Limites Infinitos

Definicion

Limite Infinito Positivo

${\lim }_{x\to a}f(x)=\infty$

Los valores de $f(x)$ pueden ser arbitrariamente grandes (tan grandes como queramos), tomando $x$ suficientemente cerca de $a$, pero $x\ne a$.

Limite Infinito Negativo

${\lim }_{x\to a}f(x)=-\infty$

Los valores de $f(x)$ pueden ser negativos arbitrariamente grandes en valor absoluto, tomando $x$ suficientemente cerca de $a$, pero $x\ne a$.

Nota Importante

Escribir "${\lim }_{x\to a}f(x)=\infty$" es una notacion especial. NO significa que:

• El limite existe
• $\infty$ sea un numero

Simplemente describe la forma particular en que el limite no existe: la funcion crece sin cota.

Limites Infinitos Laterales

Limites por la Izquierda y Derecha

Los Limites infinitos tambiin pueden analizarse lateralmente:

Por la izquierda:

• ${\lim }_{x\to a^{-}}f(x)=\infty$
• ${\lim }_{x\to a^{-}}f(x)=-\infty$

Por la derecha:

• ${\lim }_{x\to a^{+}}f(x)=\infty$
• ${\lim }_{x\to a^{+}}f(x)=-\infty$

Relacion con Asintotas Verticales

Definicion - Asintota Vertical

La recta $x=a$ es una Asintota-Vertical de la curva $y=f(x)$ si al menos una de las siguientes afirmaciones es verdadera:

\lim_{x \to a^-} f(x) = \infty & \lim_{x \to a} f(x) = \infty & \lim_{x \to a^+} f(x) = \infty \\[1em] \lim_{x \to a^-} f(x) = -\infty & \lim_{x \to a} f(x) = -\infty & \lim_{x \to a^+} f(x) = -\infty \end{array}$$

Ejemplos

Ejemplo 1: f(x) = \frac{1}{x^2}

Problema: Encontrar ${\lim }_{x\to 0}\frac{1}{x^2}$

Analisis:

• Conforme $x\to 0$, $x^2\to 0^{+}$ (siempre positivo)
• Por tanto, $\frac{1}{x^2}\to \infty$
• Los valores pueden hacerse arbitrariamente grandes

Conclusion: ${\lim }_{x\to 0}\frac{1}{x^2}=\infty$

Asintota vertical: $x=0$

Ejemplo 2: f(x) = \frac{1}{x}

Analisis por ambos lados:

Por la derecha ($x\to 0^{+}$):

• Si $x>0$ y pequeño: $\frac{1}{x}$ es grande y positivo
• ${\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{1}{x}=\infty$

Por la izquierda ($x\to 0^{-}$):

• Si $x<0$ y pequeño: $\frac{1}{x}$ es grande y negativo
• ${\lim }_{x\to 0^{-}}\frac{1}{x}=-\infty$

Conclusion:

• El limite bilateral ${\lim }_{x\to 0}\frac{1}{x}$ no existe
• Pero podemos describir el comportamiento con Limites laterales
• Asintota vertical: $x=0$

Ejemplo 3: f(x) = \ln x cerca de x = 0

Analisis: ${\lim }_{x\to 0^{+}}\ln x=-\infty$

Cuando $x$ se acerca a 0 por la derecha, el logaritmo natural tiende a $-\infty$.

Nota: No existe ${\lim }_{x\to 0^{-}}\ln x$ porque $\ln x$ no esta definido para $x\le 0$.

Casos Comunes

Patrones Frecuentes

1. $\frac{c}{(x-a{)}^n}$ donde $n$ es par:
   • Si $c>0$: ${\lim }_{x\to a}f(x)=\infty$
   • Si $c<0$: ${\lim }_{x\to a}f(x)=-\infty$
2. $\frac{c}{(x-a{)}^n}$ donde $n$ es impar:
   • ${\lim }_{x\to a^{+}}f(x)=\pm \infty$
   • ${\lim }_{x\to a^{-}}f(x)=\mp \infty$
   • Signos dependen de $c$ y $n$
3. Funciones logaritmicas:
   • ${\lim }_{x\to 0^{+}}\ln x=-\infty$
   • ${\lim }_{x\to \infty }\ln x=\infty$
4. Funciones exponenciales:
   • ${\lim }_{x\to \infty }{e}^x=\infty$
   • ${\lim }_{x\to -\infty }{e}^x=0$

Propiedades de los Limites Infinitos

Operaciones con Infinito

Suma:

• $\infty +\infty =\infty$
• $-\infty +(-\infty )=-\infty$
• $\infty +c=\infty$ (para cualquier constante $c$)

Producto:

• $\infty \cdot \infty =\infty$
• $\infty \cdot c=\infty$ si $c>0$
• $\infty \cdot c=-\infty$ si $c<0$

Cociente:

• $\frac{c}{\infty }=0$ (cualquier constante entre infinito es cero)
• $\frac{\infty }{c}=\infty$ si $c>0$

Formas Indeterminadas

Algunas expresiones NO se pueden simplificar directamente:

• $\infty -\infty$
• $\frac{\infty }{\infty }$
• $\frac{0}{0}$
• $0\cdot \infty$
• $1^{\infty }$
• $0^0$
• ${\infty }^0$

Estrategia para Calcular

Metodo de Analisis

1. Identificar puntos problematicos: Valores donde el denominador se hace cero
2. Analisis del numerador: Ver si tiende a una constante no nula
3. Analisis del denominador: Ver si tiende a $0^{+}$ o $0^{-}$
4. Determinar el signo: Combinar signos del numerador y denominador
5. Verificar Limites laterales: Si hay duda, calcular por separado
6. Identificar asintotas: Marcar las asintotas verticales

Clases Relacionadas

• 1) Limites de Funciones - Introduccion
• 2) Limites Infinitos y Asintotas Verticales - Tema completo
• 9) Limites al Infinito y Asintotas Horizontales - Concepto relacionado

Conceptos Relacionados

• Limite-de-una-funcion
• Asintota-Vertical
• Asintota-Horizontal
• Limites-Laterales

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