2) Experimentos Aleatorios y Espacios de Probabilidad

Clase 2: Experimentos Aleatorios y Espacios de Probabilidad

📚 Introducción

En esta clase formalizamos los conceptos fundamentales de la teoría de probabilidades. Partiendo de ejemplos intuitivos, construimos el marco matemático riguroso que sustenta todo el análisis estadístico: los espacios de probabilidad. Este marco, desarrollado por Kolmogorov en 1933, unificó las diferentes aproximaciones a la probabilidad bajo una teoría axiomática coherente.

Objetivos de la Clase

• Definir formalmente qué es un experimento aleatorio
• Comprender el concepto de espacio muestral ($\Omega$)
• Entender qué es una σ-álgebra de eventos
• Conocer los axiomas de probabilidad
• Construir espacios de probabilidad
• Demostrar propiedades básicas de la probabilidad

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1. Experimentos Aleatorios

1.1 Definición

Definición - Experimento Aleatorio

Un experimento aleatorio corresponde a una situación cuyo resultado no se puede predecir con total certeza antes de realizarlo.

Características:

• Se puede repetir bajo las mismas condiciones
• El resultado específico no es predecible
• El conjunto de todos los resultados posibles es conocido

1.2 Ejemplos de Experimentos Aleatorios

Ejemplo 1: Lanzamiento de Dado

Experimento: Lanzar un dado y registrar el número de puntos en su cara superior al caer

Acción: Lanzar dado Registro: Número que muestra = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Ejemplo 2: Paridad del Dado

Experimento: Lanzar un dado y registrar si el número es par o impar

Acción: Lanzar dado Registro: Paridad = {par, impar}

Ejemplo 3: Tiempo de Espera

Experimento: Esperar un bus y registrar el tiempo hasta que este llega

Acción: Esperar Registro: Tiempo $t\in [0,\infty )$ minutos

Ejemplo 4: Resultado Específico

Experimento: Lanzar un dado y registrar si salió 6

Acción: Lanzar dado Registro: Resultado = {sí, no}

Nota Importante

El mismo experimento físico puede dar lugar a diferentes experimentos aleatorios dependiendo de qué registramos como resultado.

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2. Espacio Muestral

2.1 Definición

Definición - Espacio Muestral

El espacio muestral de un experimento corresponde al conjunto de todos sus resultados posibles. Usualmente se denota por $\Omega$ (omega mayúscula).

Un elemento genérico de $\Omega$ se denota por $\omega$ (omega minúscula).

2.2 Ejemplos de Espacios Muestrales

Ejemplo 1: Semáforos

Situación: Conduciendo hacia su trabajo, una persona debe pasar por tres semáforos. Se registran sus acciones en cada cruce: detenerse (d) o continuar (c).

Espacio muestral: $\Omega =\{ddd,ddc,dcd,dcc,cdd,cdc,ccd,ccc\}$

Este espacio tiene $|\Omega |=2^3=8$ elementos.

Ejemplo 2: Línea de Producción

Situación: En una línea de producción, se cuenta y registra el número de artículos defectuosos producidos en un período de 24 horas.

Espacio muestral: $\Omega =\{0,1,2,3,\dots \}={\mathbb{N}}_0$

Este es un espacio muestral infinito numerable.

Ejemplo 3: Movimientos Telúricos

Situación: Se registra, redondeado al minuto, el tiempo entre dos movimientos telúricos sucesivos que superan cierto umbral.

Espacio muestral:

• Si se redondea al minuto: $\Omega =\{0,1,2,3,\dots \}={\mathbb{N}}_0$
• Si no se redondea: $\Omega =[0,\infty )$

El segundo caso es un espacio muestral infinito no numerable.

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3. Eventos Aleatorios

3.1 Definición

Definición - Evento Aleatorio

Un evento aleatorio corresponde a cualquier subconjunto del espacio muestral $\Omega$.

Decimos que un evento $A$ ocurre si el resultado del experimento $\omega \in A$.

3.2 Ejemplos de Eventos

Ejemplo 1: Semáforos

Para $\Omega =\{ddd,ddc,dcd,dcc,cdd,cdc,ccd,ccc\}$:

Evento $A_1$: Continúa en los 3 semáforos $A_1=\{ccc\}$

Evento $A_2$: Se detiene exactamente en 2 semáforos $A_2=\{ddc,dcd,cdd\}$

Ejemplo 2: Línea de Producción

Para $\Omega =\{0,1,2,3,\dots \}$:

Evento $B_1$: No se detectan elementos defectuosos $B_1=\{0\}$

Evento $B_2$: Se observan menos de 4 defectuosos $B_2=\{0,1,2,3\}$

Ejemplo 3: Movimientos Telúricos

Para $\Omega =\{0,1,2,\dots ,60,\dots \}$ (en minutos):

Evento $C_1$: Tiempo entre sismos es a lo más 1 hora $C_1=\{0,1,2,\dots ,60\}$

Evento $C_2$: Tiempo entre sismos está entre 3 y 5 minutos (inclusives) $C_2=\{3,4,5\}$

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4. σ-Álgebras de Eventos

4.1 Motivación

No todos los subconjuntos de $\Omega$ necesariamente tienen una probabilidad bien definida. Necesitamos especificar qué subconjuntos (eventos) podemos medir.

4.2 Definición de σ-Álgebra

Definición - σ-Álgebra

Una σ-álgebra (sigma-álgebra) de subconjuntos de $\Omega$ es una familia $\mathcal{F}$ que cumple:

1. Contiene a $\Omega$: $\Omega \in \mathcal{F}$

2. Cerrada bajo complementos: Si $A\in \mathcal{F}$, entonces $A^c\in \mathcal{F}$

3. Cerrada bajo uniones numerables: Si $A_1,A_2,A_3,\dots \in \mathcal{F}$, entonces ${\bigcup }_{i=1}^{\infty }{A}_i\in \mathcal{F}$

Los elementos de $\mathcal{F}$ se llaman eventos medibles o simplemente eventos.

4.3 Conjunto Potencia

Conjunto Potencia

El conjunto de todos los subconjuntos posibles de $\Omega$ forma una σ-álgebra llamada conjunto potencia, denotada por $2^{\Omega }$ o $\mathcal{P}(\Omega )$.

Si $\Omega$ tiene $n$ elementos, entonces: $|2^{\Omega }|=2^n$

Ejemplo: Conjunto Potencia

Para $\Omega =\{1,2,3\}$:

$2^{\Omega }=\{\varnothing ,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}\}$

Tiene $2^3=8$ elementos.

4.4 Ejemplos de σ-Álgebras

Ejemplo 1: σ-Álgebra para Dados

Para $\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}$ (lanzamiento de dado):

σ-álgebra trivial: ${\mathcal{F}}_1=\{\varnothing ,\Omega \}$

σ-álgebra de paridad: ${\mathcal{F}}_2=\{\varnothing ,\{1,3,5\},\{2,4,6\},\Omega \}$

σ-álgebra para número 6: ${\mathcal{F}}_3=\{\varnothing ,\{6\},\{1,2,3,4,5\},\Omega \}$

Conjunto potencia: ${\mathcal{F}}_4=2^{\Omega }$ (con 64 elementos)

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5. Propiedades de σ-Álgebras

5.1 Propiedades Básicas

Teorema - Propiedades de σ-Álgebras

Si $\mathcal{F}$ es una σ-álgebra de subconjuntos de $\Omega$, entonces:

1. Contiene el vacío: $\varnothing \in \mathcal{F}$

2. Cerrada bajo intersecciones: Si $A,B\in \mathcal{F}$, entonces $A\cap B\in \mathcal{F}$

3. Cerrada bajo diferencias: Si $A,B\in \mathcal{F}$, entonces $A\cap B^c\in \mathcal{F}$

4. Cerrada bajo diferencias simétricas: Si $A,B\in \mathcal{F}$, entonces $(A\cap B^c)\cup (B\cap A^c)\in \mathcal{F}$

5. Cerrada bajo intersecciones numerables: Si $A_1,A_2,\dots \in \mathcal{F}$, entonces ${\bigcap }_{i=1}^{\infty }{A}_i\in \mathcal{F}$

5.2 Demostraciones

Demostración - Propiedad 1: \emptyset \in \mathcal{F}

Demostración:

• Por axioma 1: $\Omega \in \mathcal{F}$
• Por axioma 2: ${\Omega }^c\in \mathcal{F}$
• Pero ${\Omega }^c=\varnothing$
• Por lo tanto: $\varnothing \in \mathcal{F}$ □

Demostración - Propiedad 2: A \cap B \in \mathcal{F}

Demostración:

• Si $A,B\in \mathcal{F}$
• Por axioma 2: $A^c,B^c\in \mathcal{F}$
• Por axioma 3: $A^c\cup B^c\in \mathcal{F}$
• Por axioma 2: $(A^c\cup B^c{)}^c\in \mathcal{F}$
• Por ley de De Morgan: $(A^c\cup B^c{)}^c=A\cap B$
• Por lo tanto: $A\cap B\in \mathcal{F}$ □

Demostración - Propiedad 3: A \cap B^c \in \mathcal{F}

Demostración:

• Si $A,B\in \mathcal{F}$
• Por axioma 2: $B^c\in \mathcal{F}$
• Por propiedad 2: $A\cap B^c\in \mathcal{F}$ □

Demostración - Propiedad 4: Diferencia Simétrica

Demostración:

• Si $A,B\in \mathcal{F}$
• Por propiedad 3: $A\cap B^c\in \mathcal{F}$ y $B\cap A^c\in \mathcal{F}$
• Por axioma 3: $(A\cap B^c)\cup (B\cap A^c)\in \mathcal{F}$ □

Demostración - Propiedad 5: Intersección Numerable

Demostración:

• Si $A_1,A_2,\dots \in \mathcal{F}$
• Por axioma 2: $A_1^c,A_2^c,\dots \in \mathcal{F}$
• Por axioma 3: ${\bigcup }_{i=1}^{\infty }{A}_i^c\in \mathcal{F}$
• Por axioma 2: ${\left({\bigcup }_{i=1}^{\infty }{A}_i^c\right)}^c\in \mathcal{F}$
• Por ley de De Morgan: ${\left({\bigcup }_{i=1}^{\infty }{A}_i^c\right)}^c={\bigcap }_{i=1}^{\infty }{A}_i$
• Por lo tanto: ${\bigcap }_{i=1}^{\infty }{A}_i\in \mathcal{F}$ □

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6. Espacios de Probabilidad

6.1 Espacio Medible

Definición - Espacio Medible

El par $(\Omega ,\mathcal{F})$, donde:

• $\Omega$ es no vacío
• $\mathcal{F}$ es una σ-álgebra de subconjuntos de $\Omega$

se denomina espacio medible.

6.2 Medida de Probabilidad - Axiomas de Kolmogorov

Definición - Medida de Probabilidad

Sea $(\Omega ,\mathcal{F})$ un espacio medible. Una medida de probabilidad $\mathbb{P}$ es una función: $\mathbb{P}:\mathcal{F}\to [0,1]$

que cumple los Axiomas de Kolmogorov:

Axioma I (Normalización): $\mathbb{P}(\Omega )=1$

Axioma II (No negatividad): $\mathbb{P}(A)\ge 0$, para todo $A\in \mathcal{F}$

Axioma III (σ-aditividad): Si $A_1,A_2,A_3,\dots \in \mathcal{F}$ son disjuntos dos a dos, entonces: $\mathbb{P}\left({\bigcup }_{i=1}^{\infty }{A}_i\right)={\sum }_{i=1}^{\infty }\mathbb{P}(A_i)$

Eventos Disjuntos

Decimos que $A_1,A_2,\dots$ son disjuntos dos a dos (o mutuamente excluyentes) si: $A_i\cap A_j=\varnothing \text{para todo }i\ne j$

6.3 Espacio de Probabilidad

Definición - Espacio de Probabilidad

El trío $(\Omega ,\mathcal{F},\mathbb{P})$, donde:

• $\Omega$ es no vacío (espacio muestral)
• $\mathcal{F}$ es una σ-álgebra de subconjuntos de $\Omega$
• $\mathbb{P}$ es una medida de probabilidad

se denomina espacio de probabilidad.

Este es el marco fundamental de la teoría de probabilidades moderna.

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7. Ejemplos de Espacios de Probabilidad

7.1 Ejemplo 1: Espacio Discreto Finito

Ejemplo: Moneda Sesgada

Situación: Lanzamiento de una moneda sesgada

Construcción del espacio de probabilidad:

1. Espacio muestral: $\Omega =\{{\omega }_1,{\omega }_2\}=\{C,S\}$ (cara, sello)

2. σ-álgebra: $\mathcal{F}=2^{\Omega }=\{\varnothing ,\{C\},\{S\},\{C,S\}\}$

3. Medida de probabilidad: Definimos

   • $\mathbb{P}(\varnothing )=0$
   • $\mathbb{P}(\{C\})=1/4$
   • $\mathbb{P}(\{S\})=3/4$
   • $\mathbb{P}(\{C,S\})=1$

Verificación de axiomas:

• Axioma I: $\mathbb{P}(\Omega )=\mathbb{P}(\{C,S\})=1$ ✓
• Axioma II: Todas las probabilidades son $\ge 0$ ✓
• Axioma III: $\mathbb{P}(\{C\}\cup \{S\})=\mathbb{P}(\{C\})+\mathbb{P}(\{S\})=1/4+3/4=1$ ✓

Por lo tanto, $(\Omega ,\mathcal{F},\mathbb{P})$ es un espacio de probabilidad.

7.2 Ejemplo 2: Espacio Continuo

Ejemplo: Espacio Continuo en \mathbb{R}

Situación: Medición continua en los reales

Construcción:

1. Espacio muestral: $\Omega =\mathbb{R}$

2. σ-álgebra: $\mathcal{F}=\{\varnothing ,\mathbb{R},A_1,A_2\}$ donde:

   • $A_1=(-\infty ,0]$
   • $A_2=(0,+\infty )$

3. Medida de probabilidad:

   • $\mathbb{P}(\varnothing )=0$
   • $\mathbb{P}(A_1)=1/3$
   • $\mathbb{P}(A_2)=2/3$
   • $\mathbb{P}(\mathbb{R})=1$

Verificación: Se puede verificar que cumple los tres axiomas.

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8. Propiedades Básicas de la Probabilidad

8.1 Propiedades Derivadas

Teorema - Propiedades Básicas

Sea $(\Omega ,\mathcal{F},\mathbb{P})$ un espacio de probabilidad. Entonces:

1. Probabilidad del complemento: $\mathbb{P}(A^c)=1-\mathbb{P}(A)$

2. Probabilidad del vacío: $\mathbb{P}(\varnothing )=0$

3. Acotación: $0\le \mathbb{P}(A)\le 1$ para todo $A\in \mathcal{F}$

4. Diferencia: $\mathbb{P}(B\cap A^c)=\mathbb{P}(B)-\mathbb{P}(A\cap B)$

5. Inclusión-Exclusión (2 eventos): $\mathbb{P}(A\cup B)=\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)-\mathbb{P}(A\cap B)$

6. Monotonía: Si $A\subseteq B$, entonces $\mathbb{P}(A)\le \mathbb{P}(B)$

7. Subaditividad: $\mathbb{P}\left({\bigcup }_{i=1}^n{A}_i\right)\le {\sum }_{i=1}^n\mathbb{P}(A_i)$

8.2 Demostraciones

Demostración - Propiedad 1: Complemento

Demostración:

• Sabemos que $A$ y $A^c$ son disjuntos y $A\cup A^c=\Omega$
• Por σ-aditividad: $\mathbb{P}(A\cup A^c)=\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(A^c)$
• Por Axioma I: $\mathbb{P}(\Omega )=1$
• Por lo tanto: $1=\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(A^c)$
• Despejando: $\mathbb{P}(A^c)=1-\mathbb{P}(A)$ □

Demostración - Propiedad 2: Vacío

Demostración:

• Por Axioma I: $\mathbb{P}(\Omega )=1$
• Por Propiedad 1: $\mathbb{P}({\Omega }^c)=1-\mathbb{P}(\Omega )=1-1=0$
• Pero ${\Omega }^c=\varnothing$
• Por lo tanto: $\mathbb{P}(\varnothing )=0$ □

Demostración - Propiedad 5: Inclusión-Exclusión

Demostración:

• Podemos escribir $A\cup B$ como unión de eventos disjuntos: $A\cup B=(A\cap B^c)\cup (A\cap B)\cup (B\cap A^c)$
• Por σ-aditividad: $\mathbb{P}(A\cup B)=\mathbb{P}(A\cap B^c)+\mathbb{P}(A\cap B)+\mathbb{P}(B\cap A^c)$
• Además: $A=(A\cap B)\cup (A\cap B^c)$ (disjuntos)
• Y: $B=(B\cap A)\cup (B\cap A^c)$ (disjuntos)
• Por lo tanto: $\mathbb{P}(A)=\mathbb{P}(A\cap B)+\mathbb{P}(A\cap B^c)$ $\mathbb{P}(B)=\mathbb{P}(A\cap B)+\mathbb{P}(B\cap A^c)$
• Sumando estas dos ecuaciones: $\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)=\mathbb{P}(A\cap B^c)+2\mathbb{P}(A\cap B)+\mathbb{P}(B\cap A^c)$
• Despejando: $\mathbb{P}(A\cap B^c)+\mathbb{P}(A\cap B)+\mathbb{P}(B\cap A^c)=\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)-\mathbb{P}(A\cap B)$
• Por lo tanto: $\mathbb{P}(A\cup B)=\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)-\mathbb{P}(A\cap B)$ □

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9. Resumen de Conceptos

Puntos Clave de la Clase

1. Experimento Aleatorio: Situación con resultado impredecible

2. Espacio Muestral ($\Omega$): Conjunto de todos los resultados posibles

3. Evento: Cualquier subconjunto del espacio muestral

4. σ-Álgebra ($\mathcal{F}$): Colección de eventos medibles que cumple:

   • Contiene a $\Omega$
   • Cerrada bajo complementos
   • Cerrada bajo uniones numerables

5. Medida de Probabilidad ($\mathbb{P}$): Función que asigna probabilidades cumpliendo:

   • Axioma I: $\mathbb{P}(\Omega )=1$
   • Axioma II: $\mathbb{P}(A)\ge 0$
   • Axioma III: σ-aditividad

6. Espacio de Probabilidad: Trío $(\Omega ,\mathcal{F},\mathbb{P})$

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🎯 Conceptos Clave para Repasar

1. Experimento aleatorio vs experimento determinístico
2. Espacio muestral: finito, infinito numerable, infinito no numerable
3. σ-álgebra: propiedades y ejemplos
4. Axiomas de Kolmogorov: base de la teoría moderna
5. Propiedades derivadas: complemento, inclusión-exclusión, monotonía

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📖 Términos Importantes

• Experimento-Aleatorio
• Espacio-Muestral
• Evento-Aleatorio
• Sigma-Algebra
• Espacio-Medible
• Medida-de-Probabilidad
• Espacio-de-Probabilidad
• Axiomas-de-Kolmogorov

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🔗 Conexiones con Otras Clases

• Clase 1: Clase-01-The-Lady-Tasting-Tea - Motivación intuitiva
• Clase 3: Clase-03-Técnicas-de-Conteo - Cálculo de probabilidades en espacios equiprobables
• Clase 4: Clase-04-Probabilidad-Condicional - Refinamiento del espacio de probabilidad