9) Reducción por Filas y Formas Escalonadas

Clase 9: Reducción por Filas y Formas Escalonadas - Parte 1

📚 Introducción

Las operaciones de fila sobre una matriz aumentada corresponden a operaciones sobre las ecuaciones del sistema lineal. Esta clase introduce el concepto fundamental de formas escalonadas y formas escalonadas reducidas, que permiten analizar y resolver cualquier sistema de ecuaciones lineales de manera sistemática.

El algoritmo de reducción por filas es una herramienta computacional poderosa que transforma cualquier matriz en una forma escalonada, revelando información crucial sobre el conjunto solución del sistema sin necesidad de resolver completamente las ecuaciones.

Objetivos de la Clase

• Comprender las operaciones elementales de fila y su reversibilidad
• Dominar los conceptos de forma escalonada y forma escalonada reducida
• Identificar posiciones pivote y columnas pivote en una matriz
• Aplicar el algoritmo de reducción por filas (fase progresiva)
• Determinar cuándo dos matrices son equivalentes por filas

---

1. Operaciones Elementales de Fila

1.1 Las Tres Operaciones Básicas

Las operaciones elementales de fila son transformaciones que se pueden aplicar a cualquier matriz:

Definición - Operaciones Elementales de Fila

1. (Remplazo) Sustituir una fila por la suma de sí misma y un múltiplo de otra fila
2. (Intercambio) Intercambiar dos filas
3. (Escalamiento) Multiplicar todos los elementos de una fila por una constante diferente de cero

Reversibilidad de las Operaciones

Todas las operaciones de fila son reversibles:

• Si se intercambian dos filas, se pueden regresar a sus posiciones originales mediante otro intercambio
• Si una fila se multiplica por una constante $c\ne 0$, multiplicarla por $1/c$ regresa la fila original
• Si a la fila 2 se le suma la fila 1 multiplicada por $c$, entonces sumar a la nueva fila 2 la fila 1 multiplicada por $-c$ recupera la fila original

1.2 Equivalencia por Filas

Teorema - Equivalencia por Filas

Si las matrices aumentadas de dos sistemas lineales son equivalentes por filas, entonces los dos sistemas tienen el mismo conjunto solución.

Definición - Matrices Equivalentes por Filas

Dos matrices son equivalentes por filas si existe una secuencia de operaciones elementales de fila que transforma una matriz en otra.

Notación: Si la matriz $A$ es equivalente por filas a la matriz $B$, escribimos $A\sim B$.

---

2. Formas Escalonadas

2.1 Definición de Forma Escalonada

Definición - Forma Escalonada

Una matriz rectangular está en forma escalonada (o forma escalonada por filas) si tiene las siguientes tres propiedades:

1. Todas las filas diferentes de cero están arriba de las filas que solo contienen ceros
2. Cada entrada principal de una fila está en una columna a la derecha de la entrada principal de la fila superior
3. En una columna, todas las entradas debajo de la entrada principal son ceros

Entrada principal: La entrada diferente de cero que se encuentra más a la izquierda en una fila distinta de cero.

2.2 Ejemplos de Formas Escalonadas

Las siguientes matrices están en forma escalonada (las entradas principales marcadas con ■):

$$\left[\begin{array}{cccc}■& \ast & \ast & \ast \\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccccccccc}0& ■& \ast & \ast & \ast & \ast & \ast & \ast & \ast & \ast \\ 0& 0& 0& ■& \ast & \ast & \ast & \ast & \ast & \ast \\ 0& 0& 0& 0& ■& \ast & \ast & \ast & \ast & \ast \\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& ■& \ast & \ast \\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& ■\end{array}\right]$$

Observación - Patrón Escalonado

Las entradas principales forman un patrón escalonado (esto es, en forma de escalera) que avanza hacia abajo y hacia la derecha de la matriz.

2.3 Forma Escalonada Reducida

Definición - Forma Escalonada Reducida

Si una matriz de forma escalonada satisface las siguientes condiciones adicionales, entonces está en forma escalonada reducida (o forma escalonada reducida por filas):

4. La entrada principal en cada fila diferente de cero es 1
5. Cada entrada principal 1 es la única entrada distinta de cero en su columna

Las siguientes matrices están en forma escalonada reducida:

$\left[\begin{array}{cccc}1& 0& \ast & \ast \\ 0& 1& \ast & \ast \\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccccccccc}0& 1& \ast & 0& 0& 0& \ast & \ast & 0& \ast \\ 0& 0& 0& 1& 0& 0& \ast & \ast & 0& \ast \\ 0& 0& 0& 0& 1& 0& \ast & \ast & 0& \ast \\ 0& 0& 0& 0& 0& 1& \ast & \ast & 0& \ast \\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& \ast \end{array}\right]$

Teorema 1 - Unicidad de la Forma Escalonada Reducida

Cada matriz es equivalente por filas a una, y solo a una, matriz escalonada reducida.

Notación:

• RREF (Reduced Row Echelon Form): Forma escalonada reducida por filas
• REF (Row Echelon Form): Forma escalonada por filas

---

3. Posiciones Pivote y Columnas Pivote

3.1 Definiciones

Definición - Posición Pivote

Una posición pivote en una matriz $A$ es una ubicación en $A$ que corresponde a un 1 principal en la forma escalonada reducida de $A$.

Definición - Columna Pivote

Una columna pivote es una columna de $A$ que contiene una posición pivote.

3.2 Ejemplo - Identificación de Posiciones Pivote

Considere la matriz:

$$A=\left[\begin{array}{ccccc}0& -3& -6& 4& 9\\ -1& -2& -1& 3& 1\\ -2& -3& 0& 3& -1\\ 1& 4& 5& -9& -7\end{array}\right]$$

Después de aplicar el algoritmo de reducción, obtenemos la forma escalonada:

$$\left[\begin{array}{ccccc}1& 4& 5& -9& -7\\ 0& 2& 4& -6& -6\\ 0& 0& 0& -5& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$$

Y la forma escalonada reducida:

$$\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& -3& 0& 5\\ 0& 1& 2& 0& -3\\ 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$$

Los cuadrados (■) identifican las posiciones pivote. Las columnas 1, 2 y 4 de $A$ son columnas pivote.

Observación Importante

Las posiciones pivote en cualquier forma escalonada de $A$ están en las mismas posiciones que en la forma escalonada reducida de $A$.

---

4. Algoritmo de Reducción por Filas - Fase Progresiva

4.1 Descripción del Algoritmo (Pasos 1-4)

El algoritmo que sigue consta de cuatro pasos y produce una matriz en forma escalonada. Un quinto paso da por resultado una matriz en forma escalonada reducida.

Ejemplo 2 - Reducción a Forma Escalonada

Aplique operaciones elementales de fila para transformar la siguiente matriz a la forma escalonada y, luego, a la forma escalonada reducida:

$$\left[\begin{array}{cccccc}0& 3& -6& 6& 4& -5\\ 3& -7& 8& -5& 8& 9\\ 3& -9& 12& -9& 6& 15\end{array}\right]$$

Solución

PASO 1: Se inicia con la columna diferente de cero del extremo izquierdo. Esta es una columna pivote. La posición pivote se ubica en la parte superior.

$\left[\begin{array}{cccccc}0& 3& -6& 6& 4& -5\\ 3& -7& 8& -5& 8& 9\\ 3& -9& 12& -9& 6& 15\end{array}\right]$

Columna pivote ↑

PASO 2: Seleccione como pivote una entrada diferente de cero en la columna pivote. Si es necesario, intercambie filas para mover esta entrada a la posición pivote.

Intercambie las filas 1 y 3:

$\left[\begin{array}{cccccc}3& -9& 12& -9& 6& 15\\ 3& -7& 8& -5& 8& 9\\ 0& 3& -6& 6& 4& -5\end{array}\right]$

Pivote ↑

PASO 3: Utilice operaciones de remplazo de filas para crear ceros en todas las posiciones ubicadas debajo del pivote.

Sumamos la fila 2 multiplicada por $-5/2$ a la fila 3, y sumamos la fila 2 multiplicada por $3/2$ a la fila 4:

$\left[\begin{array}{ccccc}1& 4& 5& -9& -7\\ 0& 2& 4& -6& -6\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& -5& 0\end{array}\right]$

Con la fila 1 cubierta, el paso 1 muestra que la columna 2 es la próxima columna pivote; para el paso 2, seleccione como pivote la entrada “superior” en esa columna:

$\left[\begin{array}{ccccc}1& 4& 5& -9& -7\\ 0& 2& 4& -6& -6\\ 0& 0& 0& -5& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$

Siguiente columna pivote ↑, Pivote ↑

En el paso 3, se podría insertar un paso adicional de dividir la fila “superior” de la submatriz entre el pivote, 2. Pero con dos números 2 en la columna 1, esto es tan fácil como sumar la fila 1 multiplicada por $-1$ a la fila 2:

$\left[\begin{array}{cccccc}3& -9& 12& -9& 0& -9\\ 0& 2& -4& 4& 2& -6\\ 0& 3& -6& 6& 4& -5\end{array}\right]$

Siguiente columna pivote ↑

---

🎯 Conceptos Clave para Repasar

Resumen de Conceptos

1. Operaciones Elementales de Fila: Remplazo, Intercambio y Escalamiento
2. Equivalencia por Filas: Dos matrices son equivalentes por filas si una puede transformarse en la otra mediante operaciones elementales de fila
3. Forma Escalonada: Matriz con patrón de entradas principales que avanza hacia abajo y derecha
4. Forma Escalonada Reducida: Forma escalonada donde las entradas principales son 1 y son las únicas entradas diferentes de cero en sus columnas
5. Posición Pivote: Ubicación en $A$ que corresponde a un 1 principal en la RREF de $A$
6. Columna Pivote: Columna que contiene una posición pivote

---

🚨 Errores Comunes

Error 1: Destruir el Arreglo Escalonado

• Incorrecto: Usar las filas 1 o 2 para eliminar entradas ya obtenidas como cero
• Correcto: Solo usar operaciones de fila que mantengan los ceros ya creados debajo de las posiciones pivote

Error 2: Confundir Forma Escalonada con Forma Escalonada Reducida

• Problema: No todas las matrices en forma escalonada están en forma escalonada reducida
• Solución: Verificar las 5 propiedades para forma escalonada reducida (especialmente que las entradas principales sean 1 y únicas en sus columnas)

Error 3: No Identificar Correctamente la Columna Pivote

• Incorrecto: Seleccionar cualquier columna sin verificar que tenga entrada diferente de cero
• Correcto: La columna pivote es la primera columna diferente de cero de la izquierda en la submatriz actual

Error 4: Olvidar que las Operaciones son Reversibles

• Problema: Pensar que las operaciones de fila cambian permanentemente el sistema
• Solución: Recordar que todas las operaciones elementales de fila son reversibles

Error 5: Crear Entrada Principal en Columna Incorrecta

• Incorrecto: Intentar crear pivote en columna 3 cuando ya existe pivote en esa columna
• Correcto: Las entradas principales deben estar en columnas diferentes, avanzando hacia la derecha

---

📝 Ejercicios Propuestos

Ejercicios Nivel Básico (1-5)

Determinar si las siguientes matrices están en forma escalonada, forma escalonada reducida, o ninguna de las dos:

1. $\left[\begin{array}{cccc}1& 3& 0& -1\\ 0& 0& 1& 5\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$

2. $\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

3. $\left[\begin{array}{ccc}2& 4& -2\\ 0& 1& 3\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

4. $\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 3& 0\\ 0& 1& -1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$

5. $\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$

Ejercicios Nivel Intermedio (6-10)

Identificar las posiciones pivote y columnas pivote de las siguientes matrices:

6. $\left[\begin{array}{cccc}1& -4& 9& 0\\ 0& 1& 7& 0\\ 0& 0& 2& 0\end{array}\right]$

7. $\left[\begin{array}{ccc}3& -9& 6\\ -1& 3& -2\\ 2& -6& 4\end{array}\right]$

8. Aplicar las operaciones elementales de fila necesarias para transformar la siguiente matriz a forma escalonada: $\left[\begin{array}{cccc}2& 4& -2& 6\\ -4& -5& 1& -8\\ 2& -5& -4& 1\end{array}\right]$

9. Continuar el ejercicio anterior hasta obtener la forma escalonada reducida

10. Verificar que dos matrices son equivalentes por filas encontrando una secuencia de operaciones que transforme una en la otra

Ejercicios Nivel Avanzado (11-13)

Aplicar el algoritmo completo de reducción por filas:

11. $\left[\begin{array}{cccc}1& 3& 5& 7\\ 3& 5& 7& 9\\ 5& 7& 9& 1\end{array}\right]$

12. Determinar si el siguiente sistema tiene solución única, infinitas soluciones o ninguna solución usando reducción por filas: $\{\begin{array}{l}{x}_1+3x_2-5x_3=4\\ -3x_1-2x_2+4x_3=1\\ 2x_1+x_2-3x_3=-2\end{array}$

13. Explicar por qué una matriz de $5\times 7$ no puede tener más de 5 posiciones pivote

---

📚 Referencias

Lectura Principal

• Sección 1.2: Reducción por Filas y Formas Escalonadas, págs. 12-17

Enlaces Relacionados

• 8) Teorema de Existencia y Unicidad - Fundamentos previos
• 10) Reducción por Filas y Formas Escalonadas Parte 2 - Continuación con algoritmo completo
• 11) Conjunto Solución de Sistemas Lineales - Aplicación de formas escalonadas

Conexión con Temas Futuros

Anticipando el Algoritmo Completo

En la próxima clase completaremos el algoritmo de reducción por filas con la fase regresiva (Paso 5), que convierte una matriz en forma escalonada a forma escalonada reducida. También veremos cómo este algoritmo responde definitivamente a las preguntas de existencia y unicidad de soluciones.

---

Sugerencia de Estudio

Practique identificando formas escalonadas y escalonadas reducidas visualmente antes de intentar crear las transformaciones. La habilidad de reconocer estas formas rápidamente es fundamental para trabajar eficientemente con sistemas lineales. Cuando practique el algoritmo, mantenga su trabajo organizado y verifique cada paso para evitar errores aritméticos que se propaguen.

---

✅ Checklist de Estudio

Lista de Verificación

• Puedo identificar y aplicar correctamente las tres operaciones elementales de fila
• Entiendo el concepto de equivalencia por filas y su importancia
• Puedo reconocer si una matriz está en forma escalonada
• Puedo reconocer si una matriz está en forma escalonada reducida
• Sé identificar las posiciones pivote en una matriz
• Sé identificar las columnas pivote en una matriz
• Puedo aplicar los pasos 1-4 del algoritmo de reducción por filas
• Entiendo por qué las operaciones de fila son reversibles
• Puedo explicar la diferencia entre forma escalonada y forma escalonada reducida
• Entiendo que la forma escalonada reducida de una matriz es única

---

🏷️ Tags

algebra-lineal sistemas-lineales reduccion-por-filas forma-escalonada forma-escalonada-reducida clase-9 clase posiciones-pivote operaciones-elementales