Limites-Laterales

Límites Laterales

Definición

Límite por la Izquierda

${\lim }_{x\to a^{-}}f(x)=L$

El límite de $f(x)$ cuando $x$ tiende a $a$ por la izquierda es $L$ si podemos hacer que $f(x)$ se acerque arbitrariamente a $L$ tomando valores $x<a$ suficientemente cercanos a $a$.

Límite por la Derecha

${\lim }_{x\to a^{+}}f(x)=L$

El límite de $f(x)$ cuando $x$ tiende a $a$ por la derecha es $L$ si podemos hacer que $f(x)$ se acerque arbitrariamente a $L$ tomando valores $x>a$ suficientemente cercanos a $a$.

Notación

Notación	Significado	Se lee
${\lim }_{x\to a^{-}}f(x)$	Límite por la izquierda	”x tiende a ‘a’ por la izquierda”
${\lim }_{x\to a^{+}}f(x)$	Límite por la derecha	”x tiende a ‘a’ por la derecha”

Alternativa: También se escribe como:

• ${\lim }_{x\nearrow a}f(x)$ para límite por la izquierda
• ${\lim }_{x\searrow a}f(x)$ para límite por la derecha

Teorema Fundamental

Existencia del Límite

El límite ${\lim }_{x\to a}f(x)$ existe si y solo si:

${\lim }_{x\to a^{-}}f(x)={\lim }_{x\to a^{+}}f(x)=L$

Es decir, ambos límites laterales existen y son iguales.

Ejemplos

Ejemplo 1: Función de Heaviside

$H(t)=\{\begin{array}{ll}0& \text{si }t<0\\ 1& \text{si }t\ge 0\end{array}$

• ${\lim }_{t\to 0^{-}}H(t)=0$ (aproximándose por la izquierda)
• ${\lim }_{t\to 0^{+}}H(t)=1$ (aproximándose por la derecha)
• ${\lim }_{t\to 0}H(t)$ NO EXISTE (límites laterales diferentes)

Ejemplo 2: Función Continua

Para $f(x)=x^2$:

• ${\lim }_{x\to 2^{-}}f(x)=4$
• ${\lim }_{x\to 2^{+}}f(x)=4$
• ${\lim }_{x\to 2}f(x)=4$ (el límite existe)

Ejemplo 3: Función Definida por Partes

$g(x)=\{\begin{array}{ll}x+1& \text{si }x<3\\ 5& \text{si }x=3\\ 2x-3& \text{si }x>3\end{array}$

• ${\lim }_{x\to 3^{-}}g(x)=4$
• ${\lim }_{x\to 3^{+}}g(x)=3$
• ${\lim }_{x\to 3}g(x)$ NO EXISTE

Aplicaciones

Los límites laterales son fundamentales para:

1. Determinar discontinuidades: Identificar saltos en la función
2. Analizar asíntotas verticales: Ver comportamiento cerca de puntos problemáticos
3. Funciones definidas por partes: Verificar continuidad en los puntos de cambio
4. Estudio de derivadas: Analizar derivabilidad en un punto

Relación con Discontinuidades

Tipo de Discontinuidad	Límites Laterales
Removible	${\lim }_{x\to a^{-}}f(x)={\lim }_{x\to a^{+}}f(x)\ne f(a)$
Salto	${\lim }_{x\to a^{-}}f(x)\ne {\lim }_{x\to a^{+}}f(x)$
Infinita	Al menos un límite lateral es $\pm \infty$

Estrategia de Cálculo

Método

Para calcular límites laterales:

1. Por la izquierda ($x\to a^{-}$): Usar valores $x<a$ (ej: $a-0.1,a-0.01,...$)
2. Por la derecha ($x\to a^{+}$): Usar valores $x>a$ (ej: $a+0.1,a+0.01,...$)
3. Comparar: Si ambos coinciden, el límite existe

Clases Relacionadas

• 1) Limites de Funciones - Definición y ejemplos
• 6) Continuidad en Un Punto - Aplicación a continuidad

Conceptos Relacionados

• Limite-de-una-funcion
• Continuidad-y-Derivabilidad
• Limites-Infinitos

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