33) Valores Propios Complejos

Clase 33: Valores Propios Complejos y Matrices de Rotación

📚 Introducción

Esta clase establece la profunda conexión entre valores propios complejos de matrices reales y rotaciones en el plano. Descubriremos que cuando una matriz real tiene valores propios complejos, estos codifican información sobre rotaciones y escalamientos en el espacio.

Objetivos de la Clase

• Comprender valores propios y vectores propios complejos para matrices reales
• Establecer la relación entre valores propios complejos y rotaciones
• Analizar la interpretación geométrica de vectores propios complejos
• Aplicar estos conceptos a sistemas dinámicos y rotaciones en ℝ²

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1. Valores Propios Complejos de Matrices Reales

1.1 Motivación

Observación Fundamental

Considere la matriz de rotación en ℝ²:

$A=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]$

Esta matriz no tiene valores propios reales (excepto cuando $\theta =0$ o $\theta =\pi$), ya que una rotación no tiene direcciones invariantes en el plano real.

Sin embargo, $A$ sí tiene valores propios complejos que codifican información sobre el ángulo de rotación.

1.2 Ecuación Característica con Raíces Complejas

Teorema - Valores Propios Complejos

Sea $A$ una matriz real de $n\times n$. Si la ecuación característica:

$\det (A-\lambda I)=0$

tiene raíces complejas, entonces estas aparecen en pares conjugados.

Es decir, si $\lambda =a+bi$ (con $b\ne 0$) es un valor propio, entonces $\overline{\lambda }=a-bi$ también es un valor propio de $A$.

1.3 Ejemplo Introductorio

Ejemplo 1 - Valores Propios Complejos

Considere la matriz: $A=\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right]$

Paso 1: Calcular la ecuación característica

$\det (A-\lambda I)=\det \left[\begin{array}{cc}-\lambda & -1\\ 1& -\lambda \end{array}\right]={\lambda }^2+1=0$

Paso 2: Resolver para $\lambda$

${\lambda }^2=-1⟹\lambda =\pm i$

Resultado: Los valores propios son ${\lambda }_1=i$ y ${\lambda }_2=-i$ (conjugados complejos).

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2. Vectores Propios Complejos

2.1 Definición

Definición - Vector Propio Complejo

Sea $A$ una matriz real de $n\times n$ y $\lambda =a+bi$ un valor propio complejo. Un vector propio complejo asociado a $\lambda$ es un vector no nulo $\mathbf{v}\in {\mathbb{C}}^n$ que satisface:

$A\mathbf{v}=\lambda \mathbf{v}$

2.2 Conjugación de Vectores Propios

Teorema - Conjugación

Si $\mathbf{v}$ es un vector propio de una matriz real $A$ asociado al valor propio $\lambda$, entonces $\overline{\mathbf{v}}$ (el conjugado complejo de $\mathbf{v}$) es un vector propio asociado a $\overline{\lambda }$.

2.3 Ejemplo de Vector Propio Complejo

Ejemplo 2 - Cálculo de Vector Propio Complejo

Para la matriz $A=\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right]$ con valor propio $\lambda =i$:

Paso 1: Plantear $(A-iI)\mathbf{v}=0$

$\left[\begin{array}{cc}-i& -1\\ 1& -i\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right]$

Paso 2: De la primera ecuación: $-i{v}_1-v_2=0⟹v_2=-i{v}_1$

Paso 3: Eligiendo $v_1=1$:

$\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}1\\ -i\end{array}\right]$

Verificación: $A\mathbf{v}=\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ -i\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}i\\ 1\end{array}\right]=i\left[\begin{array}{c}1\\ -i\end{array}\right]$ ✓

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3. Partes Real e Imaginaria

3.1 Descomposición de Vectores Complejos

Definición - Partes Real e Imaginaria

Para un vector complejo $\mathbf{v}\in {\mathbb{C}}^n$, podemos escribir:

$\mathbf{v}=\text{Re}(\mathbf{v})+i\cdot \text{Im}(\mathbf{v})$

donde $\text{Re}(\mathbf{v})$ y $\text{Im}(\mathbf{v})$ son vectores reales en ${\mathbb{R}}^n$.

3.2 Ejemplo de Descomposición

Ejemplo 3 - Descomposición Real e Imaginaria

Para $\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}1\\ -i\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]+i\left[\begin{array}{c}0\\ -1\end{array}\right]$:

$\text{Re}(\mathbf{v})=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right],\text{Im}(\mathbf{v})=\left[\begin{array}{c}0\\ -1\end{array}\right]$

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4. Relación con Rotaciones en el Plano

4.1 Forma de Rotación y Escalamiento

Teorema Principal - Bloque de Rotación

Sea $A$ una matriz real de $2\times 2$ con valor propio complejo $\lambda =a+bi$ (donde $b\ne 0$) y vector propio $\mathbf{v}=\mathbf{p}+i\mathbf{q}$ (donde $\mathbf{p},\mathbf{q}\in {\mathbb{R}}^2$).

Entonces la matriz $A$ tiene la forma:

$A=PC{P}^{-1}$

donde:

• $P=[\text{Re}(\mathbf{v})\text{Im}(\mathbf{v})]=[\mathbf{p}\mathbf{q}]$
• $C=\left[\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right]$

4.2 Interpretación Geométrica

Significado Geométrico

La matriz $C=\left[\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right]$ representa:

1. Rotación por un ángulo $\varphi$ donde $\tan \varphi =\frac{b}{a}$
2. Escalamiento por un factor $r=\sqrt{a^2+b^2}=|\lambda |$

En forma polar: $\lambda =r{e}^{i\varphi }$ donde:

• $r=|\lambda |=\sqrt{a^2+b^2}$ (módulo)
• $\varphi =\arg (\lambda )=\arctan \left(\frac{b}{a}\right)$ (argumento)

4.3 Forma Polar de la Matriz

Forma Polar de C

La matriz $C$ puede escribirse como:

$C=r\left[\begin{array}{cc}\cos \varphi & -\sin \varphi \\ \sin \varphi & \cos \varphi \end{array}\right]$

donde:

• $r=\sqrt{a^2+b^2}$ es el factor de escala
• $\varphi =\arctan (b/a)$ es el ángulo de rotación

4.4 Ejemplo Completo

Ejemplo 4 - Rotación Pura

Para $A=\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right]$:

Valores propios: $\lambda =0+1i$ y $\overline{\lambda }=0-1i$

Vector propio: $\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}1\\ -i\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]+i\left[\begin{array}{c}0\\ -1\end{array}\right]$

Matriz de cambio de base: $P=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]$

Forma estándar: $C=\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right]$

Interpretación:

• Módulo: $r=\sqrt{0^2+1^2}=1$ (sin escalamiento)
• Ángulo: $\varphi =\arctan (1/0)=90°$ (rotación de 90° en sentido antihorario)

Por lo tanto, $A$ representa una rotación pura de 90°.

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5. Caso General: Matriz 2×2

5.1 Análisis de Matriz General

Ejemplo 5 - Rotación con Escalamiento

Considere: $A=\left[\begin{array}{cc}0.5& -0.6\\ 0.75& 1.0\end{array}\right]$

Paso 1: Ecuación característica

$\det (A-\lambda I)={\lambda }^2-1.5\lambda +0.95=0$

Usando la fórmula cuadrática: $\lambda =\frac{1.5\pm \sqrt{1.5^2-4(0.95)}}{2}=\frac{1.5\pm \sqrt{-1.55}}{2}$

$\lambda =0.75\pm 0.622i$

Paso 2: Parámetros de rotación

• Módulo: $r=\sqrt{0.75^2+0.622^2}\approx 0.975$
• Ángulo: $\varphi =\arctan (0.622/0.75)\approx 39.7°$

Interpretación: La matriz representa una rotación de aproximadamente 40° con una ligera contracción (factor 0.975).

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6. Trayectorias y Sistemas Dinámicos

6.1 Iteración de Matrices

Comportamiento Dinámico

Para un sistema dinámico discreto ${\mathbf{x}}_{k+1}=A{\mathbf{x}}_k$:

• Si $|\lambda |<1$: Las trayectorias espiralan hacia el origen
• Si $|\lambda |=1$: Las trayectorias forman órbitas cerradas (rotación pura)
• Si $|\lambda |>1$: Las trayectorias espiralan alejándose del origen

6.2 Visualización de Trayectorias

Ejemplo 6 - Trayectorias Espirales

Para $A=\left[\begin{array}{cc}0.8& -0.6\\ 0.6& 0.8\end{array}\right]$:

Valores propios: $\lambda =0.8\pm 0.6i$

Módulo: $r=\sqrt{0.8^2+0.6^2}=1.0$

Ángulo: $\varphi =\arctan (0.6/0.8)\approx 36.87°$

Comportamiento: Dado un punto inicial ${\mathbf{x}}_0=\left[\begin{array}{c}2\\ 0\end{array}\right]$:

• ${\mathbf{x}}_1=A{\mathbf{x}}_0$: rotado 36.87°
• ${\mathbf{x}}_2=A^2{\mathbf{x}}_0$: rotado 73.74°
• ${\mathbf{x}}_k=A^k{\mathbf{x}}_0$: rotado $k\times 36.87°$

La trayectoria forma una órbita circular (ya que $r=1$).

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7. Bloque de Rotación en Dimensiones Superiores

7.1 Generalización

Bloques de Rotación en ℝⁿ

Para una matriz real $A$ de $n\times n$ con valores propios complejos conjugados $\lambda =a\pm bi$, la matriz es similar a una matriz en forma de bloques:

$A\sim \left[\begin{array}{cccc}C& 0& \cdots & 0\\ 0& {\lambda }_3& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & {\lambda }_n\end{array}\right]$

donde $C=\left[\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right]$ es el bloque de rotación 2×2.

7.2 Plano Invariante

Interpretación Geométrica

Los vectores $\text{Re}(\mathbf{v})$ e $\text{Im}(\mathbf{v})$ generan un plano invariante bajo $A$:

• La acción de $A$ en este plano es una rotación-escalamiento
• En direcciones ortogonales a este plano, $A$ actúa de acuerdo con sus valores propios reales

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8. Aplicaciones Prácticas

8.1 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales

Aplicación - Oscilador Armónico Amortiguado

El sistema: $\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=-0.1x-y\\ y^{\prime }=x-0.1y\end{array}$

puede escribirse como ${\mathbf{x}}^{\prime }=A\mathbf{x}$ donde: $A=\left[\begin{array}{cc}-0.1& -1\\ 1& -0.1\end{array}\right]$

Valores propios: $\lambda =-0.1\pm i$

Módulo: $r=\sqrt{0.01+1}\approx 1.005$

Interpretación: El sistema exhibe oscilaciones con ligero crecimiento (inestable).

8.2 Computación Gráfica

Aplicación - Rotaciones 2D

En gráficos por computadora, las rotaciones 2D se implementan usando:

$R(\theta )=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]$

Esta matriz tiene valores propios $e^{\pm i\theta }$ con $|e^{i\theta }|=1$, confirmando que preserva distancias.

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🚨 Errores Comunes

Error 1: Esperar vectores propios reales para valores propios complejos

• Incorrecto: Buscar vectores propios reales cuando $\lambda \in \mathbb{C}$
• Correcto: Los vectores propios también son complejos

Error 2: Olvidar que los valores propios complejos vienen en pares conjugados

• Incorrecto: Pensar que una matriz real puede tener solo un valor propio complejo
• Correcto: Si $a+bi$ es valor propio, entonces $a-bi$ también lo es

Error 3: Confundir módulo y parte real

• Incorrecto: Usar $a$ (parte real) como factor de escala
• Correcto: El factor de escala es $r=\sqrt{a^2+b^2}$ (módulo)

Error 4: Calcular mal el ángulo de rotación

• Incorrecto: Usar $\varphi =b/a$ directamente
• Correcto: Usar $\varphi =\arctan (b/a)$ y considerar el cuadrante correcto

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📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicios Básicos

Ejercicios Fundamentales

1. Valores propios complejos: Para cada matriz, encuentre los valores propios:

   a) $A=\left[\begin{array}{cc}0& -2\\ 2& 0\end{array}\right]$

   b) $B=\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 1\end{array}\right]$

   c) $C=\left[\begin{array}{cc}3& -2\\ 5& 1\end{array}\right]$

2. Vectores propios: Para $A=\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right]$ con $\lambda =i$, encuentre el vector propio correspondiente.

3. Parámetros de rotación: Para la matriz $A=\left[\begin{array}{cc}0.6& -0.8\\ 0.8& 0.6\end{array}\right]$: a) Calcule los valores propios b) Determine el ángulo de rotación c) Determine el factor de escala

Ejercicios Intermedios

Problemas de Aplicación

4. Forma de rotación: Dada $A=\left[\begin{array}{cc}5& -2\\ 1& 3\end{array}\right]$: a) Encuentre sus valores propios complejos b) Encuentre una matriz $P$ tal que $P^{-1}AP=C$ donde $C$ es de la forma $\left[\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right]$

5. Sistemas dinámicos: Para ${\mathbf{x}}_{k+1}=A{\mathbf{x}}_k$ con $A=\left[\begin{array}{cc}0.9\cos (30°)& -0.9\sin (30°)\\ 0.9\sin (30°)& 0.9\cos (30°)\end{array}\right]$: a) Describa el comportamiento de las trayectorias b) ¿Qué sucede con ${\mathbf{x}}_k$ cuando $k\to \infty$?

6. Conjugación: Si $\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}2+i\\ 1-3i\end{array}\right]$ es vector propio de $A$ (real) con valor propio $\lambda =1+2i$: a) Encuentre $\overline{\mathbf{v}}$ b) Verifique que $A\overline{\mathbf{v}}=\overline{\lambda }\overline{\mathbf{v}}$

Ejercicios Avanzados

Problemas Conceptuales

7. Demostración: Demuestre que si $A$ es una matriz real y $\lambda$ es un valor propio complejo con vector propio $\mathbf{v}$, entonces $\overline{\lambda }$ es valor propio con vector propio $\overline{\mathbf{v}}$.

8. Clasificación: Clasifique las siguientes matrices según si representan:

   • Rotación pura
   • Espiral hacia adentro
   • Espiral hacia afuera
   • Otro comportamiento

   a) $\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right]$ b) $\left[\begin{array}{cc}0.5& -0.5\\ 0.5& 0.5\end{array}\right]$ c) $\left[\begin{array}{cc}1.2& -0.8\\ 0.8& 1.2\end{array}\right]$

9. Potencias de matrices: Si $A$ tiene valores propios $\lambda =a\pm bi$, exprese $A^n$ en términos de $r^n$ y $n\varphi$ donde $r=|\lambda |$ y $\varphi =\arg (\lambda )$.

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🎯 Conceptos Clave para Repasar

Resumen de Conceptos Fundamentales

1. Valores propios complejos: Aparecen en pares conjugados para matrices reales
2. Vectores propios complejos: También vienen en pares conjugados
3. Bloque de rotación: $C=\left[\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right]$ codifica rotación y escala
4. Módulo: $r=\sqrt{a^2+b^2}=|\lambda |$ determina el factor de escala
5. Argumento: $\varphi =\arctan (b/a)$ determina el ángulo de rotación
6. Forma polar: $\lambda =r{e}^{i\varphi }$ combina módulo y argumento
7. Interpretación geométrica: Valores propios complejos → rotación en un plano invariante
8. Sistemas dinámicos: $|\lambda |<1$, $=1$, $>1$ determinan estabilidad

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✅ Checklist de Estudio

Lista de Verificación

• Puedo encontrar valores propios complejos de matrices reales
• Sé calcular vectores propios complejos
• Entiendo la relación entre conjugación y valores/vectores propios
• Puedo descomponer vectores complejos en partes real e imaginaria
• Reconozco la forma de bloque de rotación $\left[\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right]$
• Sé calcular el módulo y argumento de valores propios complejos
• Puedo interpretar geométricamente valores propios complejos como rotaciones
• Entiendo el comportamiento de sistemas dinámicos con valores propios complejos

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🔗 Conexiones con Otros Temas

Vínculos Conceptuales

Clases anteriores:

• Clase 23 - Valores propios y vectores propios (caso real)
• Clase 24 - Ecuación característica
• Clase 32 - Similitud de matrices

Conceptos relacionados:

• Numeros-Complejos - Aritmética compleja
• Forma-Polar - Representación $r{e}^{i\theta }$
• Rotaciones - Transformaciones geométricas
• Sistemas-Dinamicos - Ecuaciones en diferencias

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📚 Referencias

Lectura Principal

• Lay, D. Álgebra Lineal y sus Aplicaciones. Sección 5.5, págs. 295-300
• Poole, D. Álgebra lineal: Una introducción moderna. Sección 4.6

Lectura Complementaria

• Strang, G. Introducción al Álgebra Lineal. Capítulo 5, sección 5.4
• Anton, H. Álgebra Lineal Elemental. Capítulo 7, sección 7.6

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Conclusión del Capítulo

Con esta clase completamos el estudio de valores propios y vectores propios, abarcando tanto el caso real como el complejo. Los valores propios complejos revelan estructura oculta en transformaciones que involucran rotación, proporcionando una herramienta poderosa para analizar sistemas dinámicos y transformaciones geométricas.

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