Concavidad

Definicion

Concavidad

• Concava hacia arriba: La grafica esta por encima de sus tangentes
• Concava hacia abajo: La grafica esta por debajo de sus tangentes

Criterio de la Segunda Derivada

Prueba de Concavidad

Sea $f$ una funcion con segunda derivada en un intervalo:

• Si $f^{\prime \prime }(x)>0$ en el intervalo, entonces $f$ es concava hacia arriba
• Si $f^{\prime \prime }(x)<0$ en el intervalo, entonces $f$ es concava hacia abajo

Punto de Inflexion

Definicion

Un punto $(c,f(c))$ es un punto de inflexion si:

• $f$ es continua en $c$
• $f$ cambia de concavidad en $c$

Condicion Necesaria

Si $(c,f(c))$ es punto de inflexion, entonces $f^{\prime \prime }(c)=0$ o $f^{\prime \prime }(c)$ no existe.

Ejemplos

Ejemplo 1: Funcion Cubica

Para $f(x)=x^3$:

• $f^{\prime }(x)=3x^2$
• $f^{\prime \prime }(x)=6x$

Analisis:

• $f^{\prime \prime }(x)>0$ si $x>0$ → concava hacia arriba
• $f^{\prime \prime }(x)<0$ si $x<0$ → concava hacia abajo
• $f^{\prime \prime }(0)=0$ → punto de inflexion en $(0,0)$

Ejemplo 2: Exponencial

Para $f(x)=e^x$:

• $f^{\prime \prime }(x)=e^x>0$ para todo $x$
• Siempre concava hacia arriba
• No tiene puntos de inflexion

Clases Relacionadas

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