10) Reducción por Filas y Formas Escalonadas - Parte 2

Clase 10: Reducción por Filas y Formas Escalonadas - Parte 2

📚 Introducción

Esta clase completa el algoritmo de reducción por filas introduciendo el Paso 5 (fase regresiva), que transforma una matriz en forma escalonada a forma escalonada reducida. Este algoritmo completo es fundamental para resolver sistemas lineales y responder definitivamente a las preguntas de existencia y unicidad de soluciones planteadas en la Sección 1.1.

También introduciremos el importante concepto de pivote, que identifica las entradas utilizadas para crear ceros mediante operaciones de fila, y exploraremos cómo el algoritmo se comporta en diferentes escenarios.

Objetivos de la Clase

• Completar el algoritmo de reducción por filas con la fase regresiva (Paso 5)
• Dominar la transformación de forma escalonada a forma escalonada reducida
• Comprender el concepto de pivote y pivoteo parcial
• Aplicar el algoritmo completo de reducción por filas a ejemplos diversos
• Resolver sistemas lineales usando el algoritmo completo

---

1. Completando el Algoritmo de Reducción

1.1 Repaso: Ejemplo 3 (Continuación)

Recordemos donde terminamos en la Clase 9. Habíamos obtenido la forma escalonada:

$\left[\begin{array}{cccccc}3& -9& 12& -9& 6& 15\\ 0& 2& -4& 4& 2& -6\\ 0& 3& -6& 6& 4& -5\end{array}\right]$

Siguiente columna pivote ↑

PASO 2 (continuación): Seleccione como pivote una entrada diferente de cero en la columna pivote. Si es necesario, intercambie filas para mover esta entrada a la posición pivote.

Intercambie a las filas 1 y 3: (O bien, también se podrían intercambiar las filas 1 y 2)

$\left[\begin{array}{cccccc}3& -9& 12& -9& 6& 15\\ 3& -7& 8& -5& 8& 9\\ 0& 3& -6& 6& 4& -5\end{array}\right]$

Pivote ↑

PASO 3: Utilice operaciones de remplazo de filas para crear ceros en todas las posiciones ubicadas debajo del pivote.

Como paso preliminar, se podría dividir la fila superior entre el pivote, 3. Pero con dos números 3 en la columna 1, esto es tan fácil como sumar la fila 1 multiplicada por $-1$ a la fila 2:

$\left[\begin{array}{cccccc}3& -9& 12& -9& 0& -9\\ 0& 2& -4& 4& 2& -6\\ 0& 3& -6& 6& 4& -5\end{array}\right]$

Siguiente columna pivote ↑

PASO 3 (continuación): Con la fila 1 cubierta, el paso 1 muestra que la columna 2 es la próxima columna pivote; para el paso 2, seleccione como pivote la entrada “superior” en esa columna:

$\left[\begin{array}{cccccc}3& -9& 12& -9& 0& -9\\ 0& 2& -4& 4& 2& -6\\ 0& 3& -6& 6& 4& -5\end{array}\right]$

Pivote ↑

En el paso 3, se podría insertar un paso adicional de dividir la fila “superior” de la submatriz entre el pivote, 2. En vez de ello, se suma la fila 2 multiplicada por $-3/2$ a la fila 3:

$\left[\begin{array}{cccccc}3& -9& 12& -9& 0& -9\\ 0& 2& -4& 4& 2& -6\\ 0& 0& 0& 0& 1& 4\end{array}\right]$

PASO 4: Empezando con la posición pivote del extremo derecho y trabajando hacia arriba y hacia la izquierda, genere ceros arriba de cada pivote. Si un pivote no es 1, conviértalo en 1 mediante una operación de escalamiento.

Con la fila 1 cubierta, el paso 1 muestra que la columna 5 es la próxima columna pivote.

$\left[\begin{array}{cccccc}3& -9& 12& -9& 0& -9\\ 0& 2& -4& 4& 2& -6\\ 0& 0& 0& 0& 1& 4\end{array}\right]$

Pivote ↑

Los pasos 1 a 3 no necesitan aplicarse para esta submatriz, pues ya se ha alcanzado una forma escalonada para la matriz completa. Esta es la forma escalonada de la matriz original.

1.2 Paso 5: Fase Regresiva

PASO 5 - Conversión a Forma Escalonada Reducida

Empezando con la posición pivote del extremo derecho y trabajando hacia arriba y hacia la izquierda, genere ceros arriba de cada pivote. Si un pivote no es 1, conviértalo en 1 mediante una operación de escalamiento.

Los pasos 1 a 4 se conocen como fase progresiva del algoritmo de reducción por filas. El paso 5, que produce la única forma escalonada reducida, se conoce como fase regresiva.

Continuación del Ejemplo 3 - Fase Regresiva

PASO 5 (continuación):

El pivote del extremo derecho está en la fila 3. Genere ceros arriba de él, sumando múltiplos adecuados de la fila 3 a las filas 1 y 2:

Fila 1 $\leftarrow$ Fila 1 + $(-0)$ · Fila 3 = Fila 1 (no cambia) Fila 2 $\leftarrow$ Fila 2 + $(-2)$ · Fila 3

$\left[\begin{array}{cccccc}3& -9& 12& -9& 0& -9\\ 0& 2& -4& 4& 0& -14\\ 0& 0& 0& 0& 1& 4\end{array}\right]$

El siguiente pivote se encuentra en la fila 2. Se escala esta fila dividiéndola entre el pivote:

Fila 2 $\leftarrow$ Fila 2 · $\frac{1}{2}$

$\left[\begin{array}{cccccc}3& -9& 12& -9& 0& -9\\ 0& 1& -2& 2& 0& -7\\ 0& 0& 0& 0& 1& 4\end{array}\right]$

Cree un cero en la columna 2 sumando la fila 2 multiplicada por 9 a la fila 1:

Fila 1 $\leftarrow$ Fila 1 + $9$ · Fila 2

$\left[\begin{array}{cccccc}3& 0& -6& 9& 0& -72\\ 0& 1& -2& 2& 0& -7\\ 0& 0& 0& 0& 1& 4\end{array}\right]$

Finalmente, escale la fila 1 dividiéndola entre el pivote, 3:

Fila 1 $\leftarrow$ Fila 1 · $\frac{1}{3}$

$\left[\begin{array}{cccccc}1& 0& -2& 3& 0& -24\\ 0& 1& -2& 2& 0& -7\\ 0& 0& 0& 0& 1& 4\end{array}\right]$

Esta es la forma escalonada reducida de la matriz original. ■

---

2. El Concepto de Pivote

2.1 Definición y Características

Definición - Pivote

Un pivote es un número distinto de cero en una posición pivote que se utiliza conforme se necesite crear ceros mediante operaciones de fila.

Observaciones sobre Pivotes

• Los pivotes en el ejemplo 2 fueron 1, 2 y $-5$
• Estos números NO son los mismos que los elementos reales de $A$ en las posiciones pivote indicadas en (3)
• La forma escalonada reducida muestra que los pivotes finales son todos 1
• En la práctica, el valor exacto del pivote puede variar según las operaciones realizadas

2.2 Pivoteo Parcial

Nota Numérica - Pivoteo Parcial

En el paso 2 que se describió antes, un programa computacional por lo general selecciona como pivote a la entrada en una columna que tenga el mayor valor absoluto. Esta estrategia, llamada pivoteo parcial, se utiliza porque reduce los errores de redondeo en los diversos cálculos.

---

3. Ejemplos Adicionales del Algoritmo Completo

3.1 Ejemplo Completo - Sistema con Solución Única

Ejemplo: Sistema 3×3 con Solución Única

Resuelva el siguiente sistema usando el algoritmo de reducción por filas:

$\{\begin{array}{l}{x}_1+5x_2+2x_3=-6\\ 4x_2-7x_3=2\\ 5x_3=0\end{array}$

Solución:

La matriz aumentada ya está en forma escalonada:

$\left[\begin{array}{cccc}1& 5& 2& -6\\ 0& 4& -7& 2\\ 0& 0& 5& 0\end{array}\right]$

Aplicamos el Paso 5 (fase regresiva):

5.1 - El pivote del extremo derecho está en la fila 3. Generamos ceros sobre él.

Primero escalamos la fila 3 dividiéndola entre 5:

$\left[\begin{array}{cccc}1& 5& 2& -6\\ 0& 4& -7& 2\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right]$

Eliminamos $x_3$ en las ecuaciones 1 y 2:

Fila 2 $\leftarrow$ Fila 2 + $7$ · Fila 3:

$\left[\begin{array}{cccc}1& 5& 2& -6\\ 0& 4& 0& 2\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right]$

Fila 1 $\leftarrow$ Fila 1 + $(-2)$ · Fila 3:

$\left[\begin{array}{cccc}1& 5& 0& -6\\ 0& 4& 0& 2\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right]$

5.2 - El siguiente pivote está en la fila 2. Escalamos esta fila dividiéndola entre 4:

$\left[\begin{array}{cccc}1& 5& 0& -6\\ 0& 1& 0& \frac{1}{2}\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right]$

Eliminamos $x_2$ en la ecuación 1:

Fila 1 $\leftarrow$ Fila 1 + $(-5)$ · Fila 2:

$\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& -\frac{17}{2}\\ 0& 1& 0& \frac{1}{2}\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right]$

Solución única: $x_1=-\frac{17}{2}$, $x_2=\frac{1}{2}$, $x_3=0$ ■

3.2 Ejemplo - Sistema sin Solución

Ejemplo: Sistema Inconsistente

Determine si el siguiente sistema es consistente:

$\{\begin{array}{llcc}{x}_1-2x_2& & & =0\\ 2x_2-8x_3& & =8& \\ -4x_1+5x_2+9x_3& =-9& & \end{array}$

Solución:

Matriz aumentada:

$\left[\begin{array}{cccc}1& -2& 0& 0\\ 0& 2& -8& 8\\ -4& 5& 9& -9\end{array}\right]$

Aplicamos operaciones de fila:

Fila 3 $\leftarrow$ Fila 3 + $4$ · Fila 1:

$\left[\begin{array}{cccc}1& -2& 0& 0\\ 0& 2& -8& 8\\ 0& -3& 9& -9\end{array}\right]$

Fila 3 $\leftarrow$ Fila 3 + $\frac{3}{2}$ · Fila 2:

$\left[\begin{array}{cccc}1& -2& 0& 0\\ 0& 2& -8& 8\\ 0& 0& 0& 3\end{array}\right]$

La tercera fila representa la ecuación $0=3$, que es imposible.

Conclusión: El sistema es inconsistente (no tiene solución). ■

3.3 Ejemplo - Sistema con Infinitas Soluciones

Ejemplo: Sistema con Infinitas Soluciones

Resuelva el sistema:

$\{\begin{array}{ll}{x}_1+5x_2-2x_3& =-6\\ 4x_2-7x_3& =2\end{array}$

Solución:

Matriz aumentada ya en forma escalonada:

$\left[\begin{array}{cccc}1& 5& -2& -6\\ 0& 4& -7& 2\end{array}\right]$

Aplicamos fase regresiva:

Fila 2 $\leftarrow$ Fila 2 · $\frac{1}{4}$:

$\left[\begin{array}{cccc}1& 5& -2& -6\\ 0& 1& -\frac{7}{4}& \frac{1}{2}\end{array}\right]$

Fila 1 $\leftarrow$ Fila 1 + $(-5)$ · Fila 2:

$\left[\begin{array}{cccc}1& 0& \frac{27}{4}& -\frac{29}{2}\\ 0& 1& -\frac{7}{4}& \frac{1}{2}\end{array}\right]$

El sistema correspondiente es:

$\{\begin{array}{l}{x}_1+\frac{27}{4}{x}_3=-\frac{29}{2}\\ x_2-\frac{7}{4}{x}_3=\frac{1}{2}\end{array}$

Como $x_3$ es una variable libre, el sistema tiene infinitas soluciones:

$\{\begin{array}{l}{x}_1=-\frac{29}{2}-\frac{27}{4}{x}_3\\ x_2=\frac{1}{2}+\frac{7}{4}{x}_3\\ x_3=x_3\text{(libre)}\end{array}$

Donde $x_3$ puede tomar cualquier valor real. ■

---

4. Soluciones de Sistemas Lineales

4.1 Tipos de Soluciones

Teorema - Existencia y Unicidad (Revisitado)

Un sistema lineal es consistente si y solo si la columna de aumentación (columna de términos constantes) NO es una columna pivote.

Si el sistema es consistente, entonces:

• Tiene solución única si no hay variables libres
• Tiene infinitas soluciones si hay al menos una variable libre

4.2 Identificación Rápida del Tipo de Solución

Dada la forma escalonada reducida de una matriz aumentada:

Forma RREF	Tipo de Solución	Razón
$\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& a\\ 0& 1& 0& b\\ 0& 0& 1& c\end{array}\right]$	Solución única	Todas las columnas de coeficientes son pivote
$\left[\begin{array}{cccc}1& 0& \ast & a\\ 0& 1& \ast & b\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$	Infinitas soluciones	Hay columnas no pivote (variables libres)
$\left[\begin{array}{cccc}1& 0& \ast & a\\ 0& 1& \ast & b\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$	Sin solución	La columna aumentada es pivote ($0=1$)

---

5. Resumen del Algoritmo Completo

Algoritmo de Reducción por Filas - Completo

FASE PROGRESIVA (Pasos 1-4): Producir forma escalonada

1. Comenzar con la columna diferente de cero del extremo izquierdo (columna pivote)
2. Seleccionar pivote (entrada diferente de cero en columna pivote). Intercambiar filas si es necesario
3. Crear ceros debajo del pivote usando operaciones de remplazo
4. Cubrir la fila con el pivote y repetir pasos 1-3 en la submatriz restante hasta llegar a forma escalonada

FASE REGRESIVA (Paso 5): Producir forma escalonada reducida

5. Empezando con el pivote del extremo derecho, trabajar hacia arriba y a la izquierda:
   • Escalar cada fila pivote para que el pivote sea 1
   • Crear ceros arriba de cada pivote

---

🎯 Conceptos Clave para Repasar

Resumen de Conceptos

1. Fase Regresiva (Paso 5): Convierte forma escalonada en forma escalonada reducida
2. Pivote: Número distinto de cero usado para crear ceros mediante operaciones de fila
3. Pivoteo Parcial: Estrategia computacional que selecciona el pivote de mayor valor absoluto
4. Algoritmo Completo: Combina fase progresiva (1-4) y fase regresiva (5)
5. Identificación de Soluciones: La RREF revela inmediatamente el tipo de solución
6. Variables Libres: Variables correspondientes a columnas no pivote

---

🚨 Errores Comunes

Error 1: No Escalar los Pivotes a 1

• Incorrecto: Dejar pivotes con valores diferentes de 1 en la forma escalonada reducida
• Correcto: En la fase regresiva, escalar cada fila para que su pivote sea exactamente 1

Error 2: Olvidar Generar Ceros Arriba de los Pivotes

• Incorrecto: Solo eliminar entradas debajo de los pivotes
• Correcto: En el Paso 5, trabajar de derecha a izquierda creando ceros arriba de cada pivote

Error 3: Trabajar en Orden Incorrecto en Fase Regresiva

• Incorrecto: Empezar desde el pivote superior izquierdo
• Correcto: Empezar desde el pivote del extremo derecho y trabajar hacia arriba e izquierda

Error 4: Confundir Variables Libres con Variables Pivote

• Problema: No identificar correctamente cuáles variables son libres
• Solución: Las variables libres corresponden a columnas sin posición pivote

Error 5: Aplicar Operaciones que Destruyen el Trabajo Previo

• Incorrecto: Usar operaciones que crean nuevas entradas diferentes de cero donde ya se habían creado ceros
• Correcto: Ser cuidadoso en el Paso 5 de solo afectar las entradas arriba del pivote actual

---

📝 Ejercicios Propuestos

Ejercicios Nivel Básico (1-5)

Convertir las siguientes matrices en forma escalonada a forma escalonada reducida:

1. $\left[\begin{array}{cccc}2& 4& -2& 6\\ 0& 3& 9& -12\\ 0& 0& 5& 10\end{array}\right]$

2. $\left[\begin{array}{cccc}1& 3& 5& 7\\ 0& 1& 2& 3\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$

3. $\left[\begin{array}{ccc}3& -6& 9\\ 0& 2& -4\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

4. $\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 4\\ 0& 2& 0& 8\\ 0& 0& -3& 6\end{array}\right]$

5. Identificar cuáles de las matrices anteriores representan sistemas consistentes

Ejercicios Nivel Intermedio (6-10)

Resolver completamente usando el algoritmo de reducción por filas:

6. $\{\begin{array}{l}2x_1+4x_2-2x_3=6\\ -4x_1-5x_2+x_3=-8\\ 2x_1-5x_2-4x_3=1\end{array}$

7. $\{\begin{array}{l}{x}_1-2x_2+x_3=0\\ 2x_2-8x_3=8\\ -4x_1+5x_2+9x_3=-9\end{array}$

8. Determinar todos los valores de $h$ para los que el siguiente sistema sea consistente: $\{\begin{array}{l}{x}_1+3x_2=2\\ -4x_1+h{x}_2=8\end{array}$

9. Aplicar el algoritmo completo (fases progresiva y regresiva) a: $\left[\begin{array}{cccc}1& 3& 4& 7\\ 3& 9& 7& 6\\ -1& -3& 2& 0\end{array}\right]$

10. Explicar por qué la forma escalonada reducida es única mientras que la forma escalonada no lo es

Ejercicios Nivel Avanzado (11-13)

11. Para el sistema: $\{\begin{array}{l}{x}_1+2x_2-3x_3=a\\ 2x_1+x_2-3x_3=b\\ x_1-x_2=c\end{array}$ Determinar las condiciones sobre $a$, $b$ y $c$ para que el sistema: a) Tenga solución única b) Tenga infinitas soluciones c) No tenga solución

12. Demostrar que si una matriz de $m\times n$ tiene forma escalonada con $r$ filas no nulas, entonces tiene exactamente $r$ posiciones pivote

13. Aplicar el algoritmo completo y resolver: $\left[\begin{array}{cccccc}0& 1& 4& 5& -9& 7\\ 1& 4& 0& 2& 1& 8\\ 1& 5& 4& 7& -8& 15\\ -2& -7& 1& -9& 5& -6\end{array}\right]$

---

📚 Referencias

Lectura Principal

• Sección 1.2: Reducción por Filas y Formas Escalonadas, págs. 15-17

Enlaces Relacionados

• 9) Reducción por Filas y Formas Escalonadas Parte 1 - Fundamentos y fase progresiva
• 8) Teorema de Existencia y Unicidad - Preguntas respondidas por el algoritmo
• 11) Conjunto Solución de Sistemas Lineales - Descripción de soluciones usando forma RREF

Conexión con Temas Futuros

Anticipando Vectores Solución

En la próxima clase aprenderemos a describir el conjunto solución completo de un sistema consistente con infinitas soluciones usando notación vectorial. Esto conectará nuestro trabajo con sistemas lineales con los conceptos geométricos de vectores en ${\mathbb{R}}^n$.

---

Sugerencia de Estudio

El algoritmo de reducción por filas es una habilidad fundamental que requiere práctica. Practique tanto la fase progresiva como la regresiva hasta que pueda realizarlas sin consultar las reglas. La mejor manera de dominar el algoritmo es resolver muchos ejemplos y verificar sus respuestas. Recuerde que errores aritméticos pequeños pueden propagarse, así que trabaje cuidadosamente y verifique cada paso.

---

✅ Checklist de Estudio

Lista de Verificación

• Puedo aplicar el Paso 5 (fase regresiva) para convertir forma escalonada a forma escalonada reducida
• Entiendo qué es un pivote y cómo se usa en el algoritmo
• Puedo aplicar el algoritmo completo de reducción por filas de principio a fin
• Sé identificar sistemas con solución única, infinitas soluciones o sin solución
• Entiendo la relación entre variables libres e infinitas soluciones
• Puedo determinar si un sistema es consistente observando su forma escalonada
• Sé escalar filas para convertir pivotes en 1
• Puedo crear ceros tanto arriba como abajo de los pivotes
• Entiendo por qué trabajamos de derecha a izquierda en la fase regresiva
• Puedo resolver sistemas lineales completamente usando el algoritmo

---

🏷️ Tags

algebra-lineal sistemas-lineales reduccion-por-filas forma-escalonada-reducida clase-10 clase algoritmo-completo fase-regresiva pivote variables-libres