Optimizacion

Definicion

Problemas de Optimizacion

Problemas que buscan encontrar el valor maximo o minimo de una cantidad, sujeto a ciertas restricciones.

Estrategia General

Pasos para Resolver Problemas de Optimizacion

1. Leer el problema cuidadosamente
2. Dibujar un diagrama si es posible
3. Introducir notacion: asignar simbolos a todas las cantidades
4. Expresar la cantidad a optimizar como funcion de una variable
5. Encontrar el dominio de la funcion
6. Calcular la derivada
7. Encontrar los Numeros-Criticos
8. Evaluar la funcion en los numeros criticos y extremos del dominio
9. Verificar que la respuesta tenga sentido

Tecnicas Comunes

Uso de Restricciones

A menudo tenemos dos variables relacionadas por una ecuacion de restriccion.

Estrategia: Usar la restriccion para eliminar una variable y expresar todo en terminos de una sola variable.

Ejemplo Tipico: Restriccion

Si queremos optimizar $A=xy$ con la restriccion $2x+y=100$:

• De la restriccion: $y=100-2x$
• Sustituir: $A(x)=x(100-2x)=100x-2x^2$
• Ahora optimizar $A(x)$

Tipos de Problemas

Problemas Comunes

• Geometricos: Maximizar area o volumen
• Economicos: Minimizar costo, maximizar ganancia
• Fisicos: Minimizar tiempo o distancia
• Diseno: Optimizar dimensiones

Verificacion

Verificar la Solucion

Es importante verificar que:

• El valor critico este en el dominio
• Sea realmente un maximo o minimo (usar prueba de la primera o segunda derivada)
• La respuesta tenga sentido en el contexto del problema

Ejemplos Clasicos

Ejemplo 1: Rectangulo de Area Maxima

Encontrar las dimensiones del rectangulo de area maxima con perimetro fijo $P$.

Solucion:

• Variables: largo $x$, ancho $y$
• Perimetro: $2x+2y=P⟹y=\frac{P}{2}-x$
• Area: $A=xy=x\left(\frac{P}{2}-x\right)=\frac{P}{2}x-x^2$
• $A^{\prime }(x)=\frac{P}{2}-2x=0⟹x=\frac{P}{4}$
• Entonces $y=\frac{P}{4}$

Conclusion: El rectangulo es un cuadrado.

Ejemplo 2: Caja Sin Tapa

De una hoja rectangular de carton de $12\times 20$ pulgadas, se cortan cuadrados de lado $x$ de cada esquina y se dobla para formar una caja sin tapa. Encontrar $x$ que maximiza el volumen.

Solucion:

• Dimensiones de la caja: $(12-2x)\times (20-2x)\times x$
• Volumen: $V(x)=x(12-2x)(20-2x)$
• Dominio: $0<x<6$
• Expandir y derivar para encontrar el maximo

Clases Relacionadas

• 27) Problemas de Optimizacion
• 21) Valores Maximos y Minimos
• 23) Como Afecta Derivada Forma Grafica

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