20) Regla de Cramer - Formula de la Inversa

Clase 20: Regla de Cramer y Fórmula de la Inversa

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📋 Resumen Ejecutivo

Objetivos de la Clase

En esta clase aprenderás a:

• Aplicar la Regla de Cramer para resolver sistemas lineales
• Comprender el concepto de matriz adjunta (o de cofactores)
• Usar la fórmula explícita de la inversa en términos de determinantes
• Reconocer cuándo estos métodos son eficientes
• Entender las limitaciones computacionales de estas técnicas

Idea Central

La Regla de Cramer y la fórmula de la matriz adjunta proporcionan expresiones explícitas y elegantes para resolver sistemas lineales y calcular inversas usando determinantes. Aunque son ineficientes para cálculos manuales con matrices grandes, son extremadamente valiosas para análisis teórico, fórmulas simbólicas y matrices pequeñas (2×2 o 3×3).

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1. La Regla de Cramer

1.1 Motivación

Hasta ahora, para resolver $Ax=b$ hemos usado:

• Eliminación gaussiana (método de reducción por filas)
• Multiplicación por $A^{-1}$ si conocemos la inversa

La Regla de Cramer nos da una fórmula explícita para cada componente de la solución usando determinantes.

1.2 Definición y Teorema

Teorema - Regla de Cramer

Sea $A$ una matriz invertible de $n\times n$ y sea $b$ un vector en ${\mathbb{R}}^n$. La solución única del sistema $Ax=b$ está dada por:

$x_i=\frac{\det (A_i(b))}{\det (A)},i=1,2,\dots ,n$

donde $A_i(b)$ es la matriz que se obtiene reemplazando la columna $i$ de $A$ por el vector $b$.

La notación $A_i(b)$ significa que formamos una nueva matriz que es igual a $A$, excepto que su columna $i$ es $b$.

1.3 Ejemplos Detallados

Ejemplo 1 - Sistema 2×2 con Regla de Cramer

Resolver el sistema: $\{\begin{array}{l}3x_1+2x_2=7\\ x_1+4x_2=11\end{array}$

Solución:

Escribimos el sistema como $Ax=b$ donde: $A=\left[\begin{array}{cc}3& 2\\ 1& 4\end{array}\right],b=\left[\begin{array}{c}7\\ 11\end{array}\right]$

Paso 1: Calcular $\det (A)$ $\det (A)=(3)(4)-(2)(1)=12-2=10$

Como $\det (A)\ne 0$, el sistema tiene solución única.

Paso 2: Calcular $x_1$ usando $A_1(b)$ $A_1(b)=\left[\begin{array}{cc}7& 2\\ 11& 4\end{array}\right]\text{(columna 1 reemplazada por }b\text{)}$ $\det (A_1(b))=(7)(4)-(2)(11)=28-22=6$ $x_1=\frac{\det (A_1(b))}{\det (A)}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$

Paso 3: Calcular $x_2$ usando $A_2(b)$ $A_2(b)=\left[\begin{array}{cc}3& 7\\ 1& 11\end{array}\right]\text{(columna 2 reemplazada por }b\text{)}$ $\det (A_2(b))=(3)(11)-(7)(1)=33-7=26$ $x_2=\frac{\det (A_2(b))}{\det (A)}=\frac{26}{10}=\frac{13}{5}$

Respuesta: $x_1=\frac{3}{5}$ y $x_2=\frac{13}{5}$

Ejemplo 2 - Sistema 3×3 con Regla de Cramer

Resolver:

$$\{\begin{array}{l}2x_1-x_2=5\\ 4x_1+3x_2=7\end{array}$$

usando Regla de Cramer (dejado como ejercicio guiado).

1.4 Cuándo usar la Regla de Cramer

Guía de Uso Práctico

Usa la Regla de Cramer cuando:

• El sistema es pequeño (2×2 o 3×3)
• Necesitas una fórmula simbólica (con parámetros)
• Solo necesitas calcular una o dos variables, no todas

NO uses la Regla de Cramer cuando:

• El sistema es grande (4×4 o mayor)
• Necesitas eficiencia computacional
• Estás trabajando con números

Para sistemas grandes, la eliminación gaussiana es mucho más eficiente.

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2. La Matriz Adjunta (o Matriz de Cofactores)

2.1 Definiciones Previas

Recordemos de la Clase 18:

Recordatorio - Cofactor

El cofactor $C_{ij}$ de una matriz $A$ es: $C_{ij}=(-1{)}^{i+j}\det (A_{ij})$

donde $A_{ij}$ es la submatriz que se obtiene eliminando la fila $i$ y columna $j$ de $A$.

2.2 Definición de la Matriz Adjunta

Definición - Matriz Adjunta

La matriz adjunta (o adjunta clásica) de $A$, denotada $\text{adj}(A)$, es la transpuesta de la matriz de cofactores.

Es decir, si $C=[C_{ij}]$ es la matriz de cofactores de $A$, entonces: $\text{adj}(A)=C^T$

O equivalentemente, la entrada $(i,j)$ de $\text{adj}(A)$ es $C_{ji}$ (nota el orden invertido de los índices).

Nota sobre Terminología

• La “matriz adjunta” que estudiamos aquí es la adjunta clásica
• En álgebra lineal avanzada existe otro concepto llamado “matriz adjunta” o “matriz conjugada traspuesta”
• En este curso, “adj” siempre se refiere a la adjunta clásica

2.3 Ejemplo de Matriz Adjunta

Ejemplo 3 - Calcular la matriz adjunta

Encuentra $\text{adj}(A)$ para $A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 4& 5\\ 1& 0& 6\end{array}\right]$

Solución:

Necesitamos calcular los 9 cofactores:

$C_{11}=(-1{)}^{1+1}\left|\begin{array}{cc}4& 5\\ 0& 6\end{array}\right|=24$

$C_{12}=(-1{)}^{1+2}\left|\begin{array}{cc}0& 5\\ 1& 6\end{array}\right|=-(0-5)=5$

$C_{13}=(-1{)}^{1+3}\left|\begin{array}{cc}0& 4\\ 1& 0\end{array}\right|=-4$

$C_{21}=(-1{)}^{2+1}\left|\begin{array}{cc}2& 3\\ 0& 6\end{array}\right|=-(12-0)=-12$

$C_{22}=(-1{)}^{2+2}\left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 1& 6\end{array}\right|=6-3=3$

$C_{23}=(-1{)}^{2+3}\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 0\end{array}\right|=-(0-2)=2$

$C_{31}=(-1{)}^{3+1}\left|\begin{array}{cc}2& 3\\ 4& 5\end{array}\right|=10-12=-2$

$C_{32}=(-1{)}^{3+2}\left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 0& 5\end{array}\right|=-(5-0)=-5$

$C_{33}=(-1{)}^{3+3}\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 4\end{array}\right|=4$

Matriz de cofactores: $C=\left[\begin{array}{ccc}24& 5& -4\\ -12& 3& 2\\ -2& -5& 4\end{array}\right]$

Matriz adjunta (transpuesta de $C$): $\text{adj}(A)=C^T=\left[\begin{array}{ccc}24& -12& -2\\ 5& 3& -5\\ -4& 2& 4\end{array}\right]$

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3. Fórmula de la Inversa usando la Adjunta

3.1 El Teorema Principal

Teorema - Fórmula de la Inversa

Sea $A$ una matriz invertible de $n\times n$. Entonces:

$A^{-1}=\frac{1}{\det (A)}\text{adj}(A)$

Esta fórmula proporciona una expresión explícita para cada entrada de $A^{-1}$.

Este teorema es notable porque:

• Nos da una fórmula cerrada para $A^{-1}$
• Explica por qué $\det (A)\ne 0$ es necesario para invertibilidad (aparece en el denominador)
• Es útil para cálculos simbólicos y teóricos

3.2 Caso Especial: Fórmula para la Inversa 2×2

Para matrices $2\times 2$, la fórmula se simplifica bellamente:

Fórmula - Inversa de una Matriz 2×2

Si $A=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$ y $\det (A)=ad-bc\ne 0$, entonces:

$A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left[\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right]$

Patrón mnemotécnico: Intercambia $a$ y $d$, cambia los signos de $b$ y $c$, y divide por el determinante.

Ejemplo 4 - Inversa 2×2 usando la fórmula

Encuentra $A^{-1}$ para $A=\left[\begin{array}{cc}3& 2\\ 1& 4\end{array}\right]$

Solución:

$\det (A)=(3)(4)-(2)(1)=10$

$A^{-1}=\frac{1}{10}\left[\begin{array}{cc}4& -2\\ -1& 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0.4& -0.2\\ -0.1& 0.3\end{array}\right]$

Verificación: $A{A}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}3& 2\\ 1& 4\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}0.4& -0.2\\ -0.1& 0.3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$ ✓

3.3 Ejemplo Completo 3×3

Ejemplo 5 - Inversa 3×3 usando adjunta

Usando la matriz del Ejemplo 3, donde: $A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 4& 5\\ 1& 0& 6\end{array}\right],\text{adj}(A)=\left[\begin{array}{ccc}24& -12& -2\\ 5& 3& -5\\ -4& 2& 4\end{array}\right]$

Paso 1: Calcular $\det (A)$ (expandiendo por la primera columna): $\det (A)=1\cdot C_{11}+0\cdot C_{21}+1\cdot C_{31}$ $=1(24)+0+1(-2)=22$

Paso 2: Aplicar la fórmula: $A^{-1}=\frac{1}{22}\left[\begin{array}{ccc}24& -12& -2\\ 5& 3& -5\\ -4& 2& 4\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{ccc}\frac{12}{11}& -\frac{6}{11}& -\frac{1}{11}\\ \frac{5}{22}& \frac{3}{22}& -\frac{5}{22}\\ -\frac{2}{11}& \frac{1}{11}& \frac{2}{11}\end{array}\right]$

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4. Relación entre Regla de Cramer y la Fórmula de la Inversa

4.1 Conexión Teórica

La Regla de Cramer puede derivarse de la fórmula de la inversa:

Si $Ax=b$ y $A$ es invertible, entonces: $x=A^{-1}b=\frac{1}{\det (A)}\text{adj}(A)\cdot b$

La componente $i$ de $x$ es: $x_i=\frac{1}{\det (A)}\text{(fila }i\text{ de adj}(A))\cdot b$

Esta expresión, después de un poco de álgebra, resulta ser exactamente $\frac{\det (A_i(b))}{\det (A)}$.

4.2 Interpretación

Insight Conceptual

Tanto la Regla de Cramer como la fórmula de la inversa son expresiones diferentes de la misma idea fundamental: resolver sistemas lineales involucrando el determinante. La Regla de Cramer da las componentes individuales de la solución, mientras que la fórmula de la inversa da toda la matriz que transforma $b$ en $x$.

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5. Comparación Computacional

5.1 Eficiencia de los Métodos

Análisis de Complejidad

Para una matriz $n\times n$:

Método	Número de Operaciones	Eficiencia
Eliminación Gaussiana	$\approx \frac{2n^3}{3}$	★★★★★ Excelente
Regla de Cramer	$\approx (n+1)\cdot n!$	★☆☆☆☆ Muy mala
Fórmula de la Inversa	$\approx n\cdot n!$	★☆☆☆☆ Muy mala

Ejemplo: Para $n=10$:

• Eliminación: $\approx 667$ operaciones
• Cramer: $\approx 40$ millones de operaciones

La diferencia es astronómica para matrices grandes.

5.2 Cuándo usar cada método

Guía de Selección de Método

Regla de Cramer / Fórmula de la Inversa:

• ✅ Matrices 2×2 o 3×3
• ✅ Cálculos simbólicos (con parámetros)
• ✅ Análisis teórico y demostraciones
• ✅ Necesitas solo algunas componentes

Eliminación Gaussiana / Algoritmo de la Inversa:

• ✅ Matrices 4×4 o mayores
• ✅ Cálculos numéricos en computadora
• ✅ Cuando la eficiencia importa
• ✅ Implementaciones prácticas

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🚨 Errores Comunes

Errores Frecuentes

1. Confundir la matriz de cofactores con la adjunta: La adjunta es la transpuesta de la matriz de cofactores

2. Olvidar dividir por $\det (A)$ en la fórmula de la inversa

3. Reemplazar la fila en lugar de la columna en la Regla de Cramer

4. Usar estos métodos para matrices grandes: Son ineficientes para $n\ge 4$

5. No verificar que $\det (A)\ne 0$ antes de aplicar las fórmulas

6. Confundir el índice: En $A_i(b)$, reemplazamos la columna $i$, no la fila $i$

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📝 Ejemplos Resueltos Adicionales

Ejemplo 6 - Regla de Cramer con parámetro

Resolver para $x_1$ en términos de $k$:

$$\{\begin{array}{l}{x}_1+2x_2=k\\ 3x_1+4x_2=5\end{array}$$

Solución:

$A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right],\det (A)=-2$

$A_1(b)=\left[\begin{array}{cc}k& 2\\ 5& 4\end{array}\right],\det (A_1(b))=4k-10$

$x_1=\frac{4k-10}{-2}=\frac{10-4k}{2}=5-2k$

Ejemplo 7 - Verificación de la fórmula

Verifica que si $A=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 5& 3\end{array}\right]$, entonces $A\cdot \text{adj}(A)=\det (A)\cdot I$

Solución:

$\det (A)=6-5=1$

$\text{adj}(A)=\left[\begin{array}{cc}3& -1\\ -5& 2\end{array}\right]$

$A\cdot \text{adj}(A)=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 5& 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}3& -1\\ -5& 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]=1\cdot I$ ✓

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🎯 Conceptos Clave para Repasar

Resumen de Conceptos Fundamentales

1. Regla de Cramer: $x_i=\frac{\det (A_i(b))}{\det (A)}$ donde $A_i(b)$ tiene la columna $i$ reemplazada por $b$

2. Matriz adjunta: $\text{adj}(A)=[C_{ji}]$ (transpuesta de la matriz de cofactores)

3. Fórmula de la inversa: $A^{-1}=\frac{1}{\det (A)}\text{adj}(A)$

4. Inversa 2×2: ${\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left[\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right]$

5. Eficiencia: Estos métodos son excelentes para teoría y matrices pequeñas, pero ineficientes para cálculo numérico con matrices grandes

6. Aplicabilidad: Requieren $\det (A)\ne 0$ (matriz invertible)

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✅ Checklist de Estudio

Lista de Verificación

• Puedo aplicar la Regla de Cramer a sistemas 2×2 y 3×3
• Entiendo qué es $A_i(b)$ y cómo construirla
• Sé calcular la matriz adjunta de una matriz
• Puedo usar la fórmula $A^{-1}=\frac{1}{\det (A)}\text{adj}(A)$
• Memoricé la fórmula de la inversa 2×2
• Entiendo cuándo usar estos métodos vs. eliminación gaussiana
• Comprendo las limitaciones computacionales
• Puedo verificar mis respuestas

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🔗 Conexiones con Otros Temas

Vínculos Conceptuales

Clases anteriores:

• 18) Definicion del Determinante - Definición de determinante y cofactores
• 19) Propiedades del Determinante - Propiedades del determinante

Próximas clases:

• 21) Aplicaciones Geometricas: Aplicaciones geométricas del determinante (áreas y volúmenes)

Conceptos relacionados:

• Sistemas-Lineales - La Regla de Cramer es un método de resolución
• Ecuaciones-Parametricas - Útil con Cramer para sistemas con parámetros

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📚 Referencias

Lectura Principal

• Lay, D. Álgebra Lineal y sus Aplicaciones. Sección 3.3, págs. 177-179

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Próxima Clase

En la Clase 21, exploraremos las aplicaciones geométricas del determinante, incluyendo cómo se usa para calcular áreas en ${\mathbb{R}}^2$, volúmenes en ${\mathbb{R}}^3$, y más generalmente cómo las transformaciones lineales afectan las medidas geométricas. Veremos la interpretación profunda del determinante como un “factor de escala” para volúmenes.