ entre $a$ y $b$ tal que $f^{\prime }(c)=0$. Pero

$f^{\prime }(x)=3x^2+1\ge 1\text{ para toda }x$

(ya que $x^2\ge 0$), por lo que $f^{\prime }(x)$ nunca puede ser 0. Esto conduce a una contradicción, por tanto, la ecuación no puede tener dos raíces reales.

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2. El Teorema del Valor Medio

2.1 Motivación Geométrica

El principal uso del Teorema de Rolle es demostrar el importante teorema siguiente, establecido por primera vez por el matemático francés Joseph Louis Lagrange.

Las figuras del texto muestran los puntos $A(a,f(a))$ y $B(b,f(b))$ sobre las gráficas de dos funciones derivables. La pendiente de la recta secante $AB$ es:

$m_{AB}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

que es la misma expresión que en el lado derecho de la ecuación del Teorema del Valor Medio.

2.2 Enunciado del Teorema

Teorema del Valor Medio

Si $f$ es una función que satisface las siguientes hipótesis:

1. $f$ es continua sobre el intervalo cerrado $[a,b]$
2. $f$ es derivable sobre el intervalo abierto $(a,b)$

entonces existe un número $x=c$ en $(a,b)$ tal que:

$\boxed{f^{\prime }(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}}$

o, equivalentemente,

$\boxed{f(b)-f(a)=f^{\prime }(c)(b-a)}$

2.3 Interpretación Geométrica

Interpretación Geométrica del TVM

Dado que $f^{\prime }(c)$ es la pendiente de la recta tangente en el punto $(c,f(c))$, el Teorema del Valor Medio, en la forma dada por la ecuación 1, indica que hay al menos un punto $P(c,f(c))$ sobre la gráfica donde la pendiente de la recta tangente es la misma que la pendiente de la recta secante $AB$.

En otras palabras, hay un punto $P$ donde la recta tangente es paralela a la recta secante $AB$ (imagine una recta paralela a $AB$, moviéndose desde lejos manteniendo el paralelismo hasta que toque la gráfica por primera vez).

2.4 Interpretación Física

Interpretación Física del TVM

En general, el Teorema del Valor Medio puede interpretarse diciendo que existe un número en el cual la razón de cambio instantánea es igual a la razón de cambio promedio a lo largo de un intervalo.

2.5 Demostración del Teorema del Valor Medio

Demostración

Aplicamos el Teorema de Rolle a una nueva función $h$ definida como la diferencia entre $f$ y la función cuya gráfica es la recta secante $AB$. Mediante la ecuación de la recta, vemos que la ecuación de la recta $AB$ puede escribirse como:

$y-f(a)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$

o como

$y=f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$

Así, como se muestra en la figura, definimos:

$h(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$

Primero, debemos verificar que $h$ satisface las tres hipótesis del Teorema de Rolle:

1. La función $h$ es continua sobre $[a,b]$ porque es la suma de $f$ y una función polinomial de primer grado, ambas continuas.

2. La función $h$ es derivable sobre $(a,b)$ porque $f$ y la función polinomial de primer grado son derivables. De hecho, podemos calcular $h^{\prime }$ directamente de la ecuación:

$h^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

(Note que $f(a)$ y $[f(b)-f(a)]/(b-a)$ son constantes.)

3. $h(a)=f(a)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\cdot 0=0$

$h(b)=f(b)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(b-a)$ $=f(b)-f(a)-[f(b)-f(a)]=0$

Por tanto, $h(a)=h(b)$.

Dado que $h$ satisface las hipótesis del Teorema de Rolle, que señala que existe un número $x=c$ en $(a,b)$ tal que $h^{\prime }(c)=0$. Entonces se tiene:

$0=h^{\prime }(c)=f^{\prime }(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

así que

$f^{\prime }(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

2.6 Ejemplos de Aplicación

Ejemplo 3: Ilustrar el TVM con una función específica

Para ilustrar el Teorema del Valor Medio con una función específica, consideremos $f(x)=x^3-x$, $a=0$, $b=2$. Puesto que $f$ es una función polinomial, es continua y derivable para toda $x$, así que es ciertamente continua sobre $[0,2]$ y derivable sobre $(0,2)$. Por tanto, por el Teorema del Valor Medio, existe un número $c$ en $(0,2)$ tal que:

$f(2)-f(0)=f^{\prime }(c)(2-0)$

Ahora, $f(2)=6$, $f(0)=0$ y $f^{\prime }(x)=3x^2-1$, así que la ecuación resulta:

$6=(3c^2-1)\cdot 2=6c^2-2$

que da $c^2=\frac{4}{3}$, esto es, $c=\pm 2/\sqrt{3}$. Pero $c$ debe estar en $(0,2)$, así que $c=2/\sqrt{3}$.

La figura ilustra este cálculo: la recta tangente en este valor de $c$ es paralela a la recta secante $OB$.

Ejemplo 4: Aplicación a movimiento

Si un objeto se mueve en línea recta de acuerdo con la función posición $s=f(t)$, entonces la velocidad promedio entre $t=a$ y $t=b$ es:

$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

y la velocidad en $t=c$ es $f^{\prime }(c)$. Así, el Teorema del Valor Medio (en la forma de la ecuación 1) nos indica que en algún momento $t=c$ entre $a$ y $b$ la velocidad instantánea $f^{\prime }(c)$ es igual a la velocidad promedio. Por ejemplo, si un automóvil viajaba 180 km en 2 horas, entonces el velocímetro debe tener una lectura de 90 km/h por lo menos una vez.

Ejemplo 5: Suponga que f(0) = -3 y f'(x) \leq 5 para todos los valores de x. ¿Qué tan grande puede ser f(2)?

Solución: Partimos del hecho de que $f$ es derivable (y, por tanto, continua) en todo su dominio. En particular, podemos aplicar el Teorema del Valor Medio en el intervalo $[0,2]$. Existe un número $x=c$ tal que:

$f(2)-f(0)=f^{\prime }(c)(2-0)$

así que $f(2)=f(0)+2f^{\prime }(c)=-3+2f^{\prime }(c)$

Tenemos que $f^{\prime }(x)\le 5$ para toda $x$, así que, en particular, sabemos que $f^{\prime }(c)\le 5$. Multiplicando ambos lados de esta desigualdad por 2, tenemos $2f^{\prime }(c)\le 10$, así que:

$f(2)=-3+2f^{\prime }(c)\le -3+10=7$

El mayor valor posible para $f(2)$ es 7.

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3. Consecuencias del Teorema del Valor Medio

3.1 Teorema sobre Funciones con Derivada Cero

El Teorema del Valor Medio puede utilizarse para establecer algunos de los hechos básicos del Cálculo Diferencial. Uno de estos hechos básicos es el siguiente teorema:

Teorema 4

Si $f^{\prime }(x)=0$ para toda $x$ en un intervalo $(a,b)$, entonces $f$ es constante en $(a,b)$.

Demostración

Sean $x_1$ y $x_2$ dos números cualesquiera en $(a,b)$, con $x_1<x_2$. Dado que $f$ es derivable sobre $(a,b)$, debe ser derivable sobre $(x_1,x_2)$ y continua sobre $[x_1,x_2]$. Aplicando el Teorema del Valor Medio a $f$ sobre el intervalo $[x_1,x_2]$, obtenemos un número $x=c$ tal que $x_1<c<x_2$ y:

$f(x_2)-f(x_1)=f^{\prime }(c)(x_2-x_1)$

Ahora $f^{\prime }(c)=0$ por el supuesto de que $x_2-x_1>0$ ya que $x_1<x_2$. Así, el lado derecho de la ecuación es positivo, por lo que:

$f(x_2)-f(x_1)=0\text{o}f(x_2)=f(x_1)$

Ya hemos mostrado que $f(x_1)=f(x_2)$ para toda $x_1$ y $x_2$ en $(a,b)$. Puesto que ambas desigualdades deben ser verdaderas, la única posibilidad es que $f(x_1)=f(x_2)$ para cualesquiera números $x_1$ y $x_2$ en $(a,b)$, entonces $f$ es constante en $(a,b)$.

3.2 Corolario sobre Funciones con Derivadas Iguales

Corolario

Sean $x_1$ y $x_2$ dos números cualesquiera en el intervalo con $x_1<x_2$. Dado que $f$ es derivable sobre $(a,b)$, debe ser derivable sobre $(x_1,x_2)$ y continua sobre $[x_1,x_2]$. Aplicando el Teorema del Valor Medio a $f$ sobre el intervalo $[x_1,x_2]$, obtenemos un número $x=c$ tal que $x_1<c<x_2$ y:

$f(x_2)-f(x_1)=f^{\prime }(c)(x_2-x_1)$

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🎯 Conceptos Clave para Repasar

Resumen de Conceptos

1. Teorema de Rolle: Si $f$ es continua en $[a,b]$, derivable en $(a,b)$ y $f(a)=f(b)$ → existe $c$ con $f^{\prime }(c)=0$
2. Teorema del Valor Medio: Relaciona la razón de cambio promedio con la instantánea
3. Forma del TVM: $f^{\prime }(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ para algún $c$ en $(a,b)$
4. Interpretación geométrica: Existe un punto donde la tangente es paralela a la secante
5. Interpretación física: La velocidad instantánea iguala a la velocidad promedio en algún instante
6. Si $f^{\prime }(x)=0$ en un intervalo → $f$ es constante en ese intervalo
7. Las tres hipótesis del Teorema de Rolle son todas necesarias
8. El TVM es una generalización del Teorema de Rolle

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🚨 Errores Comunes

Error 1: Olvidar verificar las hipótesis

• Incorrecto: Aplicar el TVM sin verificar continuidad y derivabilidad
• Correcto: Siempre verificar que $f$ es continua en $[a,b]$ y derivable en $(a,b)$

Error 2: Confundir c con un valor específico conocido

• Incorrecto: Pensar que el TVM da el valor exacto de $c$
• Correcto: El TVM garantiza que existe al menos un $c$, pero puede haber varios

Error 3: Malinterpretar la ecuación del TVM

• Incorrecto: Pensar que $f^{\prime }(c)=f(b)-f(a)$
• Correcto: $f^{\prime }(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ (dividir por $b-a$)

Error 4: Aplicar Rolle cuando f(a) \neq f(b)

• Incorrecto: Usar Teorema de Rolle sin verificar que los valores en los extremos son iguales
• Correcto: Para Rolle se necesita $f(a)=f(b)$; para TVM general no se necesita esta condición

Error 5: Confundir el TVM con el Teorema del Valor Intermedio

• Incorrecto: Pensar que el TVM trata sobre alcanzar valores entre $f(a)$ y $f(b)$
• Correcto: El TVM trata sobre derivadas, no sobre valores de la función

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📝 Ejercicios Propuestos

Ejercicios de Práctica

Del libro (Sección 4.2):

1. Verifique que la función satisface las tres hipótesis del Teorema de Rolle en el intervalo dado. Luego encuentre todos los números $c$ que satisfacen la conclusión del Teorema de Rolle:

   • $f(x)=x^2-4x+1$ en $[0,4]$
   • $f(x)=\sqrt{x}-\frac{1}{3}x$ en $[0,9]$

2. Verifique que la función satisface las hipótesis del Teorema del Valor Medio en el intervalo dado. Luego encuentre todos los números $c$ que satisfacen la conclusión del TVM:

   • $f(x)=2x^2-3x+1$ en $[0,2]$
   • $f(x)=x^3-2x+1$ en $[-2,2]$

3. Demuestre que la ecuación $2x-1-\sin x=0$ tiene exactamente una solución real.

4. Si un objeto se mueve en línea recta con posición $s=f(t)$, demuestre que la velocidad promedio durante el intervalo de tiempo $[a,b]$ es la misma que la velocidad instantánea en algún tiempo $t=c$ en $(a,b)$.

5. Suponga que $f(1)=2$ y $f^{\prime }(x)\ge 3$ para $1\le x\le 4$. ¿Qué tan pequeño puede ser $f(4)$?

6. Demuestre que para todos los números $a$ y $b$: $|\sin b-\sin a|\le |b-a|$

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📚 Referencias

Lectura Principal

• Sección 4.2: Teorema del Valor Medio, págs. 280-287
• Stewart, James. “Cálculo de una Variable: Trascendentes Tempranas”, 7ª edición

Enlaces Relacionados

• 21) Valores Maximos y Minimos - Conceptos prerequisito
• Teorema-Rolle
• Teorema-Valor-Medio
• Teorema-Valor-Extremo

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Nota Histórica: Joseph Louis Lagrange

El Teorema del Valor Medio fue formulado por primera vez por el matemático francés Joseph Louis Lagrange (1736-1813), nacido en Italia de padre francés y madre italiana. Fue un niño prodigio y se convirtió en profesor en Turín a la tierna edad de 19 años. Lagrange hizo grandes contribuciones a la teoría de números, teoría de las funciones, teoría de las ecuaciones y a la mecánica celeste y analítica. En particular, aplicó el cálculo en el análisis de la estabilidad del sistema solar. Por invitación de Federico el Grande, sucedió a Euler en la Academia de Berlín y, cuando Federico murió, Lagrange aceptó la invitación a París del rey Luis XVI, donde recibió apartamentos en el Louvre y un cargo de profesor en la Escuela Politécnica. A pesar de todos los lujos y la fama, era un hombre tranquilo, viviendo sólo para la ciencia.

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Sugerencia de Estudio

El Teorema del Valor Medio es uno de los teoremas más importantes del cálculo. Aunque su demostración es técnica, su interpretación es intuitiva: en algún momento, la velocidad instantánea debe igualar a la velocidad promedio. Practica verificando las hipótesis antes de aplicar el teorema, y recuerda que es una generalización del Teorema de Rolle. Los ejemplos 2, 3 y 5 son especialmente importantes para entender las aplicaciones del teorema.

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✅ Checklist de Estudio

Lista de Verificación

• Comprendo las tres hipótesis del Teorema de Rolle
• Puedo explicar por qué Rolle es un caso especial del TVM
• Entiendo la interpretación geométrica del TVM (tangente paralela a secante)
• Entiendo la interpretación física del TVM (velocidad instantánea = promedio)
• Sé verificar las hipótesis antes de aplicar los teoremas
• Puedo encontrar el valor de $c$ que satisface el TVM para funciones específicas
• Comprendo que pueden existir múltiples valores de $c$
• Puedo usar el TVM para demostrar desigualdades
• Entiendo que si $f^{\prime }(x)=0$ entonces $f$ es constante
• Puedo demostrar que una ecuación tiene exactamente una raíz usando Rolle

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