6) Definiciones y Conceptos de Sistemas Lineales

Clase 06: Definiciones y Conceptos de Sistemas Lineales

📚 Introducción

Después de haber desarrollado la intuición geométrica en la clase anterior, ahora formalizamos matemáticamente los conceptos de sistemas de ecuaciones lineales. Esta clase establece las definiciones precisas, la terminología estándar y los fundamentos algebraicos necesarios para el estudio sistemático de estos sistemas.

Objetivos de la Clase

• Definir formalmente ecuaciones lineales y sistemas lineales
• Establecer el concepto de solución y conjunto solución
• Comprender sistemas equivalentes y sus propiedades
• Utilizar la interpretación geométrica en las definiciones
• Analizar posiciones relativas de entidades geométricas

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1. Ecuaciones Lineales

1.1 Definición Formal

Definición - Ecuación Lineal

Una ecuación lineal en las variables $x_1,x_2,\dots ,x_n$ es una ecuación que puede escribirse en la forma:

$a_1{x}_1+a_2{x}_2+\cdots +a_n{x}_n=b$

donde:

• $a_1,a_2,\dots ,a_n$ son los coeficientes (números reales o complejos)
• $b$ es el término constante (número real o complejo)
• $x_1,x_2,\dots ,x_n$ son las variables o incógnitas

1.2 Características de las Ecuaciones Lineales

Propiedades de Ecuaciones Lineales

Las ecuaciones lineales tienen las siguientes características:

1. Cada variable aparece solo a la primera potencia
2. No hay productos entre variables (términos como $x_1{x}_2$)
3. No hay funciones trascendentes de las variables (sen, cos, ln, etc.)
4. No hay variables en denominadores

1.3 Ejemplos y Contraejemplos

Ejemplo 1 - Ecuaciones Lineales Válidas

Las siguientes SÍ son ecuaciones lineales:

1. $2x_1+3x_2=6$
2. $x_1-5x_2+x_3+7x_4=0$
3. $x_1+\sqrt{2}{x}_2+\pi x_3=e$
4. $x_1=4$ (equivalente a $1\cdot x_1+0\cdot x_2=4$)

Ejemplo 2 - Ecuaciones NO Lineales

Las siguientes NO son ecuaciones lineales:

1. $x_1^2+x_2=4$ (término cuadrático)
2. $x_1{x}_2+x_3=1$ (producto de variables)
3. $\sin (x_1)+x_2=0$ (función trigonométrica)
4. $\frac{1}{x_1}+x_2=3$ (variable en denominador)

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2. Sistemas de Ecuaciones Lineales

2.1 Definición de Sistema Lineal

Definición - Sistema de Ecuaciones Lineales

Un sistema de ecuaciones lineales (o sistema lineal) es una colección de una o más ecuaciones lineales que involucran las mismas variables. La forma general es:

$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=b_2\\ ⋮\\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\cdots +a_{mn}{x}_n=b_m\end{array}$

donde:

• $m$ = número de ecuaciones
• $n$ = número de variables
• $a_{ij}$ = coeficiente de $x_j$ en la ecuación $i$
• $b_i$ = término constante de la ecuación $i$

2.2 Notación Matricial (Adelanto)

Notación Compacta

El sistema anterior puede escribirse de forma compacta como:

$\mathbf{Ax}=\mathbf{b}$

donde $\mathbf{A}$ es la matriz de coeficientes, $\mathbf{x}$ el vector de variables y $\mathbf{b}$ el vector de términos constantes.

2.3 Ejemplos de Sistemas

Ejemplo 3 - Sistema 2×2

Sistema con 2 ecuaciones y 2 variables: $\{\begin{array}{l}2x_1+3x_2=7\\ x_1-x_2=1\end{array}$

Interpretación geométrica: Intersección de dos rectas en ${\mathbb{R}}^2$

Ejemplo 4 - Sistema 3×3

Sistema con 3 ecuaciones y 3 variables: $\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2+x_3=6\\ 2x_1-x_2+x_3=3\\ x_1+2x_2-x_3=1\end{array}$

Interpretación geométrica: Intersección de tres planos en ${\mathbb{R}}^3$

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3. Soluciones de Sistemas Lineales

3.1 Definición de Solución

Definición - Solución de un Sistema

Una solución de un sistema de ecuaciones lineales es una lista ordenada de números $(s_1,s_2,\dots ,s_n)$ tal que:

• Al sustituir $x_1=s_1,x_2=s_2,\dots ,x_n=s_n$ en todas las ecuaciones del sistema
• Cada ecuación se convierte en una identidad verdadera

3.2 Conjunto Solución

Definición - Conjunto Solución

El conjunto solución de un sistema lineal es el conjunto de todas las posibles soluciones del sistema.

Se denota comúnmente como $S$ o $\text{Sol}$.

3.3 Verificación de Soluciones

Ejemplo 5 - Verificación de Solución

Sistema: $\{\begin{array}{l}2x_1+x_2=5\\ x_1-x_2=1\end{array}$

Candidato a solución: $(2,1)$

Verificación:

• Ecuación 1: $2(2)+1=4+1=5$ ✓
• Ecuación 2: $2-1=1$ ✓

Conclusión: $(2,1)$ es efectivamente una solución.

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4. Tipos de Sistemas y Soluciones

4.1 Clasificación por Número de Soluciones

Teorema - Tipos de Soluciones

Todo sistema de ecuaciones lineales tiene exactamente una de las siguientes posibilidades:

1. Exactamente una solución (solución única)
2. Infinitas soluciones
3. Ninguna solución

4.2 Terminología: Consistencia

Definiciones - Consistencia

Sistema consistente: Un sistema que tiene al menos una solución

• Puede tener solución única o infinitas soluciones

Sistema inconsistente: Un sistema que no tiene solución

4.3 Interpretación Geométrica de los Tipos

Conexión Geométrica

En ${\mathbb{R}}^2$ (dos rectas):

• Solución única: Rectas que se intersectan en un punto
• Infinitas soluciones: Rectas coincidentes (la misma recta)
• Sin solución: Rectas paralelas y distintas

En ${\mathbb{R}}^3$ (planos):

• Solución única: Tres planos se intersectan en un punto
• Infinitas soluciones: Planos se intersectan en una línea o coinciden
• Sin solución: No hay intersección común

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5. Sistemas Equivalentes

5.1 Definición de Equivalencia

Definición - Sistemas Equivalentes

Dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes si tienen el mismo conjunto solución.

Es decir:

• Toda solución del primer sistema es también solución del segundo
• Toda solución del segundo sistema es también solución del primero

5.2 Importancia de la Equivalencia

Estrategia de Resolución

La idea clave para resolver sistemas es transformar el sistema original en otro equivalente que sea más fácil de resolver.

5.3 Ejemplo de Sistemas Equivalentes

Ejemplo 6 - Sistemas Equivalentes

Sistema original: $\{\begin{array}{l}2x+4y=10\\ x+y=3\end{array}$

Sistema equivalente (dividiendo la primera ecuación por 2): $\{\begin{array}{l}x+2y=5\\ x+y=3\end{array}$

Verificación: Ambos sistemas tienen la misma solución $(1,2)$.

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6. Análisis Geométrico Detallado

6.1 Posiciones Relativas en ${\mathbb{R}}^2$

Análisis de Rectas en el Plano

Para el sistema $\{\begin{array}{l}{a}_{1}x+b_{1}y=c_1\\ a_{2}x+b_{2}y=c_2\end{array}$:

Caso 1: Solución única

• Rectas no paralelas: $\frac{a_1}{a_2}\ne \frac{b_1}{b_2}$
• Las rectas se intersectan en exactamente un punto

Caso 2: Infinitas soluciones

• Rectas coincidentes: $\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}$
• Una recta es múltiplo escalar de la otra

Caso 3: Sin solución

• Rectas paralelas distintas: $\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne \frac{c_1}{c_2}$
• Las rectas nunca se intersectan

6.2 Ejemplos de Cada Caso

Ejemplo 7 - Los Tres Casos

Caso A - Solución única: $\{\begin{array}{l}x+y=3\\ 2x-y=0\end{array}$ Solución: $(1,2)$

Caso B - Infinitas soluciones: $\{\begin{array}{l}x+y=3\\ 2x+2y=6\end{array}$ La segunda ecuación es el doble de la primera

Caso C - Sin solución: $\{\begin{array}{l}x+y=3\\ x+y=5\end{array}$ Contradicción: un número no puede ser igual a 3 y 5 simultáneamente

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7. Sistemas Homogéneos vs No Homogéneos

7.1 Definiciones

Clasificación por Términos Constantes

Sistema homogéneo: Todos los términos constantes son cero $\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=0\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=0\\ ⋮\\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\cdots +a_{mn}{x}_n=0\end{array}$

Sistema no homogéneo: Al menos un término constante es diferente de cero

7.2 Propiedades Especiales de Sistemas Homogéneos

Teorema - Sistemas Homogéneos

Todo sistema homogéneo es siempre consistente porque:

• La solución trivial $(0,0,\dots ,0)$ siempre satisface el sistema
• Por tanto, un sistema homogéneo tiene:
  • Solución única: Solo la solución trivial
  • Infinitas soluciones: La solución trivial más otras

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8. Ejemplos Desarrollados

8.1 Análisis Completo de un Sistema

Ejemplo 8 - Análisis Sistemático

Sistema: $\{\begin{array}{l}x-2y=-1\\ 3x+2y=11\end{array}$

Paso 1: Identificar tipo

• 2 ecuaciones, 2 variables (2×2)
• No homogéneo

Paso 2: Análisis geométrico

• Representan dos rectas en ${\mathbb{R}}^2$
• Verificar si son paralelas: pendientes $\frac{1}{2}$ y $-\frac{3}{2}$ (diferentes)
• Conclusión: Se intersectan en un punto único

Paso 3: Resolución Sumando las ecuaciones: $4x=10\Rightarrow x=2.5$ Sustituyendo: $y=1.75$

Solución: $(2.5,1.75)$

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🚨 Errores Comunes

Error 1: Confundir ecuación lineal con función lineal

• Incorrecto: Pensar que $2x+3y=6$ es una función
• Correcto: Es una ecuación que define una relación entre variables

Error 2: Malinterpretar "sin solución"

• Incorrecto: Pensar que un sistema inconsistente está “mal planteado”
• Correcto: Es un resultado matemático válido con interpretación geométrica clara

Error 3: Confundir sistemas equivalentes con sistemas idénticos

• Incorrecto: Creer que sistemas equivalentes deben verse iguales
• Correcto: Sistemas equivalentes tienen el mismo conjunto solución, pero pueden verse diferentes

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📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicios Básicos

Ejercicios de Práctica

1. Identificar ecuaciones lineales: Determine cuáles de las siguientes son ecuaciones lineales:

   a) $3x_1-2x_2+5x_3=7$ b) $x_1^2+x_2=4$ c) $\frac{x_1}{2}+3x_2=1$ d) $x_1\cdot x_2+x_3=0$ e) $\sqrt{3}{x}_1+\pi x_2=e$

2. Verificar soluciones: Para el sistema $\{\begin{array}{l}2x+y=5\\ x-3y=-4\end{array}$, verifique si los siguientes puntos son soluciones:

   a) $(2,1)$ b) $(1,3)$ c) $(3,-1)$

3. Análisis geométrico: Para cada sistema, determine el tipo de solución esperado basándose en el análisis geométrico:

   a) $\{\begin{array}{l}x+y=4\\ 2x+2y=8\end{array}$

   b) $\{\begin{array}{l}x+y=4\\ x+y=7\end{array}$

   c) $\{\begin{array}{l}x+2y=6\\ 3x-y=1\end{array}$

Ejercicios Intermedios

Problemas de Aplicación

4. Sistemas homogéneos: Analice el siguiente sistema homogéneo: $\{\begin{array}{l}2x_1+x_2-x_3=0\\ x_1-x_2+2x_3=0\end{array}$

   a) Verifique que $(0,0,0)$ es solución b) Encuentre otra solución si existe

5. Sistemas equivalentes: Demuestre que los siguientes sistemas son equivalentes:

   Sistema A: $\{\begin{array}{l}4x+2y=6\\ 2x-y=1\end{array}$

   Sistema B: $\{\begin{array}{l}2x+y=3\\ 2x-y=1\end{array}$

6. Problema de mezclas: Una tienda de café mezcla dos tipos de granos. El tipo A cuesta $12porkgyeltipoBcuesta$8 por kg. Se quieren 50 kg de mezcla que cueste $10 por kg. Formule y clasifique el sistema de ecuaciones.

Ejercicios Avanzados

Problemas Conceptuales

7. Análisis paramétrico: Para qué valores del parámetro $k$ el siguiente sistema tiene:

   • Solución única
   • Infinitas soluciones
   • Sin solución

   $\{\begin{array}{l}x+2y=3\\ 2x+ky=6\end{array}$

8. Interpretación geométrica en ${\mathbb{R}}^3$: Describa geométricamente qué representa cada sistema:

   a) $\{\begin{array}{l}x+y+z=1\\ 2x+2y+2z=2\end{array}$

   b) $\{\begin{array}{l}x+y+z=1\\ x+y+z=3\end{array}$

   c) $\{\begin{array}{l}x+y+z=1\\ x-y+z=0\\ 2x+z=1\end{array}$

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🎯 Conceptos Clave para Repasar

Resumen de Conceptos Fundamentales

1. Ecuación lineal: Forma $a_1{x}_1+a_2{x}_2+\cdots +a_n{x}_n=b$
2. Sistema lineal: Colección de ecuaciones lineales con las mismas variables
3. Solución: Lista ordenada que satisface todas las ecuaciones simultáneamente
4. Conjunto solución: Todas las posibles soluciones del sistema
5. Tres tipos únicos: Solución única, infinitas soluciones, o sin solución
6. Consistencia: Consistente (tiene solución) vs inconsistente (sin solución)
7. Sistemas equivalentes: Mismo conjunto solución
8. Interpretación geométrica: Intersección de hiperplanos

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✅ Checklist de Estudio

Lista de Verificación

• Puedo identificar ecuaciones lineales vs no lineales
• Entiendo qué es una solución de un sistema
• Comprendo los tres tipos posibles de soluciones
• Puedo interpretar geométricamente sistemas en ${\mathbb{R}}^2$ y ${\mathbb{R}}^3$
• Distingo entre sistemas consistentes e inconsistentes
• Comprendo el concepto de sistemas equivalentes
• Reconozco sistemas homogéneos y sus propiedades especiales
• Puedo analizar sistemas usando criterios geométricos

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🔗 Conexiones con Otros Temas

Vínculos Conceptuales

Clase anterior:

• Clase 05 - Motivación geométrica y intersección de planos

Conceptos relacionados:

• Vector - Representación de soluciones
• Hiperplanos - Interpretación geométrica en ${\mathbb{R}}^n$
• Combinacion-Lineal - Estructura algebraica

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📚 Referencias

Lectura Principal

• Lay, D. Álgebra Lineal y sus Aplicaciones. Sección 1.1, págs. 2-4
• Poole, D. Álgebra lineal: Una introducción moderna. Sección 2.1, págs. 68-75

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Próxima Clase

En la Clase 07, introduciremos la notación matricial y estudiaremos cómo representar sistemas lineales usando matrices, lo que nos proporcionará herramientas más poderosas y eficientes para su análisis y resolución.